R UIDO EN LOS SISTEMAS DE COMUNICACIONES

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(1)Teor´ıa de la Comunicaci´on. Grado en Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Telecomunicaci´on. C AP´I TULO 2 RUIDO EN LOS SISTEMAS DE COMUNICACIONES Marcelino L´azaro Departamento de Teor´ıa de la Se˜nal y Comunicaciones Universidad Carlos III de Madrid. Creative Commons License 1 / 88. ´Indice de contenidos ´ de conceptos de probabilidad Revision I I. Variable aleatoria Procesos aleatorios. ´ del ruido en sistemas de comunicaciones Caracterizacion I I I I I. Procesos blancos Procesos gausianos Suma de procesos aleatorios ´ Modelo estad´ıstico del ruido termico ´ senal ˜ a ruido Relacion. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Variable Aleatoria 2 / 88.

(2) Variable aleatoria (Real) ´ que asigna un valor numerico ´ Funcion (real) a la salida de un experimento aleatorio .......................................................... ............. ........ ........ ..... ...... . .... ⌦ . . . .. . ... . ... .... .. ... 2 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . ..................... . .. ......... ... 3 .. ....... ... ...1...... ... .......................... .... ......................... . ... . . .... . . . . . . . . . . . ......... ........ ... . . .... . . . . ....... ..... .. ..... . ... . . ..... ....... ......... .. . . ... . ................. . .. .... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ... ... ... .......................................................... .. . .. ... ... .. . .. ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. q. ⌦ ! IR. 2 ⌦ ! X( ) 2 IR. Rango de X: RangoX = {x 2 IR : 9 I I. q. q. q. ?. ?. ?. ?. X( 2 ). X( 1 ). X( 3 ). X( 4 ). R I. 2 ⌦, X( ) = x}. V.a. discreta: rango formado por conjunto discreto de valores V.a. continua: rango continuo de valores. ´ (probabil´ıstica): Descripcion I I. ´ de distribucion: ´ FX (x) Funcion ´ densidad de probabilidad: fx (x) Funcion c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Variable Aleatoria 3 / 88. ´ de distribucion ´ Funcion ´ Definicion. FX (x) = P(X  x). ´ frecuencial (probabil´ıstica) Interpretacion nx n!1 n. FX (x) = P(X  x) = l´ım. n : numero de realizaciones de la variable aleatoria X ´ nx : numero de resultados en las n realizaciones con X  x ´ 1. 1. 0.8. 0.8. 0.6. 0.6. 0.4. 0.4. 0.2. 0.2. 0 0. 2. 4 Valores de la v.a.X. 6. 8. 0 −5. (a) Discreta c Marcelino L´azaro, 2014. 0 Valores de la v.a.X. 5. (b) Continua ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Variable Aleatoria 4 / 88.

(3) ´ de distribucion ´ Estima de la funcion 1. 4 3. 0.8. 2 1. 0.6. 0. 0.4. −1 −2. 0.2. Teórica Estimada. −3 −4 0. 100. 200 300 400 Realizaciones de la v.a. X. 0 −3. 500. (a) Realizaciones. −2. −1 0 1 Valores de la v.a.X. 2. 3. (b) Estima de FX (x). ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. Variable Aleatoria 5 / 88. ´ de distribucion ´ Propiedades de la funcion 1. 0  FX (x)  1. 2. x1 < x2 ! FX (x1 )  FX (x2 ). (FX (x) es no decreciente). 3. FX ( 1) = 0 y FX (1) = 1. ( l´ım FX (x) = 0, l´ım FX (x) = 1). 4. FX (x+ ) = FX (x). 5. FX (b). x! 1. x!1. (FX (x) es continua por la derecha). FX (a) = P(a < X  b) P(a  X  b) = FX (b). FX (a ). P(a < X < b) = FX (b ). FX (a). P(a  X < b) = FX (b ). FX (a ). 6. P(X = a) = FX (a). 7. P(X > x) = 1. FX (a ). FX (x). c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Variable Aleatoria 6 / 88.

(4) ´ densidad de probabilidad Funcion ´ Definicion fX (x) = I I. d FX (x) dx. V.a. discreta: puntos de masa pi = P(X = xi ) ´ v.a. discreta: pX (xi ) = pi Notacion. ´ frecuencial (probabil´ıstica) Interpretacion fX (x) = l´ım. x !0. P(x  X  x +. x). x. fX (x) = l´ım. x !0. ⇢. 1 x. nx n!1 n l´ım. n : numero de realizaciones de la variable aleatoria X ´ nx : numero de resultados en las n realizaciones con x  X  x + ´. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. x. Variable Aleatoria 7 / 88. Estima de la f.d.p. 0.5. 4 3. 0.4. 2 1. 0.3. 0. 0.2. −1 −2. 0.1. −3 −4 0. 100. 200 300 400 Realizaciones de la v.a. X. (a) Realizaciones. c Marcelino L´azaro, 2014. 500. 0 −5. 0 Valores de la v.a.X. 5. (b) Estima de fX (x). ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Variable Aleatoria 8 / 88.

(5) Propiedades de fX (x) 1. 2. 3. 4. 5. fX (x) Z 1 Z. 1 b+. 0 fX (x) · dx = 1. fX (x) · dx = P(a < X  b) Z En general, P(X 2 A) = fX (x) · dx a+. FX (x) =. Z. A. x+. 1. fX (u) · du. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Variable Aleatoria 9 / 88. Variable aleatoria de Bernoulli Variable aleatoria discreta con RangoX = {0, 1} ´ Parametro: p = P(X = 1) 8 < 1 p, x = 0 p, x=1 fX (x) = : 0, en otro caso ´ en comunicaciones Ejemplos de aplicacion I I. Generador de datos binario Modelo de errores. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Variable Aleatoria 10 / 88.

(6) Variable aleatoria Binomial Numero de 1’s en n experimentos de Bernoulli (indep.) ´ ´ Parametros: n, p. RangoX = {0, 1, · · · , n} ⇢ n · px · (1 p)n x , 0  x  n y x 2 Z x fX (x) = 0, en otro caso ´ en comunicaciones Ejemplo de aplicacion I. Numero total de bits recibidos con error ´. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Variable Aleatoria 11 / 88. Variable aleatoria uniforme ´ Variable aleatoria continua de parametros ayb I. fX (x) =. ⇢. ´ U (a, b) Notacion: 1. b a,. 0,. a<x<b en otro caso. fX (x) 6 1 b a. ´ en comunicaciones Ejemplo aplicacion I. a. b. -. x. Fase aleatoria en una sinusoide: v.a. uniforme entre 0 y 2⇡. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Variable Aleatoria 12 / 88.

(7) Variable aleatoria gausiana (normal) ´ Parametros: media (µ), y varianza ( 2 ) I. ´ N (µ, Notacion:. 2). 6f. X (x) p1 2⇡. ...... .... .... . (x µ)2 .... ..... 1 . ... fX (x) = p ·e 2 2 .. . ... . 2⇡ ... ..... ... ... ..... ... . ..... . . . ........................ ......................... µ x ´ en comunicaciones Ejemplo de aplicacion I. ´ Modelado del ruido termico. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Variable Aleatoria 13 / 88. ´ de la funcion ´ densidad de probabilidad Interpretacion ´ La f.d.p. indica como se distribuyen los valores que toma una variable aleatoria Rangos donde fX (x) toma valores elevados indican una probabilida alta de que la variable aleatoria tome valores en ese rango I. ´ esta funcion ´ puede utilizarse para el calculo ´ Por esta razon de probabilidades sobre los posibles valores de una variable aleatoria. Una f.d.p. se puede interpretar como un histograma llevado al l´ımite ´ se muestran varios ejemplos A continuacion I I. Variable aleatoria uniforme Variable aleatoria gausiana. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Variable Aleatoria 14 / 88.

