Polinomios Ortogonales de Jacobi Sobolev

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(1)POLINOMIOS ORTOGONALES DE JACOBI-SOBOLEV. NICK DANIEL RIOS GARCÍA Cod:20042167052. UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN PROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS BOGOTÁ, D.C. JUNIO DE 2016.

(2) ii POLINOMIOS ORTOGONALES DE JACOBI-SOBOLEV. NICK DANIEL RIOS GARCÍA Cod:20042167052. TRABAJO DE GRADO PRESENTADO COMO REQUISITO PARCIAL PARA OPTAR AL TÍTULO DE: MATEMÁTICO. DIRECTOR: D.R. ORIOL MORA. UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN PROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS BOGOTÁ, D.C. JUNIO DE 2016.

(3) AGRADECIMIENTOS Agradezco al Dr. Oriol Mora, por la paciencia en la dirección, asesorı́a y gran colaboración en el desarrollo de este trabajo. También, agradezco al profesor Luis Alejandro Masmela por su asesorı́a en el diseño y la estructura de este escrito. Agradezco a mi familia por su apoyo y colaboración para el desarrollo de la carrera, al proyecto curricular de matemáticas y a los compañeros del grupo de trabajo de Polinomios ortogonales por su colaboración en el estudio y realización de este trabajo.. i.

(4) Índice general INTRODUCCIÓN. 2. 1. PRELIMINARES 1.1. FUNCIÓN GAMMA . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. FUNCIÓN BETA . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. FACTORIAL DE POCHHAMMER . . . . . . 1.4. FUNCIÓN HIPERGEOMÉTRICA . . . . . . . 1.4.1. Ecuación diferencial hipergeométrica . . 1.5. MATRICES Y OPERADORES DE HANKEL 1.6. PRODUCTOS INTERNOS ESTÁNDAR Y DE. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 3 3 4 4 5 6 7 7. 2. POLINOMIOS ORTOGONALES Y POLINOMIOS DE JACOBI 2.1. FUNCIONALES DE MOMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. POLINOMIOS ORTOGONALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. POLINOMIOS ORTOGONALES CLÁSICOS . . . . . . . . . . . . . . 2.4. POLINOMIOS ORTOGONALES DE JACOBI . . . . . . . . . . . . . 2.5. PROPIEDADES DE LOS POLINOMIOS DE JACOBI . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 9 9 10 15 16 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TIPO SOBOLEV. . . . . . . .. 3. POLINOMIOS DE JACOBI-SOBOLEV. 24. CONCLUSIONES. 26. CONSIDERACIONES. 27. ii.

(5) Lista de Tablas 2.1. Ecuación diferencial hipergeométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Fórmula de Rodrigues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 15 16.

(6) INTRODUCCIÓN Este trabajo consiste en hacer un estudio de la teorı́a básica para comprender las tres primeras secciones del artı́culo ”Polinomios ortogonales de Jacobi-Sobolev ”. Dicho artı́culo inicia mostrando algunos resultados de la teorı́a de los polinomios clásicos de Jacobi; después partiendo de un producto interno de tipo Sobolev y utilizando los resultados de los polinomios clásicos de Jacobi obtiene una fórmula para los polinomios de Jacobi-Sobolev en términos de los polinomios clásicos de Jacobi y de sus primeras y segundas derivadas con lo que se deduce su propiedad de simetrı́a. Una de las formas de introducir la Teorı́a de Polinomios Ortogonales es a partir de la Teorı́a de Aproximación. El problema de aproximación que nos conduce a la teorı́a de los polinomios ortogonales es llamado aproximación por mı́nimos cuadrados. Para construir la mejor aproximación en un subespacio de dimensión finita, es de gran interés disponer de una base ortonormal, o por lo menos ortogonal, de dicho subespacio. Para ello se hace necesario un algoritmo para construir bases ortogonales en un subespacio. A partir de una base cualquiera de un espacio prehilbertiano, el conocido procedimiento de Gram-Schmidt permite obtener una base ortogonal. Para una mejor comprensión de los polinomios ortogonales de Jacobi- Sobolev tratados en el artı́culo nos proponemos: Hacer una pequeña sı́ntesis teórica de los polinomios ortogonales clásicos, haciendo un énfasis en los polinomios de Jacobi. Utilizar la sı́ntesis teórica para la comprensión de las tres primeras secciones del artı́culo y tratar de realizar una reconstrucción de los conceptos tratados en estas secciones. Las sı́ntesis teóricas se escogieron de la bibliografı́a propuesta en el artı́culo y la disponible por medios fı́sicos y virtuales. Entre las sı́ntesis teóricas que se lograron establecer tenemos: Un resumen de la teorı́a de funciones especiales, teorı́a general de los polinomios ortogonales y un estudio particular de los polinomios de Jacobi. Este trabajo está organizado en tres capı́tulos; En el capı́tulo uno se definen algunas funciones especiales las cuales serán de gran ayuda para la demostración de algunas propiedades de los polinomios ortogonales, ademas definimos los productos internos estándar y de Sobolev. Después en el capı́tulo dos estudiaremos la teorı́a de los polinomios ortogonales e interpretamos los polinomio ortogonales Clásicos; haciendo un énfasis en los polinomios de Jacobi y algunas de sus propiedades las cuales nos darán expresiones para la representación de los polinomios de Jacobi-Sobolev. Por último en el capı́tulo tres, partiendo de un producto de tipo Sobolev se muestra una representación para los polinomios de Jacobi. Los cuales llamaremos polinomios ortogonales de tipo Jacobi -Sobolev. Finalmente conclusiones y bibliografı́a.. 2.

(7) Capı́tulo 1. PRELIMINARES En este capı́tulo presentaremos las definiciones de algunas funciones especiales y algunas de sus propiedades, las cuales nos serán de ayuda para la demostración de propiedades de los polinomios ortogonales. Si se preten de hJacer un estudio de estas funciones especiales se puede consultar en [8].. 1.1.. FUNCIÓN GAMMA. La función Gamma denotada por Γ(x), emplea la integral para generalizar la función factorial de los números enteros no negativos a otros valores reales. Algunas maneras de definir la función Gamma para cualquier real positivpo es: Definición 1.1.1 Definición clásica: Z ∞ Γ(x) = tx−1 e−t dt,. x > 0.. (1.1). 0. Definición de Gauss: n!nx . x→∞ x(x + 1)(x + 2)...(x + n). Γ(x) = lı́m Definición de Weierstrass:. ∞ Y x 1 = xeγx e−x/n 1 + Γ(x) n n=1. donde γ es la constante de Euler, la cual está dada por γ = lı́m (Hn − ln n), x→∞. donde Hn = 1 +. 1 1 1 + + ... + 2 3 n. Y γ ≈ 0.57721566 Una de las propiedades más importantes de la función Gamma es la fórmula de recurrencia: Γ(x + 1) = xΓ(x),. x > 0,. la cual se obtiene al aplicar integración por partes en la definición dada.. 3. (1.2).

(8) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 4. A partir de la fórmula de recurrencia se puede deducir las siguiente propiedad: Dado n un entero no negativo, Γ(n + 1) = n!.. (1.3). La función Gamma satisface Γ(x)Γ(1 − x) =. π . sen(πx). Definición 1.1.2 : Dados n, k números enteros no negativos entonces: Γ(n + 1) n = . k Γ(k + 1)Γ(n − k + 1). 1.2.. (1.4). FUNCIÓN BETA. La función Beta denotada por B(x, y) es otra función especial que utilizaremos en este trabajo y esta definida de la siguiente manera. Definición 1.2.1 : Se define la función Beta por; Z B(x, y) =. 1. tx−1 (1 − t)y−1 dt,. x, y > 0.. 0. La función Gamma y la función Beta están relacionadas mediante la fórmula: B(x, y) =. Γ(x)Γ(y) , Γ(x + y). x, y > 0.. Con esta relación se puede demostrar que B(x, y) = B(y, x). 1.3.. FACTORIAL DE POCHHAMMER. Definición 1.3.1 : Si a es un número complejo y n ≥ 0,n ∈ Z se   1 a (a)n =  a(a + 1)(a + 2)...(a + n − 1). define si n = 0 si n = 1 si n ≥ 2.. Nótese que (a)k = a(a + 1)(a + 2) · · · (a + k − 1) =. Γ(a + k) . Γ(a).

