UNIDAD DIDÁCTICA 2: INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA (2ª parte) 8.1. EL CAMPO MAGNÉTICO: INTRODUCCIÓN
Los primeros fenómenos magnéticos observados estaban relacionados con los llamados imanes naturales, que son trozos de un mineral de hierro encontrado junto a la antigua ciudad de Magnesia (Asia Menor). Estos imanes –la magnetita Fe3O4- tienen la propiedad de atraer el hierro imantado, siendo el efecto más pronunciado en ciertas regiones del imán llamadas polos. Los chinos, antes del año 121 de nuestra era, conocían que una barra de hierro, después de haber sido colocada cerca de un imán natural, adquiría y conservaba esta propiedad de los imanes naturales, y que si dicha barra se suspendía de un eje vertical giraba hasta colocarse aproximadamente en la dirección Norte-Sur. El uso de estos imanes facilitón la navegación.
El estudio de los fenómenos magnéticos se limitó durante muchos años a los imanes. Hasta 1819 no se demostró que existe relación entre los fenómenos eléctricos y magnéticos. En aquel año, el físico Hans Christian Oersted (1770-1851) observó que un imán que puede girar alrededor de un eje (una aguja magnética) se desvía al encontrarse en la proximidad de un hilo conductor que transporta una corriente. En la figura 3.8 se representa la experiencia de Oersted: (a) Un alambre se sitúa por encima y paralelamente a una aguja magnética. El circuito está abierto y ninguna corriente circula por el
alambre. (b) Al fluir la corriente, la aguja se desvía y se sitúa perpendicular al alambre. La misma experiencia podemos hacer en nuestra casa con un tubo fluorescente y un imán móvil.
movimiento; es decir, las cargas móviles ejercen fuerzas magnéticas además de las fuerzas eléctricas o electrostáticas.
8.2 EL CAMPO MAGNÉTICO Y LA FUERZA DE LORENTZ
Ya sabemos que las fuerzas magnéticas pueden ser debidas a corrientes eléctricas y a imanes; es decir, que una carga en reposo no experimenta fuerza magnética alguna. Sin embargo, una carga eléctrica en movimiento, además de crear un campo eléctrico, crea una nueva perturbación del espacio que llamamos campo magnético.
“Se dice que existe un campo magnético en un punto si (además de la fuerza
electrostática) se ejerce una fuerza sobre una carga móvil que pase por dicho punto”
Realmente, el campo eléctrico creado por carga móviles o por corriente es, en muchos casos, tan pequeño que la fuerza electrostática sobre una carga móvil puede despreciarse comparada con la fuerza magnética.
Para estudiar las leyes que determinan la fuerza que se ejerce sobre una carga móvil en el campo, vamos a considerar un tubo de rayos catódicos. Desde uno de los extremos de este tubo se lanza un haz de electrones con una velocidad determinada. En el otro extremo hay una pantalla fluorescente que emite luz en el punto en que es golpeada por un haz de electrones. Si la señal luminosa ocupa siempre el mismo lugar sobre la pantalla cuando movemos el tubo, podemos deducir que no existe ningún campo magnético detectable. Por el contrario, si cuando movemos el tubo, la señal luminosa cambia de posición en virtud de la desviación de electrones, deducimos que nos encontramos en un campo magnético.
Supongamos que el tubo de rayos catódicos al ser muy pequeño se puede hacer girar. En cada posición el haz de electrones se desviará. Sin embargo, girando el tubo de rayos catódicos, se encontrará una dirección en la cual no tienen ninguna desviación. “Se define como dirección
del campo magnético, aquella según la cual ha de moverse una carga para que el campo no
ejerza fuerza sobre ella”.
carga y a su velocidad, y que la dirección de la fuerza es perpendicular a la velocidad de la carga y al campo magnético. Matemáticamente se escribe:
F = q(v××××B)
F = fuerza que actúa sobre una carga móvil en movimiento, se mide en newton (N), y se conoce como fuerza de Lorentz
q = carga móvil, viene dada en culombios (C) v = velocidad de la carga en m/s B = vector campo magnético o inducción magnética, 1 N/C.m/s = 1weber/m2 = 1 Tesla Un weber por metro cuadrado es la inducción magnética de un campo magnético en el cual una carga de un culombio, que se mueva a una velocidad de un metro por segundo, esta sometida a una fuerza de un newton.
El módulo de la fuerza será: F = q.v.B.sen α siendo α el ángulo que forma v con B. El valor de la fuerza es máximo cuando los vectores v y B son perpendiculares y nula cuando dichos vectores son paralelos.
La relación entre los sentidos viene dado por la regla de la mano izquierda. Para una carga positiva como la correspondiente a la figura 3.9, se utiliza los dedos pulgar, índice y medio de dicha mano para representar
estos tras sentidos perpendiculares. Si la carga es negativa, el sentido de la fuerza que actúa sobre ella es opuesto al de la fuerza sobre la carga positiva.
Ejercicio 1. Dentro de un campo magnético de inducción B = 10 Tesla se lanza un electrón con una velocidad de 3.107 m/s en dirección perpendicular al campo. Calcular la fuerza magnética sobre el electrón y compararla con el peso del mismo. Carga y masa del electrón: e = 1,6.10-19 C; me = 9,1.10-31 kg.
Ejercicio 3. Para caracterizar el campo magnético uniforme que existe en una región se utiliza un haz de protones con una velocidad de 5.105 m.s-1. Si se lanza el haz en la dirección del eje X, la trayectoria de los protones es rectilínea, pero si se lanza en el sentido positivo del eje Z, actúa sobre los protones una fuerza de 10-14 N dirigido en el sentido positivo del eje Y. a) Determine, razonadamente, el campo magnético (módulo, dirección y sentido). b) Describe, sin necesidad de hacer cálculos, cómo se modificaría la fuerza magnética y la trayectoria de las partículas si en lugar de protones se lanzaran electrones con la misma velocidad. e = 1,6.10-19 C.
Si en la región donde se mueve la carga q existe un campo eléctrico, E, además del campo magnético B, la fuerza de Lorentz que experimenta la carga será: F = q (v××××B) + q E. Ejercicio 4. En cierta región existe un campo eléctrico E = i-1500k N/C y un campo magnético B = 0,2i+j T. Determina la fuerza que actúa sobre una carga de 1 µC que penetra en dicha región con una velocidad v = 2000i m/s.