(8) Realizaciones de una variable aleatoria uniforme 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1. .u ..u ....u u..u .u . . . . ...uu . ..u . ...... ... . . . . ..... ...... ....u.... ....u . .... .u ........ .... .u ....... ....u....u.... ......... ....u . u . . . . . ...... .....u ................. .... .... .. . . .... ......... ...... .....u.... ......... ...u ........ ...u.....u.... u...u ......... ...... .... .... ........ . ....... ........ .......... .... ... .... . . . . . . .. .. . . . ....... ....... ........ .... ............ ....u ....... ......... ...u..u........ .... ...u.... .... .... ..u........ .... .... ...... ........ ........ ........ ..... .... ........ . . u... .. .. .. ... ........ ... ........ ....u..... .... .... .... .u ..................... .... ................. .... .... ............ .... .... ....u .... ....u ............ .... ......... ........u......... ....u... ......... .... ..... . . . . . . . .u. . . . . . . . . . . . .u . . . ... . . . . . . . .. . . . .... ....u...... .......... .... ..... ..... .... .... .... .......... ......... .... ..... .u.... .... ....u.... ......... ..... ..... ..... ...u .... .... ....uu.... .... .... .... .... .... ....u ...... ..... ...u.... ..... . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .u . . . . . . .. u. . .... ..u......... ....u..... ..... ........ ..... ...u.... ...u ..... .....u .... ......... ....u ..... ..... .... ......... ..... ..... ..... ..... ....u..... ..... ........ .... ........ ...u .... ..... . ..... ... ... ... ....... .. ... ..... ... ... u... ...... ...u.. ... ...u..u... .u...u.. ... ... ... .. ......u ..... ... ..... .... ...u... .... ...... ..... ... ..... ... ... ..... .. ... ... .. ..... ...... ... .. ...u... ...... ... .. ...u... ..u ...... ... ........ .... .. . ...... ...... ... ... ... ...u ......... ... ... ..... ... ..... ...... ...u... ...u...... ... ..u... ... ... ... ...u... ....... ...... ...... .. .. ........... .. ..... .. .. .......u ..... .... ...... ... ... ...... .... ... ...... ... ...... ..u ... ... ...... ...... . . . . . . u . . ..... .. .... . . . . . . . . . . . .u... ... .... ..... .u ... ......... ...... ... .. ... .. ..... ..... ...u.. .......... ... .. ...... ...u ..... . . . . . . . . . . . . ...u ... .. ..... .... u.... . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . u . . . . . ... .. ..... ... ..u ..... .. ...... ...u ..... .... .. ..... ..u .u . . . . u . . . ... .. ... ... .. ..... ... ..... ..u.. .... ... ......u ......u... .u .... ... ...... ..u . . .u ....u..u u .u .u .. .u. 0. 20. 40 60 ´ Realizacion. 80. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. 100. Variable Aleatoria 15 / 88. Histograma con las 100 realizaciones de la variable aleatoria uniforme Histograma de la señal aleatoria xu(t). (100 puntos) 16. 14. 12. 10. 8. 6. 4. 2. 0 −1. −0.8. −0.6. −0.4. c Marcelino L´azaro, 2014. −0.2. 0. 0.2. 0.4. 0.6. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. 0.8. 1. Variable Aleatoria 16 / 88.

(9) Histograma con 10000 realizaciones de una variable aleatoria uniforme Histograma de la señal aleatoria xu(t). (10000 puntos) 250. 200. 150. 100. 50. 0 −1. −0.8. −0.6. −0.4. c Marcelino L´azaro, 2014. −0.2. 0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. 1. Variable Aleatoria 17 / 88. Realizaciones de una variable aleatoria gausiana 3 2 1 0 -1 -2 -3. ..u ....... ......u ....... .........u .....u ...u . ...u ..u ..u ...u...... ....u . uu u . ......... u ....u .... .... . ........ . ...u ....... .... .... ...... ...... ....... .....u.... .. ... ..... ...... ....... .... ... . . u . u . . . . . . . . . ... . . . . u. . ... .. .. . .. ..... .... ... ... .u .u... ......u.... .u ..... ....u.....u....u.... ..... ....u.... .... ........ ...........u.... ..... .u.... .u.... ...u ....u.... ......... ......... ........ ..... ..... ....u .. ....u ....... ... ........... .... .... ... ....... ..... u....u.u..u....u ..u .... .... .... .u........ .... ......u ..u.u.... ... .... .............u....... ....u.........u..u........ ... ....u . . ...u.u..u ......u.u... .. ..u...u ...... .. .. ... ..... ...... ..... ..... ... .. ..... .. ... ...u..u .... .. .. ... ... ... .. ...u...... ......... .. .. .... ..... ... . . . u . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . ... .... .. ..u..u.... .. .. .. ... .. ..... ........ ......... ...u.... .. ....u ... ... ...... ..... ........... ......... ... .. ... ... .u.. ... ...... ..... ....u .... ... ..u... .... ...u.. ..u.. ...u ........ .. . . . .....u..u.u..... ..u..u...... ......... ...u...... ... .... ..u ..... ...... ..... ..... .u ... ..u .u....u ... ...u..u.u . ..... ... ... .. ..... . u ..u....... . ..... ..... . .... .u ...... ...u . ..... .... .u... ... ...... . . ..... ..... .... ...... u ... .u ...... ...... ...... ...... ... .... u ...... ...... .... u .... .u ...... ... ... .u ...... ... ... .... ..u .u ... u. 0. 20. c Marcelino L´azaro, 2014. 40 60 ´ Realizacion. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. 80. 100. Variable Aleatoria 18 / 88.

(10) Histograma con las 100 realizaciones de la variable aleatoria gausiana Histograma de la señal aleatoria xg(t). (100 puntos) 40. 35. 30. 25. 20. 15. 10. 5. 0 −3. −2. −1. 0. 1. 2. 3. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. Variable Aleatoria 19 / 88. Histograma con 10000 realizaciones de una variable aleatoria gausiana Histograma de la señal aleatoria x (t). (10000 puntos) g. 700. 600. 500. 400. 300. 200. 100. 0 −4. −3. −2. c Marcelino L´azaro, 2014. −1. 0. 1. 2. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. 3. 4. Variable Aleatoria 20 / 88.

(11) ´ Q(x) Funcion ´ tabulada calculada numericamente ´ Funcion relacionada con la integral ´ gausiana de una distribucion ´ probabilidad de que una variable aleatoria gausiana de Definicion: media nula y varianza unidad tome valores mayores que su argumento x2 1 Si X ⇠ N (0, 1) ! fX (x) = N (0, 1) = p e 2 ! Q(x) = P(X > x) 2⇡ Z +1 Z +1 z2 1 p e 2 dz Q(x) = fX (z) dz = 2⇡ x x ´ grafica ´ Interpretacion I Solo ´ se tabula para x 0 I Para x < 0, dada la simetr´ ıa de fX (x): Q( x) = 1 Q(x). x>0. N (0, 1). µ=0. x. c Marcelino L´azaro, 2014. x<0. x ´ Teor´ıa de la Comunicacion. µ=0 Variable Aleatoria 21 / 88. ´ Q(x) - Propiedades Funcion ´ con la funcion ´ de distribucion ´ de una v.a. Relacion 2 gausiana (con µ = 0, = 1) Z x t2 1 p · e 2 dt FX (x) = P(X  x) = 2⇡ 1 ´ Q(x) = 1 FX (x) = P(X > x) para µ = 0, Funcion ´ Q(x) Algunas propiedades de la funcion I I I. Q( x) = 1 Q(0) = 12 Q(1) = 0. 2. =1. Q(x). c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Variable Aleatoria 22 / 88.

