CAPITULO 01: ÁNGULOS GEOMETRICOS
DEFINICIÓN:
Es la figura geométrica determinada por la reunión de dos rayos que tienen el mismo origen.
O vértice
lado
lado A
B
puntos interiores del ángulo AOB
ELEMENTOS:
• Lados : OA y OB
• Vértice : O NOTACIÓN:
• Ángulo AOB : AOB; AOB
• Ángulo O : O; O
Medida del ángulo AOB: mmAOB = AOB BISECTRIZ DEL ÁNGULO
Es el rayo que parte del vértice del ángulo y que forma con sus lados ángulos de igual medida.
A
x
B O
O x: bisectriz del ángulo AOB CLASIFICACIÓN
I. SEGÚN SU MEDIDA
A. ÁNGULO AGUDO.- Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 0° y menor que 90°.
0° < < 90°
B. ÁNGULO RECTO.- Es aquel ángulo cuya medida es igual a 90°.
= 90°
C. ÁNGULO OBTUSO.- Es aquel ángulo cuya medida es mayor de 90° y menor de 180°.
90° < < 180°
II. SEGÚN LA POSICIÓN DE LOS LADOS
A. ÁNGULO ADYACENTE.- Son dos ángulos que tienen un vértice común y están situados a distinto lado de un lado común.
lado común
B. ÁNGULOS CONSECUTIVOS.- Son dos o más ángulos que tienen un vértice común y cada uno de ellos es adyacente con su anterior.
C. ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE.- Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y además los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro en sentido contrario.
=
III. SEGÚN LA SUMA DE SUS MEDIDAS
A. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS: Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 90°
+ = 90°
• Complemento de un ángulo (C)
Es lo que le falta a la medida de un ángulo para ser igual a 90°
Complemento de : C
EJEMPLO:
• Ca =90° – a • Ca/2 =90° – a/2
• C40°=90° – 40° • C(+)=90º – (+)
B. ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS:
Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 180°.
+ = 180° • Suplemento de un ángulo (S).
Es lo que falta a la medida de un ángulo para ser igual a 180°.
Suplemento de : S
EJEMPLO:
• Sb =180°–b • S2x =180°–2x
• S100°=180°–100° • S(a – f)=180°–(a – f) PROPIEDADES:
S: Suplemento C: Complemento 1. SCa=(90°+a)... (0°<a<90°) 2. CSa=(a–90°)... (90°<a<180°) 3. SCSa=(270°–a) ... (90°<a<180°)
4.
CCC...CCC x
“n” veces
x si “n” es par
90° – x si “n” es impar
;
;
5.
SSS...SSS x
"n " veces
x si “n” es par
180° – x si “n” es impar
;
;
POSTULADOS FUNDAMENTALES
1. ÁNGULOS CONSECUTIVOS RESPECTO A UN PUNTO La suma de las medidas de los ángulos que tiene un vértice común y están en un plano es 360°.
+ = 360°
2. ÁNGULOS CONSECUTIVOS A UN LADO DE UNA LÍNEA RECTA
La suma de las medidas de los ángulos que tienen sus vértices en un punto de una recta y están en un mismo semiplano es igual a 180°
= 180°
3. ÁNGULOS CONGRUENTES
Dos ángulos son congruentes si tienen igual medida. Así los ángulos AOB y MNP son congruentes y se escribe:
O N
A
B
M
P
AOB MNP
RECTAS PARALELAS
ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS INTERSECTADAS POR UNA TRANSVERSAL
Si dos rectas son intersectadas por una tercera recta llamada transversal se forman siempre ocho ángulos que reciben los siguientes nombres:
L3
L1
L2
Medida de los , ángulos internos ,
Medida de los , ángulos externos ,
Int ernos y y Medida de los
ángulos alternos y
Externos y
Int ernos y Medida de los y
ángulos conjugados y
Externos y
Medida de los ángulos y ; y correspondientes y ; y
ÁNGULOS FORMADO POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA TRANSVERSAL
1. Ángulos alternos internos Si: L1 // L2
L1
L2
=
PROBLEMA 01
Calcule la medida de un ángulo, sabiendo que dicho ángulo es igual a un octavo de su suplemento.
A) 10° B) 20° C) 25° D) 30° E) 45°
PROBLEMA 02 Calcule el valor de "x"
A) 170° B) 175° C) 185° D) 165° E) 160°
PROBLEMA 03
Los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOA son proporcionales a los números 1; 2; 3 y 4. Calcular la medida del ángulo DOA.