(9) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 1.4.. 5. FUNCIÓN HIPERGEOMÉTRICA. Una de las funciones especiales que utilizaremos en este trabajo es la función hipergeométrica, que tiene la propiedad especial que su derivada también es una función hipergeométrica definida de la siguiente forma.Para una mejor comprensión de esta función ver [8](Cap 4). Definición 1.4.1 : Sea F (a, b; c; z) definida por: F (a, b; c; z) = 1 +. ∞ X (a)n (b)n z n , (c)n n! n=1. (1.5). donde c ni es cero ni es un número negativo y (a)n representa el factorial de Pochhammer. Es de nuestro interés estudiar sus propiedades, ası́ como la ecuación diferencial que satisface. Desde lı́m. n→∞. (a)n+1 (b)n+1 z n+1 (c)n n! · (c)n+1 (n + 1)! (a)n (b)n z n lı́m. n→∞. (a + n)(b + n)z = |z| , (c + n)(n + 1). siempre y cuando ninguno de los términos a, b, c sea cero o un entero negativo, la serie en (1.5) tiene el cı́rculo |z| < 1 como su cı́rculo de convergencia. Si a o b es cero o un entero negativo, la serie termina. En el lı́mite |z| = 1 de la región de convergencia, una condición suficiente para la convergencia absoluta de la serie es Re(c − a − b) > 0. Para probar esto, sea δ=. 1 Re(c − a − b) > 0, 2. y comparemos los términos de la serie 1+. ∞ X (a)n (b)n z n (c)n n! n=1. con sus correspondientes términos de la serie ∞ X n=1. 1 n1+δ. ,. conocida por ser convergente. Ya que |z| = 1 y lı́m. n→∞. = lı́m. n→∞. n1+δ (a)n (b)n , (c)n (n)!. (b)n (n − 1)!nc (n − 1)!n1+δ (a)n · · · , a b (n − 1)!n (n − 1)!n (c)n n!nc−a−b =. 1 Γ(c) 1 1 · · lı́m = 0, Γ(a) Γ(b) 1 n→∞ nc−a−b−δ. Porque Re(c − a − b − δ) = 2δ − δ > 0, la serie en [1.5] es absolutamente convergente en |z| = 1 cuando Re(c − a − b) > 0. Una variación leve de la notación F (a, b; c; z) se utiliza a menudo; es   a, b; z , F (a, b; c; z) = F  c.

(10) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 6. que a veces es más conveniente para la imprensión y que tiene la ventaja de mostrar los parámetros del numerador a y b por encima del parámetro c del denominador, por lo que es fácil de recordar las funciones respectivas de a, b, y c. La serie   ∞ a, b; X (a)n (b)n z n z = F , (1.6) (c)n n! n=0 c es llamada la serie hipergeométrica. El caso especial a = c, b = 1 produce la serie geométrica elemental P ∞ n n=0 z ; de ahı́ el término hipergeométrica. La función en (1.5) o eun (1.6) se denomina correspondientemente la función hipergeométrica. Aunque Euler obtuvo muchas propiedades de la función F (a, b, c, z), le debemos mucho de nuestro conocimiento del tema al estudio más sistemático y detallado hecho por Gauss.. 1.4.1.. Ecuación diferencial hipergeométrica. El operador θ = z. d dz. . , es utilizado en la derivación de la w = F (a, b; c; z) =. ∞ X (a)n (b)n z n . (c)n n! n=0. (1.7). De [1.7] obtenemos w(θ + c − 1)w =. ∞ X n(n + c − 1)(a)n (b)n z n (c)n n! n=0. w(θ + c − 1)w =. ∞ X. (a)n (b)n z n , (c)n−1 (n − 1)! n=1. Cambiando el orden de los subı́ndices w(θ + c − 1)w. =. P∞. = z. n=0. P∞. (a)n+1 (b)n+1 z n+1 (c)n n!. n=0. (a+n)(b+n)(a)n (b)n z n+1 (c)n n!. = z(θ + a)(θ + b)w. Esto muestra que w = F (a, b; c; z) es solución de la ecuación diferencial [θ(θ + c − 1) − z(θ + a)(θ + b)]w = 0.. θ=z. d . dz. (1.8). La ecuación (1.8) se pone fácilmente en la forma z(1 − z)w00 + [c − (a + b + 1)z]w0 − abw = 0, mediante el empleo de las sustituciones θw = zw0 y θ(θ − 1)w = z 2 w00 .. (1.9).

(11) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 1.5.. 7. MATRICES Y OPERADORES DE HANKEL. Una matriz de Hankel es una matriz cuadrada con todas sus diagonales de derecha a izquierda constantes. Definición 1.5.1 : Una matriz de Hankel presenta  a1 a2    a2 a3     a3 a4 H=    a4 a5     a5 a6. la siguiente estructura:  a3 a4 a5   a4 a5 a6     a5 a6 a7     a6 a7 a8     a7 a8 a9 . es decir una matriz de la forma H = {ai.j : ai,j = ai−1,j+1 } . Un operador de Hankel en un espacio de Hilbert es aquél cuya matriz respecto a una base ortogonal es una matriz de Hankel infinita.. 1.6.. PRODUCTOS INTERNOS ESTÁNDAR Y DE TIPO SOBOLEV. Sea φ(x) un polinomio y L un funcional de momentos definido positivo. Entonces L admite la siguiente representación integral(ver [4],[9]): Z L[φ(x)] =. φ(x)dσ(x), R. donde σ es una medida positiva no trivial, cuyo conjcapı́tulos; En el capı́tulo unto soporte es un conjunto infinito de los puntos R. Si L es definido positivo y se define: hp(x), q(x)i = L[p(x), q(x)],. (1.10). para dos polinomios cualesquiera p(x) y q(x), entonces (1.10) define un producto interno sobre el espacio vectorial P de todos los polinomios con coeficientes reales. Si {Pn (x)}n≥0 es una SPO para L, entonces: hPn (x), Pm (x)i = L[Pn (x)Pm (x)] =. 0 si m 6= n an 6= 0 si m = n.. Definición 1.6.1 : Un productos interno definido sobre P, se denomina tipo Sobolev si es de la forma: hp(x), q(x)i = =. Pj hp(x), q(x)iσ + i=o λj p(i) (ξ)q (i) (ξ) R Pj , p(x)q(x)dσ(x) + i=o λj p(i) (ξ)q (i) (ξ) E. (1.11). . donde E ⊆ R, j ∈ N, ξ ∈ R, λj ∈ R+ y σ es una medida positiva. La familia de polinomios asociados al producto interno (1.11) se denominan polinomios ortogonales tipo Sobolev o polinomios permutados, al producto interno hp(x), q(x)iσ se le denomina estándar y a la familia de polinomios asociados al producto interno hp(x), q(x)iσ se le denomina polinomios originales. En [1], [5]se han realizado estudios de casos particulares acerca de lClásicos; haciendo un énfasis en los.

(12) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 8. polinomios de Jacobi y algunas de sus propiedades las cuales nos darán expresiones para la representación de los polinomios de Jacobi-Sobolev. Por último en el capı́tulo tres, partiendo de un producto de tipo Sobolev se muestra una representación para los polinomios de Jacobi. Los cuales llamaremos polinomios ortogonales respecto a (1.11), donde se analizan propiedades asintóticas, algebraicas, etc. de tipo Jacobi -Sobolev. Finalmente conclusiones y bibliografı́a..