(12) 2. Integrales sobre distribuciones gausianas N (µ,. ). 2. ´ gausiana tiene media µ y varianza Si la distribucion ◆ ✓ x µ P(X > x) = Q. ´ grafica ´ ´ y simetr´ıa) Interpretacion (considerando definicion N (µ,. 2. Q. ). x µ. =Q. d. d x. µ Q N (µ,. 2. d x. x µ. d. =Q. =1. Q. µ. d. ) d x. d µ. x. µ ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. Integrales sobre N (µ,. 2. N (µ,. 2. Variable Aleatoria 23 / 88. ) en intervalos. En general se pueden escribir como sumas o diferencias de diferentes ´ terminos involucrando integrales desde un punto a ±1, que ya hemos ´ Q(x) visto como se obtienen utilizando la funcion Un ejemplo ilustrativo ) d1 x1. R x2 x1. N (µ,. 2. )=. R1 x1. N (µ,. 2. ). d2 x2. µ R1 x2. N (µ,. 2. ⇥ )= 1. Q. d1. d1 x1. ⇤. ⇥. Q. d2. ⇤. d2 µ. c Marcelino L´azaro, 2014. µ ´ Teor´ıa de la Comunicacion. x2 Variable Aleatoria 24 / 88.

(13) Funciones de una variable aleatoria ´ Y = g(X) de una v. a. es una variable aleatoria. Una funcion ´ de distribucion ´ Funcion FY (y) = P(Y  y) = P(g(X)  y) FY (y) = P(x 2 BgX (y)), BgX (y) = {x 2 IR : g(x)  y}. ´ densidad de probabilidad Funcion. Nr X fX (xi ) fY (y) = |g0 (xi )| i=1 I I I. ´ y = g(x) {xi }: ra´ıces de la ecuacion 0 ´ g(x) g (x): derivada de la funcion Condiciones: numero finito de ra´ıces, Nr y g(xi ) 6= 0 8xi ´ ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. Variable Aleatoria 25 / 88. Momentos estad´ısticos ´ Valor esperado (media, o esperanza matematica) mX = E[X] =. Z. 1 1. x · fX (x) dx. ´ de X (g(X)) Valor esperado de una funcion E[g(X)] =. Momento de orden n mnX. =. Z. Z. 1 1. 1 1. Varianza 2 X h. NOTA: X2 = E (x. ⇥. = E (x i. mX )2 = E[X 2 ]. c Marcelino L´azaro, 2014. mX ). 2. ⇤. =. g(x) · fX (x) dx. xn · fX (x) dx. Z. (E[X])2 = E[X 2 ]. 1. (x. 1. mX )2 · fX (x) dx. (mX )2. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Variable Aleatoria 26 / 88.

(14) Propiedades de los momentos E[X + Y] = E[X] + E[Y] = mX + mY (Operador lineal) E[c] = c (para cualquier constante c) E[c · X] = c · E[X] E[X + c] = E[X] + c Var(c) = 0 Var(c · X) = c2 · Var(X) Var(X + c) =Var(X). c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Variable Aleatoria 27 / 88. Variables aleatorias multidimensionales Se puede trabajar de forma conjunta con dos variables aleatorias definidas sobre el mismo espacio muestral ⌦ Modelado probabil´ıstico conjunto I. ´ de distribucion ´ conjunta Funcion FX,Y (x, y) = P(X  x, Y  y). I. ´ densidad de probabilidad conjunta Funcion @2 fX,Y (x, y) = FX,Y (x, y) @x@y. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Variable Aleatoria 28 / 88.

(15) Propiedades de FX,Y (x, y) y fX,Y (x, y) FX (x) = FX,Y (x, 1) FY (y) = FX,Y (1, y) Z 1 fX (x) = fX,Y (x, y) dy fY (y) = Z. 1 1. Z. Z. 1 1. 1. 1 1. fX,Y (x, y) dx. fX,Y (x, y) dx dy = 1. P((X, Y) 2 A) = FX,Y (x, y) =. Z. Z Z. x 1. Z. fX,Y (x, y) dx dy (x,y)2A. y 1. fX,Y (u, v) du dv. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Variable Aleatoria 29 / 88. ´ densidad de probabilidad condicionada Funcion Conocimiento del valor de una variable modifica las probabilidades de la otra ( fX,Y (x,y) , fX (x) 6= 0 fX (x) fY|X (y|x) = 0, en otro caso ´ de independencia estad´ıstica: Definicion fY|X (y|x) = fY (y) fX|Y (x|y) = fX (x) I. ´ para variables aleatorias independientes Implicacion: fX,Y (x, y) = fX (x) · fY (y) c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Variable Aleatoria 30 / 88.

(16) Momentos estad´ısticos ´ g(X, Y) Valor esperado de una funcion E[g(X, Y)] =. Z. 1 1. Z. 1 1. g(x, y) · fX,Y (x, y) dx dy. Casos particulares I I. ´ g(X, Y) = X · Y Correlacion: Covarianza: g(X, Y) = (X mX ) · (Y. mY ). ´ de independencia: si g(X, Y) = g1 (X) · g2 (Y) Implicacion E [g1 (X) · g2 (Y)] = E [g1 (X)] · E [g2 (Y)] ´ bajo independencia !!!! NOTA: Solo. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Variable Aleatoria 31 / 88. ´ Incorrelacion ´ Coeficiente de correlacion ⇢X,Y = I. Si ⇢X,Y = 0: v.a.’s incorreladas F F. I. Cov(X, Y) , 0  |⇢X,Y |  1 X · Y. ´ Independencia implica incorrelacion ´ no implica independencia Incorrelacion. Si ⇢X,Y = ±1: Y = aX + b ⇢X,Y = +1 ! a > 0; ⇢X,Y =. 1!a<0. ´ solo ´ implica independencia para variables Incorrelacion aleatorias conjuntamente gausianas ´ no implica NOTA: Salvo este caso, en general, incorrelacion independencia !!!. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Variable Aleatoria 32 / 88.

