ANÁLISIS DE FÓRMULAS DE PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES EN
RELACIÓN CON LA INCIDENCIA DE LA VARIACIÓN DE LOS ELEMENTOS
LINEALES Y VICEVERSA.
Antes de entrar al análisis de fórmulas referente al perímetro, área y volumen de figuras geométricas, repasemos estos temas y efectuemos ejercicios pertinentes
Llamamos área o superficie a la medida de la región interior de un polígono. El perímetro
corresponde a la suma de los lados del polígono.
Figura Geométrica Perímetro y Área
Triángulo Cualquiera
p = a + b + c
2 · 2
·altura ch base
á= =
Triángulo Rectángulo
p = a + b + c
2 · 2
·cateto ab cateto
á= =
Triángulo Equilátero
p = 3a
4 3 2 a á= Cuadrado
p = 4a á = a2
Rectángulo
p = 2a + 2b á = lado · lado = a·b
Rombo
p = 4a
á = base · altura = b · h
2 · 2
·diagonal e f diagonal
á = =
Romboide
p = 2a + 2b á = a · h
Trapecio
p = a + b + c + d
2 )· ( 2
)· 2 1
(base base altura a c h
á= + = +
á = Mediana · altura = M · h
Trapezoide
p = a + b + c + d
Circunferencia
p = 2π ·r
Círculo
á = π ·r2
Sector Circular
360 2 2
2r AB r
π
rα
p= + = +
360 · 2
α
π
r á=
Áreas Sombreadas (achuradas)
Son una forma de aplicación del cálculo de áreas de diferentes figuras que están relacionadas entre sí. Para distinguir la parte que se debe calcular como resultado final se procede a sombrearla, es decir, se pinta o raya imitando texturas.
Suma de áreas:
Algunas veces, la parte achurada está formada por la unión de áreas de figuras, por lo tanto, hay que descomponerla, luego hacer el cálculo de cada parte, y finalmente, sumarlas para encontrar el área total.
Esta figura se descompone en medio círculo y un cuadrado. Primero, tendremos que calcular el área del círculo. Como AB = 4 cm, entonces OC, radio del semi círculo, mide 2 cm. y su área es
π r2 / 2 = 2π . Determinemos ahora el área del cuadrado, á = a2 = 42 = 16 cm2. Sumando ambas áreas nos dará el área total sombreada, o sea 2π + 16 = 2(π + 8)
Resta de áreas:
Este tipo de ejercicios es el más común y son las que tienen unas figuras dentro de otras. En estos casos, la solución se encuentra buscando la diferencia entre las figuras que forman el sector sombreado. Por ejemplo: ABCD rectángulo de lado AB = 12 cm.
El área del rectángulo es AB · BC, BC mide lo mismo que el radio de la semi circunferencia, por lo tanto el producto debe ser 12 cm · 6 cm = 72 cm2. Ahora calculemos el área del semi círculo, o sea
π r2 / 2, lo cual resulta 18π .
El área sombreada queda determinada por la resta entre el área mayor, que es la del rectángulo, y el área menor, que es el del semi círculo, o sea 72 - 18π = 18(4 - π ).
VOLUMEN
Cubo: Tiene 12 aristas. Área = 6a2
V = a3
a
c
b
Área: 2(ab + ac + bc)Volumen: a·b·c
Pirámide
V =
3 ·altura base
Cono: Se forma por la rotación de un triángulo rectángulo como lo indica la figura
V = π r2/3
Esfera Se forma por la rotación de una semicircunferencia como lo indica la figura
V = 3
3 4
rr
π
Hasta aquí todo corresponde a contenidos que se suponen vistos y aprendidos para enfrentar los siguientes ejercicios de la P.S.U.
1. Si el lado de un cuadrado aumenta al doble. ¿Qué ocurre con el área y su perímetro?
Consideremos un cuadrado de lado a, donde su perímetro es 4a y su área a2. Si su lado aumenta al doble, ahora medirá 2a.
Aplicando las fórmulas de perímetro y área de este nuevo cuadrado obtenemos que su perímetro es 8a y que su área es 4a2.
