Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

Áreas y perímetros de figuras sencillas

Halla el área y el perímetro de las figuras coloreadas de los siguientes ejercicios:

1

a) b) a) S3 m3 m9 m2 b) S6 m 2 1,8 m 5,4 m2 P43 m12 m P34613 m

2

a) b) a) Sπ32dm228,26 dm2 b) S9 cm 2 6 cm 27 cm2 P2π3 dm18,84 dm P6 cm9 cm10,8 cm25,8 cm

3

a) b) a) SB 2 b h10 2 6 648 cm2 b) S30 m17 m510 m2 P66107,229,2 cm P(172) m(302) m94 m

4

a) b) a) SD 2 d 40 2 26_{520 cm}2 b) S23 2 13,8 158,7 dam2 P23,94 cm95,6 cm P18231859 dam 3 m 3 m _{1,8 m} 4 m 6 m 6 cm 9 cm 10,8 cm 3 dm 6 cm 10 cm 6 cm 7,2 cm 17 m 30 m 23,9 cm 40 cm 26 cm 18 dam 13,8 dam 23 dam

5

a) b) a) S74 2 42 27,81 612,4 m2 b) SP 2 a_(54 2 )2,8_{28 m}2 P7442(322)180 m P5420 m

6

a) b) a) S52,512,5 km2 b) Sπ 2 r2 π 2 52 39,25 cm2 P(25)(23)16 km P2 2 πr 2rπ51025,7 cm

7

a) b) a) SP 2 a (86 2 )7,2 172,8 cm2 P6848 cm b) S15,3 2 7 444,6 m2 P515,312739,3 m

8

a) b) a) SπR2πr2π102π6264 π200,96 cm2 P2 πR2 πr32 π100,48 cm 2,8 m 4 m 74 m 42 m 27,8 m 32 m 5 km 2,5 km _{3 km} 5 cm 7,2 cm 6 cm 5 m 7 m 4 m 15,3 m 12 m 10 cm 6 cm 10 m 3,5 m 7,1 m 7,9 m

b) SSCUADRADOSROMBO100 14, 2 27_{50,3 m}2 PPCUADRADOPROMBO1047,9471,6 m

9

a) b) a) Sπ 3  6 r2 0  ° α π1 3 5 6 2 0 1 ° 20° 235,5 m2 P2 3 π 6 r 0  ° α 2r2π 3 1 6 5 0  ° 120° 3061,4 m b) S6 2 5,2 15,6 m; P6318 m

10

a) b) a) SπR 2_ 2 πr2 64π 2 25π 39 2 π 61,23 m2 P2π 2 R 2 2 πr 2 (Rr)8π5π613π646,82 m b) S15 2 8 60 dam2_{; P8171540 dam} Medir y calcular

En cada una de las siguientes figuras toma las medidas que creas necesarias y cal-cula su superficie y su perímetro.

11

a) b) 120° 15 m 5,2 m 6 m 6 m 6 m 5 m 8 m 17 dam 15 dam 8 dam

a) b) S2,42,45,76 cm2 _Sπ_1,22_{4,52 cm}2 P42,49,6 cm P2π1,27,54 cm

12

a) b) a) b) S2,424,8 cm2 S3,5 2 2 3,5 cm2 P22,4228,8 cm P248 cm

13

a) b) a) S(2,7 2 1,6)2 4,3 cm2 P2,731,629,3 cm 2,4 cm 1,2 cm 2 cm 2 cm 3,5 cm 2 cm 2,4 cm 2,7 cm 2,3 cm 2 cm 1,6 cm

b)

S 3,01 cm2

P 21,27,42 cm

14

a) b)

a)

SATRIÁNGULOATRAPECIOASECTOR 1,8 2 3 (3,21 2 ,7)1,5 π 3  6 1 0 ,8 ° 2 60°2,73,6751,6956 8,07 cm2 P1,831,63,22 3 π 6  0 1 ° ,8 609,61,88411,481 cm b) S2,21,53,3 cm2_{; P2,221,627,6 cm} (2π1,82π0,6)120°  360° (π1,82π0,62)120°  360° 120° 1,8 cm 1,2 cm 60° 3 cm 1,8 cm 3,2 cm 1,6 cm1,5 cm 1,8 cm 1,7 cm 1,5 cm 1,6 cm 2,2 cm

Calcular el elemento que falta

En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su área y su perímetro. Para ello tendrás que calcular el valor de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángu-lo, …). Si no es exacto, halla una cifra decimal.