(13) Capı́tulo 2. POLINOMIOS ORTOGONALES Y POLINOMIOS DE JACOBI En esté capı́tulo presentamos las definiciones y propiedades más relevantes de los polinomios ortogonales en una variable; las cuales servirán como una herramienta fundamental en la construcción de los polinomios ortogonales de Jacobi-Sobolev. Además se dan a conocer los polinomios ortogonales Clásicos, en particular los polinomios de Jacobi. Las definiciones y demostraciones de los teoremas se pueden consultar en [4]. 2.1.. FUNCIONALES DE MOMENTOS. Las siguientes definiciones están dirigidas a definir de una manera más comprensible una sucesión de polinomios ortogonales. Definición 2.1.1 : Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K. Una aplicación T de V en W es una transformación lineal si para todo par de vectores u, v ∈ V y para todo escalar k ∈ K, se satisface: 1. T (u + v) = T (u) + T (v). 2. T (ku) = kT (u). Definición 2.1.2 : Un funcional lineal es una transformación lineal de un espacio vectorial sobre su campo de escalares Definición 2.1.3 : Sean {µn }n≥0 una sucesión de números reales y L un funcional lineal en el espacio P de los polinomios de coeficientes reales, tal que: L[xn ] = µn ,. n = 0, 1, 2, .... (2.1). L se denomina un funcional de momentos asociado a la sucesión de momentos {µn }n≥0 . Además, el número µn se denomina momento de orden n del funcional lineal L. Si n X φ(x) = ck x k ,. (2.2). k=0. es un polinomio con coeficientes reales, entonces L [φ(x)] =. n X k=0. 9. ck µk .. (2.3).

(14) CAPÍTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES Y POLINOMIOS DE JACOBI. 10. Definición 2.1.4 : Un funcional de momentos L se denomina cuasi-definido o regular si y solo si ∆n 6= 0 para n ≥ 0, donde ∆n = det(Hn ) es el determinante de la submatriz principal de Hankel de tamaño n + 1. n. ∆n = det (µi+j )i,j=0 =. 2.2.. µ0 µ1 µ2 .. .. µ1 µ2 µ3 .. .. µ2 µ3 µ4 .. .. ··· ··· ··· .. .. µn µn+1 µn+2 .. .. µn. µn+1. µn+2. ···. µ2n. (2.4). POLINOMIOS ORTOGONALES. Definición 2.2.1 : Una sucesión de polinomios {Pn (x)}n≥0 se denomina sucesión de polinomios ortogonales (SPO) respecto al funcional de momentos L, si para cualquier par de números naturales n y m se cumple:. El grado de Pn (x)es n, L[Pn(x) Pm (x)] = Rn δm,n ,. Rn 6= 0,. (2.5). donde δm,n es la función delta de Kronocker definida por: 0 si m 6= n δm,n = 1 si m = n. Si {Pn (x)}n≥0 es una SPO respecto a un funcional de momentos L y además L[Pn (x)Pn (x)] = L[Pn2 (x)] = 1 para todo n ≥ 0, entonces se dice que {Pn (x)}n≥0 es una sucesión de polinomios ortonormales. Siempre que se tenga una SPO {Pn (x)}n≥0 , ésta se puede normalizar y obtener una sucesión de polinomios ortonormales multiplicando por una constante adecuada para cada polinomio de la SPO, ası́: Qn (x) = L[Pn2 (x)]. − 21. · Pn (x),. (2.6). donde {Qn (x)}n≥0 es la sucesión de polinomios ortonormales correspondientes a la SPO {Pn (x)}n≥0 . Si el coeficiente principal de cada Pn (x) es 1, se dice que {Pn (x)}n≥0 es una sucesión de polinomios ortogonales mónicos (SPOM ). Siempre que se tenga una SPO existe un correspondiente SPOM, basta con multiplicar cada polinomio por el inverso de su coeficiente principal, ası́: Pen (x) = kn−1 Pn (x).. (2.7). El siguiente teorema (Teorema 2.2.1) nos muestra que para verificar si una sucesión de polinomios {Pn (x)}n≥0 es una SPO, no se necesita verificar las dos condiciones de la definición original de SPO con todos los Pn (x) de la sucesión; essuficiente mirar la ortogonalidad de cada polinomio Pn (x) de la sucesión con respecto a los monomios 1, x, x2 , x3 , ..., xn ..

(15) CAPÍTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES Y POLINOMIOS DE JACOBI. 11. Teorema 2.2.1 Dado L un funcional de momentos y {Pn (x)}n≥0 una sucesión de polinomios. Las siguientes proposiciones son equivalentes: 1. {Pn (x)}n≥0 es una SPO con respecto a L, 2. Dado φ(x) un polinomio cualquiera de grado m, . 0 si m < n an 6= 0 si m = n,. L[φ(x)Pn (x)] =. (2.8). 3. L[xm Pn (x)] = Rn δmn , Rn 6= 0, m = 0, 1, 2, ..., n. El Teorema 2.2.2 determina que cualquier SPO es una base para el espacio P de los polinomios con coeficientes reales. Teorema 2.2.2 Sea {Pn (x)}n≥0 una SPO respecto a L. Entonces para todo polinomio φ(x) de grado n, φn esta dado por: φ(x) =. n X. ck Pk (x).. (2.9). k=0. donde ck =. L[φ(x)Pk (x)] , L[Pk2 (x)]. k = 0, 1, 2, 3, ..., n.. (2.10). Un funcional de momentos tiene asociado una única sucesión de polinomios ortogonales salvo la multiplicación por una sucesión de constantes diferentes de cero. Teorema 2.2.3 Salvo producto por constantes una SPO {Pn (x)}n≥0 es única. Es decir, dada una SPO {Pn (x)}n≥0 respecto a L, si {Qn (x)}n≥0 es también una SPO respecto a L, entonces existe cn 6= 0 tal que: Qn (x) = cn Pn (x),. n = 0, 1, 2, 3, .... (2.11). El n-ésimo termino de una sucesión de polinomios ortogonales mónicos se puede expresar por medio de su anterior y posterior termino mediante la expresión: Teorema 2.2.4 . (Relación de recurrencia a tres términos) Sea L un funcional de momentos cuasidefinido y {Pn (x)}n≥0 la correspondiente SPOM. Entonces existen sucesiones de números reales {an }n≥0 y {bn }n≥0 , tales que: 1. bn 6= 0 para cada n ∈ N. (2.12). 2. Pn+1 (x) = (x − an )Pn (x) − bn Pn−1 (x),. n = 0, 1, 2, ...,. (2.13). 3. con P−1 (x) = 0, P0 (x) = 1. Además, cada elemento de las sucesiones {an }n≥0 y {bn }n≥0 está dado por: an =. L[xPn2 (x)] , L[Pn2 (x)]. bn =. 2 L[Pn+1 (x)] . L[Pn2 (x)]. (2.14).

(16) CAPÍTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES Y POLINOMIOS DE JACOBI. 12. Demostración Por teorema 2.2.2 se tiene que {Pn (x)}n≥0 es una base de P (x) entonces xPn (x) =. n+1 X. bi,n Pi (x), n ≥ 0,. (2.15). i=0. donde los bi,n son números reales y bn+1,n = 1(ya que tanto xPn (x) como Pn+1 (x) son mónicos). Para n = 0, 1, 2.4 se puede demostrar fácilmente, ası́ que suponemos que n ≥ 2. Multiplicamos ambos lados de la ecuación(2.15) por Pk (x), donde 0 ≤ k ≤ n − 2, tenemos que xPk (x)Pn (x) =. n+1 X. bi,n Pi (x)Pk (x), n ≥ 0.. (2.16). i=0. También xPk (x) =. k+1 X. bi,k Pi (x), n ≥ 0,. i=0. ası́ que L[xPk (x)Pn (x)] =. k+1 X. bi,k L[Pi (x)Pn (x)], 0 ≤ k ≤ n − 2.. i=0. Como k ≤ n − 2, tenemos, para i ≤ k + 1, que i ≤ n − 1 < n. Por (2.5), L[xPk (x)Pn (x)] = 0, A su vez (2.5) y (2.12) implican que L[xPk (x)Pn (x)] = bk,n λk , y, como λk 6= 0, que bk,n = 0, 0 ≤ k ≤ n − 2. Entonces xPn (x) = Pn+1 (x) + bn,n Pn (x) + bn−1,n Pn−1 (x), n ≥ 0, lo cual implica (2.9) con bn,n = an , bn−1,n = bn . Ahora si n ≥ 1 xPn−1 (x)Pn (x) = Pn2 (x) + an−1 Pn−1 (x)Pn (x) + bn−1 Pn−2 (x). Por tanto L[xPn−1 (x)Pn (x)] = L[Pn2 (x)], y multiplicando por Pn−1 (x) ambos miembros de (2.9), llegamos a que 2 L[Pn2 (x)] = bn L[Pn−1 (x)]. 2 Como para n ≥ 1, L[Pn2 (x)] y L[Pn−1 (x)] son no nulos, la validez de (2.8) queda establecida.. Si {Pn (x)}n≥0 es una SPO no mónica, denotando Pn (x) = kn Pen (x), donde Pen (x) es mónico, entonces {Pn (x)}n≥0 satisface la relación de recurrencia de la forma: Pn+1 (x) = (An x − Bn )Pn (x) − Cn Pn−1 (x),. n = 0, 1, 2, ...,. (2.17).