Por lo tanto, al comparar los perímetros, vemos que aumentó el doble (de 4a a 8a) y que el área aumentó 4 veces, o sea se cuadruplicó (de a2 a 4a2 )
2. ¿En cuánto aumenta el área de un rectángulo de lados 12 m. y 4 m. si se aumentan ambos lados en un 25%?
Lo primero es determinar el 25% de cada lado.
El 25% de 12 es 3. Por lo tanto uno de los lados del nuevo rectángulo medirá 15 cm. El 25% de 4 es 1. Por lo tanto el otro lado del nuevo rectángulo medirá 5 cm.
El área de este rectángulo será 15 cm · 5 cm., o sea 75 cm2.
Como el rectángulo original tenía área 12 cm · 4 cm = 48 cm2, significa que el área aumentó en 75-48 = 27 cm2.
3. Si la arista de un cubo mide 2 cm. y se aumenta en 1 cm. más, ¿en cuánto aumenta su área?, y ¿en cuánto aumenta su volumen?
El área de un cubo de arista a es 6a2 (6 caras cuadradas), entonces el área original del cubo es 6 · 22 = 24 cm2. Al aumentar en 1 cm. la arista obtenemos 6 · 32 = 54 cm2, por lo que se produjo un aumento de 54 – 24 = 30 cm2.
TRANSFORMACIONES ISOMETRICAS
Introducción: Sistema de Coordenadas
Un sistema coordenado bidimensional es un sistema en el cual un punto puede moverse en todas direcciones, manteniéndose siempre en un plano.
El sistema al que nos referiremos a continuación es el sistema de coordenadas rectangular u ortogonal. Este sistema está formado por dos rectas perpendiculares entre sí X’X e Y’Y llamadas ejes de coordenadas.
La recta X’X recibe el nombre de EJE X y la recta Y’Y recibe el nombre de EJE Y.
La intersección entre el Eje X y el Eje Y es un conjunto cuyo único elemento es un punto llamado origen del sistema cartesiano.
El origen del sistema divide a cada eje en dos semi-ejes:
(a)las
ABSCISAS ubicadas a la derecha del eje Y, respecto del origen, son positivas y las ubica-das a la izquierda son negativas.(b)las
ORDENADAS ubicadas hacia arriba del eje X, respecto del origen, son positivas y las ubicadas hacia abajo son negativas.Los ejes dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes, numerados según se muestra en la Figura 1.
Representación de puntos en el Plano
Todo punto P del plano, queda determinado por un par de números reales x e y que se llaman COORDENADAS del punto P, y se representan por el par de coordenadas (x,y).
Los puntos en el plano se designan por las letras mayúsculas: A, B, C, P etc.
Los puntos cuyas ordenadas son cero, están sobre el eje X o eje de las abscisas. Los puntos cuyas abscisas son cero, están sobre el eje Y o eje de las ordenadas.
Todo punto P en el plano, puede localizarse a través de coordenadas. Las coordenadas de P se obtienen trazando PA perpendicular al eje X y PB perpendicular al eje Y.
La longitud del segmento OA es la abscisa de P y se representa por x. La longitud del segmento OB es la ordenada de P y se representa por y.
Por lo tanto los números reales x e y son las coordenadas del punto P = (x,y).
Para ubicar el punto P cuyas coordenadas son (-4,-5), tomamos sobre OX’, de O hacia la
izquierda cuatro veces la unidad escogida, porque el 4 es negativo. Ahí bajamos una perpendicu-lar a OX’ y sobre ella bajamos cinco veces la unidad, porque el 5 es negativo.
Transformaciones
Embaldosados
Para este concepto en algunos libros se usa la palabra “TESELACIÓN” debido a la expresión en inglés “TESSELATION”. Según el diccionario enciclopédico “Grijalbo” Tesela es cada una de las pequeñas piezas cúbicas de mármol, piedra, etc, con que se hacían antiguamente los pavimentos de mosaico.