15

a) b) a) b) l



8



2152



17 cm c



13



252



12 m S8 2 15 60 cm2 _S12 2 5 30 m2 P1581740 cm P1251330 m

16

a) b) a) b) b



22



210



219,6 cm a



30



220



222,4 m S1019,6196 cm2 S40 2 22,4 448 m2 P10219,6259,2 cm P303040100 m 13 m 5 m 8 cm 15 cm 40 m 30 m 10 cm 22 cm 13 m 5 m 8 cm 15 cm b 10 cm 22 cm a 20 m 40 m 30 m

17

a) b) a) l



9



29212,7 dam S12,72161,3 dam2 P412,750,8 dam b) D 2



20 2_1



3



215,2 m → → D30,4 m S30,4 2 26 395,2 m2 P42080 m

18

a) b) a) b) α360° : 3120° R



3



2324,2 m Sπ4 3 2 6  0 1 ° 20° 16,7 m2 Sπ4,22π3227,1 m2 P442π 3 4 6  0 1 ° 20° 16,4 m P2π4,22π345,2 m 20 m 26 m 18 dam 3 m 4 m l l 9 dam 9 dam 18 dam

NOTA: En este ejercicio

he-mos de tener en cuenta que l9



2



y, por tanto,

S(9



2



)2162 pero no se puede poner a los alumnos de este nivel.

D 20 m 26 m 3 m R 4 m 120°

19

S283281847342 638 m2 P2832244734391840262 m

20

a) b) a) b) b



8



2526,2 cm a



13



212



25 cm S56,231 cm2 _S12 2 5 2540 cm2 P526,2222,4 cm P52131434 cm 32 m 39 m 47 m 34 m 24 m 28 m 5 cm 8 cm 14 cm 2 cm 13 cm 32 m 39 m 47 m 34 m 24 m 28 m 18 8 14 cm 2 cm 13 cm a 12 cm 5 cm 8 cm b

21

AB— CD—41 m BC—53 m AD—71 m — ADBC—18 m → AE—9 m a



41



292



40 m S(715 2 3)40 2 480 m2 P41415371206 m

22

OB—13,6 cm AB—16 cm a



13,6



2



8211 cm S = 440 cm2 P = 16 · 5 = 80 cm

23

MN–—6 dm NP—4 dm PQ—3,6 dm a



4



22,4



23,2 dm S(63, 2 6)3,2 15,4 dm2 P643,63,216,8 dm 80 · 11 2 A D B C A D B C a a E O A B a 8 cm O A B N M Q P N M Q P 2,4 a

24

PQ—= QR—= RS—= SP—= 6,5 cm PR—= 12 cm  2d



6,5 2_



6



22,5 cm → d5 cm S5 2 12 30 cm2 ; P6,5426 cm

25

A∧60° AB—10 m a



10



252



8,7 m ATRIÁNGULO10 2 8,7 43,5 m2 ASECTORπ1 3 0 6 2 0  ° 60° 52,3 m2 AASECTORATRIÁNGULO8,8 m 2 P = 10 + = 20,5 m

26

AB—AC—BC—8 cm BD—DE—1 2 BE BE—



8



2426,9 BD—DE—6 2 ,9 3,45 DC—



3,45



2



425,3 S8 2 6,9 83 2 ,45 27,613,813,8 cm2 P2825,326,6 cm 2π· 10 · 60° 360° P S Q R d P S Q R B A a 5 B A B D A E C

27

Un hexágono regular está inscrito en una circun-ferencia de 6 cm de radio. Halla el área del recinto com-prendido entre ambas figuras.

 El lado del hexágono regular es igual al radio de su circun-ferencia circunscrita. a



6



2325,2 cm SCÍRCULOπ62113,04 cm2 SHEXÁGONO36 2 5,2 93,6 cm2 SSCÍRCULOSHEXÁGONO19,44 cm 2

28

Para cubrir un patio rectangular, se han usado 175 baldosas de 20 dm2 cada una. ¿Cuántas baldosas cuadradas de 50 cm de lado serán necesarias pa-ra cubrir el patio, idéntico, de la casa vecina?

El área del patio es 175203 500 dm2

El área de la baldosa cuadrada es 50502 500 cm225 dm2 Por tanto, se necesitarán 3 500 : 25140 baldosas.

29

El área de un rombo es 24 cm2. Una de sus diagonales mide 8 cm. Ha-lla su perímetro. 248 2 d_{ →} d4 8 8 6 cm l



4



2325 cm

Por tanto, el perímetro es 4520 cm.

30

Sabiendo que el lado del cuadrado mide 30 cm, calcula el radio del círculo inscrito y el radio del círculo circunscrito. Calcula el área de la zona coloreada.