Si existiera los dos campos –eléctrico y magnético- dentro del tubo de rayos catódico, del ejemplo anterior, y quisiéramos que el haz de electrones no se desviarán podríamos ajustar los dos campos hasta conseguir que la fuerza eléctrica sobre los electrones fuera igual y de sentido contrario a la magnética, entonces: q.E = q.v.B de la cual podemos deducir la velocidad de los electrones.
Ejercicio 5. Un protón penetra en un campo eléctrico uniforme de 200 NC-1, con una velocidad de 106 m.s-1 perpendicular a dicho campo.
a) Explique, con ayuda de un esquema, las características del campo magnético que habría que aplicar, superpuesto al eléctrico, para que no se modifique la dirección y sentido de la velocidad inicial del protón. b) Calcule el valor de dicho campo magnético. ¿Se modificaría el resultado si en vez de un protón penetrarse, en las mismas condiciones, un electrón?
Carga y masa del electrón: e = 1,6.10-19 C; me = 9,1.10-31 kg.
Si la intensidad del campo magnético B es la misma en todos los puntos, el campo se denomina campo magnético uniforme. Se representa por las líneas de campo o líneas de inducción que son en cada punto tangentes al vector B, salen del polo norte para entrar por el
Las líneas de inducción no nos indican la dirección de las fuerzas magnéticas sino del campo, y no tienen ni principio ni fin pues son cerradas. Según el convenio utilizado las líneas del campo magnético terrestre salen del polo
norte magnético situado en las proximidades sur geográfico, y siguiendo, aproximadamente, las líneas de los meridianos entran por el polo sur magnético, que está próximo al norte geográfico.
El campo magnético terrestre nos protege de la acción de las partículas cargadas que vienen del exterior, sobre todo del Sol. Estas partículas son desviadas de su trayectoria hacia los polos, dando origen al fenómeno de las auroras polares.
En la figura 3.11 se representa las líneas del campo magnético alrededor de los cables que transportan la corriente. (a) Alambre recto; (b) Alambre en espira; (c)
Solenoide. La dirección y sentido del campo la podemos determinar por la regla de la mano derecha. Cuando el dedo pulgar indica la dirección de la corriente en un conductor rectilíneo los demás dedos marcan el sentido del campo magnético que rodea al alambre.
Ejercicio 6. Entre los diagramas siguientes, que indican la desviación que ejercen un campo eléctrico y un campo magnético B sobre una partícula cargada que se mueve perpendicularmente a los campos, hay dos falsos.
Por otra parte, de lo anteriormente dicho, se deduce que la fuerza magnética sobre una carga eléctrica no realiza trabajo puesto que es perpendicular a la velocidad de la carga -es decir, a su trayectoria-, pues no modifica el módulo de la velocidad pero si su trayectoria.
circunferencia con el campo magnético B y la velocidad v de la carga, pues la fuerza centrípeta que actúa sobre la carga es justamente la fuerza de Lorentz:
F = q.v.B. sen 90º = q.v.B F = m.ac → q.v.B = m.v2/R De donde obtenemos el radio de la circunferencia descrita por q:
R = m.v/q.B
Ejercicio 7. Un electrón penetra en un campo magnético uniforme de 10-3 T con una velocidad de 3.107 m/s perpendicular al campo. Calcula: a) la fuerza que actúa sobre el electrón; b) el radio de la órbita circular que describe. (Carga y masa del electrón: e = 1,6.10-19 C; me = 9,1.10-31 kg. Ejercicio 8. Un protón penetra en un campo magnético, con velocidad perpendicular al campo, y describe una trayectoria circular con un período de 10-5 s.
a) Dibuje en un esquema el campo magnético, la fuerza que actúa sobre el protón y su velocidad en
un punto de la trayectoria. b) Calcule el valor del campo magnético. Si el radio de la trayectoria que describe es de 5 cm, ¿cuál es la velocidad de la partícula?. e = 1,6.10-19 C; mp = 1,7.10-27 kg.
Ejercicio 9. Una partícula cargada penetra en un campo eléctrico uniforme con una velocidad perpendicular al campo. a) Describe la trayectoria seguida por la partícula y explique cómo cambia su energía. b) Repita el apartado anterior si en vez de un campo eléctrico se tratara de un campo magnético.
Ejercicio 10. Conteste razonadamente a las siguientes cuestiones:
a) ¿Es posible que una carga eléctrica se mueva en un campo magnético uniforme sin que actúe ninguna fuerza sobre ella?. b) ¿Es posible que una carga eléctrica se mueva en un campo magnético uniforme sin que varíe su energía cinética?.
Ejercicio 12. Un protón se mueve en el sentido del eje OY en una región donde existe un campo eléctrico de 3.105 NC-1 en el sentido positivo del eje OZ y un campo magnético de 0,6 T en el sentido positivo del eje OX. a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre la partícula y razone en qué condiciones la partícula no se desvía. b) Si un electrón se moviera en el sentido positivo del eje OY con una velocidad de 103 m.s-1, ¿sería desviado?. Explíquelo.
Ejercicio 13. Un electrón penetra con velocidad v en una zona del espacio en la que coexisten un campo eléctrico E y un campo magnético B, uniformes, perpendicular entre sí y perpendiculares a v. a) Dibuje las fuerzas que actúan sobre el electrón y escriba las expresiones de dichas fuerzas. b) Represente en un esquema las direcciones y sentidos de los campos para que la fuerza resultante sea nula. Razone la respuesta.
Ejercicio 14. Una partícula, con carga q, penetra en una región en la que existe un campo. a) Explique cómo podríamos determinar, al observar la trayectoria en la partícula, si se trata de un campo eléctrico o de un campo magnético. ¿Hay algún caso en que no sería posible determinar el tipo de campo?. b) Haga un análisis energético del movimiento de la partícula para un campo eléctrico y para un campo magnético, ambos perpendiculares a la velocidad con que la partícula penetra en el campo.
Ejercicio 15. En una región del espacio donde existe un campo magnético uniforme B se lanza una partícula cargada con velocidad v = v.i, observándose que no se desvía de su trayectoria. ¿Cuál será la trayectoria al lanzar la partícula con una velocidad v = v.j?. Representa dicha trayectoria en los casos de que la carga sea positiva y negativa.