A) 135° B) 136° C) 144° D) 140° E) 145°
PROBLEMA 04
Los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD forman un cuarto del ángulo de 1 vuelta. Calcule la medida del ángulo BOC, si m<AOC + m<BOD = 140°.
A) 20° B) 30° C) 35° D) 40° E) 50°
PROBLEMA 05 (UNSCH 2012 – II)
El suplemento del complemento de un ángulo excede en 30° a la diferencia entre el suplemento y el complemento de dicho ángulo.
Halla el ángulo.
A) 30° B) 35° C) 45° D) 20° E) 25°
PROBLEMA 06 Calcule x, si: //
A) 55° B) 60° C) 35° D) 45° E) 30°
PROBLEMA 07
Los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD forman un ángulo llano, las bisectrices de los ángulos AOB y COD forman un ángulo que mide 126°. Calcule la medida del ángulo BOC.
A) 72° B) 62° C) 52° D) 50° E) 70°
PROBLEMA 08
Si: // el ABC es acutángulo. Calcule el máximo valor entero de "x"
A) 61° B) 60° C) 59° D) 58° E) 57°
PROBLEMA 09
Si el doble del complemento de la mitad del suplemento del triple del complemento de la mitad de la medida de un ángulo es igual a 150°. Calcular la medida de dicho ángulo.
A) 50° B) 70° C) 80° D) 100° E) 60°
PROBLEMA 10
En el gráfico, m∢AOC=90°. Halle la suma del mayor y menor valor entero de x.
A) 130° B) 135° C) 145° D) 120° E) 125°
PROBLEMA 11
Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Si m<AOB = 3( m<COD), m<AOC = 120° y m<BOD =100°, Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos BOC y AOD.
A) 6° B) 5° C) 8° D) 10° E) 12°
PROBLEMA 12
Se tiene el par lineal. Calcule el máximo valor de "y"
A) 45° B) 50° C) 59° D) 61° E) 60°
PROBLEMA 13
En la figura, // y α – β = 40º. Calcule α y β.
A) 70° y 30° B) 50° y 10° C) 80° y 40°
D) 60° y 20° E) 75° y 35°
PROBLEMA 14
Si el suplemento del complemento de 3, es igual a K veces el complemento del suplemento de 5, halle K cuando tome su mínimo valor entero par ( es medida de un ángulo geométrico).
A) 15 B) 20 C) 29 D) 32 E) 45 PROBLEMA 15
En la figura, // . Calcule el valor de "x".
A) 20°5’ B) 22° C) 22°30’
D) 24°20’ E) 25°10’
PROBLEMA 16
Si el suplemento del doble del complemento de las dos terceras partes del mayor ángulo que forman la bisectriz del ángulo adyacente a un ángulo ω y el lado no común es 140°.
Hallar ω.
A)10° B) 15° C) 30° D) 45° E) 75°
PROBLEMA 17
¿En cuánto excede el suplemento de la suma del suplemento del complemento de un ángulo con la tercera parte del complemento del triple de dicho ángulo, a la diferencia del complemento de otro ángulo con la quinta parte del suplemento del quíntuple de dicho ángulo?.
A) 8° B) 3° C) 12° D) 6° E) 5°
PROBLEMA 18
8el gráfico, calcule el valor de "y" cuando "x" toma su mínimo valor entero.
A) 46° B) 88° C) 78° D) 68° E) 64°
PROBLEMA 19
Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Calcular la m<BOC, si m<AOB = 50°; las bisectrices de los ángulos AOB y COD son rayos opuestos a y respectivamente.
A)75° B) 85° C) 95° D) 105° E) 115°
PROBLEMA 20
Si y son rectas paralelas, calcule .
A)120° B) 125° C) 130° D) 135° E) 140°
DEFINICIÓN
Figura geométrica que se forma al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta.
Observación:
Con fines didácticos, en adelante se denominará al triángulo rectilíneo simplemente triángulo.
Elementos:
Vértices : A, B, C Lados :AB, BC, AC
Notación:
ABC: triángulo de vértices A, B y CANGULOS DETERMINADOS EN EL TRIÁGULO
Ángulos interiores
BAC:m BAC
ABC:
m ABC
BCA: m BCA Ángulos exteriores
PAB: mPABx
QBC
:m QBC y
RCA: m RCA z NOTA:
• En un triángulo, a ángulos iguales se oponen lados iguales y viceversa.
• En todo triángulo rectángulo, los ángulos agudos son complementarios.
REGIÓN TRIANGULAR
Unión del triángulo y su región interior.