Los embaldosados o teselaciones se realizaron desde tiempos muy antiguos, sin embargo, su historia y su estudio en la matemática es reciente.
• Al unir las figuras se recubre completamente el plano
• La intersección de dos figuras sea vacía (sin huecos)
1. Teselación Regular
La Teselación regular es el cubrimiento del plano con polígonos regulares y congruentes. Son sólo tres los polígonos regulares que cubren (o embaldosan) el plano Euclideano: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.
Al observar estas partes del plano embaldosadas por cada uno de los polígonos regulares, distinguimos situaciones que conviene destacar.
Al embaldosar con cuadrados, estos se alinean perfectamente uno sobre otro,
en cambio los triángulos y los hexágono se ensamblan no alineados. También se observa que un hexágono regular lo forman seis triángulos equiláteros
simultáneamente.
Al cubrir el plano ocurre que en cada vértice del polígono regular, su ángulo interior debe ser divisor exacto de 360º, lo que ocurre
2. Teselación Semi-Regular
Una Teselación semi-regular es aquella que está formada por polígonos regulares de manera que la unión de ellos es idéntica en cada vértice Las siguientes ocho figuras, son las únicas
combinaciones de polígonos regulares que permiten embaldosar completamente el plano:
Existen otras combinaciones de polígonos regulares que aparentemente pueden cubrir el plano, pero sin embargo sólo logran cubrir el entorno del punto, es decir, no es posible extenderlas indefinidamente.
Los números que se encuentran en cada una de las figuras indican cuántos polígonos regulares de qué tipo son necesarios en cada caso, por ejemplo:
(3,3,3,3,6) significa que podemos crear una teselación semi-regular tomando como patrón base cuatro triángulos y un hexágono.
El embaldosado con Transformaciones Isométricas
La simple observación y análisis de embaldosados, nos permite comprobar que estos se construyen en base a transformaciones isométricas.
Traslación, Rotación y Simetría (Reflexión) son tres transformaciones isométricas mediante las cuales puede hacerse coincidir una figura consigo misma.
Ejemplos:
• Una persona subiendo (o bajando) por una escala mecánica.
• Un ascensor panorámico.
• Un automóvil desplazándose por un camino recto.
• Un avión al despegar y luego al adquirir velocidad de crucero.
Rotación: Isometría en que todos los puntos giran un ángulo constante con respecto a un punto fijo. El punto fijo se denomina centro de rotación y la cantidad de giro se denomina ángulo de rotación.
Estas palabras significan que todos los puntos de la figura son rotadas a través de círculos concéntricos en O y que ellos describen los mismos arcos (en medida angular) de estos círculos.
Ejemplos de rotación
• Un carrusel de niños
• Las ruedas de una bicicleta.
• Las aspas de un ventilador.
• Los punteros de un reloj análogo.
• Hélices de un avión o un helicóptero.
Algunos contextos en los que se ven o utilizan las simetrías:
- En la naturaleza: Un trébol, una estrella de mar. - En Arte: La obra “Límite circular IV” de Maurits Escher.
- En Física: El movimiento circular uniforme, velocidad angular, fuerzas centrípeta y centrífuga, la rotación planetaria.
Simetría
La idea de simetría es inherente a la percepción humana. Por lo tanto es apropiado recurrir a algunos naturales de simetría y de gran belleza.
En cada uno de los ejemplos anteriores se ve claramente que al trazar una recta en el centro de la figura, las partes formadas son indistinguibles en forma y tamaño, excepto por la posición que ocupan.
En base a las observaciones en los ejemplos anteriores, resulta natural descubrir que hay una transformación que lleva la parte izquierda de la figura a la parte derecha sin cambiar su forma ni sus dimensiones.
Observe la siguiente balanza en equilibrio. En este caso diremos que el conjunto de pesas F’ es el simétrico del conjunto F respecto del eje L o que el conjunto de pesas F es el simétrico del conjunto F’ respecto del mismo eje L.
Congruencia de dos figuras planas.
Se dice que dos figuras planas son congruentes si una de ellas puede ser convertida en la otra por medio de movimientos, tales como: rotación, traslación, simetría con respecto a una recta.