(17) Funciones de variables aleatorias Funciones de variables aleatorias: Z = g(X, Y), W = h(X, Y) ⇢ Z = g(X, Y) W = h(X, Y) ´ de distribucion ´ conjunta, FZ,W (z, w) Funcion ⇣ ⌘ g,h FZ,W (z, w) = P(Z  z, W  w) = P (x, y) 2 BX,Y (z, w) 2 Bg,h X,Y (z, w) = {(x, y) 2 IR : g(x, y)  z, h(x, y)  w}. ´ densidad de probabilidad conjunta Funcion " X fX,Y (xi , yi ) fZ,W (z, w) = , J(x, y) = |detJ(xi , yi )|. @z(x,y) @x @w(x,y) @x. i. I I. @z(x,y) @y @w(x,y) @y. #. {xi , yi }: ra´ıces del sistema de ecuaciones z = g(x, y), w = h(x, y) Numero finito de ra´ıces y determinante no nulo para todas ellas ´ ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. Variable Aleatoria 33 / 88. Variables aleatorias conjuntamente gausianas Dos variables, X, Y: caracterizadas por una f.d.p. conjunta 1 fX,Y (x, y) =. 2⇡ X Y. 1 p. 1. ⇢2. e. (1. ⇢2 ). 0 @. (x. µX )2 2 X2. +. µY )2. (y. ⇢(x. µx )(y. 2 Y2. X. µY ). Y. 1 A. Para n variables aleatorias X = X1 , X2 , · · · , Xn fX (x1 , x2 , · · · , xn ) = p I I. 1 (2⇡)n det(C). 1 (x ·e 2. µ)C. 1 (x. µ)T. Vector de medias: µ = [µ1 , µ2 , · · · , µn ]T Matriz de covarianzas: C, dada por Ci,j = Cov(Xi , Xj ) = ⇢i,j · c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. i. ·. j. Variable Aleatoria 34 / 88.

(18) Propiedades de v.a.’s conjuntamente gausianas Completamente caracterizadas por µ y C (estad´ısticos de 2o orden) Si n variables aleatorias son conjuntamente gausianas, cualquier ´ esta´ distribuido de forma conjuntamente subconjunto tambien gausiana. En particular, todas las variables individuales son gausianas Cualquier subconjunto de v.a. conjuntamente gausianas, condicionadas a otro subconjunto de las mismas v.a. conjuntamente gausianas ´ conjuntamente gausiana originales, tiene una distribucion Cualquier conjunto de combinaciones lineales de (X1 , X2 , · · · , Xn ) es conjuntamente gausiano. En particular, individualmente cualquier ´ lineal Yi es gausiana combinacion Dos variables incorreladas son independientes ´ incorreladas, ⇢i,j = 0 8i 6= j, C es una matriz Si las variables estan diagonal. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. Variable Aleatoria 35 / 88. Suma de variables aleatorias ´ ´ Ley de los grandes numeros ´ (debil): Si (X1 , X2 , · · · , Xn ) estan incorreladas y todas tienen la misma media mX y varianza 2 ´ para cualquier X < 1, independientemente de su distribucion, " > 0, n 1X si Y = Xi , l´ım P(|Y mX | > ") = 0 n!1 n i=1. Teorema del l´ımite central: Si (X1 , X2 , · · · , Xn ) son independientes con medias m1 , m2 , · · · , mn , y varianzas 2 2 2 ´ de 1 , 2 , · · · , n , entonces la distribucion n. 1 X Xi Y=p n i=1. mi. i. ´ gausiana de media 0 y varianza 1 converge a una distribucion y2 1 fY (y) = p e 2 ⌘ N (0, 1) 2⇡ c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Variable Aleatoria 36 / 88.

(19) Suma de variables aleatorias (II) ´ Caso particular: variables independientes e identicamente distribuidas (i.i.d.), es decir, que todas tengan la misma ´ con la misma media m y la misma varianza 2 ; distribucion el promedio n 1X Y= Xi , n i=1 2. ´ N (m, n ). Esto es as´ı aunque la converge a una distribucion ´ original no sea gausiana. distribucion Recordatorio: condiciones a satisfacer I I. ´ ´ Ley de los grandes numeros (debil): incorrelacion ´ Teorema del l´ımite central: independencia. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. Variable Aleatoria 37 / 88. Realizaciones 1 variable aleatoria gausiana 2 X. Variable aleatoria gausiana: media mX = 1, varianza Señal 1 de 10. =1. 600. 4. 3. 500 2. 400 1. 300. 0. −1. 200 −2. 100 −3. −4. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. c Marcelino L´azaro, 2014. 900. 1000. 0 −4. −3. −2. −1. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. 0. 1. 2. 3. 4. Variable Aleatoria 38 / 88.

(20) Promedio de 2 variables aleatorias gausianas (realizaciones) 2 X. Variables aleatorias gausianas: media mX = 1, varianza Promedio de 2 señales 4. 700. 3. 600. =1. 2. 500 1. 400 0. 300 −1. 200 −2. 100. −3. −4. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. 900. 1000. 0 −4. −3. −2. −1. 0. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. 1. 2. 3. 4. Variable Aleatoria 39 / 88. Promedio de 5 v. a. gausianas (realizaciones) 2 X. Variables aleatorias gausianas: media mX = 1, varianza Promedio de 5 señales 4. 700. 3. 600. =1. 2. 500 1. 400 0. 300 −1. 200 −2. 100. −3. −4. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. c Marcelino L´azaro, 2014. 900. 1000. 0 −4. −3. −2. −1. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. 0. 1. 2. 3. 4. Variable Aleatoria 40 / 88.

(21) Promedio de 10 v. a. gausianas (realizaciones) 2 X. Variables aleatorias gausianas: media mX = 1, varianza Promedio de 10 señales 4. 700. 3. 600. =1. 2. 500 1. 400 0. 300 −1. 200 −2. 100. −3. −4. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. 900. 1000. 0 −4. −3. −2. −1. 0. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. 1. 2. 3. 4. Variable Aleatoria 41 / 88. Promedio de 20 v. a. gausianas (realizaciones) 2 X. Variables aleatorias gausianas: media mX = 1, varianza Promedio de 20 senales 4. 700. 3. 600. =1. 2. 500 1. 400 0. 300 −1. 200 −2. 100. −3. −4. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. c Marcelino L´azaro, 2014. 900. 1000. 0 −4. −3. −2. −1. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. 0. 1. 2. 3. 4. Variable Aleatoria 42 / 88.

(22) Promedio de 50 v. a. gausianas (realizaciones) 2 X. Variables aleatorias gausianas: media mX = 1, varianza Promedio de 50 senales 4. 700. 3. 600. =1. 2. 500 1. 400 0. 300 −1. 200 −2. 100. −3. −4. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. 900. 1000. 0 −4. −3. −2. −1. 0. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. 1. 2. 3. 4. Variable Aleatoria 43 / 88. Promedio de 100 v. a. gausianas (realizaciones) 2 X. Variables aleatorias gausianas: media mX = 1, varianza Promedio de 100 señales 4. 700. 3. 600. =1. 2. 500 1. 400 0. 300 −1. 200 −2. 100. −3. −4. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. c Marcelino L´azaro, 2014. 900. 1000. 0 −4. −3. −2. −1. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. 0. 1. 2. 3. 4. Variable Aleatoria 44 / 88.

(23) Promedio de 500 v. a. gausianas (realizaciones) 2 X. Variables aleatorias gausianas: media mX = 1, varianza Promedio de 500 señales 4. 700. 3. 600. =1. 2. 500 1. 400 0. 300 −1. 200 −2. 100. −3. −4. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. 900. 1000. 0 −4. −3. −2. −1. 0. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. 1. 2. 3. 4. Variable Aleatoria 45 / 88. Realizaciones de 1 variable aleatoria uniforme Variable aleatoria uniforme entre 0 y 2. Señal 1 de 10. 400 2. 350. 1.8 1.6. 300. 1.4. 250 1.2. 200. 1 0.8. 150. 0.6. 100 0.4. 50 0.2 0. 0. 50. 100. 150. 200. 250. 300. 350. 400. c Marcelino L´azaro, 2014. 450. 500. 0. 0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. 1. 1.2. 1.4. 1.6. 1.8. 2. Variable Aleatoria 46 / 88.