El funcionamiento de muchos instrumentos de laboratorio y aparatos industriales se basa en las acciones que un campo magnético produce sobre las cargas eléctricas en movimiento. Dos de las aplicaciones más importantes son:
• ESPECTRÓMETRO DE MASA
Constituye un medio para determinar la existencia de isótopos de un determinado elemento químico y su abundancia en la naturaleza.
Funcionamiento:
En una cámara de ionización se ionizan diferentes isótopos de un mismo elemento químico. Los iones obtenidos tienen diferentes masas, pero igual carga eléctrica. A continuación, en una zona donde existe un campo eléctrico los iones son acelerados mediante una diferencia de potencial ∆V. El aumento de energía cinética es igual a la pérdida de energía potencial, por lo que adquiera una velocidad:
A continuación, los iones penetran en una zona perpendicularmente a un campo uniforme B, y en esa zona describen circunferencia cuyo radio es función es función de la relación carga-masa. Aplicando la segunda ley de Newton, se tiene que:
F = m.a →q.v.B = m v2/R → R = m.v/q.B
Como los diferentes isótopos tienen igual carga y diferente masa, sus radios de desviación son distintos y podemos determinar la relación masa –carga:
m/q = BR/v
Los iones inciden en la placa en un punto situado a una distancia d = 2R del lugar por donde penetraron en el campo magnético.
Ejercicio 16. Dos isótopos de un elemento químico, cargados con una sola carga positiva y con masa de 19,91.10-27 kg y 21,59.10-27 kg, respectivamente, se aceleran hasta una velocidad de 6,7.105 m/s. Seguidamente, entran en una región en la que existe un campo magnético uniforme de 0,85 T y perpendicular a la velocidad de los iones. Determina la relación entre los radios de las trayectorias que describen las partículas y la separación de los puntos de incidencia de los isótopos cuando han recorrido una semicircunferencia. e- = 1,6.10-19 C
Ejercicio 17. Un chorro de iones es acelerado por una diferencia de potencial de 10.000 V, antes de penetrar en un campo magnético de 1T. Si los iones describen una trayectoria circular de 5 cm de radio, determina su relación carga-masa.
• CICLOTRÓN
Permiten acelerar protones y deuterios (núcleos de hidrógeno pesados) hasta conseguir velocidades muy altas. Estas partículas se utilizan en la producción de materiales radiactivos con aplicaciones médicas.
Funcionamiento
El ciclotrón consta de dos recipientes metálicos semicirculares llamados des (debido a su forma) D1 y D2, colocados perpendicularmente a un campo magnético uniforme B producido por un electroimán. Las dos des están separados una cierta distancia y encerrado en un recipiente metálico, en el que se ha hecho el vacío.
Una fuente emite un ion de carga +q y masa m en el centro del aparato y penetra en una de las des en la que describe una semicircunferencia en un tiempo 1/2T. En ese momento llega a la zona de separación de las des y el campo eléctrico acelera el ion, incrementando su energía cinética en una cantidad: ∆Ec = q.∆V. A continuación el ion penetra en la otra D recorriendo una semicircunferencia de radio mayor en un tiempo 1/2T.
Al cabo de ese tiempo se ha invertido la diferencia de potencial entre las des y vuelve a aumentar la energía cinética en otra cantidad ∆Ec = q.∆V.
Sucesivamente se incrementa la energía cinética de la partícula, a la vez que recorre órbitas de radio cada vez mayores hasta que sale del campo magnético. Por otra parte, para que una partícula pueda ser acelerada en un ciclotrón debe cumplirse que la diferencia de potencial en la zona de separación de los des debe variar con una determinada frecuencia. En la práctica esto se consigue con un oscilador eléctrico cuya frecuencia de oscilación – denomina frecuencia de resonancia del ciclotrón- es:
f = 1/T = 2πR/v → f = qB/2πm
La velocidad máxima con la que la partícula sale del aparato no depende de la diferencia de potencial aplicada entre los des.
Vmáxima = Raparato.B.q/m
Ejercicio 18.Un protón sale despedido de un ciclotrón después de describir una semicircunferencia de 70 cm de radio. Si el campo magnético dentro de las des es de 0,3 T, determina la frecuencia de la diferencia de potencial alterna que se aplica entre las des para acelerar al protón. Calcula la velocidad del protón a la salida del ciclotrón y su energía cinética expresada en eV.
Ejercicio 19. Un protón, que se encuentra inicialmente en reposo, se acelera por medio de una diferencia de potencial de 6000 v. Posteriormente, penetra en una región del espacio donde existe un campo magnético de 0,5 T, perpendicular a su velocidad.
a) Calcule la velocidad del protón al entrar en el campo magnético y el radio de su trayectoria. b) ¿Cómo se modificarían los resultados del apartado a) si se tratara de una partícula alfa, cuya masa es aproximadamente cuatro veces la del protón y cuya carga es dos veces la del mismo?. e = 1,6.10-19 C; mp = 1,7.10-27 kg.
b) Calcule el radio de la trayectoria del protón y su período y explique las diferencias que encontraría si se tratara de un electrón que penetrarse con la misma velocidad en el campo magnético. e- = 1,6.10-19 C; mp = 1,67.10-27 kg; me = 9,1.10-31 kg.
8.3 FUERZAS MAGNÉTICAS SOBRE CORRIENTES ELÉCTRICAS
Sabemos que las corrientes eléctricas producen campos magnéticos y, por tanto, es lógico que, de igual modo los campos magnéticos ejerzan fuerzas magnéticas sobre la corriente eléctrica. Realmente así ocurre, y gracias a estas fuerzas magnéticas funcionan los motores. Supongamos que un alambre flexible cuelga dentro de un campo magnético –figura 3.13-. El campo puede corresponder a un
imán permanente o a una corriente controlada. Cuando no fluye corriente por el alambre cuelga por su peso. Pero cuando la corriente circula aparece una fuerza magnética en el alambre que lo mantiene rígido. Dicha fuerza es perpendicular al campo magnético y
a la corriente. Para determinar la dirección y sentido de las magnitudes se utiliza la regla de la mano derecha. Cuando el pulgar señala la dirección de la corriente y los otros dedos siguen la dirección del campo magnético externo, la fuerza que actúa sobre la corriente es perpendicular a la palma de la mano.