Ejemplo
La figura que se muestra a continuación en S es congruente con S’’, realizando los movimientos de simetría con respecto a una recta y una traslación de tal forma que éstas coincidan.
Ejemplo
La caricatura (teniendo en cuenta que se trata de figuras planas) que se muestra a continuación en F es congruente con la de F’’’ realizando los movimientos de rotación, simetría con respecto a una recta y traslación, de tal forma que las figuras coincidan.
Intuitivamente hablando, dos figuras geométricas son congruentes si ellas tienen el mismo tamaño y forma. Por ejemplo, en la figura que se encuentra a continuación, los tres triángulos son congruentes.
De acuerdo a lo descrito anteriormente se tiene que los triángulos ABC, DEF y GHI son congruentes.
Para describir la congruencia del primer triángulo y el tercero, debemos hacer corresponder los vértices de la siguiente forma:
A ↔ G ; B ↔ H ; C ↔ I Por lo tanto,
∆ ABC ≅ ∆ DEF ≅ ∆ GHI
Nota: El símbolo ≅ se utiliza para indicar congruencia entre figuras geométricas.
a. Segmentos congruentes
Son segmentos congruentes aquellos que tienen igual medida
[
m( ) ( )
AB =mCD]
. Si losCD
AB , son congruentes, entonces se escribe AB ≅CD .
b. Ángulos congruentes
Ángulos congruentes son aquellos que tienen igual medida m(∠ α ) = m(∠ β ). Si ∠ α y ∠ β son congruentes, entonces se escribe ∠ α ≅ ∠ β .
c. Triángulos congruentes
Dado que estos triángulos tienen lados respectivamente congruentes, que son:
DF AC EF BC DE
AB ≅ , ≅ , ≅ ; y que también tienen ángulos respectivamente congruentes, a saber: ∠CAB ≅ ∠FDE, ∠CBA ≅ ∠FED, ∠BCA ≅ ∠DFE. Entonces es posible afirmar: ∆ ABC
≅ ∆ DEF
Si dos o más triángulos son congruentes, sus lados y ángulos lo serán respectivamente, en el orden de las letras asignadas a sus vértices para nombrarlos, salvo que gráficamente se indique otra correspondencia.
La congruencia de polígonos puede estudiarse mediante la congruencia de triángulos.
Para que dos triángulos sean congruentes, es suficiente que sólo algunos lados y/o ángulos sean congruentes. Las condiciones requeridas para esto se conocen como criterios de congruencia y se expresan en los siguientes.
Criterio LAL (lado-ángulo-lado)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ángulo comprendido por ellos también congruente.
∆ ABC≅ ∆ DEF porque, AB ≅DE ; ∠ABC≅ ∠DEF y BC ≅EF
Criterio ALA (ángulo-lado-ángulo)
∆ GHI≅ ∆ JKL porque, ∠GHI≅ ∠JKL; HI ≅KL y ∠HIG≅ ∠KLJ
Criterio LLL (lado-lado-lado)
Dos triángulos son congruentes si tiene sus tres lados respectivamente congruentes.
∆ MNO≅ ∆ PQR porque, MN ≅PQ ; NO ≅QR y OM ≅RP
Criterio LLA (lado-lado-ángulo)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ángulo opuesto al lado de mayor medida, también congruente.
∆ ACE≅ ∆ BDF porque, MN ≅PQ ; MN ≅PQ y ∠CEA≅ ∠DFB
Observación: Cuando el ángulo congruente es el opuesto al lado de menor medida entre los que son congruentes, LLA no siempre determinan una congruencia.
SEMEJANZA DE FIGURAS PLANAS
Semejanza de triángulos
En la congruencia, los lados y los ángulos tienen la misma medida y, en la semejanza, las dos figuras tienen la misma forma, aunque no tengan necesariamente la misma medida o tamaño; sus ángulos correspondientes u homólogos deben ser congruentes y los segmentos correspondientes o lados homólogos deben guardar entre sí una relación proporcional.