El radio de la circunferencia inscrita es la mitad del lado del cuadrado, es de-cir, r15 cm. 6 cm 3 a l d 8 cm r R

El radio de la circunferencia circunscrita es:

R



15



215



221,2 cm

El área pedida es: AAC. CIRCUNSCRITAAC. INSCRITAπ21,2

2_π152_{704,7 cm}2

31

Un cuadrado de 1 m de lado se divide en cuadraditos de 1 mm de lado.

¿Qué longitud se obtendría si colocáramos en fila todos esos cuadraditos? 1 mm0,001 m. Así, en el cuadrado de 1 m de lado hay:

1 m2: 1 mm21 m2: (0,001)2m21 000 000 de cuadraditos de 1 mm de lado Colocados en fila alcanzan una longitud de:

1 000 0001 mm1 000 000 mm1 000 m1 km

32

¿Es regular este octógono?

Calcula su área y su perímetro.

No es regular, porque los lados oblicuos son distintos a los otros cuatro.

Miden: l



1



212



2



1 El área de cada triángulo es 1

2 cm 2

.

Así, el área del polígono es: 541

27 cm 2

Su perímetro es: 44



2



 9,66 cm

33

Una habitación cuadrada tiene una superficie de 25 m2. Hemos de embaldosarla con losetas cuadradas de 20 cm de lado (se llaman losetas de 20 ×20). ¿Cuántas losetas se necesitan?

La superficie de una loseta de 20 × 20 es:

2020400 cm20,04 m2 Por tanto, necesitaremos 25 : 0,004625 losetas.

R 15 15 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm 1 1 l

34

Calcula la superficie de la zona colo-reada.

El área pedida es: S5242325(5

2 43)

20 cm2

35

La figura azul no es un rombo, pero tiene las diago-nales perpendiculares. Justifica que también puedes calcu-lar su área mediante la fórmula: D

2 d .

El área del cuadrilátero azul es la mitad que la del rectángulo grande, pues el área de cada triángulo azul es la mitad que la del rectangulito que lo contiene.

36

Calcula las dimensiones y la superficie de las siguientes secciones de un cubo.

l



3



2324,24 cm

Por tanto, es un rectángulo de 4,24 × 6, cuya área es: S4,24625,44 cm2

l'



3



2626,7 cm

Por tanto, es un rectángulo de 6,7 × 6, cuya área es: 6,7640,2 cm2

37

Los lados de un triángulo miden: a6 cm, b7 cm y c8 cm. La al-tura correspondiente al lado a mide ha6,8 cm. Calcula la longitud de las

otras dos alturas.

Haz el dibujo con precisión, toma medidas y comprueba la solución obtenida.

5 cm 4 cm 3 cm 8 m 15 m 6 cm 3 cm l 6 cm 6 cm 3 cm 6 cm 6 cm l' 3 cm a = 6 cm h_b h_c 6,8 cm c = 8 cm b = 7 cm

El área del triángulo es 6 2 6,8 20,4 cm2 Por tanto: 20,47 2 hb  → hb 40 7 ,8 5,8 cm 20,48 2 hc  → hc 40 8 ,8 5,1 cm

38

Halla la superficie de cada una de las piezas de este tangram. Después, súmalas y comprueba que equivalen al área del cuadrado que forman todas juntas:  S12 2 6 36 cm2  S6318 cm2  S6 2 6 18 cm2        12 cm 12 cm

 S 6 2 3_{9 cm}2  S6 2 6 18 cm2  S 12 2 6 36 cm2  S6 2 3 9 cm2 SSSSSSS361818918369144 cm2 STOTAL1212144 cm2

Las áreas o perímetros que se piden a continuación son, todos ellos, mucho más sencillos de lo que parecen. Se encuentran con algo de imaginación y muy pocos cálculos.

39

Todos los arcos con los que se ha trazado esta fi-gura son iguales, pertenecen a circunferencias de radio 6 m. Calcula su área.

Por tanto, S1218216 m2

12 m 18 m

40

Halla el área de este dibujo de un jarro.

Todos los arcos están hechos con un radio, r8 cm.

Observando la igualdad de las superficies marcadas con , , : S162256 cm2

41

Halla el área y el perímetro de toda la figura.

Con esta figura podemos formar la siguiente:

Así, queda claro que el área es:

π42_{50,24 cm}2

Los seis arcos completan una circunferencia. Por tanto, el perímetro de la figu-ra es: 2π42433,2 cm 16 cm 16 cm       60° 4 cm 60° 4 cm

42

Halla la superficie de cada loseta de este embaldosado.

El área del rectángulo rojo es 40502 000 cm2

Dentro del rectángulo hay ocho losetas. Por tanto, el área de cada una de ellas es:

2 0 8

00

250 cm2

43

La base de este rectángulo mide 20 cm más que la altura. Su perímetro es de 100 cm.