Mediante diversas experiencias en la que se fue variando la intensidad del campo magnético, la longitud de los conductores o el valor de la intensidad que circula por el conductor fueron suficientes para determinar que la fuerza magnética sobre un conductor rectilíneo de longitud L por el que circula una corriente I situada en un campo magnético B era proporcional al campo magnético B (Tesla), a la corriente I (Amperios) y a la longitud del conductor (metro). Matemáticamente se expresa: F = I(L××××B)
Ejercicio 21. Por un hilo conductor rectilíneo de 3m de longitud circula una corriente de 2 A de intensidad. Calcula la fuerza que experimenta cuando se le aplica un campo magnético uniforme de 3.10-2 T que forma un ángulo de 30º con la dirección del hilo.
Ejercicio 23. Una varilla, de 200 g y 40 cm de longitud, es recorrida por una intensidad de 2 A. Si la varilla está apoyada en una superficie horizontal de coeficiente de rozamiento 0,3, calcula el módulo y la dirección del campo magnético para que comience a deslizarse.
8.4 CAMPO MAGNÉTICO DEBIDO A UN CONDUCTOR RECTILÍNEO INDEFINIDO
De la misma manera que una carga produce un campo eléctrico o una masa produce un campo gravitatorio, el campo magnético
es debido a los elementos de corriente (cargas en movimientos). Para determinar la intensidad del campo magnético se define el vector campo magnético o inducción magnética B. Así, cuando se disponen varias brújulas alrededor de un conductor rectilíneo, se orientan según el campo magnético terrestre mientras no
circula corriente. Sin embargo, cuando circula corriente en sentido ascendente por el conductor, las brújulas se orientan tal como indica la figura. Dado que las líneas del campo magnético son salientes de los polos norte, podemos establecer que:
• Las líneas del campo magnético que son creadas por corriente rectilínea constituyen circunferencias concéntricas en el plano
perpendicular al conductor.
• La dirección del vector B es tangente en cada punto a dichas líneas, y su sentido es el que determinan los dedos de la mano derecha cuando el pulgar extendido señala en el sentido de la intensidad de la corriente.
En 1820 los físicos franceses Biot y Savart encontraron que la intensidad B del campo a una distancia perpendicular r del conductor era inversamente proporcional a r. Matemáticamente:
Bcond. rectilíneo = K.I/r
Siendo k una constante de proporcionalidad que depende del medio, en el vacío suele escribirse como: k = µ0/2π, donde µ0 es una constante denominada permeabilidad
magnética del vacío y cuyo valor es 4π.10-7 T.A-1.m. Sustituyendo en la ecuación para un conductor rectilíneo indefinido:
Ejercicio 24. Calcula el campo magnético debido a un conductor rectilíneo por el que circula una corriente de 10 A en un punto situado a 20 cm de distancia.
Ejercicio 25. A una distancia de 30 cm de un hilo conductor muy largo se ha medido un campo magnético de 4,2.10-6 T. Si no existe ninguna otra fuente de campo magnético, Calcula la intensidad de la corriente que circula por el hilo.
Ejercicio 26. Dos conductores rectos y paralelos están separados por una distancia de 10 cm y están recorridos en el mismo sentido por sendas intensidades de la corriente eléctrica de 10 A y 20 A. ¿A qué distancia de los conductores se anula el campo magnético?.
Ejercicio 27. Dos conductores rectilíneos, paralelos y muy largos, están separados por una distancia de 12 cm. Por los conductores pasan corrientes eléctricas en el mismo sentido y de intensidades I1 = 12 A e I2 =18 A. Calcula el campo magnético en los dos puntos situados sobre una recta perpendicular a los conductores y que está a 6 cm del conductor I1.
Ejercicio 28. Supongamos dos hilos metálicos largos, rectilíneos y paralelos, perpendiculares al plano del papel y separados 60 mm, por los que circulan corrientes de 9 y 15 A en el mismo sentido. a) Dibuje en un esquema el campo magnético resultante en el punto medio de la línea que une ambos conductores y calcule su valor. b) En la región entre los conductores, ¿a qué distancia del hilo por el que circula la corriente de 9 A será cero el campo magnético? µ0 = 4π.10-7 T.m.A-1.
Ejercicio 29. Dos conductores rectilíneos, verticales y paralelos, A a la izquierda y B a la derecha, distan entre sí 10 cm. Por A circula una corriente de 10 A hacia arriba. a) Calcule la corriente que debe circular por B, para que el campo magnético en un punto situado a 4 cm a la izquierda de A sea nulo. b) Explique con ayuda de un esquema si puede ser nulo el campo magnético en un punto intermedio entre los dos conductores. µ0 = 4π.10-7 T.m.A-1. Ejercicio 30. a) La fuerza que actúa sobre una partícula cargada que se mueve en un campo magnético no realiza trabajo. ¿Por qué?. b) Un alambre recto muy largo transporta una corriente de intensidad I. Un protón se mueve con velocidad v perpendicular al alambre y se encuentra en un instante a una distancia r del alambre. Dibuje en un esquema la dirección y sentido del campo magnético y de la fuerza que actúa sobre el protón.
Ejercicio 31. Comente razonadamente la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
a) La fuerza magnética entre dos conductores rectilíneos e indefinidos por los que circulan corrientes de diferente sentido es repulsiva.
b) Si una partícula cargada en movimiento penetra en una región en la que existe un campo magnético siempre actúa sobre ella una fuerza.
magnéticos creados por cada uno de los elementos de corriente en los que podía dividirse el conductor original, llegando a establecer una ley general, ley de Biot y Savart. El valor de la inducción magnética ∆B debido a un elemento de
conductor de longitud ∆L por el que circula una corriente I en un punto P a una distancia r del mismo es:
∆∆∆∆B = µµµµ0.I.∆∆∆∆L.senαααα /4ππππr2
siendo α el ángulo que forman los vectores ∆L y r como observamos en la figura 3.15.
8.5 CAMPO MAGNÉTICO DEBIDO A UNA ESPIRA CIRCULAR
La ley de Biot y Savart permite calcular fácilmente el campo magnético en el centro de una espira circular de radio R por la que circula una corriente
eléctrica I –figura 3.16-.