(17) CAPÍTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES Y POLINOMIOS DE JACOBI. 13. con An = kn−1 kn+1 ,. Bn = an+1 kn−1 kn+1 ,. Cn = bn+1 kn−1 kn+1 , n ≥ 0, n o donde k−1 = 1, y an , bn están dados por el Teorema 2.2.4 en términos de Pen (x) . Para determinar condiciones de existencia de una SPO, tomamos la matriz de Hankel que esta definida mediante:   µ0 µ1 µ2 ··· µn ···  µ1 µ2 µ3 · · · µn+1 · · ·     µ2 µ µ · · · µn+2 · · ·  3 4   . . .. .. .. .. (2.18) H=  .. . . . . ···     µn µn+1 µn+2 · · · µ2n · · ·    .. .. .. .. .. . . . . ··· . El siguiente teorema determina condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una SPO {Pn (x)}n≥0 respecto a un funcional de momentos L asociado a {µn }n≥0 . Teorema 2.2.5 Una condición necesaria y suficiente para la existencia de una SPO con respecto a un funcional de momentos L asociado a {µn }n≥0 es que L sea regular. Demostración Supongamos que ∆n 6= 0. Sean P0 (x) = 1 y. Pn (x) =. µ0 µ1 µ2 .. .. µ1 µ2 µ3 .. .. µ2 µ3 µ4 .. .. ··· ··· ··· .. .. µn µn+1 µn+2 .. .. µn−1 1. µn x. µn+12 x2. ··· ···. µ2n−1 xn. 1 ∆n−1. .. Si m ≤≤ n. m. L[x Pn (x)] =. µ0 µ1 µ2 .. .. 1 ∆n−1. µ1 µ2 µ3 .. .. µ2 µ3 µ4 .. .. ··· ··· ··· .. .. µn−1 µn µn+1 ··· L(xm ) L(xm+1 ) L(xm+2 ) · · ·. µn µn+1 µn+2 .. .. ,. (2.19). µ2n−1 L(xm+n ). Como la fila [L(xm ), L(xm+1 ), L(xm+2 ), · · · , L(xm+n )] = [µm , µm+1 , µm+2 , · · · , µm+n ] es una de las anteriores del determinante en (2.19) si m < n, es claro que L(xm Pn (x)) = 0. Por otra parte, si m = n entonces usando nuevamente (2.19) , llegamos a que m. L[x Pn ] = L[Pn2 (x)] =. ∆n 6= 0 ∆n−1. (2.20). y la condición es suficiente. Veamos que es necesaria. Supongamos entonces que L es regular y sea {Pn (x)}n≥0 una SPOM con respecto a L. Demostraremos que si ∆n está dado por (2.4) entonces ∆n 6= 0 para n ≥ 0. Razonemos por inducción. Para n = 0, ∆0 = µ0 = L(1) = 1. Supongamos entonces que la afirmación es válida para n = k o sea, que ∆k 6= 0. Sea.

(18) CAPÍTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES Y POLINOMIOS DE JACOBI. P (x) =. 1 ∆k. µ0 µ1 µ2 .. .. µ1 µ2 µ3 .. .. µ2 µ3 µ4 .. .. ··· ··· ··· .. .. µk µk+1 µk+2 .. .. µk+1 µk+2 µk+3 .. .. µk 1. µk+1 x. µk+2 x2. ··· ···. µ2k xk. µ2k+1 xk+1. 14. Ası́ que P (x) es un polinomio mónico de grado k + 1, y por lo tanto P (x) = Pk+1 (x) + ak Pk (x) + ... + a0 P0 (x), ai ∈ R. (2.21). Ahora , si m < k + 1, tenemos como antes, que L(xm P (x)) = 0. Por lo tanto, para m < k + 1, L(Pm (x)P (x)) = 0, ası́ que multiplicamos sucesivamente ambos lados de (2.19) por Pm (x), m = 0, 1, 2, ..., k, y aplicamos L, llegamos a que am = 0 para m = 0, 1, 2, ..., k, ası́ que, P (x) = Pk+1 (x). Finalmente, de 2 L(xk+1 Pk+1 (x)) = L(Pk+1 (x)),. obtenemos que. de donde resulta ∆k+1. ∆k+1 2 = L(Pk+1 (x)), ∆k 6 0. Esto demuestra el teorema. =. Teorema 2.2.6 . Sea {Pn (x)}n≥0 una SPO respecto a L. Entonces para todo polinomio φn (x) de grado n: L[φn (x)Pn (x)] = an L[xn Pn (x)] =. an kn ∆n , ∆n−1. ∆−1 = 1,. (2.22). donde an denota el coeficiente principal de φn (x) y kn denota el coeficiente principal de Pn (x). Un funcional de momentos L se denomina definido positivo si L[φ(x)] > 0 para todo polinomio φ(x) que no es idénticamente cero y es no negativo para todo real x. Dado S ⊂ R un funcional de momentos L se denomina definido positivo sobre S si y solo si L[φ(x)] > 0 para todo polinomio φ(x) que no es idénticamente cero sobre S y no es negativo sobre S. El conjunto S se denomina un conjunto soporte para L Teorema 2.2.7 . (Teorema de Favard) Sean {an }n≥0 y {bn }n≥0 sucesiones de números reales y {Pn (x)}n≥0 una sucesión de polinomios dada por: Pn+1 (x) = (x − an )Pn (x) − bn Pn−1 (x),. n = 0, 1, 2, ...,. con P−1 (x) = 0,. P0 (x) = 1.. Entonces existe un único funcional de momentos L tal que: L[1] = b0 ,. L[Pn (x)Pm (x)] = 0, para n 6= m,. n, m ∈ N.. L es cuasi-definido y {Pn (x)}n≥0 es la correspondiente SPOM si y sólo si bn 6= 0. Además, L es definido positivo si sólo si bn > 0 para n ≥ 1..

(19) CAPÍTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES Y POLINOMIOS DE JACOBI. 15. Teorema 2.2.8 . (La fórmula de Christoffel-Darboux) Sea {Pn (x)}n≥0 la SPOM correspondiente al funcional de momentos L. Entonces para n ∈ N: Kn (x, y) =. n X Pk (x)Pk (y) 2. k=0. kPk k. =. Pn+1 (x)Pn (y) − Pn (x)Pn+1 (y) 2. kPk k (x − y). (2.23). donde Kn denota el n-ésimo polinomio núcleo. Se emplea la siguiente notación para las derivadas parciales de Kn (x, y): ∂ i+j (Kn (x, y)) = Kn(i,j) (x, y). ∂ i (x)∂ j (y). 2.3.. POLINOMIOS ORTOGONALES CLÁSICOS. En esta sección definiremos los polinomios ortogonales clásicos mediante dos tipos de definiciones, las cuales se pueden probar que son equivalentes. También mostraremos algunos de los polinomios clásicos mas utilizados en la matemática, ası́, como su representación mediante estas dos definiciones. Definición 2.3.1 Una SPO {Pn (x)}n≥0 se denomina clásica, si cada polinomio de la sucesión es solución polinómica de una ecuación diferencial de segundo orden de tipo: π(x)y 00 (x) + τ (x)y 0 (x) + λn y(x) = 0,. (2.24). donde π(x) es un polinomio de grado a lo sumo 2, τ (x) es un polinomio de grado 1 y λn representa un número real. Definición 2.3.2 Una SPO {Pn (x)}n≥0 se denomina clásica, si cada polinomio de la sucesión puede ser generado por una fórmula que contiene derivadas de orden n del tipo: dn n [ρ (x)ω(x)], n = 0, 1, 2, ..., (2.25) dxn donde ρ(x) es un polinomio independiente de n, de grado a lo sumo 2 y ω(x) es una función positiva e integrable sobre un conjunto (a, b), la cual se denomina función peso. Pn (x) = [Kn ω(x)]−1. La ecuación (2.24) se denomina ecuación diferencial hipergeométrica, ya que satisface la Propiedad de hipergeométricidad que consiste en que sus soluciones y sus n-ésimas derivadas y (n) cumplen la ecuación del mismo tipo. Por tal razón los polinomios clásicos también se les denomina polinomios hipergeométricos. La ecuación diferencial hipergeométrica clasifica a los polinomios ortogonales clásicos en tres familias en función del grado del polinomio π(x). Cuando π(x) es un polinomio de grado 2, los polinomios correspondientes se denominan polinomios de Jacobi Pnα,β (x), cuando π(x) es de grado 1, polinomios de Leguerre Lα n (x) y cuando π(x) es de grado 0 polinomios de Hermite Hn (x). La siguiente tabla muestra los parámetros de la ecuación diferencial hipergeométrica para las sucesiones de polinomios ortogonales mónico clásicos.. π(x) τ (x) λn (x). Pnα,β (x) (1 − x)(1 + x) −(α + β + 2)x + β − α n(n + α + β + 1). Lα n x −x + α + 1 n. Hn (x) 1 −2x 2n. Tabla 2.1: Ecuación diferencial hipergeométrica.. La ecuación (2.25) se denomina fórmula de Rodrigues, donde para los polinomios de Jacobi, Leguerre y Hermite se tiene:.