¿Cuándo se puede afirmar que dos triángulos son semejantes? Para contestar esta pregunta es necesario que se cumplan las condiciones que se analizarán a continuación:
Obsérvense los siguientes triángulos: ¿serán semejantes?
Si se toma con un transportador la medida del ángulo M, se puede ver que es congruente con el ángulo P; de la misma forma, el ángulo N es igual a Q, y R a O, por lo que se puede establecer que:
<M = <P = 60°; <N = <Q = 40°; <O = R = 80°
Por otra parte, las medidas en milímetros de los lados opuestos a estos ángulos tienen una razón o constante de semejanza, esto es, el cociente de los lados opuestos a ángulos iguales es constante.
Gracias a los datos obtenidos puede afirmarse que los triángulos MNO y PQR son semejantes. El símbolo ~ indica semejanza entre dos figuras, por lo que se pueden representar como:
Con base en las características señaladas en el ejemplo anterior, se puede definir lo que es la semejanza entre triángulos.
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales uno a uno,
respectivamente; los lados opuestos a dichos ángulos son proporcionales
En los triángulos semejantes, los ángulos congruentes y los lados proporcionales reciben el nombre de homólogos.
Para determinar la semejanza entre dos triángulos existen tres criterios que son los siguientes:
Primer Criterio: Ángulo – Ángulo (AA)
Dos triángulos son semejantes si tienen dos de sus ángulos respectivamente iguales. Ejemplo:
Si se traslada la medida de DE al segmento AB desde el punto A, se encuentra el punto G. Desde ese punto se traza una paralela al segmento BC para encontrar en AC el punto H.
Los ángulos ABC y AGH son congruentes por ser correspondientes entre paralelas, con lo que se tiene que:
Por lo tanto
Como los tres ángulos del ABC son congruentes con los ángulos del DEF, por definición de semejanza
Por el teorema de Tales se sabe que una recta paralela a uno de sus lados determina segmentos proporcionales.
Por lo que:
Segundo Criterio: Lado - Ángulo- Lado ( LAL)
Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados son proporcionales respectivamente y congruente el ángulo que forman.
Ejemplo:
Trácese un triángulo semejante a éste con una constante de proporcionalidad de 1:3. Se toma la medida del ángulo M y se traza un ángulo igual con vértice en R.
Para encontrar la medida del segmento RS se establece la proporción
como se conoce la medida de MN (6cm), se sustituye ese valor
Para encontrar la medida del, se establece otra proporción.
Como el criterio LAL señala que, con dos lados proporcionales y siendo congruente el ángulo comprendido, se puede establecer la semejanza entre dos triángulos, entonces:
Tercer Criterio: Lado - Lado - Lado (LLL)
Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son respectivamente proporcionales. Ejemplo:
Dado el triángulo GHI, construir un triángulo JKL semejante a él, sabiendo que la razón de semejanza o constante de proporcionalidad es de 3:5
De acuerdo con el tercer criterio se afirma que:
Con las medidas de
se construye el triángulo JKL, el cual, de con el criterio 3 (LLL) de congruencia, es semejante al GHI.
TEOREMA DE THALES
El filósofo y matemático griego Tales de Mileto fue uno de los siete sabios más grandes de la antigüedad.
El teorema de Tales, llamado así en su memoria, es una parte fundamental en el estudio de la semejanza. A él se debe una de las numerosas aplicaciones que tiene la semejanza, que es la determinación de la distancia entre dos puntos inaccesibles entre sí; para ello se dice que calculó la altura de una de las pirámides de Egipto sin medirla directamente, basándose en la longitud de la sombra de su bastón; así logró realizar una brillante triangulación
El teorema de Tales afirma:
Si tres o más paralelas son cortadas por transversales, la razón entre las medidas de dos segmentos cualesquiera cortados por una transversal será igual a la razón de las medidas de los segmentos correspondientes de la otra, es decir, son proporcionales.
