Existe una cantidad indeterminada de problemas en la matemática. Las características que presentan algunos de ellos, ya sea por sus datos o forma de solución hace que sea posible clasificarlos y tener un método determinado para resolverlos.
1. Operaciones Inversas
1.1. REGLA DEL CANGREJO
Es un método que se aplica a problemas donde una cantidad inicial (desconocida) se transforma en otra por medio de cierta operación y a su vez este resultado se transforma en otra con otra operación y así sucesivamente hasta llegar a un resultado final que se presenta como dato.
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejemplo 1
Un número se multiplica por 5, el resultado se le resta 10, al resultado se le divide entre 2 y por último, al cociente obtenido se le aumenta 5, obteniéndose 40. Halla el número inicial.
Resolución:
Resolución:
Arnaldo – ? = + 20 = + ? = 50 Bruno x 2 = – 20 = ÷ 2 = 26
76 Ejemplo 3
Jorge gasta de su sueldo los 2/3 en un par de zapatos más 2/7 de lo que le queda en un pantalón y por último gasta los 3/5 del nuevo resto en alimento quedándole aún 300 soles. ¿Cuál es el sueldo de Jorge?
a) S/.3 501 b) S/.3 510 c) S/. 3 150
d) S/. 3 050 e) N.A.
Resolución:
S = sueldo de Jorge.
Gastos lo que queda
2 3 – 2 1
3 3 = 3
Cantidad Inicial
2 Cantidad Final 7
3
7 – 2
= 5
7 7
5 – 3 2
x 5 = – 10 = ÷ 2 = + 5 = 40 =
5 5 5
÷5 + 10
Ejemplo 2
x 2 – 5 Luego:
1 x 5 3 7 Arnaldo y Bruno se ponen a jugar casino. Primero perdió
Arnaldo y duplicó el dinero a Bruno; luego perdió Bruno y le pagó 20 soles a Arnaldo y luego volvió a perder Bruno, pero esta vez la mitad de su dinero. Si ahora Arnaldo tiene 50 soles y Bruno 26 soles, ¿cuánto tenía cada uno inicialmente?
S/. 300 x 3 x 7
S = 2
S = 3 150 soles
Rpta.: c
{
Ejemplo 4
Un estudiante escribe cada día, la mitad de las hojas en blanco, más 25 hojas. Si al cabo de 3 días gastó todas las hojas, ¿cuántas hojas tenía el cuaderno?
a) 250 b) 350 c) 300
d) 450 e) N.A.
Resolución:
Aplicando el método del cangrejo, obtenemos:
1.er Día
Ejemplo 4
Un profesor de "RM" entra a una iglesia donde existe un santo milagroso, que le triplica el dinero que lleva; cada vez que el profesor entra a la iglesia con la condición que cada vez que le hace el milagro de triplicar su dinero le deje de limosna 25 soles. Si después de haber entrado 2 veces sale con 35 soles,
¿Cuál era su dinero inicialmente?
a) S/.12 b) S/.15 c) S/.18
d) S/.16 e) N.A.
Resolución:
{
+25→ –25→150 + 25 = 175 → → 2.° Día:2 : 2 75 x 2 = 150 +25→ –25→ 50 + 25 = 75
el Santo le hizo 2 milagros.
1.er Milagro
→
– 25
→ 20 + 25 = 45 2.° Milagro
x 3 60 : 3 = 20
{
:2 → : 2 → 25 x 2 = 50{
→+25→ –25 → 0 + 25 = 25 – 25 → 35 + 25 = 60
Al final quedó = 0 hojas Al final sale de la iglesia con 35 soles. El
dinero inicial era de 15 soles.
ACTIVIDADES
1 En cada caso, halla el valor de la interrogante (?):
? +5= x3= –20 = ÷4 = 4
Resolución:
3 Un número se multiplica por 3, el resultado es aumentado en 10 unidades, al valor obtenido se le extrae la raiz cuadrada y al resultado ob- tenido se le añade 12 obteniendo finalmente el número 17. ¿Cuál era el número inicial?
Resolución:
Rpta: Rpta:
2 En cada caso, halla el valor de la interrogante (?):
? ÷ 4 = + 16 = x 5 = = +2 = 12
Resolución:
4 Un número se aumenta en 20, el resultado se duplica, al resultado se le extrae la raíz cuadra- da y al resultado de esta raíz se le disminuye en 8 obteniéndose 0. Halla el número inicial.
Resolución:
Rpta: Rpta:
5 Con un número se hacen las siguientes opera- ciones; primero se multiplica por 5, al producto se le suma 60, a dicha suma se le divide entre 10, al cociente se le extrae la raíz cuadrada para finalmente restarle 4. Si luego de realizar las operaciones indicadas se obtiene 2, ¿cuál es el número?
Resolución:
6 Si a la edad que Lucy tendrá dentro de 2 años se le multiplica por 2, al producto le restamos 2, a todo esto se le divide entre 2, al cociente le agregamos 2, y le extraemos la raíz cuadrada al resultado, obtengo 5. ¿Cuál es la edad de Lucy?