(24) Promedio de 2 variables aleatorias uniformes (realizaciones) Variables aleatorias uniformes entre 0 y 2.. Promedio de 2 señales. 700 2. 600. 1.8 1.6. 500 1.4. 400. 1.2 1. 300 0.8. 200. 0.6 0.4. 100 0.2 0. 0. 50. 100. 150. 200. 250. 300. 350. 400. 450. 500. 0. 0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. 1.2. 1.4. 1.6. 1.8. 2. Variable Aleatoria 47 / 88. Promedio de 5 v. a. uniformes (realizaciones) Variables aleatorias uniformes entre 0 y 2.. Promedio de 5 señales. 900 2. 800 1.8. 700. 1.6 1.4. 600. 1.2. 500. 1. 400 0.8. 300 0.6. 200 0.4. 100. 0.2 0. 0. 50. 100. 150. 200. 250. 300. 350. 400. c Marcelino L´azaro, 2014. 450. 500. 0. 0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. 1. 1.2. 1.4. 1.6. 1.8. 2. Variable Aleatoria 48 / 88.

(25) Promedio de 10 v. a. uniformes (realizaciones) Variables aleatorias uniformes entre 0 y 2.. Promedio de 10 señales 1200. 2 1.8 1000. 1.6 1.4. 800. 1.2 600. 1 0.8. 400. 0.6 0.4. 200. 0.2 0. 0. 50. 100. 150. 200. 250. 300. 350. 400. 450. 500. 0. 0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. 1.2. 1.4. 1.6. 1.8. 2. Variable Aleatoria 49 / 88. Promedio de 20 v. a. uniformes (realizaciones) Variables aleatorias uniformes entre 0 y 2.. Promedio de 20 señales 1200. 2 1.8 1000. 1.6 1.4. 800. 1.2 600. 1 0.8. 400. 0.6 0.4. 200. 0.2 0. 0. 50. 100. 150. 200. 250. 300. 350. 400. c Marcelino L´azaro, 2014. 450. 500. 0. 0. 0.2. 0.4. 0.6. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. 0.8. 1. 1.2. 1.4. 1.6. 1.8. 2. Variable Aleatoria 50 / 88.

(26) Promedio de 50 v. a. uniformes (realizaciones) Variables aleatorias uniformes entre 0 y 2.. Promedio de 50 señales 1200. 2 1.8 1000. 1.6 1.4. 800. 1.2 600. 1 0.8. 400. 0.6 0.4. 200. 0.2 0. 0. 50. 100. 150. 200. 250. 300. 350. 400. 450. 500. 0. 0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. 1.2. 1.4. 1.6. 1.8. 2. Variable Aleatoria 51 / 88. Promedio de 100 v. a. uniformes (realizaciones) Variables aleatorias uniformes entre 0 y 2.. Promedio de 100 señales 1200. 2 1.8 1000. 1.6 1.4. 800. 1.2 600. 1 0.8. 400. 0.6 0.4. 200. 0.2 0. 0. 50. 100. 150. 200. 250. 300. 350. 400. c Marcelino L´azaro, 2014. 450. 500. 0. 0. 0.2. 0.4. 0.6. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. 0.8. 1. 1.2. 1.4. 1.6. 1.8. 2. Variable Aleatoria 52 / 88.

(27) Procesos aleatorios ´ de v.a. incluyendo dependencia temporal Extension I. I. Variable aleatoria Proceso aleatorio. Particularizaciones I I I. 2 ⌦ ! X( ) 2 ⌦ ! X(t, ). ´ individual X(ti , j ): realizacion ˜ temporal asociada a X(t, i ): senal X(ti , ): variable aleatoria (X( )). i , xi (t). ´ X(t) o X[n] Notacion: ´ Conjunto indexado de variables aleatorias Interpretacion: I I. ´Indice continuo (t 2 IR): Proceso aleatorio continuo ´Indice discreto (n 2 Z): Proceso aleatorio discreto c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Procesos Aleatorios 53 / 88. ´ de un proceso aleatorio Descripcion ´ anal´ıtica Descripcion X(t) = f (t, ✓) ✓ = {✓1 , ✓2 , · · · , ✓n }: vector de variables aleatorias I. ´ f (t, ✓) y descripcion ´ estad´ıstica de ✓ Ecuacion. ´ estad´ıstica Descripcion I. Completa: 8 (t1 , t2 , · · · , tn ) 2 IRn , 8 n fX(t1 ),X(t2 ),··· ,X(tn ) (x1 , x2 , · · · , xn ). I. De orden M: 8 n  M, 8 (t1 , t2 , · · · , tn ) 2 IRn fX(t1 ),X(t2 ),··· ,X(tn ) (x1 , x2 , · · · , xn ). c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Procesos Aleatorios 54 / 88.

(28) Esperanzas de los procesos (promedios estad´ısticos) Media de un proceso mX (t) = E[X(t)] =. Z. 1 1. x · fX(t) (x)dx. ´ de autocorrelacion ´ de un proceso Funcion RX (t1 , t2 ) = E[X(t1 ) · X(t2 )] Z 1Z 1 RX (t1 , t2 ) = x1 · x2 · fX(t1 ),X(t2 ) (x1 , x2 ) · dx1 · dx2 1. c Marcelino L´azaro, 2014. 1. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Procesos Aleatorios 55 / 88. Estacionariedad y cicloestacionariedad Estacionariedad en sentido estricto: 8 (t1 , t2 , · · · , tn ), 8n, 8 fX(t1 ),X(t2 ),··· ,X(tn ) (x1 , x2 , · · · , xn ) = fX(t1 + ),X(t2 + I. ),··· ,X(tn + ) (x1 , x2 , · · ·. , xn ). Estacionariedad de orden M: para n  M. Estacionariedad en sentido amplio 1 2. mX (t) = mX (no depende de t) RX (t1 , t2 ) = RX (t1 t2 ) = RX (⌧ ) (definiendo ⌧ = t1 ´ se suele denotar RX (t + ⌧, t) = RX (⌧ ) Tambien. t2 ). Cicloestacionariedad 1 2. mX (t + To ) = mX (t) RX (t + ⌧ + To , t + To ) = RX (t + ⌧, t), para todo t y ⌧ c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Procesos Aleatorios 56 / 88.

(29) ´ de procesos estacionarios Autocorrelacion ´ de autocorrelacion ´ de un proceso estacionario X(t), La funcion RX (⌧ ), tiene las siguientes propiedades: ´ par Es una funcion RX ( ⌧ ) = RX (⌧ ) ´ ´ El maximo en modulo se obtiene en ⌧ = 0 |RX (⌧ )|  RX (0) Si para algun ´ To se cumple RX (To ) = RX (0), entonces para todo entero k RX (kTo ) = RX (0) ´ semidefinida positiva (se vera´ mas ´ tarde) Es una funcion. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Procesos Aleatorios 57 / 88. Ergodicidad ´ g(x): Promedios para un proceso X(t) y una funcion 1. Promedio estad´ıstico E[g(X(t))] =. 2. Z. 1 1. g(x) · fX(t) (x) · dx. Este valor es, en general, dependiente de t. Promedio temporal de x(t, !i ) 1 < g(x) >i = l´ım T!1 T. Z. T 2 T 2. g(x(t, !i )) · dt. Independiente de t, pero en general dependiente de !i. ´ X(t) estacionario es ergodico, si 8 g(x) y 8 !i 2 ⌦ Z T 1 2 l´ım g(x(t, !i )) · dt = E[g(X(t))] T!1 T T 2 c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Procesos Aleatorios 58 / 88.