En la figura las medidas de los segmentos son las siguientes: OP = 2 cm; PQ = 2.5 cm; QR = 3 cm
OU = 3 cm; UV = 3.75 cm; V W = 4.5 cm
Al establecer proporciones con las medidas, se observa que:
es decir que las medidas de los segmentos correspondientes, son proporcionales.
al comprobar que los segmentos son proporcionales, se puede afirmar que las rectas NN' y PP' son paralelas. Así que:
Si una recta intersecta a dos lados de un triángulo, y los divide proporcionalmente, entonces la recta es paralela al tercer lado.
Como consecuencia del teorema de Tales, se puede enunciar el teorema fundamental de semejanza de triángulos.
Toda paralela a uno de los lados de un triángulo, divide a los otros dos en segmentos proporcionales, por lo que forman un triángulo semejante al primero.
Obsérvese el triángulo PQR, al trazar la recta TS paralela al lado RP se puede demostrar que:
por tener los lados proporcionales y los ángulos homólogos congruentes. RP // TS
El ángulo Q es común a los dos triángulos
Los triángulos PQR y SQT tienen ángulos congruentes. Además:
por el teorema de Tales
Pero en el paralelogramo STRV, RV = TS. Se puede sustituir:
así que los lados de los triángulos PQR y SQT son proporcionales Por lo tanto
porque sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados homólogos proporcionales.
CIRCUNFERENCIA
La circunferencia se define como la figura geométrica cuyo conjunto de puntos del plano que la componen, están a una misma distancia de un punto fijo, llamado centro de la circunferencia. Hay que diferenciarlo del círculo, que es el conjunto de todos los puntos del plano que están a menor distancia de un punto fijo. (centro)
Recta secante (1) que intercepta a la circunferencia en dos puntos.
Recta tangente (2) intercepta a la circunferencia en un solo punto, llamado punto de tangencia. Recta exterior (3) no tiene ningún punto de contacto con la circunferencia.
Elementos de la circunferencia:
Radio (AB): segmento que une al centro del círculo con un punto cualquiera de la circunferencia.
Cuerda (CD): segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
Diámetro (GH): segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro del círculo; se le considera como la cuerda de mayor tamaño que divide al círculo en dos partes congruentes
Arco (LM): parte de la circunferencia, limitada por dos puntos de ella.
Ángulo Central (<ABC): Ángulo cuyo vértice está en el centro de la circunferencia.
Ángulo Inscrito (<DEF) Ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y cuyos lados son cuerdas del círculo.
Ángulo semi-inscrito (<GHI) Ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados lo forman una tangente y una secante.
Todo ángulo del centro determina un arco, como vemos en la figura siguiente, entonces decimos que el ángulo AOB subtiende el arco AB.
Posiciones relativas de dos circunferencias:
Teoremas de la circunferencia
El ángulo del centro mide el doble que todos aquellos ángulos inscritos que subtienden el mismo arco.
<AOC = 2<ABC
Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco, miden lo mismo. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
Todo ángulo semi-inscrito en una circunferencia tiene medida igual a la mitad de la medida del ángulo del centro, que subtiende el mismo arco.
1. Si los lados de un ángulo son tangentes a una circunferencia, entonces los trazos desde el vértice a los puntos de tangencia son congruentes.
AB ≅ AC
2. La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos correspondientes.
2
CD AB AEB = + <
2
BE CD CAD = − <
Proporcionalidad en la circunferencia
1. Si dos cuerdas de una circunferencia se interceptan en un punto P, el producto de los
segmentos determinados en una cuerda es igual al producto de los segmentos determinados en la otra cuerda.
PA • PC = PB • PD
2. Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de la medida de una secante por la medida de su segmento exterior es igual al producto de la medida de la otra secante por la medida de su exterior.
PB • PA = PD • PC.
PC2 = PB • PA
TEOREMAS DE EUCLIDES
Para estudiar las relaciones métricas entre los elementos de los triángulos, es indispensable tener el concepto de proyección.
Se llama proyección de un punto P sobre una recta L, al pie P’ de la perpendicular bajada desde P a L.
La perpendicular PP’ se llama proyectante.