Resolución:
Rpta: Rpta:
ACTIVIDADES
7. En cada caso, halla el valor de la incógnita (?):
? + 5 = x 6 = ÷ 15 = 6
8. Juan duplica el dinero que llevaba al principio y luego gasta S/. 100. Con lo que le queda vuelve a duplicarlo y luego gasta S/.180. Si aún le quedan S/. 100, ¿cuánto dinero tenía inicialmente?
9. Cada vez que Jorge se encuentra con Rosa, éste le duplica el dinero a ella. En agradecimiento Rosa le da un sol. Si en un día se han encontrado dos veces, luego de las cuales Rosa tiene 25 soles, ¿cuánto tenía inicialmente ella?
10. Al sueldo de mi papá se le divide entre 9, luego le aumentamos 5, se le disminuye 18 y finalmente se le multiplica por 4, obteniéndose así 188. ¿Cuál es el sueldo de mi papá?
11. Si a la cantidad de hojas de un cuaderno la dividimos entre 4, luego la aumentamos en 8, le disminuimos 26, a la diferencia se le multiplica por 5, obteniendo 60. ¿Cuántas hojas tenía al comienzo dicho cuaderno?
12. Al preguntarle a Pablo por su edad, él responde: "A mi edad que tengo le sumo 14, luego le resto 2 y a esta diferencia le saco la raíz cuadrada para después multiplicarlo por 4 y a este producto sumarle 46 y para finalmente dividirlo por 3 y así obtengo un número múltiplo de 11 menor que 30.
¿Cuántos años tendrá Pablo dentro de 5 años?
ACTIVIDADES
1. En cada caso, halla el valor de la interrogante (?): 7. En cada caso, halla el valor de la incógnita (?):
? x 7 = + 12 = ÷ 2= +2 =
= 6
a) 8 b) 7 c) 9
d) 10 e) 12
2. En cada caso, halla el valor de la interrogante (?):
? x 2 = – 15 = = x 7 =
÷ 5 = 7
a) 32 b) 20 c) 14
d) 16 e) 10
3. Un número se aumenta en 2, el resultado se multiplica por 3, al resultado se le resta 15 obteniéndose 45. ¿Cuál es el número inicial?
a) 24 b) 12 c) 18
d) 16 e) 10
4. Un número se disminuye en 42, el resultado se divide entre 6, al cociente obtenido se le multiplica por 20, luego se triplica el producto obtenido y se divide entre 5, hallándose 600 de cociente. El número es:
a) 622 b) 516 c) 464
d) 326 e) 342
5. Un número se aumenta en 40; el resultado se divide entre 4, el cociente obtenido se aumenta en 5; al resultado se le extrae la raíz cuadrada, el resultado se multiplica por 15 y luego al producto obtenido se le divide entre 25 resultando 3. Halla el número.
a) 32 b) 42 c) 40
d) 81 e) 50
6. Si a la cantidad de bolas que posee Pepe se le multiplica por 4, luego le quitamos 2, después lo dividimos entre 6 y le sacamos la raíz cuadrada, se obtiene 5. ¿Cuántas bolas eran propiedad de Pepe?
a) 34 b) 38 c) 152
d) 76 e) 48
? x 8 = + 8 = = – 8 =0
a) 7 b) 5 c) 6
d) 2 e) 4
8. Un comerciante llevó al mercado cierta cantidad de peras. El primer cliente le compró la mitad del total más 10 peras. El segundo le compró la mitad del resto más 10 peras y lo mismo hicieron el tercer y el cuarto cliente, quedándose sólo con tres peras.
¿Cuántas vendió?
a) 348 b) 174 c) 384
d) 171 e) 345
9. Cuando un campesino saca agua de un pozo, extrae la mitad del contenido y 5 litros más. Si después de tres extracciones quedan aún 10 litros en el pozo, ¿cuántos litros habían inicialmente?
a) 180 b) 150 c) 120
d) 140 e) 110
10. A la edad de Miguel se le disminuye 7, a la diferencia se le multiplica por 4, se le divide entre 6, finalmente se le aumenta 5, obteniendo 19.
¿Cuál es la edad de Miguel?
a) 20 años b) 19 años c) 18 años
d) 17 años e) 16 años
11. A la edad de Ángel se le extrae la raíz cuadrada, luego se le multiplica por 4, se le disminuye 8 y finalmente se le divide entre 2, obteniendose 8.
¿Cuál es la edad de Ángel?
a) 26 años b) 36 años c) 34 años
d) 32 años e) 35 años
12. Un pozo de agua en el primer día aumentó 6m, al segundo día disminuyó 9m, al tercer día disminuyó 7m, y al cuarto día aumentó 4m. Obteniéndose finalmente 12m. ¿Cuál fue la altura inicial?
a) 14 m b) 22 m c) 20 m
d) 16 m e) 18 m
