{ y (x) + cy(x) = 1, 0 < x < 1, y(0) = y(1) = 0.

III. Resoluci´on num´erica de Problemas de Contorno en E.D.O.:

El m´etodo de los elementos finitos

1) Se considera el siguiente problema de contorno:

½y⁰⁰(x) − xy(x) = x , 0 < x < 1 , y(0) = y(1) = 0 .

a) Escribir el problema variacional asociado.

b) A partir del elemento finito de Lagrange unidimensional, hallar las funciones de base del espacio de elementos finitos construido sobre la partici´on uniforme del intervalo [0, 1] de paso h = 1/4.

c) Obtener la soluci´on del problema variacional discreto asociado al problema de partida, sobre el espacio de elementos finitos considerado en el apartado anterior.

2) Se considera el siguiente problema de contorno :

½−y⁰⁰(x) + cy(x) = 1 , 0 < x < 1 , y⁰(0) = y⁰(1) = 0 ,

con c ∈ R .

a) Escribir el problema variacional asociado al problema dado.

b) Considerando una partici´on uniforme del intervalo [0, 1] con h = 1/2 , obtener el sistema lineal a que da lugar la aplicaci´on del m´etodo de los elementos finitos.

c) Estudiar para qu´e valores del par´ametro c el sistema anterior tiene soluci´on ´unica.

3) Considera el siguiente problema de contorno en el intervalo (0, 1),

½−((1 + x)u⁰)⁰ = 0 , 0 < x < 1 , u⁰(0) = 1, u(1) = 0 ,

a) Escribe la formulaci´on variacional del problema.

b) Considera la partici´on {x₀ = 0, x₁ = 0.5, x₂ = 1}, y el elemento finito unidimen- sional de Lagrange. Escribe el problema variacional discreto asociado sobre el espacio de elementos finitos considerado y halla la soluci´on del mismo.

c) Indica la soluci´on que se obtiene en el punto x = 0.25.

4) Se considera el problema de contorno:







y⁰⁰(x) − y(x) = 0, x ∈ (0, 1), y⁰(0) = −1,

y(1) = e.

1

a) Escribe el problema variacional asociado al problema anterior.

b) Dado el elemento finito de Lagrange unidimensional:

u u

halla las funciones de base del espacio de elementos finitos construido sobre la partici´on del intervalo [0, 1]: x₀ = 0, x₁ = 3/4, x₂ = 1.

c) Escribe el problema variacional discreto asociado al problema de partida, sobre el espacio de elementos finitos considerado en el apartado anterior y calcula la soluci´on del mismo.

5) Se considera el problema de contorno

( x²y⁰⁰− 6y = 6x, 1 < x < 2, y(1) = y(2) = 0.

a) Deduce la formulaci´on variacional del problema.

b) Usando elementos finitos de Lagrange, encuentra la soluci´on del problema discreto en el mallado x₀ = 1, x₁ = 3/2, x₂ = 7/4, x₃ = 2.

6) Se considera el PC:

(P )

( u⁰⁰(x) = 3, x ∈ (0, 1),

u(0) = 1, αu(1) + βu⁰(1) = −1, donde α, β ∈ R, |α| + |β| 6= 0 y αβ ≥ 0.

a) Halla la formulaci´on variacional del problema dado en los casos: α = 1, β = 0 y α = 0, β = 1.

b) Para α = 1 y β = 0:

i) Dada la partici´on del intervalo [0, 1] en tres subintervalos iguales, determina el problema discreto asociado a (P), en el espacio de elementos finitos construido sobre esa partici´on, a partir del elemento finito de Lagrange.

ii) Resuelve el problema discreto y compara los resultados obtenidos con los de la soluci´on exacta: u(x) = 1 − 7x/2 + 3x²/2. ¿Cu´al es el error que se obtiene en los nodos y en x = 1/4?

7) Se considera el problema de contorno:









− d dx

Ã

a(x)du dx(x)

!

= 1, 1 < x < 2, u⁰(1) = 1, u(2) = −1.

a) Deducir la formulaci´on variacional del problema dado.

b) Hallar la formulaci´on discreta del problema utilizando el espacio de elementos finitos de grado uno, construido a partir de una partici´on uniforme del dominio [1, 2] en 2 subintervalos.

c) Para a(x) = 1/2, calcular la soluci´on num´erica del problema discreto obtenido en el apartado anterior.

8) Se considera el problema

(P )







−(xu⁰(x))⁰ = x, x ∈ (1, 2), u(1) − u⁰(1) = 1,

u(2) = 1.

a) Estudia la existencia y unicidad de soluci´on del problema (P).

b) Halla la formulaci´on variacional del problema.

c) Considera el mallado de nodos {x₀ = 1, x₁ = 5/4, x₂ = 2} y los elementos finitos de Lagrange de tipo P1. Escribe la formulaci´on variacional discreta del problema (P).

d) Calcula la soluci´on num´erica u_h del problema discreto.

e) Calcula u⁰_h(1), uh(3/2), u⁰_h(3/2), u⁰_h(2).