Calcula el área del cuadrilátero coloreado.

El área de cada uno de los dos triángulos blancos es la cuarta parte del área del triángulo.

Por tanto, el área del cuadrilátero coloreado es la mitad de la del rectángulo.

404a100 → a15 cm → b35 cm 50 cm 40 cm 50 cm 40 cm b = 20 + a b = 20 + a a a

Área del rectángulo1535525 cm2 Área del cuadrilátero coloreado52

2 5

262,5 cm2

44

¿Cuál de los tres triángulos tiene mayor área (azul, naranja o verde)? Justifica la respuesta.

Todos tienen la misma base y la misma altura. Por tanto, tienen igual área.

45

A y B son puntos fijos. El punto C puede estar

situado en cualquier lugar de la circunferencia. ¿Dónde lo pondrás si quieres que el área del trián-gulo ABC sea la mayor posible?

La altura tiene que ser la mayor posible.

Por tanto, el vértice hay que situarlo en el punto de la circunferencia más lejano a la cuerda. Está situado en la mediatriz del segmento AB.

46

El perímetro del cuadrado rojo interior es de 32 cm. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado negro exterior?

l5es cuatro veces l1.

Por tanto el perímetro del cuadrado exterior es cuatro veces el del cuadrado in-terior, es decir, 128 cm. C C C A B C C C C A B l₅ l₂ l₄ l₃ l₁

47

Halla el área de la parte coloreada sabiendo que el diámetro de la circunfe-rencia grande es de 6 cm.

REAS Y PERÍMETROS DE FIGURAS SENCILLAS

Halla el área y el perímetro de las figuras coloreadas de los siguientes ejercicios:

1

a) b) a) A = 52_{= 25 dm}2 _{b) A = = 8 cm}2 P = 5 · 4 = 20 dm P = 8 + 5 + 4 = 17 cm

2

a) b) a) A = π · 52≈ 78,5 dm2 _{b) A = = 60 m}2 P = 2π · 5 ≈ 31,4 dm P = 15 + 8 + 17 = 40 m

3

_{a) b)} a) A = · 7 = 56 dm2 b) A = 10 · 5 = 50 mm2 P = 11 + 9,2 + 5 + 7 = 32,2 dm P = 2 · 10 + 2 · 5 = 30 mm

4

_{a) b)} a) A = = 54 cm2 b) A = = 75,6 hm2 P = 9,5 · 4 = 38 cm P = 28 + 15 · 2 = 58 hm 28 · 5,4 2 18 · 6 2 15 hm 28 hm 5,4 hm 6 cm 18 cm 9,5 cm 11 + 5 2 5 mm 10 mm 5 dm 11 dm 7 dm 9,2 dm 15 · 8 2 8 m 17 m 15 m 5 m 8 · 2 2 5 cm 4 cm 2 cm 8 cm 2 cm 5 dm

Á

5

_{a) b)} a) A = · 30 = 1 560 mm2 _{b) A = = 15,75 cm}2 P = 57 + 47 + 2 · 30,4 = 164,8 mm P = 5 · 3 = 15 cm

6

a) b) a) A = 9 · 4 = 36 dam2 b) A = ≈ 14,13 km2 P = 2 · 9 + 2 · 5 = 28 dam P = + 6 ≈ 9,42 dm

7

_{a) b)} a) A = = 172,8 cm2 b) A = · 12 = 474 cm2 P = 8 · 6 = 48 cm P = 36 + 20 + 43 + 15 = 114 cm

8

_{a) b)} a) A = π · 152– π · 82≈ 505,54 m2 _{b) A = 7}2_{– π · 3,5}2_{≈ 10,53 mm}2 P = 2π · 15 + 2π · 8 ≈ 144,44 m P = 7 · 4 + 2π · 3,5 ≈ 49,98 mm 7 mm 15 m 8 m 43 + 36 2 8 · 6 · 7,2 2 12 cm 20 cm 15 cm 36 cm 43 cm 7,2 cm 6 cm 2π · 3 2 π · 32 2 6 km 4 dam 5 dam 9 dam 5 · 3 · 2,1 2 47 + 57 2 2,1 cm 3 cm 30 mm 57 mm 30,4 mm 47 mm

9

_{a) b)} a) A = – ≈ 17,43 km2 b) A = · 120 ≈ 235,5 mm2 P = + 4 + 4 + 9,9 ≈ 22,61 km P = · 120 + 15 + 15 ≈ 61,4 mm

10

_{a) b)} a) A = – ≈ 0,98 m2 P = + + 0,5 + 0,5 ≈ 4,92 m b) A = + ≈ 37,12 hm2 P = + 8,6 + 5 + 7 ≈ 28,45 hm

E D I R Y C A L C U L A R Á R E A S Y P E R Í M E T R O S

En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su área y su perímetro. Para ello, tendrás que medir algún elemento (lado, diagonal, radio…).