(30) Potencia y Energ´ıa Energ´ıa del proceso aleatorio X(t), EX Z 1 EX = E[EX ], EX = X 2 (t) · dt 1. Potencia del proceso aleatorio X(t), PX 1 PX = E[PX ], PX = l´ım T!1 T I I. Z. T 2 T 2. X 2 (t) · dt. Un proceso aleatorio es de energ´ıa si EX < 1 Un proceso aleatorio es de potencia si 0 < PX < 1. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. Procesos Aleatorios 59 / 88. Potencia y energ´ıa (II) EX = E. Z. 1. 2. 1. ". X (t) · dt = Z. T 2. Z. 1 1. 2. E[X (t)] · dt =. l´ım. 1 1. RX (t, t) · dt. #. 1 X 2 (t) · dt T T!1 T 2 Z T Z 1 2 1 = l´ım E[X 2 (t)] · dt = l´ım T T!1 T T!1 T. PX = E. Z. 2. T 2 T 2. RX (t, t) · dt. Para procesos aleatorios estacionarios RX (t, t) = RX (0) Z 1 PX = RX (0), EX = RX (0) · dt 1. ´ de potencia Procesos estacionarios de interes: c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Procesos Aleatorios 60 / 88.

(31) Procesos aleatorios multidimensionales (multiples) ´ Independencia: X(t) e Y(t) son independientes si 8 t1 , t2 , X(t1 ) y Y(t2 ) son independientes ´ X(t) e Y(t) estan ´ incorreladas si 8 t1 , t2 , X(t1 ) y Incorrelacion: ´ incorreladas Y(t2 ) estan ´ de correlacion ´ cruzada Funcion RX,Y (t1 , t2 ) = E[X(t1 ) · Y(t2 )] En general. RX,Y (t1 , t2 ) = RY,X (t2 , t1 ). Estacionariedad conjunta: X(t) e Y(t) son conjuntamente estacionarios si I I. Ambos son individualmente estacionarios RX,Y (t1 , t2 ) = RX,Y (⌧ ), con ⌧ = t1 t2 F. ´ alternativa: RX,Y (t + ⌧, t) = RX,Y (⌧ ) Notacion c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Procesos Aleatorios 61 / 88. Procesos aleatorios en el dominio de la frecuencia ˜ Espectro de una de las senales del proceso aleatorio Z 1 xi (t) = X(t, i ) ! Xi (j!) = T F{xi (t)} = xi (t) · e j!t · dt 1. I. ˜ No todas las senales tienen definida una transformada de Fourier. ´ de senales ˜ ´ T Definicion truncadas de duracion ⇢ xi (t), |t| < T/2 [T] xi (t) = 0, en otro caso. ˜ Las senales truncadas s´ı tienen definida la transformada n o Z 1 [T] [T] [T] Xi (j!) = T F xi (t) = xi (t) · e j!t · dt = c Marcelino L´azaro, 2014. Z. 1. T 2. T 2. xi (t) · e. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. j!t. · dt. Procesos Aleatorios 62 / 88.

(32) Densidad espectral de potencia ´ T Proceso aleatorio truncado de duracion [T]. ˜ X [T] (t): Proceso cuyas senales son X [T] (t, i ) = xi (t) (truncadas). Proceso aleatorio truncado en el dominio de la frecuencia [T]. [T]. ˜ X [T] (j!): Proceso cuyas senales son las TF de xi (t), i.e., Xi (j!). Densidad espectral de potencia de X(t) ". X [T] (j!) SX (j!) = E l´ım T!1 T def. 2. #. = l´ım. h. E X (j!). T!1. [T]. T. 2. i. ´ del comportamiento medio del modulo ´ Representacion al cuadrado de la tranformada de ˜ Fourier de todas las senales que componen el proceso aleatorio (con el “truco” de truncar ˜ para asegurar la existencia de dicha transformada de Fourier para todas las senales, y llevando la longitud de truncado al l´ımite) ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. Procesos Aleatorios 63 / 88. Teorema de Wiener-Khinchin Si para cualquier valor finito ⌧ y cualquier intervalo A, de ´ del proceso aleatorio cumple longitud |⌧ |, la autocorrelacion Z RX (t + ⌧, t)dt < 1 A. la densidad espectral de potencia de X(t) es la transformada de ´ de autocorrelacion ´ Fourier del promedio temporal de la funcion SX (j!) = T F{< RX (t + ⌧, t) >} ´ de autocorrelacion ´ siendo el promedio temporal de la funcion 1 < RX (t + ⌧, t) > = l´ım T!1 T def. c Marcelino L´azaro, 2014. Z. T/2 T/2. RX (t + ⌧, t) dt. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Procesos Aleatorios 64 / 88.

(33) Teorema de Wiener-Khinchin - Corolarios Corolario 1: Si X(t) es un proceso estacionario y ⌧ · RX (⌧ ) < 1 para todo ⌧ < 1, entonces SX (j!) = T F[RX (⌧ )] Corolario 2: Si X(t) es ciclostacionario y se cumple que Z To RX (t + ⌧, t) · dt < 1 0. entonces donde. eX (⌧ )] SX (j!) = T F[R. eX (⌧ ) = 1 R To. Z. To. RX (t + ⌧, t) · dt. y To es el per´ıodo del proceso cicloestacionario c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Procesos Aleatorios 65 / 88. Potencia de un proceso aleatorio En el dominio de la frecuencia Z 1 1 PX = SX (j!) d! 2⇡ 1 En el dominio del tiempo I. Proceso estacionario PX = RX (0). I. Proceso cicloestacionario ˜ X (0) PX = R. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Procesos Aleatorios 66 / 88.

(34) Procesos aleatorios estacionarios y sistemas lineales X(t) -. h(t). Y(t) -. ´ de Teorema: X(t) es estacionario, de media mX y funcion ´ RX (⌧ ). El proceso pasa a traves ´ de un sistema autocorrelacion lineal e invariante con respuesta al impulso h(t). En este caso, los procesos de entrada y salida, X(t) e Y(t), son conjuntamente estacionarios, siendo Z 1 mY = mX h(t) · dt 1. RY (⌧ ) = RX (⌧ ) ⇤ h(⌧ ) ⇤ h( ⌧ ) RX,Y (⌧ ) = RX (⌧ ) ⇤ h( ⌧ ). ´ se puede comprobar que Ademas,. RY (⌧ ) = RX,Y (⌧ ) ⇤ h(⌧ ) ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. Procesos Aleatorios 67 / 88. Media del proceso de salida Se parte de que Y(t) = Por tanto mY (t) = E Z = Z =. Z. 1 1. Z 1. 1 1. X(s) · h(t. 1. s) · ds. X(s) · h(t. s) · ds. E[X(s)] · h(t. s) · ds. 1. mX · h(t s) · ds Z 1 u=t s = mX h(u) · du 1. 1. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Procesos Aleatorios 68 / 88.