A
B
b C
a c
Perímetro (2p): 2p = a + b + c Semiperímetro (p):
a b c
p 2
PROPIEDADES FUNDAMENTALES
Propiedad 1. Suma de las medidas de los ángulos interiores.
Propiedad 2. Cálculo de la medida de un ángulo exterior.
Propiedad 3. Suma de medidas de ángulos exteriores considerando uno por cada vértice.
Se cumple:
x + y + z = 360°
y
x
z Propiedad 4. De correspondencia.
Propiedad 5. Relación de existencia del triángulo.
Observación:
Para que el triángulo exista, es suficiente que se verifique solo una de las relaciones anteriores.
AB y BC: catetos AC: hipotenusa Se cumple:
2 2 2
b a c Teorema de Pitágoras OBSERVACION:
• Las propiedades se practican, no se leen.
• Aplicar la propiedad correctamente, con criterio, ya que todas guardan una relación.
• Recordar que mientras más se practica una propiedad más rápido se aprende.
• Cuando no se especifica el tipo de triángulo, se dibujará el triángulo escaleno.
PROPIEDADES ADICIONALES
Propiedad 1. En la figura se cumple:
x= + +
x
Propiedad 2. En la figura se cumple:
+ = +
Propiedad 3. En la figura se cumple:
+ = +
Propiedad 4. En la figura se cumple:
+ = +
PROBLEMA 01
¿Cuál es el menor valor entero que puede tomar "x"?
A) 4 B) 7 C) 5 D) 6 E) 3 PROBLEMA 02
Si en un triángulo dos de sus ángulos internos miden 5ω y 7ω, calcule el mayor valor entero de ω.
A) 13° B) 14° C) 15° D) 16° E) 17°
PROBLEMA 03
Si: AC = AB, AE = AD. Calcular x.
A) 5° B) 10° C) 15° D) 20° E) 25°
PROBLEMA 04 Del gráfico, calcule x.
A) 150° B) 140° C) 130° D) 120° E) 110°
PROBLEMA 05
Si en un triángulo ABC se cumple que AC = 2(AB) y m<A = 2 (m<C), calcular m<B.
A) 100° B) 110° C) 90° D) 120° E) 80°
PROBLEMA 06
El perímetro de un triángulo es 12 u. Hallar la suma de los posibles valores pares que puede tener uno de los lados.
A) 12 B) 10 C) 8 D) 4 E) 6 PROBLEMA 07
A partir del gráfico, hallar el valor de α.
A) 27° B) 30° C) 36° D) 42° E) 45°
PROBLEMA 08
Según el gráfico, 2=+, AD=5u y AC=12u. Calcule BC.
A) 5u B) 7u C) 12u D) 5u E) 8u
PROBLEMA 09
En un triángulo ABC, por el vértice B se traza una recta L paralela al lado , la bisectriz interior del ángulo A corta a la recta L en el punto M y la bisectriz exterior del ángulo C corta a la recta L en el punto N. Calcular MN, si AB = 12 u y BC = 18u.
A) 5u B) 4u C) 8u D) 6u E) 3u PROBLEMA 10
En la figura, calcule AC; si AB=13u.
A) 5u B) 8u C) 10u D) 13u E) 26u
PROBLEMA 11 Calcular x, si: PQ = PM
A) 45° B) 40° C) 30° D) 37° E) 60°
PROBLEMA 12
En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior , sobre el cual se toma el punto D, luego se traza perpendicular al lado . Calcule la m<AEF, si m<BAE = 15° y m<ACB = 20°, AD = DB = BE.
A) 60° B) 80° C) 70° D) 50° E) 40°
PROBLEMA 13
En la figura se cumple: mBDE=mDCE y mABD/2 = mBAD/4 = mDEC/3, calcule mABD.
A) 40° B) 41° C) 42° D) 43° E) 44°
PROBLEMA 14
Calcular “x”, si: AB=BD, m<CBD=54°
A) 76° B) 78° C) 54° D) 64° E) 74°
PROBLEMA 15 (UNSCH 2012 –II) En la figura, AB=BC=CD. Halle el valor de .
A) 35° B) 40° C) 45° D) 20° E) 30°
PROBLEMA 16
En un triángulo ABC las bisectrices interiores de los ángulos A y C se intersecan en el punto F. Por F se traza una recta paralela al lado que interseca a los lados y en los puntos D y E. Hallar el perímetro del triángulo DBE, si AB = 12u y BC = 15u.