Dado que el campo es perpendicular a todos los elementos de corriente en que puede descomponerse la espira, es perpendicular al plano que la contiene; el ángulo α vale 90º para todos los elemento. Por consiguiente:
B = µµµµ0.I.∆∆∆∆L/4ππππR2
como ∆∆∆∆L es la longitud de la circunferencia (2πR), resulta: B = µµµµ0I/2R
El módulo del campo magnético B en el centro de una espira es directamente proporcional a la intensidad de la corriente e inversamente proporcional a su radio. La dirección de B es perpendicular al plano de la espira, y su sentido está determinado por el avance de un sacacorcho que gire en el sentido de la corriente o por la regla de la mano derecha.
Ejercicio 32. Calcula el campo magnético en el centro de una espira circular de 20 cm de diámetro cuando circular por ella una intensidad de corriente de 3 A.
8.6 FUERZAS MAGNÉTICAS ENTRE DOS CONDUCTORES RECTILÍNEOS INDEFINIDOS
Si se tienen dos conductores rectilíneos paralelos por los que circulan, en el mismo sentido, las dos corrientes eléctricas I1 e I2, respectivamente, separadas por una distancia r, el primer conductor genera un campo cuya inducción magnética en un punto cualquiera del segundo conductor es, de acuerdo con la ley de Biot y Savart: B1 = µµµµ0I/2ππππr1
al plano que este forma con el primero. Dicho campo ejerce sobre un segmento de longitud L del segundo una fuerza cuyo módulo es:
F1,2 = I2LB1sen90º = I2LB1
Sustituyendo el valor del campo, se obtiene: F1,2 = µµµµ0I1I2L/2ππππr
Del mismo modo se calcula F2,1 que ejerce el segundo conductor sobre un segmento de longitud L del primero. Su valor es el mismo pues son dos fuerzas iguales, están contenidas en el mismo plano de los conductores y su dirección el perpendicular a ellos. Si ambas corrientes tienen el mismo sentido, las fuerzas atraen entre sí a los conductores; si son de sentido contrario, los repelen entre sí.
La expresión anterior se utiliza para definir el amperio (A), que es la unidad de intensidad de la corriente eléctrica en el Sistema Internacional. Si en la expresión de la fuerza se considera r = 1m, I1=I2= 1A, y teniendo en cuenta que µ0=4π.10-7 N.m/A2, resulta:
F/L = 2.10-7 N.m-1
Un amperio es la corriente invariable que, circulando sobre dos conductores paralelos de longitud infinita y separados por una distancia de un metro, en el vacío, produce sobre cada conductor una fuerza de 2.10-7 N.
Ejercicio 33. Dos hilos conductores rectilíneos y paralelos, de gran longitud, están separados 10 cm. Si por ellos circulan corrientes de 2 A y 5 A en el mismo sentido, calcula la fuerza que se ejercen mutuamente por unidad de longitud y di si es atractiva o repulsiva. Ejercicio 34. Explica cómo variará la fuerza que ejercen entre sí dos conductores rectilíneos paralelos, si: a) se duplica la intensidad de uno de ellos y al mismo tiempo se aleja del otro hasta duplicar la distancia inicial; b) se duplica la intensidad de ambos y se separan hasta la distancia entre ellos sea el doble de la inicial.
Ejercicio 35. Por dos conductores rectilíneos circulan corrientes de igual intensidad. a) Indique la dirección y sentido de las fuerzas que se ejercen en los conductores entre sí. ¿Depende esta fuerza de la corriente que circula por ellos?. b) Represente gráficamente la situación en la que la fuerza es repulsiva
Ejercicio 36. Por un conductor rectilíneo indefinido, apoyado sobre el plano horizontal, circula una corriente de 20 A. a) Dibuje las líneas del campo magnético producido por la corriente y calcule el valor de dicho campo en un punto situado en la vertical del conductor y a 2 cm de él. b) ¿Qué corriente tendría que circular por un conductor, paralelo al anterior y situado a 2 cm por encima de él, para que no cayera, si la masa por unidad de longitud de dicho conductor es de 0,1 g?. µ0=4π.10-7 N/A2; g = 10 m.s-2
dibuja en un esquema la dirección y sentido de todas las magnitudes vectoriales que intervienen. b) Explique qué modificaciones se producirían, respecto del apartado anterior, en los casos siguientes: i) si el conductor forma un ángulo de 45º con el campo; ii) si el conductor es paralelo al campo.
8.7 LEY DE AMPÈRE. CAMPO MAGNÉTICO DEBIDO A UN SOLENOIDE
Si multiplicamos por 2πr la expresión del campo magnético creado por un conductor rectilineo: Bcond.rectilíneo = µµµµ0I/2ππππr
2ππππr.B = 2ππππr. µµµµ0I/2ππππr →→→→ 2ππππr.B = µµµµ0I
El primer miembro 2ππππr.B es simplemente la intensidad del campo multiplicada por la longitud de la trayectoria cerrada a la que es tangente. Y como B es inversamente proporcional al radio del círculo, el producto 2πr.B es el mismo para todas las circunferencias que rodean una corriente rectilínea I. Este producto se denomina circulación de B, y su importancia reside en que para cualquier trayectoria cerrada la circulación depende únicamente de la corriente neta que atraviesa la superficie limitada por curva. Esto se conoce con el nombre de la Ley de Ampére que dice:
“La circulación de B a lo largo de una línea cerrada es igual a µ0 veces la intensidad de la
corriente o corrientes encerradas por ella”. Se representa: ∫∫∫∫B.dl = µµµµ0I
Este teorema nos permite obtener el campo magnético creado por algunas corrientes eléctricas de intensidad constante y de simetría sencilla. Por ejemplo: para un conductor de radio R en un punto situado a una distancia r del conductor:
2ππππr.B = µµµµ0I →→→→ B = µµµµ0I/2ππππr
También, permite calcular el campo magnético en el interior de un conductor rectilíneo. Si llamamos I´ a la intensidad que circula por el conductor encerrado en una circunferencia de radio r(r<<R) e I a la que circula por el conductor de radio R, como la densidad de carga es la misma: I/ππππR2 =I´/ππππr2→→→→ I´= r2I/R2
Por tanto, B.2ππππr = µµµµ0 r2I/R2→→→→ B = =µµµµ0Ir/2ππππR2
Ejercicio 38. Halla el campo magnético debido a un conductor rectilíneo indefinido de 2 mm de radio por el que circula una corriente de 0,5 A, distribuida uniformemente por el conductor, a una distancia del eje de: a) 1 mm; b) 5 mm.
magnético intenso, paralelo a su eje, y uniforme en el interior del solenoide. En puntos exteriores y alejados del eje del solenoide, el campo es muy débil. Las líneas de inducción magnética de un solenoide son idénticas a las de un imán recto. No tienen ni principio ni fin, pues son líneas cerradas.