(20) CAPÍTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES Y POLINOMIOS DE JACOBI. Kn ρ(x) ω(x) (a, b). Pnα,β (x) (−2)n n! (1 − x)(1 + x) (1 − x)α (1 + x)β (−1, 1). Lα n (x) n! xn xα e−x (0, ∞). 16. Hn (x) (−1)n 1 e−2x (−∞, ∞). Tabla 2.2: Fórmula de Rodrigues.. Además, para las familias de polinomio clásicos se cumple: dk n [ρ (x)ω(x)] = 0, dxk. 0 ≤ k < n,. (2.26). donde x = a y x = b.. 2.4.. POLINOMIOS ORTOGONALES DE JACOBI. Definición 2.4.1 Los polinomio de Jacobi Pnα,β (x) están definidos mediante la fórmula de Rodrigues por : Pnα,β (x) = (−2)−n (n!)−1 (1 − x)−α (1 + x)−β. dn (1 − x)n+α (1 + x)n+β , n dx. (2.27). donde α, β son parámetros mayores que −1. Dependiendo de los valores de α y β, existen tipos de polinomios de Jacobi que merecen especial atención. A continuación los más importantes: Cuando α = β = − 12 (Polinomios de Chebyshev de primera especie). Cuando α = β = Cuando α =. 1 2. 1 2. (Polinomios de Chebyshev de segunda especie).. y β = − 12 (Polinomios de Chebyshev de tercera especie).. Cuando α = − 12 y β =. 1 2. (Polinomios de Chebyshev de cuarta especie).. Cuando α = β = 0 (Polinomios de Legendre). Cuando α = β (Polinomios ultraesféricos o Polinomios de Gegenbauer). La ecuación diferencial hipergeométrica que satisfacen los polinomios ortogonales de Jacobi es: (1 − x2 )y 00 (x) + [−(2 + α + β)x − α + β]y 0 (x) + n(n + 1 + α + β)y(x) = 0.. 2.5.. (2.28). PROPIEDADES DE LOS POLINOMIOS DE JACOBI. A continuación mostraremos algunas de las propiedades mas importantes de los polinomios de Jacobi, las cuales utilizaremos para la representación de los polinomios de Jacobi-Sobolev. Estas propiedades y las de otros polinomios Clásicos e pueden estudiar en [6].. Teorema 2.5.1 Fórmula de simetrı́a La sucesión de polinomios ortogonales de Jacobi Pnα,β (x). n≥0. , satisface. Pnα,β (x) = (−1)Pnβ,α (−x),. (2.29).

(21) CAPÍTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES Y POLINOMIOS DE JACOBI. 17. Demostración Hipótesis de inducción: Supongamos que la propiedad de simetrı́a se cumple hasta n, es decir Pnα,β (x) = (−1)n Pnβ,α (−x).. (2.30). α,β β,α Pn+1 (x) = (−1)n+1 Pn+1 (−x).. (2.31). Ahora tenemos que demostrar que. Utilizando la formula de Rodrigues n+1 −n−1 (−2) d n+1+α n+1+β −α −β (1 − x) (1 + x) (1 − x) (1 + x) (n + 1)! dxn+1. α,β (x) = Pn+1. −n−1. −α. −β. P α,β (x) = (−2) (1 + x) · (n+1)! (1 − x) h n+1 i n+α n+1+β n+1+α n+β dn (−1)(n + 1 + α) (1 − x) (1 + x) + (n + 1 + β) (1 − x) (1 + x) n dx −n−1. −α. −β. P α,β (x) = (−2) (1 + x) · (n+1)! (1 − x) h n+1 i n+α n+β n+α n+β dn (−1)(n + 1 + α)(1 + x) (1 − x) (1 + x) + (n + 1 + β)(1 − x) (1 − x) (1 + x) dxn α,β Pn+1 (x) =. (−2)−n (−2)−1 (n)!(n+1). −α. −β. (1 − x) (1 + x) { h n h n ii n+α n+β n+α n+β d d (−1)(n + 1 + α) dx (1 + x) + (1 + x) dx (1 + x) n (1 + x) (1 − x) n (1 − x) h n ii h n n+α n+β n+α n+β d d (1 + x) + (1 − x) dx (1 + x) } +(n + 1 + β) dx n (1 − x) (1 − x) n (1 − x) α,β Pn+1 (x) =. (−2)−1 (n+1) (−2)−n (n)!. [(−1)(n + 1 + α)(1 + x) + (n + 1 + β)(1 − x)] h n i −α −β n+α n+β d (1 − x) (1 + x) (1 − x) (1 + x) dxn. −1. α,β Pn+1 (x) =. (−2) [(−1)(n + 1 + α)(1 + x) + (n + 1 + β)(1 − x)] Pnα,β (x). (n + 1). Utilizando la hipótesis de inducción −1. α,β Pn+1 (x) =. (−2) [(−1)(n + 1 + α)(1 + x) + (n + 1 + β)(1 − x)] (−1)n Pnβ,α (−x). (n + 1). Organizando términos tenemos α,β Pn+1 (x) =. α,β Pn+1 (x) =. (−2)−1 (n+1) [(−1)(n + 1 + α)(1 −n n −α (−1) (−2) (1 (n)! (1 + x). (−1). + x) + (n + 1 + β)(1 − x)] h n i −β n+α n+β d − x) (1 − x) dxn (1 + x). n+1 (−2)−1 (n+1). (−2)−n (n)!. [(n + 1 + α)(1 − (−x)) + (−1)(n + 1 + β)(1 + (−x))] h n i . −α −β n+α n+β d (1 − (−x)) (1 + (−x)) (1 − (−x)) (1 + (−x)) n dx. Entonces α,β Pn+1 (x) = (−1). n+1. β,α Pn+1 (−x),. lo que termina la demostración. El siguiente teorema muestra otra representación de los polinomio de Jacobi la cual nos facilitara la demostración de las demás propiedades:.

