U2.2. Distribuciones especiales discretas

UNIDAD 2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

VARIABLES ALEATORIAS ESPECÍFICAS

Luego de conocer generalidades sobre variables aleatorias veremos, de acá en más, distribuciones especiales que se utilizan para el estudio de fenómenos económicos.

Distribuciones especiales discretas

Esquema de pruebas repetidas: se trata de observaciones que generan registros obtenidos a partir de situaciones ocurridas en igualdad de condiciones.

A partir de este tipo de experimentos aleatorios pueden definirse varias distribuciones de probabilidad como las que veremos a continuación.

Distribución de Bernoulli

Def. Un experimento aleatorio se denomina dicotómico si de él sólo pueden obtenerse dos resultados posibles.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico. A uno de los resultados, el que interesa estudiar desde el problema a tratar, se lo denomina

éxito del que se conoce su probabilidad de ocurrencia p y al otro suceso posible se lo designa fracaso, cuya una probabilidad se identifica con q =1 – p, ya que los sucesos “se obtiene éxito” y “se obtiene fracaso” son complementarios.

Def. Se dice que una variable aleatoria tiene distribución de Bernoulli si dado un experimento aleatorio dicotómico, con probabilidad de éxito p conocida, la variable cuenta el número de éxitos obtenidos al realizarlo una única vez.

En símbolos: X ~ Be(p) donde p es el parámetro de la distribución.

La función de probabilidad puntual será:

1 si x = 0 ( )

si x = 1

p f x

p    

 ó

Propiedades y características

Esperanza matemática: E(X) = p Varianza: V(X) = p (1-p)

Ejercicio: Verificar estos resultados.

X 0 1

Distribución Binomial

Cuando un experimento de Bernoulli se repite n veces, de forma independiente, se genera un experimento binomial del que surge la variable con distribución binomial. Para n = 1, la distribución binomial coincide con la distribución de Bernoulli.

Un experimento binomial se caracteriza por:

 Realizarse n repeticiones u observaciones de un experimento simple.

 Es una sucesión de experimentos dicotómicos cuyos posibles resultados se identifican como éxito y fracaso.

 La probabilidad de éxito pes constante, no varía de una prueba a otra.

 El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

Def. Se dice que una variable aleatoria discreta tiene distribución binomial si cuenta el número de éxitos obtenidos entre los n resultados al realizar un experimento binomial conociendo la probabilidad de éxito p.

En símbolos: X ~ B(n, p) donde n y p son los parámetros de la distribución.

La función de probabilidad puntual es:

f (x) = n px(1 p)n x

x



 

  

  donde x  {0,1, …, n}

Propiedades y características de la distribución binomial Esperanza matemática: E(X) = n.p

Cuando se realizan n selecciones con reposición de un conjunto de elementos, queda garantizada la independencia de los sucesivos resultados obtenidos. En caso de poder establecer la dicotomía éxito/fracaso se cumplen todas las pautas para identificarlo como un experimento binomial. Si se tratase de una selección sin

reposición de un universo suficientemente grande puede asumirse una “independencia no teórica” pero justificable para aplicar la distribución binomial como una aproximación para el cálculo de probabilidades.

Distribución de Pascal

Dentro del mismo contexto de trabajo que en el caso anterior, donde se realizan sucesivos experimentos dicotómicos independientes puede definirse una nueva variable aleatoria discreta que cuente el número de veces que debe realizarse el experimento hasta lograr un número determinado de éxitos. En estas condiciones se define la distribución de Pascal.

Def. Se dice que una variable aleatoria discreta tiene distribución de Pascal si cuenta el número de veces que debe realizarse un experimento de Bernoulli, con probabilidad de éxito p conocida, hasta obtener k éxitos.

En símbolos: X ~ Pa(k, p) donde k y p son los parámetros de la distribución.

Dada la definición, la variable de Pascal se identifica con el valor que tomaba n en la distribución binomial. Antes n era un parámetro de la distribución y el número de éxitos X, la variable pero ahora se han invertido los roles siendo el equivalente de

n un valor variable y el número de éxitos está fijo y es un parámetro de la distribución.

Su función de probabilidad es f (x) = 1 (1 ) 1

k x k

x

p p

k





 

  _ 

  donde x ≥ k

Notar como x ocupa el lugar de n en la función de probabilidad de la distribución binomial y que la diferencia en el conteo de las ubicaciones posibles de los k

éxitos se debe a que en la última realización de experimento se va a obtener el k-ésimo éxito de forma inamovible.

Obs. Cuando se desea contar el número de veces que debe repetirse el experimento hasta obtener el primer éxito (k = 1) la distribución que se obtiene se denomina Geométrica, siendo un caso particular de la distribución de Pascal. Su función de probabilidad resulta:

f (x) = _{p (1}_p)x1 _{donde x ≥ 1}

Propiedades y características de la distribución de Pascal

La esperanza ó número esperado de éxitos es: E(X) = k

p y su varianza es

V(X) = k(1₂p)

Distribución Hipergeométrica

Esta distribución comparte con las estudiadas hasta ahora la dicotomía de los resultados posibles éxito/fracaso y la observación de n realizaciones de un experimento aleatorio simple. La principal diferencia que permite distinguirlas es que ya no se verifica la independencia entre los sucesivos resultados. De esta manera deja de ser relevante la probabilidad de éxito ya que irá cambiando de ensayo a ensayo.

El experimento típico para esta distribución es el que se realiza extrayendo un subconjunto o una muestra de elementos sin reposición de un conjunto al que llamamos población. Si se sabe el número de éxitos que hay la población es posible calcular probabilidades para la cantidad de éxitos que se recolectan en la muestra, cualquiera sea ese valor dentro de los posibles.