Para calcular el campo magnético puede partirse del estudio de un solenoide como el de la figura, de longitud L, por el que circula una corriente I y formado por N espiras. Si se considera el rectángulo OPQR señalado, la circulación a lo largo de él es:
B.OR + B.RQ + B.QP + B.PO
La corriente encerrada por este rectángulo es N.I. Por consiguiente, si aplicamos la ley de Ampére, se tiene: B.OR + B.RQ + B.QP + B.PO = µµµµ0.N.I
Como el campo exterior puede considerarse prácticamente nulo (B.RQ= 0), y como los vectores QP y OR son perpendiculares al campo (cos 90º =0) , resulta:
B.PO = N.I →→→→ B.L = µµµµ0.N.I
Si se denomina n al número de espiras por unidad de longitud (N/L), resulta la expresión para el campo magnético en un solenoide: B = µµµµ0.n.I
El campo magnético en el interior del solenoide no depende de su diámetro ni de su longitud, sino de la concentración de espiras a lo largo del mismo (de lo apretadas que estén). Si en el interior del solenoide se introduce un núcleo de hierro obtenemos un electroimán, y el valor de la inducción magnética puede ser hasta mil veces mayor (µHierro ≈
1000µ0). El electroimán es, por tanto, un imán artificial que produce un campo magnético cuando circula la corriente eléctrica, y solo mientras dura el paso de la misma. Se utilizan en timbres eléctricos, altavoces, grúas para transportar el hierro, receptores telefónicos, etc. Presenta muchas ventajas con respecto al imán:
• Permiten obtener campos magnéticos más intensos.
• Facilita invertir el sentido del campo invirtiendo el sentido de la corriente.
• Posibilita controlar el valor del campo magnético controlando el valor de la corriente eléctrica.
Si el conjunto de espira se enrolla en torno a un núcleo de hierro en forma de anillo obtendríamos un anillo toroidal o un toroide.
Ejercicio 39. Calcula la inducción magnética en el interior de un
Ejercicio 40. a) Utiliza el teorema de Ampére para determinar el campo magnético en el interior del toroide; b) Calcula el campo magnético creado por un toroide de 300 espiras recorrido por una corriente de 4 A a una distancia de 20 cm de su centro.
Ejercicio 41. Por un solenoide de 50 cm de longitud formado por 500 espiras circula una corriente de 2 A. a) Calcula el campo magnético en el interior del solenoide; b) en el hueco del solenoide colocamos una barra en el interior dulce. Calcula el campo magnético en el interior de la barra de hierro. (Permeabilidad relativa del hierro dulce: µr =1500).
9. LA INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
Si Oersted en 1820 demostró que una corriente eléctrica es capaz de desplazar la aguja imantada de una brújula, Faraday en 1832 demostró, recíprocamente, que al desplazarse un imán ante un circuito cerrado, se producía una corriente
eléctrica. Puede realizar fácilmente la experiencia de Faraday con ayuda de una bobina o solenoide, un imán y un miliamperímetro, es decir un amperímetro extremadamente sensible, capaz de medir las corrientes de algunas milésimas de amperios.
Si se introduce el imán –figura 3.19-, el amperímetro se desvía durante todo el movimiento, indicando el paso de corriente en la bobina. Pero si se detiene el imán dentro de la bobina, el miliamperímetro vuelve a cero. Al sacar el imán de la bobina, el miliamperímetro se desvía en sentido contrario, durante el movimiento. Pero vuelve al cero el miliamperímetro cuando el imán se aleja de la bobina. Las corrientes obtenidas durante los desplazamientos del imán se llaman corrientes inducidas. La bobina se llama bobina inducida o inducido y el imán es el inductor.
Faraday comprobó con esta experiencia que se produce corriente inducida en la bobina cada vez que hay un desplazamiento del imán; es decir, se produce una variación del flujo magnético en la bobina inducida. El flujo del vector B (campo magnético) a través de una superficie S es el número de líneas de inducción que atraviesa la superficie S y es igual al producto escalar de B por S. Matemáticamente se escribe:
φφφφ = B.S.cosαααα
al valor de esta superficie. La unidad de flujo magnético en el SI es el weber y su relación con el tesla es: 1T = 1Wb/m2
Ejercicio 42. Halla el flujo magnético que atraviesa una espira cuadrada de 10 cm de lado situada perpendicularmente a un campo magnético uniforme de 0,3 T.
De la experiencia anterior, Faraday, deduce su primera ley, y dice que “cuando se modifica
el flujo magnético que atraviesa un circuito cerrado, se produce en éste una corriente
inducida que tiene la misma dirección que la variación del flujo”.
El sentido de la corriente inducida fue determinado por el ruso Lenz (1804-1865). Su ley dice:“El sentido de la corriente inducida es tal que el flujo que produce se opone a la
variación del flujo inductor que lo ha producido”
Para analizar esta ley introducimos el polo norte del imán en la espira de la figura 3.21. El flujo inductor φ aumenta (B permanente). La variación del flujo inductor crea una corriente
inducida en virtud de la ley de Faraday. Esta corriente inducida produce, a su vez, un campo magnético cuyo flujo, flujo inducido φ’(B inducido), que en virtud de la ley de Lenz , se opone a la variación del flujo inductor; es decir, va en sentido contrario de las del flujo inductor, para intentar oponerse al aumento de este último.
El sentido de la corriente es tal que la espira equivale a un imán con su polo norte enfrentado al polo norte del imán. La ley de Lenz es una consecuencia del principio de conservación de la energía. Para determinar el sentido de la corriente inducida hay que aplicar la regla del sacacorcho o de las agujas del reloj de manera que se desplace en el sentido de las líneas del campo. Con un razonamiento similar, podemos deducir que el sentido de la corriente inducida se invierte al alejar el imán.