(35) ´ cruzada RX,Y (⌧ ) Correlacion. RX,Y (t1 , t2 ) = E[X(t1 ) · Y(t2 )]  Z 1 = E X(t1 ) X(s) · h(t2 s) · ds 1 Z 1 = E[X(t1 ) · X(s)] · h(t2 s) · ds 1 Z 1 = RX (t1 s) · h(t2 s) · ds 1 Z 1 u=s t2 = RX (t1 t2 u) · h( u) · du 1 Z 1 = RX (⌧ u) · h( u) · du 1. = RX (⌧ ) ⇤ h( ⌧ ). c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Procesos Aleatorios 69 / 88. ´ de salida RY (⌧ ) Correlacion RY (t1 , t2 ) = E[Y(t1 ) · Y(t2 )] ✓Z 1 ◆ =E X(s) · h(t1 s) · ds · Y(t2 ) Z 1 1 = E[X(s) · Y(t2 )] · h(t1 s) · ds 1 Z 1 = RXY (s t2 ) · h(t1 s) · ds 1 Z 1 u=s t2 = RX,Y (u) · h(t1 t2 u) · du 1 Z 1 = RX,Y (u) · h(⌧ u) · du 1. = RX,Y (⌧ ) ⇤ h(⌧ ). = RX (⌧ ) ⇤ h( ⌧ ) ⇤ h(⌧ ) c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Procesos Aleatorios 70 / 88.

(36) Relaciones en el dominio frecuencial Media del proceso de salida mY = mX · H(0) Densidad espectral del proceso de salida SY (j!) = SX (j!) · |H(j!)|2 Densidades espectrales cruzadas def. SX,Y (j!) = T F[RX,Y (⌧ )] SX,Y (j!) = SX (j!) · H ⇤ (j!). ⇤ SY,X (j!) = SX,Y (j!) = SX (j!) · H(j!). ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. Procesos Aleatorios 71 / 88. Relaciones entre densidades espectrales de potencia X(t) -. SX (j!). c Marcelino L´azaro, 2014. h(t). Y(t) -. -. H ⇤ (j!). SX,Y (j!)-. -. H(j!). SY,X (j!)-. -. |H(j!)|2. SY (j!) -. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Procesos Aleatorios 72 / 88.

(37) Procesos aleatorios discretos ´ X[n] Notacion: Promedios estad´ısticos I I. Media: mX [n] = E [X[n]] ´ RX [n + k, n] = E [X[n + k] · X[n]] Autocorrelacion:. Estacionariedad: I I I. Estad´ısticos independientes del ´ındice temporal n Media: mX [n] = mX ´ RX [n + k, n] = RX [k] Autocorrelacion:. Cicloestacionariedad: I I I. ´ Estad´ısticos periodicos de per´ıodo N Media: mX [n + N] = mX [n] ´ RX [n + k + N, n + N] = RX [n + k, n] Autocorrelacion:. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Procesos Aleatorios Discretos 73 / 88. Procesos aleatorios discretos - Espectro y potencia Densidad espectral de potencia I. Procesos estacionarios SX (ej! ) = T F {RX [k]}. I. Procesos cicloestacionarios N X1 1 ˜ X [k] = R RX [n + k, n] N. j!. ˜ X [k] , SX (e ) = T F R I. n=0. Potencia PX =. 1 2⇡. Z. ⇡. SX (ej! ) d! =. ⇡. c Marcelino L´azaro, 2014. (. RX [0], ˜ X [0], R. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. X[n] estacionario X[n] cicloestacionario. Procesos Aleatorios Discretos 74 / 88.

(38) Procesos aleatorios discretos - Sistemas lineales Media del proceso de salida X mY = mX · h[n] = mX · H(0) n. ´ del proceso de salida Autocorrelacion. RY [k] = RX [k] ⇤ h[k] ⇤ h[ k] Densidad espectral de potencia del proceso de salida SY (ej! ) = SX (ej! ) · H(ej! ). 2. Estad´ısticos cruzados RX,Y [k] = RX [k] ⇤ h[ k] SX,Y (ej! ) = SX (ej! ) · H ⇤ (ej! ) c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Procesos Aleatorios Discretos 75 / 88. Suma de procesos aleatorios X(t) e Y(t) son conjuntamente estacionarios Proceso suma: Z(t) = X(t) + Y(t) I. Media del proceso. mZ (t) = E[Z(t)] = E[X(t) + Y(t)] = E[X(t)] + E[Y(t)] = mX + mY = mZ I. ´ de autocorrelacion ´ Funcion RZ (t + ⌧, t) =E[Z(t + ⌧ ) · Z(t)]. =E[(X(t + ⌧ ) + Y(t + ⌧ )) · (X(t) + Y(t))] =E[X(t + ⌧ ) · X(t)] + E[X(t + ⌧ ) · Y(t)]. + E[Y(t + ⌧ ) · X(t)] + E[Y(t + ⌧ ) · Y(t)]. =RX (⌧ ) + RX,Y (⌧ ) + RY,X (⌧ ) + RY (⌧ ). =RX (⌧ ) + RY (⌧ ) + RX,Y (⌧ ) + RY,X (⌧ ) = RZ (⌧ ). Proceso aleatorio Z(t) es estacionario Densidad espectral de potencia F. I. SZ (j!) =SX (j!) + SY (j!) + SX,Y (j!) + SY,X (j!) =SX (j!) + SY (j!) + 2 · Re[SX,Y (j!)] c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ´ Ruido termico 76 / 88.

(39) Suma de procesos aleatorios - Incorrelados ´ (covarianza / correlacion) ´ para procesos Relacion conjuntamente estacionarios Cov(X(t + ⌧ ), Y(t)) =E[(X(t + ⌧ ). mX ) · (Y(t). mY )]. = E[X(t + ⌧ ) · Y(t)] mY · E[X(t + ⌧ )] | {z } | {z } RX,Y (⌧ ). mX. mX · E[Y(t)] +mX · mY | {z } mY. =RX,Y (⌧ ). Procesos incorrelados:. mX · mY. ´ : Cov(X(t + ⌧ ), Y(t)) = 0, 8⌧ Por definicion. Consecuencia : RX,Y (⌧ ) = mX · mY I. Si al menos uno de los procesos (incorrelados) tiene media nula RZ (⌧ ) = RX (⌧ ) + RY (⌧ ) SZ (j!) = SX (j!) + SY (j!) F. ˜ y ruido: incorrelacion, ´ ruido con media nula Caso habitual de suma de senal ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Ruido termico 77 / 88. Proceso gausiano ´ X(t) es un proceso gausiano si para todo n y Definicion: todo {t1 , t2 , · · · , tn }, las variables aleatorias {X(ti )}ni=1 tienen ´ conjuntamente gausiana una distribucion Propiedades de los procesos gausianos I. ´ estad´ıstica mX (t) y RX (t1 , t2 ), proporcionan una descripcion completa del proceso F. I. I. I. Permiten calcular vector de medias y matriz de covarianzas - Para X(ti ), ) µi = mX (ti ) - X(ti ), X(tj ), ) Ci,j =Cov(X(ti ),X(tj ))=RX (ti , tj ) mX (ti ) · mX (tj ). Para procesos gausianos, estacionariedad en sentido estricto y en sentido amplio son equivalentes Si X(t) pasa por un sistema lineal e invariante, el proceso de salida, Y(t) es gausiano Para X(t) gausiano, estacionario y de media nula, una ´ suficiente para la ergodicidad de X(t) es condicion Z 1 |RX (⌧ )| d⌧ < 1 c Marcelino L´azaro, 2014. 1. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ´ Ruido termico 78 / 88.