9) Considera el siguiente problema de contorno en el intervalo Ω = (0, 1),

(P )







−εu⁰⁰+ u = f, x ∈ (0, 1), u(0) = 0,

u(1) = 0,

donde ε > 0 es un par´ametro dado, f es una funci´on conocida y la inc´ognita u es una funci´on escalar sobre Ω, es decir, u : Ω −→ R.

a) Escribe la formulaci´on variacional del problema (P).

b) Escribe el problema discreto asociado utilizando el elemento finito de Lagrange con una partici´on uniforme T_h de Ω, es decir, cada elemento finito tiene longitud h = 1/N, siendo N el n´umero de elementos o subintervalos de nuestra partici´on.

c) ¿Cu´antas inc´ognitas tenemos? Calcula el sistema Aξ = b para un elemento cualquiera de nuestra partici´on cuando f = 1 en Ω.

d) A partir del apartado anterior, determina el sistema global Ax = b, considerando una numeraci´on secuencial en el intervalo.

3

10) Se considera el problema







−u⁰⁰(x) + u(x) = 1, x ∈ (0, 1), u⁰(0) = 0,

u(1) + u⁰(1) = 1.

a) Hallar la formulaci´on variacional.

b) Deducir la formulaci´on variacional discreta del problema en el espacio de elementos finitos de Lagrange de tipo P2, a partir del mallado formado por los elementos e₁ = [0, 0.25] y e₂ = [0.25, 1].

c) Calcular las funciones base asociadas a los nodos N = 0.25 y N = 0.125.

d) Hallar la matriz local A^e y el vector local b^e correspondientes al primer elemento.

e) Plantea el sistema de ecuaciones a resolver.

f) ¿C´omo calcular´ıas la derivada de la soluci´on en el nodo N = 0.125?

11) Se considera el problema:







u_t= u_xx− u, 0 < x < 1, t > 0, u(x, 0) = x², 0 ≤ x ≤ 1,

u(0, t) = 0, u(1, t) = t + 1, t ≥ 0.

a) Utiliza una discretizaci´on en tiempo ´unicamente, empleando la siguiente aproxi- maci´on:

ut(x, tj) ≈ u(x, tj) − u(x, tj−1)

k ,

con j > 0, y comprueba que, en cada nivel de tiempo tj, se obtiene el siguiente

PC: ₍

y⁰⁰(x) − (1 + 1/k)y(x) + (1/k)f (x) = 0, x ∈ (0, 1), y(0) = 0, y(1) = t_j+ 1,

donde y(x) ≡ u(x, t_j) y f (x) ≡ u(x, t_j−1).

b) Se considera el m´etodo de los elementos finitos para resolver el PC obtenido en el apartado anterior.

i) Deduce la formulaci´on variacional del problema en t_j (j > 0).

ii) Para k = 1/8 y tj = 1/8, resuelve el problema discreto asociado utilizando el elemento finito de Lagrange y h = 1/2.

12) Dado el problema:

(y⁰⁰(x) − (x + 1)y(x) = −e^−x(x²− x + 2) , 2 < x < 4 , y⁰(2) = 0, y⁰(4) = −0.036631 .

a) Escribir el problema variacional asociado al problema dado.

b) Dado el elemento finito de Lagrange unidimensional, hallar las funciones de base del espacio de elementos finitos construido sobre la partici´on del intervalo [2, 4]:

x₀ = 2 , x₁ = 3 , x₂ = 4 .

c) Obtener la soluci´on del problema variacional discreto asociado, sobre el espacio de elementos finitos considerado en el apartado anterior, utilizando la f´ormula de Simpson para aproximar las integrales correspondientes al segundo miembro.

Comparar la soluci´on obtenida con la soluci´on exacta: y(x) = e^−x(x − 1) .

13) Se considera el problema:

(P )







y⁽⁴⁾(x) = 1 , 0 < x < 2 , y(0) = y(2) = 0 ,

y⁰(0) = y⁰(2) = 0 .

a) Escribir el problema variacional asociado al problema dado.

b) Dada la partici´on uniforme del intervalo [0, 2] en 2 subintervalos iguales, determinar el problema variacional discreto asociado a (P) sobre el espacio de elementos finitos construido sobre esta partici´on, a partir del elemento finito de Hermite.

c) Resolver el problema discreto.

14) Consideramos el siguiente problema de contorno unidimensional





−u⁰⁰(x) + a(x)u(x) = 2x − 1, 0 < x < 1, u(0) = 1, u(1) = 0,

en el que la funci´on a(x) : [0, 1] → R verifica que es una funci´on continua en el intervalo [0, 1], a(x) > 0 ∀x ∈ [0, 1] y de la que conocemos, adem´as, los siguientes valores a(0) = 2, a(0⁰25) = 0⁰25, a(0⁰5) = 1, a(0⁰75) = 1⁰25 y a(1) = 3.

a) ¿Puedes afirmar la existencia y unicidad de soluci´on de este problema de contorno?