La diferencia de potencial que aparece en los extremos de un inducido, y que podemos medir mediante un voltímetro, como consecuencia de los fenómenos de inducción es la fuerza electromotriz de inducción εεεε (f.e.m). Dicha fuerza electromotriz de inducción será tanto más elevada cuando:
• Mayor sea la velocidad de variación del flujo magnético.
Físicamente la fem representa la energía necesaria para transportar la unidad de carga desde el potencial más bajo al potencial más alto.
Hemos hablado de corriente inducidas, pero sabemos que una corriente no puede existir sino cuando el circuito está cerrado. Pues bien, aunque no suministre ninguna corriente, por ejemplo un generador que no esté conectado a un circuito exterior, en él existe una fuerza electromotriz de inducción de 110 voltios, por ejemplo, que se puede medir con un voltímetro.
Las leyes Faraday y Lenz pueden sintetizarse conjuntamente en la expresión: εεεε = - dφφφφ/dt
εεεε = fuerza electromotriz inducida, voltios φφφφ = flujo magnético, weber
t = tiempo invertido, s.
Y dice que: “La fuerza electromotriz inducida en un circuito es igual a la variación, por unidad
de tiempo, del flujo magnético que lo atraviesa, cambiada de signo”.Enunciado de la ley de
Lenz-Faraday.
Ejercicio 43. Contesta razonadamente a las siguientes preguntas:
a) Si no existe flujo magnético a través de una superficie, ¿puede asegurarse que no existe campo magnético en esa región?. b) Existe fuerza electromotriz inducida en una espira colocada frente a un imán?. c) La fuerza electromotriz inducida en una espira, ¿es más grande cuando mayor sea el flujo magnético que la atraviesa?.
Ejercicio 44. Una espira cuadrada de 2 m de lado está situada perpendicularmente a un campo magnético uniforme de 0,5 T. a) Explique razonadamente si, en estas circunstancias, se induce corriente eléctrica en la espira. b) Determine la fuerza electromotriz media inducida en la espira si, en 0,1 s, gira 90º en torno a un eje perpendicular al campo.
Ejercicio 45. Un campo magnético uniforme varía en el tiempo según la expresión B = 0,4t – 0,3 (en unidades del S.I). Calcula la fem inducida en una espira de 50 cm2 si el plano de la espira es perpendicular a las líneas de inducción.
Ejercicio 46. Una bobina con 200 espiras de 25 cm2 está situada en un campo magnético uniforme de 0,3 T con su eje paralelo a las líneas de inducción. Calcula la fem en la bobina cuando se gira hasta colocar su eje perpendicular a las líneas de inducción en un tiempo de 0,5 s.
La importancia fundamental del fenómeno de la inducción electromagnética reside en la posibilidad de transformar la energía mecánica en energía eléctrica. El funcionamiento de muchos aparatos de uso frecuente,
como reproductores de vídeo, casetes músicas, micrófonos,.. se basa en este fenómeno. Vamos a analizar la fuerza electromotriz generada cuando una espira rectangular de área S se
introduce perpendicular a un campo magnético -3.22-.
Si la espira se mueve con movimiento uniforme y su velocidad angular es ω, el flujo que atraviesa la espira será:
φφφφ = B.S.cos αααα
siendo α el ángulo que forman los vectores B y S. Para analizar este ángulo consideramos el esquema en el que representamos el giro de una espira en torno a un eje y que está situado en el seno de un campo, perpendicular al plano del papel y hacia dentro, y sea α el ángulo entre el vector superficie S y el vector campo magnético B.
Posición 1. Si en el instante inicial la espira está situada perpendicularmente al campo magnético, entonces α = 0 y el flujo magnético que atraviesa la superficie:
φφφφ1 = B.S.cos 0 = B.S
Posición 2. Al girar la espira un cuarto de vuelta, entonces α = 90º y el flujo magnético: φφφφ2 = B.S.cos 90º = 0
Posición 3. Al rotar la espira media vuelta, entonces α = 180º y el flujo magnético: φφφφ3 = B.S.cos 180º = -B.S
φφφφ4 = B.S.cos 270º = 0
Posición 5. Al dar una vuelta entera, entonces α = 360º y el flujo magnético: φφφφ5 = B.S.cos 360º = B.S = φφφφ1
Desde la posición 1 a la 3 disminuye el flujo magnético que atraviesa la espira. La intensidad de la corriente eléctrica inducida tiene el sentido de las agujas del reloj, con el fin de inducir un campo magnético que refuerce el campo inductor dentro de la espira y así oponerse a la disminución del flujo magnético.
Desde la posición 3 hasta la posición 5 aumenta el flujo magnético que atraviesa la superficie que delimita la espira. La intensidad de la corriente inducida cambia de sentido, pasando a tener el sentido contrario al de las agujas del reloj. De esta forma se induce dentro de la espira un cambio magnético de sentido contrario al del campo magnético inductor y así oponerse al aumento del flujo magnético que la atraviesa. Como α = ω.t, podemos expresar la ecuación anterior como:
φφφφ = B.S.cos ωωωω.t
Si tenemos en cuenta la ley de Faraday-Lenz: εεεε = - dφφφφ/dt = B.S.w. sen ωωωω.t
que es la expresión de la fuerza electromotriz generada por una espira. Se trata de una función sinusoidal. Su valor máximo es εεεεmáx = B.S.w. Observamos que la fem depende del campo magnético, del área de la espira, de la velocidad angular con que se mueve, y del tiempo empleado en su movimiento. Si en lugar de una espira se tiene una bobina de N espiras, la f.e.m será:
εεεε = N.B.S.w. sen ωωωω.t
Por consiguiente, la fuerza electromotriz que se induce en una bobina que gira con velocidad angular en un campo magnético uniforme es sinusoidal. La corriente inducida en la bobina se denomina alterna porque el sentido de la corriente varía periódicamente con el tiempo.
Ejercicio 47. Una bobina compuesta por 200 espiras circulares de 20 cm de diámetro gira con una frecuencia de 50 Hz en un campo magnético uniforme de 0,2 T. Halla la fuerza electromotriz inducida máxima.
circula por la espira: i) si aumenta la intensidad del campo magnético; ii) si disminuye dicha intensidad.