Def. Se dice que una variable aleatoria tiene distribución hipergeométrica si cuenta el número de éxitos que se presentan en una muestra de n elementos extraída (sin reposición) de una población de tamaño N, siendo conocida la cantidad de éxitos K que hay en la población.

En símbolos: X ~ H(N;K;n) donde N, K y n son los parámetros de la distribución y verifican que K ≤ N y n ≤ N.

Su función de probabilidad es: f(x)=

K N K x n x

N n



  

  _ 

  

     

para 0≤ x ≤ n,K

Propiedades y características de la distribución hipergeométrica

La esperanza ó número esperado de éxitos es: E(X) = Kn N y

su varianza es V(X) = ( ₂ )( ) ( 1)

nK N K N n N N

 



Distribución de Poisson

El proceso de Poisson, como se denomina a este tipo de experimentos, se caracteriza por evaluar el número de éxitos observados en un intervalo continuo (que puede ser de tiempo, longitud, área, volumen, etc.)

Por ejemplo la cantidad de defectos por m2 de tela o de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día o de bacterias por litro de agua.

Son experiencias muy diferentes a las vistas pero generan una variable aleatoria discreta por tratarse de un proceso de conteo que se encuentra asociado a un intervalo o período continuo.

cuenta el número de veces que ocurre un hecho en un intervalo continuo

conociendo la cantidad promedio



de veces que esto ocurre en dicho intervalo.

En símbolos: X ~ P(



) donde



es el parámetro de la distribución para el intervalo continuo considerado

Su función de probabilidad es: f(x) =

!

x

e

x







para x = 0, 1, 2, 3, …

Esta función calcula la probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es



en el intervalo considerado.

Como no es posible acotar los valores de x ya que no hay un criterio que permita hacerlo, el rango de esta variable resulta un conjunto infinito: ₀

Prop. Dos o más variables aleatorias de Poisson definidas sobre intervalos continuos no superpuestos resultan independientes.

Esto dice que las probabilidades de que la variable tome determinados valores en uno u otro intervalo siempre que sean disjuntos (no superpuestos) no se modifican o condicionan mutuamente de manera alguna.

Propiedades y características de la distribución de Poisson

La esperanza ó valor esperado es: E(X) =



y su varianza también es V(X) =



El valor de



depende exclusivamente de la longitud del intervalo continuo asociado y no de sus extremos, siendo proporcionales la medida del intervalo y el número promedio de veces que ocurre el hecho estudiado en el intervalo considerado.

Si llamamos m a la medida del intervalo resulta



=  . m donde  representa la constante de proporcionalidad (o intensidad o tasa) entre ambas magnitudes.

Distribución multinomial

La distribución multinomial es una generalización de la distribución binomial. En este caso, en un experimento interesa estudiar la obtención de varios resultados reconocidos como éxitos/fracasos (tres o más) y no la de un único resultado o su contrario.

Características de un experimento multinomial:

a) Existen más de dos resultados posibles y se observa la ocurrencia o no de cada uno de ellos.

La distribución multinomial, M(n,p1,…,pn) proporciona probabilidades de obtener, en m repeticiones independientes de un experimento, x1 veces el resultado asociado a un suceso A1, x2 veces el resultado asociado un suceso A2,…, xn veces el resultado asociado a un suceso An, donde dichos sucesos forman una partición del espacio muestral.

Variable multinomial: Si se considera que Xi es el número de veces que se presenta el suceso Ai en las m repeticiones tenemos que una variable n-dimensional (X1, X2, …, Xn) que sigue una distribución multinomial de parámetros n, p1, …, pn y su función de probabilidad conjunta es:

1 2

1 2 1 2

1 2

!

( , ,..., ) ...

! !... !

n

x x x

n n

n

m

P x x x p p p

x x x

   

Donde xk indica que el resultado Xk asociado al suceso Ak aparece xk veces entre los m obtenidos.

Hay que tener en cuenta que, por las características del experimento a partir del cual se define esta variable n-dimensional (X1, X2, …, Xn), existe una relación lineal entre sus componentes ya que X1+ X2+ …+ Xn = m, resultando una de las variables, por ejemplo Xn, una combinación lineal del resto.

Es decir, Xn = m - X1 - X2 - … - Xn-1

Resumen de variables aleatorias discretas

Distribución Parámetr. Variable Función de probabilidad Esperanza Varianza

Bernoulli p

N° de éxitos en un experimento dicotómico

1

(1p p)k

0≤k≤1

p p(1-p)

Binomial n, p

N° de éxitos en n repeticiones con resultados independientes de un experimento dicotómico (1 )

k n k

n p p k         0≤k≤ n

np np(1.p)

Pascal k, p

N° de repeticiones con resultados independientes de un experimento dicotómico hasta obtener k éxitos 1 (1 ) 1

k x k

x p p k     _  _   

x ≥ k

k p 2 (1 ) k p p 

Geométrica p

N° de repeticiones con resultados independientes de un experimento dicotómico hasta obtener el primer éxito

1

(1p p)x

x ≥ 1

1

p 2

(1 p)

p 

Hipergeométrica N, K, n

N° de éxitos en n repeticiones con resultados dependientes de un experimento dicotómico

K N K

x n x

N n       _          

0≤ x ≤ n,K

Kn

N 2

( )( )

( 1)

nK N K N n

N N

 



Poisson λ

N° de hechos ocurridos en un intervalo

continuo !

x_e

x

  