(22) CAPÍTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES Y POLINOMIOS DE JACOBI Teorema 2.5.2 . La sucesión de polinomios ortogonales de Jacobi Pnα,β (x) −n. Pnα,β (x). =2. n∈N. 18. , satisface:. n X n+α n+β k n−k (1 − x) (1 + x) n−k k. (2.32). k=0. . Demostración Recordemos la fórmula de Leibniz para la n-ésima derivada de un producto: (n). (f · g). n X n = f (n−k) g (k) (x) k k=0. Utilizando la definición de Rodrigues para un polinomio de Jacobi tenemos n. α. β. A = (−2) n! (1 − x) (1 + x) Pn(α,β) (x) =. i dn h n+α n+β (1 − x) (1 + x) . dxn. Aplicando la fórmula de Leibniz,tenemos h n i(n−k) h i(k) X n n+α n+β A= (x), (1 − x) (1 + x) k k=0. n+α. derivando n − k veces (1 − x) A=. n+β. y k veces (1 + x). tenemos. n X (α)n+1 n α+k (β)n+1 n+β−k (1 − x) (1 + x) . (−1)n−k k (α)k+1 (β)n−k+1. k=0. Utilizando propiedades de la función gamma tenemos n X Γ(β + n + 1) Γ(α + n + 1) n α+k n+β−k (−1)n−k (1 − x) (1 + x) , A= k Γ(α + k + 1) Γ(β + n − k + 1) k=0. A=. n X k=0. Γ(β + n + 1) Γ(n + 1) Γ(α + n + 1) α+k n+β−k (−1)n−k (1 − x) (1 + x) , Γ(k + 1)Γ(n − k + 1) Γ(α + k + 1) Γ(β + n − k + 1). A = n!. n X. n−k. . (−1). k=0. n+α n−k. . n+β k. . α−k. (1 − x). (1 + x). β+n−k. .. Empleando operaciones elementales y despejando tenemos Pnα,β (x). −n. =2. n X n+α n+β k n−k (x − 1) (x + 1) . n−k k. k=0. Este corolario muestra una representación del coeficiente principal en termino de combinatorias. Corolario 2.5.1 . El coeficiente principal de un polinomio de Jacobi de grado n, Pnα,β (x) es: −n. kn = 2. n X n+α n+β 2n + α + β −n =2 . k n−k n. k=0.

(23) CAPÍTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES Y POLINOMIOS DE JACOBI. 19. Demostración Es simple ver que el único término de la sumatoria que no se anula es el de k = 0, es decir. Pnα,β (x) = 2−n. . n+α n. . n. (x + 1) + 2−n. n X n+α n+β k n−k (x − 1) (x + 1) . n−k k. k=1. Evaluando en x = 1 tenemos Pnα,β (1). −n. =2. . . n+α n. . n. n+α n. (1 + 1) + 0 =. =. Γ(n + α + 1) . Γ(n + 1)Γ(α + 1). Esta es una expresión para el polinomio de Jacobi no mónico y mónico en el punto x = 1. Corolario 2.5.2 . 1.. . Pnα,β (1) =. . n+α n. 2. P̃nα,β (1) =. =. Γ(n + α + 1) . Γ(n + 1)Γ(α + 1). 2n (α + 1)n . (n + α + β + 1)n. Demostración Al dividir Pnα,β (1) en su coeficiente principal kn se obtiene la igualdad. Los polinomios de Jacobi mónicos y no mónicos se pueden expresar de la siguiente manera: Corolario 2.5.3 1. Pnα,β (−1). = (−1). . n. n+β n. 2. P̃nα,β (−1) =. . = (−1)n. Γ(n + β + 1) . Γ(n + 1)Γ(β + 1). (−1)n 2n (β + 1)n . (n + α + β + 1)n. Demostración 1. Se utiliza propiedad de simetrı́a en Pnα,β (1). (α,β). 2. Se utiliza propiedad de simetrı́a en P̆n. (1).. A continuación mostraremos el producto interno que cumplen los polinomios de Jacobi. Corolario 2.5.4 Los polinomios de Jacobi cumplen la siguiente relación de ortogonalidad: Z. 1. 2α+β+1 Γ(n + α + 1)Γ(n + β + 1) δmn , m, n ≥ 0, n!(2n + α + β + 1)Γ(n + α + β + 1). α,β Pm (x)Pnα,β (x)dσ(x) =. −1. (2.33). donde α. β. dσ(x) = w(x)dx = (1 − x) (1 + x) dx,. x ∈ [−1, 1],. α, β > −1.. Demostración Utilizando el Teorema 2.2.6, Z. 1. −1. α,β Pm (x)Pnα,β (x)dσ(x). Z. 1. =. −m. 2 −1. . 2m + α + β m. . α. β. xm (x)Pnα,β (x) (1 − x) (1 + x) dx.

(24) CAPÍTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES Y POLINOMIOS DE JACOBI. 1. Z. α,β Pm (x)Pnα,β (x)dσ(x). −1. 2−m = (−2)n n!. . 1. 2m + α + β m. Z. 2m + α + β m. Z. xm (x). −1. 20. i dn h n+α n+β (1 − x) (1 + x) dx dx, dxn. Integrando por partes y usando (2.26), 1. Z. α,β Pm (x)Pnα,β (x)dσ(x). −1. 2−m (−m) = (−2)n n!. . 1. xm−1 (x). −1. i dn−1 h n+α n+β (1 − x) (1 + x) dx dx, dxn−1. Asumiendo que 0 ≤ m ≤ n y repitiendo el procedimiento de integrar por partes m veces, 1. Z. α,β Pm (x)Pnα,β (x)dσ(x). −1. Z. 2−m (−1)m m! = (−2)n n!. 1 α,β Pm (x)Pnα,β (x)dσ(x). −1. (−1)m−n m! = (−2)n+m n!. . . 2m + α + β m. 2m + α + β m. 1. Z. −1. Z. 1. −1. i dn−m h n+α n+β (1 − x) (1 + x) dx dx, dxn−m. i dn−m h n+α n+β (1 − x) (1 + x) dx dx, dxn−m (2.34). consideremos dos casos: i. m < n. Integrando una vez más tenemos n−m−1 h Z 1 i1 (−1)m−n m! d 2m + α + β n+α n+β α,β α,β Pm (x)Pn (x)dσ(x) = (1 − x) (1 + x) dx , m (−2)n+m n! dxn−m−1 −1 −1 y aplicando (2.26) Z. 1 α,β Pm (x)Pnα,β (x)dσ(x) = 0,. m < n.. (2.35). −1. ii. m = n (2.34) se convierte en: Z 1 α,β Pm (x)Pnα,β (x)dσ(x) = −1. integrando Z. 1 α,β Pm (x)Pnα,β (x)dσ(x). −1. Z. 1 (−2)2n. . 2n + α + β n. 22n+α+β+1 = (−2)2n. . 1 α,β Pm (x)Pnα,β (x)dσ(x) = 2α+β+1. −1. De (2.35) y (2.36) se obtiene lo esperado: Z 1 α,β Pm (x)Pnα,β (x)dσ(x) = 2α+β+1 −1. Z. 1. h i n+α n+β (1 − x) (1 + x) dx dx,. −1. 2n + α + β n. . Γ(n + α + 1)Γ(n + β + 1) , Γ(2n + α + β + 2). Γ(n + α + 1)Γ(n + β + 1) . n!(2n + α + β + 1)Γ(n + α + β + 1). (2.36). Γ(n + α + 1)Γ(n + β + 1) δmn. n!(2n + α + β + 1)Γ(n + α + β + 1). Lo que termina la demostración. Ahora miraremos la el producto interno para los polinomios de Jacobi mónicos. Corolario 2.5.5 .Los polinomios mónicos de Jacobi Penα,β (x) cumplen la relación de ortogonalidad: Z 1 22n+α+β+1 n!Γ(n + α + 1)Γ(n + β + 1)Γ(n + α + β + 1) α,β Pm (x)Pnα,β (x)dσ(x) = δmn , m, n ≥ 0, Γ(2n + α + β + 1)Γ(2n + α + β + 2) −1.