11

_{a) b)} a) A = 5,76 cm2 _{b) A = 4,52 cm}2 P = 9,6 cm P = 7,54 cm 1,2 cm 2,4 cm

M

2 · π · 5 4 π · 52 4 7 · 5 2 2π · 1 4 2π · 1,5 4 π · 12 4 π · 1,52 4 5 hm 7 hm 8,6 hm 1 m 0,5 m 2π · 15 360 2 · π · 3 4 π · 152 360 π · 32 4 7 · 7 2 120° 8 mm 3 km 9,9 km 4 km

12

_{a) b)} a) A = 4,8 cm2 _{b) A = 3,5 cm}2 P = 8,8 cm P = 8 cm

13

a) b) a) A = 4,3 cm2 _{b) A = 1,77 cm}2 P = 8,5 cm P = 8,41 cm

14

_{a) b)} a) A = 7,8 cm2 b) A = 3,3 cm2 P = 11,1 cm P = 7,4 cm

R E A S Y P E R Í M E T R O S D E F I G U R A S P L A N A S

15

_{Aquí tienes las áreas de varios cuadrados. Di, en cada caso, cuánto mide el} lado. Á R E A D E L C U A D R A D O L A D O 16 cm2 4 cm 225 cm2 _{15 cm} 36 mm2 _{6 mm} 100 dam2 10 dam Á R E A D E L C U A D R A D O L A D O 16 cm2 225 cm2 36 mm2 100 dam2

Á

1,5 cm 2,2 cm 2,9 cm 3 cm 60° 1,6 cm 1,7 cm 1,6 cm 3,1 cm 1,5 cm 1,7 cm 1,8 cm 0,5 cm 2 cm 2,2 cm 1,6 cm 2,7 cm 2 cm 3,5 cm 2,4 cm 2 cm

16

_{Averigua cuánto mide la altura de un rectángulo de 40 m}2_{de superficie y 5 m de base.}

17

Halla el área de un trapecio cuyas bases miden 12 cm y 20 cm, y su altura, 10 cm.

A = · 10 = 160 cm2

El área del trapecio es 160 cm2.

18

Las medidas de los lados de un trapecio rectángulo son a = 9 m, b = 5 m,

c = 12 m y d = 4 m. Los lados paralelos son a y c. Halla su área.

Área = · 4 = 42 m2 El área del trapecio es 42 m2

19

Las bases de un trapecio isósceles miden 26 cm y 14 cm; la altura, 8 cm, y otro de sus lados, 10 cm. Calcula el perímetro y el área de la figura.

A = · 8 = 160 cm2

P = 26 + 14 + 2 · 10 = 60 cm

20

El área de un triángulo es de 66 cm2_{; sus lados miden a = 20 cm, b = 11 cm}

y c = 13 cm. Calcula sus tres alturas y su perímetro.

P = 20 + 11 + 13 = 44 cm 66 66 = 20 · a₂₀ 8 a₂₀= — = 3,3 cm 20 66 66 = 13 · a₁₃ 8 a₁₃= — ≈ 5,08 cm 13 66 66 = 11 · a₁₁ 8 a₁₁= — = 6 cm 11 20 m a₂₀ a₁₁ a_{13 13 m} 11 m 26 + 14 2 12 m 9 m 5 m 4 m 12 + 9 2 12 + 20 2 40 a = — = 8 m 5

La altura del rectángulo mide 8 m. 5 m

21

_{Los lados de un triángulo rectángulo miden 15 dm, 8 dm y 17 dm. Calcula} su área y la altura sobre la hipotenusa.

A = = 60 dm2

120 = 8 ah= ≈ 7,06 dm

22

_{Calcula el área y el perímetro de un hexágono regular de 6 mm de lado y} 5,2 mm de apotema.

A = = 93,6 mm2

P = 6 · 6 = 36 mm

23

_{En una circunferencia de 24 cm de radio trazamos una cuerda de 34 cm.} Halla el área del segmento circular sabiendo que el ángulo central correspondien-te es de 90°.