La proyección de un segmento AB sobre una recta L es el segmento A’B’, cuyos extremos son las proyecciones de los extremos A y B sobre L.
En la siguiente figura se representan las distintas proyecciones relativas de un segmento AB sobre una recta.
En ella podemos observar que si el segmento AB es paralelo a la recta, su proyección es igual a él. Si AB es perpendicular a la recta (último caso), la proyección se reduce a un punto A’ o B’
Si en un triángulo rectángulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa, se verifica que:
L
P
P
’
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
’
B
’
A
’
1°) Los triángulos que resultan son semejantes al triángulo dado y por tanto semejantes entre sí.
∆ ADC ≈ ∆ BDC ≈ ∆ ACB
2°) La altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos de la hipotenusa.
BD AD CD 2= •
3°) Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella..
AD AB AC 2= •
BD AB BC 2= •
C
D
B
A
C
D
B
A
C
D
B
TRIGONOMETRÍA
Es el estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. Esto se realiza a través de las llamadas funciones trigonométricas de los ángulos (o goniométricas).
Consideremos el triángulo ABC, rectángulo en C, de la figura y trabajemos con los ángulos α y β
de él. c a hipotenusa opuesto cateto = = α sen c b hipotenusa adyacente cateto = = α cos b a adyacente cateto opuesto cateto = = α tg a b opuesto cateto adyacente cateto
ctgα= =
b c adyacente cateto hipotenusa = = α sec a c opuesto cateto hipotenusa ecα= =
cos
Del mismo modo se pueden obtener las razones trigonométricas del ángulo b, para llegar a concluir que:
sen α =cos β
cos α = sen β
tg α = cot β
cot α = tg β
sec α = cosec β
cosec α = sec β
Lo primero es determinar el valor del cateto BC que, a través del teorema de Pitágoras, resulta de 4 cm. Ahora que ya sabemos la medida de cada lado del triángulo, resolvamos aplicando las definiciones dadas:
sen α = 4/5 = 0,8 cos α = 3/5 = 0,6 tg α = 4/3 = 1,33...
cot α = 3/4 = 0,75 sec α = 5/3 = 1,66... cosec α = 5/4 =1,25
Relaciones trigonométricas fundamentales:
Existen relaciones trigonométricas que son fundamentales en el desarrollo de las diversas unidades de este tema. Para eso vamos a trabajar con la figura siguiente, un triángulo rectángulo en C, para que basados en ella demostremos las relaciones que más abajo se indican.
1. α α cos 1 sec = 2. α α sen 1 cosec =
5. sen2α+cos2α=1 6. sec2α=1+tg2α
7. cos ec2α=1+ctg2α
Funciones trigonométricas de ángulos especiales
Para algunos ejercicios es importante conocer los valores de algunos ángulos que son muy comunes en su utilización. Entre ellos destacan los de 30º, 45º y 60º.
Los valores para 30º y 60º pueden ser determinados a través de un triángulo equilátero, al cuál se le traza una de sus alturas para formar un triángulo rectángulo para luego utilizar las funciones trigonométricas. En el caso de 45º, se utiliza un triángulo rectángulo isósceles.
Los valores que se determinan son:
30 45 60
sen 2 1 2 2 2 3 cos 2 3 2 2 2 1 tg 3 3 1 3
Aplicaciones de la trigonometría: Angulos de elevación y de depresión
AB : Linea Visual
α : ángulo de depresión: Se refiere al ángulo formado con la horizontal cuando el objeto es observado desde lo alto.
En este tipo de ejercicios te sugiero hacer siempre una figura que te permita visualizar mejor el problema.
1. Desde un punto, situado a cierta distancia de una torre de 160 m. de altura, se mide su ángulo de elevación resultando éste de 58º. ¿A qué distancia está el punto de observación?
x = 100
El punto de observación está a 100 m. de la torre.
2. Calcula la altura de un edificio que se observa desde un punto en que el ángulo de elevación es 62º y, alejándose 75 m. de ese punto, el ángulo es ahora 34º.