(25) CAPÍTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES Y POLINOMIOS DE JACOBI Demostración Sabemos que Penα,β (x) = Z. Pnα,β (x) α,β kn. 21. y por linealidad de la integral tenemos. 1 α,β Pem (x)Penα,β (x)dσ(x) =. −1. Z. 1 α,β α,β km kn. 1 α,β Pm (x)Pnα,β (x)dσ(x).. −1. Por corolario 2.5.4 solo miramos la expresión para m = n es decir Z 1 Z 1 1 α,β α,β e e Pnα,β (x)Pnα,β (x)dσ(x), Pn (x)Pn (x)dσ(x) = α,β (kn )2 −1 −1 Z. 1. Penα,β (x)Penα,β (x)dσ(x) =. −1. 1 (knα,β )2. 2α+β+1. Γ(n + α + 1)Γ(n + β + 1) . n!(2n + α + β + 1)Γ(n + α + β + 1). Reemplazando knα,β quedarı́a 1. 2n (n!)2 (Γ(n + α + β + 1))2 α+β+1 Γ(n + α + 1)Γ(n + β + 1) Penα,β (x)Penα,β (x)dσ(x) = 2 , 2 (Γ(2n + α + β + 1)) n!(2n + α + β + 1)Γ(n + α + β + 1) −1. Z. simplificando obtenemos Z 1 22n+α+β+1 n!Γ(n + α + 1)Γ(n + β + 1)Γ(n + α + β + 1) . Penα,β (x)Penα,β (x)dσ(x) = Γ(2n + α + β + 1)Γ(2n + α + β + 2) −1 Lo que termina la demostración. Esta es una expresión para la derivada de un polinomio de Jacobi. Corolario 2.5.6 : dPnα,β (x) α+1,β+1 = Cn,α,β Pn−1 (x), dx. Cn,α,β =. 1 (n + α + β + 1). 2. Demostración α+1,β+1 El coeficiente principal de un polinomio de Jacobi de grado n − 1 y parámetros α + 1, β + 1,Pn−1 (x) es: 2(n − 1) + α + 1 + β + 1 2n + α + β −(n−1) −n+1 2 =2 . n−1 n−1 dP α,β (x). Además el coeficiente principal del polinomio de grado n − 1, ndx 2n + α + β 2−n n . n. es:. Por la propiedad de hipergeométricidad de los polinomios ortogonales de Jacobi, la sucesión también es una SPO y el polinomio. dPnα,β (x) dx. es de grado n − 1, por teorema (2.2.3). dPnα,β (x) α+1,β+1 (x), = Cn,α,β Pn−1 dx para alguna constante Cn,α,β . En particular, para el coeficiente principal de los dos polinomios se debe cumplir: 2n + α + β 2n + α + β −n −n+1 2 n = Cn,α,β 2 , n n−1. n. dPnα,β (x) dx. o n≥1.

(26) CAPÍTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES Y POLINOMIOS DE JACOBI. 22. despejando Cn,α,β , se obtiene Cn,α,β =. 1 (n + α + β + 1). 2. Por tanto, dPnα,β (x) 1 α+1,β+1 = (n + α + β + 1)Pn−1 (x). dx 2 Lo que termina la demostración. Definiremos la formula de Christoffel-Darboux la cual nos dará una expresión para los núcleos de los polinomios de Jacobi. FORMULA DE CHRISTOFFEL-DARBOUX. La fórmula de Christoffel-Darboux para un polinomio de Jacobi es: n−1 X. α,β. α,β. α,β α,β 1 Pnα,β (x)Pn−1 (y) − Pn−1 (x)Pnα,β (y) Pm (x)Pm (y) = , d2m x−y d2n−1 m=0. n = 1, 2, 3, .... (2.37). también denotaremos por Knα,β(p,q) (x, y). =. n α,β X Pm. (p). m=0. α,β (x) Pm d2m. (q). (y). =. δ p+q K α,β (x, y), δxp δy q n. (2.38). los núcleos de los polinomios de Jacobi, ası́ como sus derivadas con respecto a x e y, respectivamente. Mediante el uso de la propiedad de simetrı́a es sencillo demostrar las siguientes propiedades de simetrı́a para los núcleos Jacobi Knα,β (x, y) α,β(0,1) (x, y) Kn α,β(1,1) (x, y) Kn. = Knβ,α (−x, −y), β,α(0,1) (−x, −y), = −Kn β,α(1,1) (−x, −y). = Kn. (2.39) α,β(0,1). α,β En nuestro trabajo necesitamos las expresiones explı́citas de los núcleos Kn−1 (x, 1), Kn−1 (x, 1), α,β(0,1) α,β Kn−1 (x, −1) y Kn−1 (x, −1), respectivamente. Para obtener estos núcleos podemos utilizar la fórmula Christoffel-Darboux, la relación estructura, la relación de recurrencia de tres términos y la fórmula de diferenciación para los polinomios de Jacobi mónicos clásicos, respectivamente. En las fórmulas anteriores y en todo el trabajo utilizaremos la notación κα,β = (2n + α + β + 1)γnα,β n. Pnα,β (1) (1 + x)(Pnα,β )0 (x) − nPnα,β (x) , α,β 2 dn−1 kn Pnα,β (1) (1 + x)(Pnα,β )0 (x) − nPnα,β (x) − α,β d2n−1 kn . Pnα,β (1) (1 + β)(Pnα,β )0 (x) + (x + 1)(Pnα,β )00 (x) d2 kα,β (α+1). α,β Kn−1 (x, 1) =. α,β(0,1). Kn−1. (x, 1) =. n−1 n. A partir de las dos fórmulas anteriores y utilizando las propiedades de simetrı́a, encontramos. α,β (x, −1) Kn−1. α,β(0,1) Kn−1 (x, −1). = = +. Pnα,β (−1) (1 − x)(Pnα,β )0 (x) − nPnα,β (x) d2n−1 knα,β −. ,. (Pnα,β )0 (−1) (1 − x)(Pnα,β )0 (x) − nPnα,β (x). d2n−1 knα,β Pnα,β (−1) (1 − x)(Pnα,β )00 (x) − (α + 1)(Pnα,β )0 (x) d2n−1 knα,β (β + 1). .. (2.40). (2.41).

(27) CAPÍTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES Y POLINOMIOS DE JACOBI. 23. También son necesarios para realizar una expresión de los polinomios de Jacobi-Sobolev, los siguientes valores. =. (Pnα,β (1))2 n(n + β). (1, 1). =. (Pnα,β (1))0 Pnα,β (1)(n + β). α,β (1, −1) Kn−1. =. nPnα,β (−1)Pnα,β (1). =. (Pnα,β )0 (−1)Pnα,β (1)(1 − n). α,β Kn−1 (1, 1) α,β(0,1). Kn−1. α,β(0,1). Kn−1. (1, −1). α,β(1,1) Kn−1 (1, 1). =. α,β(1,1). =. Kn−1. (1, −1). d2n−1 knα,β (α + 1). ,. d2n−1 knα,β (α + 2)(n − 1) d2n−1 knα,β d2n−1 knα,β. ,. , ,. Pnα,β (1)(Pnα,β )0 (1)(n + β) (α + 2)(n2 + nα + nβ) − (α + 1)(α + β + 2) 2d2n−1 knα,β (α + 1)(α + 2)(α + 3)(n − 1)−1 Pnα,β (1)(Pnα,β )0 (−1)(1 − n) n2 + nα + nβ − α − β − 2 . 2d2n−1 knα,β (α + 1). ,.