A_TRIÁNGULO= = 288 cm2

A_CÍRCULO= π · 242≈ 1 808,64 cm2

A_{SEGMENTO CIRCULAR}= A_CÍRCULO– A_TRIÁNGULO= – 288 = 164,16 cm2

24

_{Calcula el área de la zona coloreada.}

A = 52_{+ 4}2_{+ 3}2_– (5 + 4 + 3) · 5 _{= 20 cm}2 2 5 cm 4 cm 3 cm 1 808,64 4 1 4 24 · 24 2 24 cm 90° O 34 cm 6 · 6 · 5,2 2 120 17 17 · a_h 2 15 · 8 2 15 dm 17 dm 8 dm _a h

25

_{Calcula el área y el perímetro de las figuras coloreadas.} a) A = 42 · 31 + 54 · 40 – 52= 3 437 m2 P = 54 + 40 + 49 + 26 + 42 + 31 + 37 + 35 = 314 m b) A = ≈ 51,29 cm2 P = + 2 · 7 ≈ 28,65 cm c) A = 5 · 5 = 25 m2 P = 2 · π · 2,5 · 2 ≈ 31,4 m 2π · 7 3 π · 72 3 54 m 40 m 49 m 26 m 31 m 35 m 5 m 5 m 37 m 42 m 7 cm 54 m 40 m a) c) b) 5 m 2,5 m 49 m 31 m 35 m 37 m

26

_{Halla el perímetro y el área de las siguientes figuras:} a)

b)

a) A = · 5 = 440 cm2

P = 2 · 8 · 5 = 80 cm

b) Como el triángulo es equilátero (ya que Aì= 60°), AB—= 2BC—= 10 m.

A = · 60 – ≈ 8,83 m2

P = · 60 + 10 ≈ 20,47 m

27

_{El perímetro del cuadrado rojo interior es de 32 cm.} ¿Cuál es el perímetro del cuadrado negro exterior?

Como vemos en la observación, el lado del cuadrado rojo interior es la mitad del del cuadrado azul. Por el mismo motivo, el lado del cuadrado negro exterior es el doble del del cuadrado azul. Así, el lado del cuadrado negro es cuatro veces el lado del cuadrado rojo. El perímetro del cuadrado negro será cuatro veces el perímetro del cuadrado rojo, es decir, 32 · 4 = 128 cm.

l l Observación: 2π · 10 360 10 · 8,7 2 π · 102 360 2 · 8 · 11 2 ì A = 60° AB = 10 m AC = 8,7 cm A B C OB = 11 cm AB = 8 cm O A B

28

_{Halla el área de la parte coloreada sabiendo que el diámetro de la} circunfe-rencia grande es de 6 cm.

Radio circunferencia grande: R = 3 cm Radio circunferencias pequeñas: r = 1 cm A = π · 32– 7 · π · 12= 2π ≈ 6,28 cm2

29

_{¿Cuál de los tres triángulos tiene mayor área (azul, naranja o verde)? Justifica} la respuesta.

Todos los triángulos tienen la misma área ya que la base y la altura son iguales para todos ellos.

30

_{A y B son puntos fijos. El punto C puede estar situado en cualquier lugar}

de la circunferencia.

¿Dónde lo pondrás si quieres que el área del triángulo ABC sea la mayor posible? Pondremos C en el punto más alto de la circunferencia

para que el área sea lo mayor posible. Esto es porque con la misma base, cuanto mayor sea la altura, mayor será el área del triángulo.

C

A B

C C

C

R E A S Y P E R Í M E T R O S U T I L I Z A N D O E L T E O R E M A D E P I T Á G O R A S

En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su área y su perímetro. Para ello, tendrás que calcular el valor de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángulo…). Si no es exacto, halla una cifra decimal.

31

a) b) a) a = = = 5,5 m A = = 13,8 m2 P = 2 · 6 + 5 = 17 m b) x = = = 24 m A = = 84 m2 P = 24 + 7 + 25 = 56 m

32

a) b) a) a = = = 12 m A = 12 · 5 = 60 cm2 P = 12 · 2 + 5 · 2 = 34 cm b) x = = = 28 m A = = 2 520 m2 P = 53 · 4 = 212 m

33

_{a) b)} 15 cm 99 m 53 m x 45 m 2 · 28 · 90 2 √784 √532_{– 45}2 13 cm _{5 cm} x √144 √132_{– 5}2 90 m 53 m 5 cm 13 cm 7 m 25 m x 24 · 7 2 √576 √252_{– 7}2 2,5 m 6 m a 6 · 5,5₂ √29,75 √62_{– 2,5}2 7 m 25 m 5 m 6 m

Á

a) x2+ x2= 992 8 2x2_{= 9 801 8} 8 x2_{= 4 900,5 8 x = ≈ 70 m} A = 702_{= 4 900 m}2 P = 70 · 4 = 280 m b) x = = ≈ 21,2 cm A = π · 21,22_{– π · 15}2_{≈ 704,7 cm}2 P = 2π · 21,2 + 2π · 15 ≈ 227,3 cm