De esta figura podemos obtener dos ecuaciones:
Al despejar x en ambas ecuaciones, por igualación se obtiene que 1,88y = 0,67y + 50,25; donde y = 41,5 metros.
VOLUMEN
Nombre Dibujo Desarrollo Área Volumen
Cubo o Hexaedro: Ortoedro donde las tres dimensiones son iguales.
A = 6a2 V = 6a3
Paralelepípedo u ortoedro: Prisma cuyas bases son
dos rectángulos. A = 2(ab+ac+bc) V = abc
Prisma: Cuerpo geométrico cuyas bases son dos poligonos iguales y paralelos y sus caras laterales son
paralelogramos
AT = 2AB + AL
V = ABH
Cilindro: Es el Cuerpo geométrico engendrado por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados
Pirámide: Cuerpo geométrico cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales triangulos
AT = AB + AL
Cono: Es el Cuerpo geometrico engendrado por la revolución de un triángulo
rectángulo alrededor de uno
Tronco de pirámide: Parte truncada inferior de una pirámide
Tronco de cono:
Parte truncada inferior de un cono.
Esfera: Cuerpo geometrico engendrado por la revolución
completa de un semicírculo alrededor de su diámetro.
A = 4π R2 V = 3 3 4
R
π
PROBLEMAS CON SELECCIÓN DE INFORMACIÓN
Para esta nueva prueba de ingreso a la universidad se estimó mantener este tipo de preguntas que aparecían en la P.A.A. ya que contribuyen a discriminar mejor en el grupo superior de los postulantes
El trabajo de hoy es sumamente importante ya que aprenderás a manejar la forma de resolver este tipo de interrogantes.
De seguro que no tienes mucha práctica en estas preguntas ya que su aplicación en educación media es nula.
No se puede hablar de preguntas difíciles ya que con un breve, pero dedicado tiempo, comenzarás a ver su esencia y a responderlas correctamente.
Estos problemas tiene una estructura bien definida.
Lo fundamental es que no se pide la solución al problema, sino que decidas si los datos proporcionados en el enunciado más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.
Las alternativas que se dan son: A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional.
A) (1) por sí sola
Esta alternativa se marca si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es.
Esta alternativa se marca si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es.
C) Ambas juntas, (1) y (2)
Se marca esta alternativa, si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente.
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se marca esta alternativa, si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta.
E) Se requiere información adicional
Se marca si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución
Ejercitemos:
1. ¿Cuál es el valor numérico de x + y? (1) x = 2
(2) y = 5
Si consideramos la afirmación (1) vemos que x + y = 2 + y, lo cual no nos da un valor numérico, o sea, nos servirá para obtener la solución.
Trabajamos ahora con la afirmación (2) y nos olvidamos de la (1) quedando x + y = x + 5, lo que tampoco nos da la solución.
Juntamos las afirmaciones (1) y (2), entonces x + y = 2 + 5 = 7. Alternativa C.
2. ¿Cuál es el valor de a?
(1)
<
) C recto (2) AC = BCConsideremos la afirmación (1).
Que el ángulo C sea recto, no nos da información sobre los otros ángulos del triángulo, aunque no falta en que cree que son de 45º cada uno, lo que no es correcto ya que ningún dato nos ha dicho que esos ángulos son iguales.
La afirmación (2) señala que el triángulo es isósceles ya que AC = BC, pero
no tenemos ninguna medida para intentar hacer algo (De los 90º de la
afirmación (1) ya me olvidé)
Juntamos las afirmaciones (1) y (2) y ahora sí podemos resolver el ejercicio. Alternativa C.
(1) ABCD cuadrado (2) <DAC = <BAC
Con la afirmación (1), que nos señala que la figura es un cuadrado, podemos determinar a basándonos en las propiedades que tiene la diagonal de un cuadrado. a mide 45º.
La afirmación (2) nos dice que los ángulo DAC y BAC son congruentes, o sea tienen igual medida, pero ¿qué figura es? (Supongo que eliminaste de tu mente la afirmación (1)).