(28) Capı́tulo 3. POLINOMIOS DE JACOBI-SOBOLEV En este capı́tulo trataremos de mostrar la definición, en términos de los núcleos y sus derivadas, de los Polinomios de Jacobi-Sobolev de una manera sencilla .Ver [3] Consideremos el producto interno en el espacio de los polinomios con coeficientes reales hp, qi = hp, qic + A1 p(1)q(1) + B1 p(−1)q(−1) + A2 p0 (1)q 0 (1) + B2 p0 (−1)q 0 (−1), donde hp, qic es el producto interno de Jacobi Z 1 hp, qic = p(x)q(x)(1 − x)α (1 + x)β dx. α > −1, β > −1,. (3.1). (3.2). −1. y A1 ,A2 ,B1 y B2 son reales no negativos. números 1 ,A2 ,B1 ,B2 (x) n la sucesión ortogonal de polinomios mónicos con respecto al Denotaremos por Qα,β,A n producto interno (3.1). Ellos serán llamados polinomios ortogonales de tipo Jacobi-Sobolev.Vamos ahora 1 ,A2 ,B1 ,B2 (x) en términos de los clásicos. a encontrar una representación explı́cita del polinomio Qα,β,A n Una representación de un polinomio de Jacobi-Sobolev en términos de los polinomios de Jacobi es: 1 ,A2 ,B1 ,B2 Qn ≡ Qα,β,A (x) = Pnα,β (x) + n. n−1 X. an,k Pkα,β (x),. (3.3). k=0. donde Pnα,β (x) es un polinomio de Jacobi mónico de grado n. Para encontrar los coeficientes an,k usaremos 1 ,A2 ,B1 ,B2 la ortogonalidad de los polinomios Qα,β,A (x) con respecto a h, i, es decir n D E 1 ,A2 ,B1 ,B2 Qα,β,A (x), Pkα,β (x) = 0 0 ≤ k < n. (3.4) n Por lo tanto, de acuerdo con (3.1) tenemos D E D E 1 ,A2 ,B1 ,B2 1 ,A2 ,B1 ,B2 Qα,β,A (x), Pkα,β (x) = Qα,β,A (x), Pkα,β (x) + n n c. 1 ,A2 ,B1 ,B2 1 ,A2 ,B1 ,B2 A1 Qα,β,A (1)Pkα,β (1) + B1 Qα,β,A (−1)Pkα,β (−1)+ n n 1 ,A2 ,B1 ,B2 0 1 ,A2 ,B1 ,B2 0 A2 (Qα,β,A ) (1)(Pkα,β )0 (1) + B2 (Qα,β,A ) (−1)(Pkα,β )0 (−1), n n. Utilizando (3.3) tenemos que D E D E 1 ,A2 ,B1 ,B2 Qα,β,A (x), Pkα,β (x) = an,k Pkα,β (x), Pkα,β (x) = an,k d2k , n. (3.5). (3.6). c. teniendo en cuenta (3.5) y despejando an,k tenemos an,k. =. 1 ,A2 ,B1 ,B2 1 ,A2 ,B1 ,B2 −(d2k )−1 A1 Qα,β,A (1)Pkα,β (1) − B1 Qα,β,A (−1)Pkα,β (−1)− n n α,β 0 2 −1 α,β,A1 ,A2 ,B1 ,B2 0 α,β,A1 ,A2 ,B1 ,B2 0 (dk ) A2 (Qn ) (1)(Pk ) (1) − B2 (Qn ) (−1)(Pkα,β )0 (−1),. 24. (3.7).

(29) CAPÍTULO 3. POLINOMIOS DE JACOBI-SOBOLEV. 25. para k < n. Finalmente la ecuación (3.3) quedarı́a α,β α,β 1 ,A2 ,B1 ,B2 1 ,A2 ,B1 ,B2 (x, −1)− (x, 1) − B1 Qα,β,A (−1)Kn−1 = Pnα,β (x) − A1 Qα,β,A (1)Kn−1 n n α,β(0,1) α,β(0,1) α,β,A1 ,A2 ,B1 ,B2 0 α,β,A1 ,A2 ,B1 ,B2 0 A2 (Qn ) (1)Kn−1 (x, 1) − B2 (Qn ) (−1)Kn−1 (x, −1), (3.8) Con el fin de encontrar las incógnitas 1 ,A2 ,B1 ,B2 Qα,β,A (x) n. 1 ,A2 ,B1 ,B2 Qnα,β,A1 ,A2 ,B1 ,B2 (1), Qα,β,A (−1), n 1 ,A2 ,B1 ,B2 0 1 ,A2 ,B1 ,B2 0 (Qα,β,A ) (1), (Qα,β,A ) (−1), n n. evaluamos la ecuación (3.8) y su derivada en x = 1 y x = −1. Esto conduce a un sistema lineal de ecuaciones e n = Qn , K ·Q. (3.9). donde K es la matriz de coeficientes del sistema definida por sus columnas k1 , k2 , k3 y k3   α,β α,β B1 Kn−1 (−1, 1) 1 + A1 Kn−1 (1, 1)  1 + B K α,β (−1, −1)  A K α,β (1, −1)     1 n−1 1 n−1 =  , k2 =  α,β(0,1) α,β(0,1)  B1 Kn−1  A1 Kn−1 (−1, 1) (1, 1)  α,β(0,1) α,β(0,1) B1 Kn−1 (−1, −1) A1 Kn−1 (1, −1)   α,β(0,1) α,β(0,1) A2 Kn−1 (1, 1) B2 Kn−1 (−1, 1)   α,β(0,1) α,β(0,1) A2 Kn−1 (1, −1)  (−1, −1)  B2 Kn−1  , k4 =  α,β(1,1) α,β(1,1)  1 + A2 Kn−1 (1, 1)  B2 Kn−1 (−1, 1) α,β(1,1) α,β(1,1) A2 Kn−1 (1, −1) 1 + B2 Kn−1 (−1, −1) . k1.    k3 =  . e n y Qn son los vectores columnas yQ  Qnα,β,A1 ,A2 ,B1 ,B2 (1) 1 ,A2 ,B1 ,B2  Qα,β,A (−1) n en =  Q 1 ,A2 ,B1 ,B2 0  (Qα,β,A ) (1) n 1 ,A2 ,B1 ,B2 0 (Qα,β,A ) (−1) n.    ,     , .  Pnα,β (1) α,β      Qn =  Pnα,β(−1)   (Pn )0 (1)  (Pnα,β )0 (−1) . . respectivamente. Vamos a denotar Kj (Qn ) la matriz obtenida sustituyendo la columna j en K por Qn . Utilizando la regla de Cramer el sistema (3.9) tiene una solución única si sólo si el determinante de K no se anula. Además, la solución está dada por detK2 (Qn ) detK1 (Qn ) 1 ,A2 ,B1 ,B2 , Qα,β,A (−1) = n detK detK detK3 (Qn ) detK3 (Qn ) α,β,A1 ,A2 ,B1 ,B2 0 α,β,A1 ,A2 ,B1 ,B2 0 (Qn , (Qn ) (1) = ) (−1) = detK detK 1 ,A2 ,B1 ,B2 Qα,β,A (1) = n. En este trabajo no se alcanzo a trabajar los cálculos explicitos. Para ver un calculo detallado de estas expresiones se sugiere ver [2]..

(30) CONCLUSIONES Realizamos la sı́ntesis teórica de los polinomios ortogonales clásicos y observamos que son una buena base ortogonal para funciones de P (x). Los polinomios de Jacobi tienen varias representaciones; utilizando su representación por medio de combinatorias se pueden demostrar sus propiedades, su relación de ortogonalidad y la representación de sus núcleos. Utilizando la sı́ntesis teórica reconstruimos las propiedades, que intervienen en la elaboración de un polinomio de Jacobi, que cumple un producto interno de tipo Sobolev. En la representación de los polinomios de Jacobi-Sobolev trabajada en el artı́culo intervienen muchas variables las cuales dificultan su cálculo.. 26.

(31) CONSIDERACIONES No se pudo realizar un estudio completo del articulo, ya que la teorı́a previa abarco gran parte de nuestro trabajo. Se puede señalar que un cálculo más explı́cito de los polinomios de Jacobi-Sobolev requiere de un trabajo más extenso y especializado.. 27.

(32) Bibliografı́a [1] Alfaro, M., Marcellán, F., Rezola, M., and Ronveaux, A. On orthogonal polynomials of sobolev type: algebraic properties and zeros. SIAM journal on mathematical analysis 23, 3 (1992), 737–757. [2] Alvarez-Nodarse, R., Arvesú, J., and Marcellán, F. koornwinder polynomials.. A generalization of the jacobi-. [3] Arvesú, J., Álvarez-Nodarse, R., Marcellán, F., and Pan, K. Jacobi-sobolev-type orthogonal polynomials: Second-order differential equation and zeros. Journal of computational and applied mathematics 90, 2 (1998). [4] Chihara, T. An introduction to orthogonal polynomials,(1978), gordon and breach. New York . [5] Duenas, H., Garcıa, J. C., Garza, L. E., and Ramırez, A. The diagonal general case of the laguerre-sobolev type orthogonal polynomials. Revista Colombiana de Matemáticas 47, 1 (2013), 39–66. [6] Gómez Blanco, W. M., et al. Comportamiento asintótico del núcleo asociado a polinomios ortogonales en varias variables. PhD thesis, Universidad Nacional de Colombia. [7] Lebedev, N. Special functions & their applications “dover publications. Inc., New York (1972). [8] Rainville, E. D. Special functions, vol. 442. New York, 1960. [9] Szegö, G. Orthogonal polynomials 4th edn (providence, ri: American mathematical society).. 28.

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