(40) Procesos aleatorios conjuntamente gausianos ´ Los procesos X(t) e Y(t) son conjuntamente Definicion: gausianos, si para todo n, m, y todo {t1 , t2 , · · · , tn } y {⌧1 , ⌧2 , · · · , ⌧m }, las variables aleatorias X(t1 ), X(t2 ), · · · , X(tn ), Y(⌧1 ), Y(⌧2 ), · · · , Y(⌧m ), ´ conjuntamente gausiana (de tienen una distribucion ´ n + m) dimension Propiedad: Para procesos conjuntamente gausianos, ´ e independencia son equivalentes incorrelacion. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ´ Ruido termico 79 / 88. Proceso blanco Un proceso es blanco si su densidad espectral de potencia es constante para todas las frecuencias SX (j!) = C SX (j!) 6. C -. ! I. Consecuencias F. F. ´ de autocorrelacion ´ de un proceso blanco Funcion estacionario RX (⌧ ) = T F. 1. {C} = C · (⌧ ). La potencia de un proceso blanco es infinita Z 1 Z 1 1 1 PX = SX (j!) d! = C d! = 1 2⇡ 2⇡ 1 1 c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ´ Ruido termico 80 / 88.

(41) Filtrado de un proceso blanco Proceso X(t) blanco con SX (j!) = C se filtra (h(t) / H(j!)) Densidad espectral de potencia a la salida del filtro (Y(t)) SY (j!) = SX (j!) · |H(j!)|2 = C · |H(j!)|2 I. En general el proceso Y(t) no es blanco. ´ de autocorrelacion ´ Funcion RY (⌧ ) = RX (⌧ ) ⇤ h(⌧ ) ⇤ h( ⌧ ) = RX (⌧ ) ⇤ rh (⌧ ) = C · rh (⌧ ). Potencia del proceso. PY = RY (0) = C · rh (0) I. ´ rh (0) = E{h(t)} Como por definicion. PY = C · E{h(t)} ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Ruido termico 81 / 88. ´ Ruido termico ´ ´ ´ Densidad espectral de potencia del ruido termico (mecanica cuantica) Sn (j!) =. h! h!. 1) 8 h: Constante de Planck (6.6⇥10 34 Julios ⇥ segundo) > > < k: Constante de Boltzmann (1.38⇥10 23 Julios/o Kelvin) donde T: Temperatura en grados Kelvin > > : ´ (2⇡ veces la frecuencia) en rad/s !: Pulsacion 6Sn (j!). ..2............................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............ ............ 0,8 kT kT. 4⇡(e 2⇡kT. ................................................. ............................................2........6 kT. 2. 0,8 kT 2. 0,6 kT 2. 0,6 kT 2. 0,4 kT 2. 0,4 kT 2. 0,2 kT 2. 0,2 kT 2. -2000 -1500 -1000 -500 ! 0 500 (GHz) 2⇡. 1000 1500 2000 -200 -150 -100. Sn (j!). -50 ! 0 50 (GHz) 2⇡. 100. 150. 200. Estad´ıstica gausiana c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ´ Ruido termico 82 / 88.

(42) ´ Modelo de ruido termico Proceso aleatorio n(t) blanco, gausiano, estacionario, ´ ergodico I I. Media nula (mn = 0) ´ de autocorrelacion ´ Funcion. N0 · (⌧ ) 2 Densidad espectral de potencia N0 Sn (j!) = 2 Rn (⌧ ) =. I. Sn (j!) 6. N0 /2 -. !. Valor de la constante N0 N0 = k · T a Watt/Hz. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ´ Ruido termico 83 / 88. ´ Potencia de ruido termico a la salida de filtros ideales Filtros ideales de ancho de banda B Hz (o W = 2⇡B rad/s): filtro paso bajo o filtro paso banda con frecuencia central fc Hz (o !c = 2⇡fc rad/s) |H(j!)| 1 6 -W ! Filtro Paso Bajo. |H(j!)| 61. Filtro Paso Banda. !c. -. W. !. Proceso de salida de los filtros. Proceso Z(t) con SZ (j!) = Potencia de la salida de los filtros Z 1 Z 1 N0 1 PZ = Sz (j!) d! = · 2⇡ 1 2 2⇡ | c Marcelino L´azaro, 2014. N0 · |H(j!)|2 2. 1. |H(j!)|2 d! = N0 · B 1 {z }. E{h(t)}=2B. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ´ Ruido termico 84 / 88.

(43) ´ Potencia de ruido termico en filtros ideales con ganancia Filtros ideales (paso bajo/paso banda) de ancho de banda B Hz (o W = 2⇡B rad/s) p y con ganancia en potencia G (ganancia en voltaje G) p. |H(j!)| G6. |H(j!)| p 6 G. -W ! Filtro Paso Bajo. Filtro Paso Banda. !c. -. W. !. Proceso de salida de los filtros. Proceso Z(t) con SZ (j!) = Potencia de la salida de los filtros Z 1 Z 1 N0 1 PZ = Sz (j!) d! = · 2⇡ 1 2 2⇡ | c Marcelino L´azaro, 2014. N0 · |H(j!)|2 2. 1. |H(j!)|2 d! = N0 · B · G 1 {z }. E{h(t)}=2BG. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ´ Ruido termico 85 / 88. Ancho de banda equivalente de ruido Salida de un sistema lineal (respuesta h(t), H(j!)) N0 Proceso Z(t) con SZ (j!) = · |H(j!)|2 2 Potencia de ruido a la salida de un sistema lineal Z 1 Z 1 1 N0 1 PZ = SZ (j!) d! = · |H(j!)|2 d! 2⇡ 1 2 2⇡ 1 | {z } E{h(t)}. ´ del ancho de banda Potencia de ruido en funcion equivalente de ruido PZ = N0 · Beq · Geq I I. Beq : Ancho de banda equivalente de ruido Geq : Ganancia en potencia equivalente 2 Geq = Hmax , con Hmax = m´ax |H(j!)| !. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ´ Ruido termico 86 / 88.

(44) ´ Ancho de banda equivalente de ruido - Identificacion ´ del valor de Beq Identificacion Beq = E{h(t)} =. Z. 1. E{h(t)} 2 · Geq. 1 |h(t)|2 dt = 2⇡ 1. Z. 1 1. |H(j!)|2 d!. ´ Un sistema lineal ideal, de ancho de banda Beq y Interpretacion: p amplitud Hmax ( Geq ) tiene la misma potencia de ruido a la salida que el filtro h(t). |H(j!)| 6 .........Hmax . . . . .... ... .. .. ... . . .... . . . .... . . ...... . . . . ................ ................... 2⇡ · Beq. c Marcelino L´azaro, 2014. -. !. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ´ Ruido termico 87 / 88. ´ senal ˜ a ruido (a la salida de un filtro) Relacion ˜ a la entrada del filtro: Proceso X(t), potencia PX Senal ´ Ruido a la entrada del filtro: modelo de ruido termico n(t) Filtro (normalmente en el receptor): respuestas h(t) y H(j!) ˜ a la salida del filtro receptor: Proceso Y(t) Senal Ruido a la salida del filtro receptor: Proceso Z(t) ´ senal ˜ a ruido Relacion PY PY S S = , (dB) = 10 log10 N PZ N PZ Z 1 Z 1 1 1 I Pot. senal: ˜ PY = SY (j!) d! = SX (j!) · |H(j!)|2 d! 2⇡ 2⇡ 1Z 1 Z 1 1 1 N0 1 I Potencia ruido: P = SZ (j!) d! = · |H(j!)|2 d! Z 2⇡ 2 2⇡ 1 1 F Filtros ideales (sin ganancia | con ganancia) F. PZ = N0 · B. PZ = N0 · B · G. Filtro con ancho de banda equivalente Beq y ganancia Geq PZ = N0 · Beq · Geq c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ´ Ruido termico 88 / 88.

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