En caso afirmativo compru´ebalo y plantea la formulaci´on variacional asociada al problema anterior.

b) Se divide en dos subintervalos iguales el intervalo [0, 1]. Definir sobre estos subin- tervalos un m´etodo de elementos finitos de Lagrange de orden uno y hallar la aproximaci´on del problema de contorno anterior que nos proporciona.

c) Sin modificar el mallado anteriormente empleado y suponiendo que conocemos completamente la funci´on a(x), ¿puedes definir otro m´etodo de elementos finitos que d´e una mejor aproximaci´on a la soluci´on que la obtenida en el apartado ante- rior? En caso afirmativo define dicho m´etodo dando la formulaci´on discreta y la definici´on del espacio de elementos finitos.

5

15) Se considera el problema







−u⁰⁰+ u = 2, x ∈ (0, 1), u(0) = 0,

u(1) + u⁰(1) = 2.

a) Estudia la existencia y unicidad del problema.

b) Escribe la formulaci´on variacional del problema.

c) Sea el espacio de elementos finitos definido a partir del elemento finito de Lagrange de tipo P2. Escribe la formulaci´on discreta del problema anterior.

d) Se considera un mallado uniforme de 2 elementos. Calcula y dibuja las funciones base asociadas a los nodos de coordenadas x = 0.25 y x = 0.5. Indica el soporte de cada una de ellas.

e) Construye la matriz local asociada al segundo elemento indicando en qu´e parte de la matriz global contribuye.

f) Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones que resulta.

g) ¿C´omo calcular´ıas la soluci´on en el punto x = 0.6?

16) Se considera la ecuaci´on diferencial:

−u⁰⁰(x) − cu + x² = 0, 0 < x < 1 (c ∈ R), y las siguientes condiciones de contorno:

(1) u(0) = u(1) = 0.

(2) u(0) = 0, u⁰(1) = 1.

(3) u⁰(0) = 1, u⁰(1) = 4/3.

a) Halla la formulaci´on variacional del problema para cada una de las condiciones de contorno.

b) Considera la partici´on {x₀ = 0, x₁ = 0.5, x₂ = 1}, y el elemento finito unidimen- sional de Lagrange. Plantea el sistema de ecuaciones que resulta en el caso (3) y estudia para qu´e valores de c dicho sistema tiene soluci´on ´unica.

Cuestiones Pr´acticas 1) Se desea resolver num´ericamente el problema de contorno:

( −u⁰⁰(x) + u(x) = 0, 0 < x < π/2, u(0) = 1, u(π/2) = −3.

por medio de elementos finitos de grado 2, considerando una subdivisi´on del dominio en 3 subintervalos iguales.

a) Definir el correspondiente espacio Vh de elementos finitos de grado 2 y dar una base del mismo.

b) Calcular y dibujar las funciones de base asociadas a los nodos x = π/4 y x = π/3.

2) En el siguiente programa, realizar los cambios adecuados para resolver el problema n´umero 10.

[m0,mxx,l0]=matriz5;

ns1 = 2; % Numero de subdivisiones

d = 3; % Grados de libertad por elemento.

nt = (2*ns1+1); % Numero de nodos

[globales,x,nel]=gen5(ns1); coord=zeros(nt,2); a=zeros(nt,nt);

b=zeros(nt,1); nodos=zeros(1,3); c=zeros(2,2); mk=zeros(d,d);

lk=zeros(d,1); sol=zeros(nt,1);

%Ensamblado for k=1:nel

nodos=globales(k,:);

h = x(nodos(3))-x(nodos(1));

mk=mxx/h+m0*h;

a(nodos,nodos)=a(nodos,nodos)+mk;

lk(1)=h*r5(x(nodos(1)))/6;

lk(2)=2*h*r5(x(nodos(2)))/3;

lk(3)=h*r5(x(nodos(3)))/6;

b(nodos)=b(nodos)+lk;

end

%Resolvemos sistema sol=a\b;

3) En el siguiente programa, realiza los cambios adecuados para resolver el problema n´umero 8.

% programa principal [m0,mxx,l0]=matriz1;

ns1 = 4; % Numero de subdivisiones

d = 2; % Grados de libertad por elemento.

nt = (ns1+1); % Numero de nodos

7

[globales,x,nel]=gen1(ns1);

coord=zeros(nt,2); a=zeros(nt,nt); b=zeros(nt,1); nodos=zeros(1,2);

%c=zeros(2,2);

mk=zeros(d,d); lk=zeros(d,1); sol=zeros(nt,1);

%Ensamblado for k=1:nel

nodos=globales(k,:);

h = x(nodos(2))-x(nodos(1));

mk=h*m0+mxx/h;

a(nodos,nodos)=a(nodos,nodos)+mk;

lk=pf(x(nodos))*h*l0;

b(nodos)=b(nodos)+lk;

end

%Resolvemos sistema sol=a\b