Ejercicio 49. Una espira cuadrada de 10 cm de lado, inicialmente horizontal, gira a 1200 revoluciones por minuto, en torno a uno de sus lados, en un campo magnético uniforme de 0,2 T, de dirección vertical. a) Calcule el valor máximo de la fuerza electromotriz inducida en la espira y represente, en función del tiempo, el flujo magnético a través de la espira y la fuerza electromotriz inducida. b) ¿Cómo se modificaría la fuerza electromotriz inducida en la espira si se redujera la velocidad de rotación a la mitad?, ¿y si se invirtiera el sentido del campo magnético?.
Ejercicio 50. Una espira circular de área A = 0,1 m2 está fija en un campo magnético B, normal a ella, cuyo valor inicial es B0 = 0,2 T. El citado campo disminuye linealmente con el tiempo y al cabo de t = 10-2 s se anula. Determinar la fuerza electromotriz inducida en la espira y el sentido de la corriente inducida.
Ejercicio 51. Una espira de 10 cm de radio gira a 30 revoluciones por segundo alrededor de uno de sus diámetros en un lugar en que el campo magnético terrestre vale 5.10-5 T y es perpendicular a dicho diámetro. Halle la máxima fuerza electromotriz inducida en la espira. Ejercicio 52. (Selectividad 2010). Una espira circular de 5 cm de radio, inicialmente horizontal, gira a 60 rpm en torno a uno de sus diámetros en un campo magnético vertical de 0,2 T.
a) Dibuje en una gráfica el flujo magnético a través de la espira en función del tiempo entre los instantes t = 0 s y t = 2 s e indique el valor máximo de dicho flujo.
b) Escriba la expresión de la fuerza electromotriz inducida en la espira en función del tiempo e indique su valor en el instante t = 1 s.
Cualquier dispositivo que transforma una determinada forma de energía en energía eléctrica recibe el nombre de generador. Si el generador produce corriente eléctrica continua, suele recibir el nombre de dinamo y, si la corriente es alterna, se llama alternador.
• Funcionamiento de una dinamo. Se hace girar una espira entre los polos de in imán, de modo que la variación del flujo magnético que atraviesa la espira genera una corriente
mismo sentido. La corriente eléctrica producida en una dinamo se dice que es una corriente pulsante, como indica la gráfica de la figura.
• Funcionamiento de un alternador. Se hace girar una espira entre los polos de un imán, de modo que la variación
del flujo magnético que atraviesa la espira genera una corriente inducida.
Los extremos de la espira acaban en dos anillos que se
conecta al circuito externo mediante dos escobillas –figura 3.24-. A medida que la espira gira en el campo magnético, el flujo magnético que la atraviesa varía, y por tanto induce una fem en la espira, que es sinusoidal y varía de sentido dos veces cada período.
11. TRANSPORTE DE LAS CORRIENTES ALTERNAS. FUNDAMENTOS DEL TRANSFORMADOR. VENTAJAS DE LA CORRIENTE ALTERNA FRENTE A LA CORRIENTE CONTINUA
El transporte de energía eléctrica desde las centrales eléctricas a los consumidores debe hacerse a voltajes altos e intensidades muy pequeñas, para reducir las pérdidas durante el transporte por disipación calorífica. Por ello, la fuerza electromotriz de salida del alternador, del orden de 10.000 V, se eleva en la estación transformadora de la central hasta varios de cientos de miles de voltios; se transporta mediante líneas de alta tensión; y finalmente, en estaciones transformadoras próximas a los lugares de consumo, se reduce al voltaje que utiliza el usuario, normalmente 220 voltios.
aumentar el campo magnético creado por la corriente de entrada y canalizar las líneas de inducción de modo que prácticamente todo el flujo que atraviesa el circuito primario también atraviese el secundario.
La corriente alterna que circula por el circuito primario produce un flujo magnético variable que origina una fem inducida alterna en el circuito secundario. Si llamamos V1 a la tensión alterna aplicada al primario y V2 a la tensión o fem inducido en el secundario. Si el número de espiras del primario y del secundario son, respectivamente, n1 y n2, aplicando la ley de Faraday- Lenz al primario y al secundario:
V1 = - n1. dφφφφespira /dt V2 = - n2. dφφφφespira /dt
Despejando dφφφφespira /dt de las dos ecuaciones e igualando resulta la expresión: V2/ V1 = n2/n1 → V2.n1 = V1.n2
Por otro lado, las pérdidas de energía en el proceso de transformación son tan pequeñas que pueden despreciarse. En tal caso, la potencia de la corriente de entrada es igual a la potencia de salida (P1=V1.I1 = P2= V2.I2). De esta ecuación obtenemos la relación de transformación:
V2/ V1 = n2/n1= I1/I2→→→→ V2.I2 = V1.I1
Observamos que la tensión y la intensidad de la corriente de salida son inversamente proporcionales. Un transformador con mayor número de espiras en el circuito primario que en el secundario disminuye la tensión de la corriente alterna, pero aumenta su intensidad. En cambio, un transformador con mayor número de espiras en el circuito secundario aumenta la tensión, pero disminuye la intensidad. Sin embargo, el fenómeno de la transformación de la tensión no se puede aplicar a corriente continuas, ya que no genera campos magnéticos variables y por ello no produce corrientes inducidas.
Ejercicio 53. a) Explique el funcionamiento de un transformador eléctrico. b) ¿Se puede transformar la corriente continua?. c) ¿Qué ocurre si el primario del transformador está conectado a una pila?. Razone las respuestas.
Ejercicio 53. El circuito primario de un transformador tiene 600 vueltas y el circuito secundario tiene 30 vueltas. Si por el circuito primario, circula una corriente alterna con una tensión máxima de 310 voltios y una intensidad máxima de 0,14 A, calcula los valores de tensión y de intensidad de la corriente de salida.
en los circuitos de corriente no se puede utilizar los transformadores pues no genera campos magnéticos variables, y por consiguiente no pueden variar el voltaje.
2ª Los equipos generadores de la corriente alterna requieren voltajes bajos y por consiguientes, cables finos. Los de corriente continua necesitan cables gruesos.