34

_{a) b)} a) x = = = 48 cm A = = 5 280 cm2 P = 4 · 73 = 292 cm b) x = = = 39 A = · 39 = 2 262 cm2 P = 98 + 89 + 18 + 39 = 244 cm

35

_{a) b)} a) x = = = 40 dam A = · 40 = 2 480 dam2 P = 71 + 41 · 2 + 53 = 206 dam b) x = = = 3,2 dm A = · 3,2 ≈ 21,8 dm2 P = 5,6 + 4 + 8 + 3,2 = 20,8 dm 2,4 dm 5,6 dm 4 dm x 8 + 5,6 2 √10,24 √42_{– 2,4}2 71 dam 41 dam 53 dam 9 dam x 53 + 71₂ √1 600 √412_{– 9}2 8 dm 5,6 dm 4 dm 71 dam 41 dam 41 dam 53 dam 98 cm 89 cm 80 cm 18 cm x 18 + 98 2 √1 521 √892_{– 80}2 73 cm 55 cm x 110 · 48 · 2 2 √2 304 √732_{– 55}2 98 cm 89 cm 18 cm 73 cm 110 cm 15 cm 15 cm x √450 √152_{+ 15}2 99 m x x √4 900,5

36

_{a) b)} a) x = = ≈ 8,2 m A = · 5 = 246 m2 P = 12 · 5 = 60 m b) x = = = 7 cm A = = 336 cm2 P = 4 · 25 = 100 cm

37

a) b) a) x = = ≈ 8,7 m A = · 60 – ≈ 8,8 m2 P = · 60 + 10 ≈ 20,5 m b) (2x)2_{+ x}2_{= 8}2 _{8 5x}2_{= 8}2 _{8 x ≈ 3,6 mm} A = – ≈ 13 mm P = 2 · 8 + 3,6 · 2 = 23,2 mm

38

Calcula la diagonal de un cuadrado de 28 cm de perímetro. l = 28 : 4 = 7 cm

x = = ≈ 9,9 cm

La diagonal del cuadrado mide 9,9 cm. 7 cm 7 cm x √98 √72_{+ 7}2 8 mm x x x x _{3,6 · 2 · 3,6} 2 3,6 · 2 · 3,6 · 2 2 10 m 5 m x 2π · 10 360 10 · 8,7 2 π · 102 360 √75 √102_{– 5}2 8 mm x x x x 10 m 60° 25 cm 25 cm 24 cm x 48 · 7 · 2 2 √49 √252_{– 24}2 12 m 6 m 10,2 m x 12 · 8,2 2 √68,04 √10,22_{– 6}2 25 cm 25 cm 48 cm 12 m 10,2 m

39

_{Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 42 cm y 40 cm.}

l = = = 29 cm

P = 4 · 29 = 116 cm

40

Los lados paralelos de un trapecio rectángulo miden 110 m y 30 m, y el lado oblicuo mide 89 m. Determina su perímetro y su área.

x = = = 39 m

A = · 39 = 2 730 m2

P = 110 + 89 + 30 + 39 = 268 m

41

_{Halla el área de un triángulo equilátero de 60 dam de perímetro.}

l = 60 : 3 = 20 dam

x = = ≈ 17,32 dam

A = = 173,2 dam2

42

_{Los lados de un triángulo miden 45 cm, 28 cm y 53 cm. Comprueba si es o} no un triángulo rectángulo, halla su área y calcula la altura sobre el lado más largo. 532= 2 809 cm2; 452+ 282= 2 809 cm2

Como 532_{= 45}2_{+ 28}2_{, es un triángulo rectángulo.}

A = = 630 cm2

630 = 53 · a_h 8 a_h= ≈ 11,9 cm La altura sobre la hipotenusa mide 11,9 cm.

43

_{Un hexágono regular está inscrito en una circunferencia de 6 cm de radio.} Halla el área del recinto comprendido entre ambas figuras.

630 53 45 · 28 2 10 dam 20 dam x 20 · 17,32 2 √300 √202_{– 10}2 110 m 30 m 80 m 89 m x 30 + 110 2 √1 521 √892_{– 80}2 20 cm 21 cm l √841 √212_{+ 20}2

a = = ≈ 5,2 cm

A_HEXÁGONO= = 93,6 cm2

A_CÍRCULO= π · 62_{≈ 113,04 cm}2

A_RECINTO= A_CÍRCULO– A_HEXÁGONO= 19,44 cm2

44

¿Es regular este octógono?. Calcula su área y su perímetro.

El octógono no es regular ya que algunos lados miden 1 cm y otros ≈ 1,4 cm. El área de un cuadrado de 1 cm de lado es 1 cm2_{. El octógono está formado por 5} cuadrados de 1 cm2y cuatro mitades. Esto es:

Área = 5 · 1 + · 1 = 7 cm2

45

_{Calcula el perímetro y el área de esta figura:}

x = = ≈ 10,77 m

A_RECTÁNGULO= 18 · 8 = 144 m2

A_TRAPECIO= · 4 = 52 m2

A_{1/2 CÍRCULO}= ≈ 25,12 m2

A_TOTAL= A_RECTÁNGULO+ A_TRAPECIO– A_{1/2 CÍRCULO}= 144 + 52 – 25,12 = 170,88 m2

P = 18 + 8 + 10,77 + 2π · 4 + 12 ≈ 61,33 m 2 18 m 10 m 8 m 8 m 4 m 4 m x π · 42 2 8 + 18 2 √116 √102_{+ 4}2 18 m 8 m 8 m 12 m 4 2 √2 1 cm 1 cm 3 cm 6 cm a 6 · 6 · 5,2 2 √27 √62_{– 3}2

46

_{Halla el perímetro y el área de esta figura:} x = = = 24 dm A_TRIÁNGULO= = 120 dm2 A_{1/2 CÍRCULO GRANDE}= ≈ 226,08 dm2 A_{1/2 CÍRCULO PEQUEÑO}= ≈ 39,25 dm2 A_TOTAL= 120 + 226,08 + 39,25 = 385,25 dm2 P = 26 + + ≈ 79,38 dm

47

Calcula las dimensiones y el área de cada una de las siguientes secciones de un cubo: a) x = = ≈ 4,24 cm A = 4,24 · 6 = 25,44 cm2 P = 2 · 6 + 2 · 4,24 = 20,48 cm b) x = = ≈ 6,71 cm A = 6,71 · 6 = 40,26 cm2 P = 6,71 · 2 + 6 · 2 = 25,42 cm x 6 cm √62+ 32 √45 x 6 cm √18 √32_{+ 3}2 6 cm 3 cm 3 cm 3 cm _{6 cm} 6 cm 6 cm 6 cm a) b) 2π · 12 2 2π · 5 2 π · 52 2 26 dm 10 dm x π · 122 2 24 · 10 2 √576 √262_{– 10}2 26 dm 10 dm

48

_{Determina el perímetro} y el área de la siguiente figura:

x = = = 3 y = = = 12 z = = = 12,5 m A_①= = 6 m2; A_②= = 30 m2; A_③= = 21 m2 A = 6 + 30 + 21 = 57 m2 P = 3,5 + 4 + 3 + 13 + 12,5 = 36 m

49

_{La figura roja no es un rombo, pero tiene las diagonales} perpendiculares. Justifica que también puedes calcular su área mediante la fórmula:

A_RECTÁNGULO= D · d = 8 · 15 = 120 m2

Como vemos, A_①= A_②; A_③= A_④; A_⑤= A_⑥; A_⑦= A_⑧

Por esto el área de la figura roja es la mitad del área del rectángulo. Así:

A_FIGURA= = = 120 = 60 m2 2 D · d 2 A_RECTÁNGULO 2 8 m 15 m D · d 2 3,5 · 12 2 5 · 12 2 4 · 3 2 √156,25 √122_{+ 3,5}2 √144 √132_{– 5}2 √9 √52_{– 4}2 13 m 4 m 3,5 m 5 m 13 m 4 m 3,5 m 5 m x z y 2 3 1 2 d = 8 m D = 15 m 1 3 6 ₄ 7 8 5

50

_{Un salón cuadrado tiene una superficie de 50 m}2_{. Hemos de embaldosarlo}

con losetas cuadradas de 25 cm de lado (se llaman losetas de 25 Ò 25). ¿Cuántas losetas son necesarias?

A_LOSETA= 25 · 25 = 625 cm2

A_SALÓN= 50 m2= 500 000 cm2

Para cubrir el salón se necesitan = 800 losetas.

51

_{Para cubrir un patio rectangular, se han usado 540 baldosas de 600 cm}2

cada una. ¿Cuántas baldosas cuadradas de 20 cm de lado serán necesarias para cu-brir el patio, idéntico, de la casa vecina?

El patio tiene un área de 540 · 600 = 324 000 cm2= 32,4 m2. La superficie de una baldosa de 20 cm de lado es 20 · 20 = 400 cm2.

Por tanto, se necesitan 324 000 = 810 baldosas de 20 cm de lado para cubrir el patio. 400

500 000 625