A) 30u B) 38u C) 27u D) 29u E) 32u PROBLEMA 17
Calcular "x", si: RS = 5u; QR = PQ = 8u; PS = 13u.
A) 100° B) 90° C) 70° D) 110° E) 120°
PROBLEMA 18
En el gráfico, AD=BC=DC. Calcule x.
A) 9° B) 10° C) 11° D) 12° E) 15°
PROBLEMA 19
En la figura AB = DC, calcule el valor de α.
A) 5° B) 7° C) 12° D) 9° E) 15°
PROBLEMA 20
En un triángulo ABC, se ubican los puntos N en y M en tal que: m<BAM = 20°, m<MAC = 60°, m<ACN = 50° y m<BCN = 30°. Calcule la medida del m<MNC.
A)60° B)70° C)75° D)80° E)85°
PROBLEMA 21
Calcular la m<C de un triángulo ABC, de mediana , si m<ABM = 105° y m<MBC = 30°.
A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°
PROBLEMA 22
En un triángulo ABC, m∢ABC=98°, exteriormente y relativo al lado AC se ubica el punto D, tal que AB=AD, m∢BAC=60°-, m∢CAD=. Calcule el valor de si m∢ADC=164°.
A) 4° B) 6° C) 8° D) 10° E) 12°
1. CEVIANA
Segmento que une un vértice con un punto del lado opuesto o de su prolongación.
2. ALTURA
Ceviana perpendicular al lado al que es relativo.
– Triángulo acutángulo
– Triángulo obtusángulo
– Triángulo rectángulo
3. BISECTRIZ
Ceviana que biseca a un ángulo interior o exterior.
– Bisectriz interior
OBSERVACION:
El punto donde concurren las alturas se denomina ortocentro.
Al punto donde concurren las mediatrices se le denomina circuncentro.
– Bisectriz exterior
1.a nota:
En todo triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo exterior cuyo vértice es opuesto a la base siempre es paralela a dicha base.
2.a nota:
4. MEDIANA
Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
B
A M C
En el ABC BM: Mediana
5. MEDIATRIZ
Es la recta perpendicular trazada por el punto medio de uno de sus lados del triángulo.
B
A C
En el ABC : Media triz
PROPIEDADES
a)
b)
NOTA
Ten en cuenta:
c)
d)
PROBLEMA 01
En un triángulo ABC, la medida del ángulo formado por las bisectrices exteriores de los ángulos B y C es igual al doble de la medida del ángulo del vértice A. Calcule la medida del ángulo del vértice A.
A) 42° B) 30° C) 36° D) 28° E) 32°
PROBLEMA 02 En el gráfico, calcular "x"
A) 10° B) 12° C) 15° D) 18° E) 20°
PROBLEMA 03
En un triángulo ABC se cumple que m<A – m<C = 16°, además la bisectriz interior del ángulo del vértice A y la bisectriz exterior del ángulo del vértice C forman un ángulo que mide 28°. Calcule la m<BAC.
A) 55° B) 60° C) 65° D)68° E)70°
PROBLEMA 04 Calcular: x
A) 80° B) 100° C) 60° D) 120° E) 70°
PROBLEMA 05
Calcule la medida del ángulo que forma la bisectriz del ángulo recto con la mediatriz de la hipotenusa de un triángulo rectángulo donde el menor ángulo mide 10°.
A) 31° B) 32° C) 33° D) 34° E) 35°
PROBLEMA 06
Según el gráfico; calcule x. Si PQ=QR.
A) 60° B) 70° C) 80° D) 90° E) 100°
PROBLEMA 07
Calcule el ángulo que forman las perpendiculares trazadas desde el vértice B, de un triángulo ABC a las bisectrices interiores de los ángulos A y C, Si m<B=138°.
A) 42° B) 45° C) 21° D) 31° E) 11°
PROBLEMA 08
En el gráfico, calcule: m∠MRP
A) 126° B) 133° C) 123° D) 124° E) 125°
PROBLEMA 09
En un triángulo ABC se trazan las bisectrices interiores y tal que m<BDE = m<ADC y m<DEB = m<AEC. Calcular m<ABC.
A) 18° B) 36° C) 48° D)72° E)16°
PROBLEMA 10
En la figura, calcule “x – y”.
A) 45° B) 60° C) 90° D) 100° E) 30°
PROBLEMA 11
En la figura mostrada, calcule x.
A) 10° B) 40° C) 30° D) 20° E) 25°
PROBLEMA 12 En el gráfico, calcular x.
A) 20° B) 10° C) 12° D) 15° E) 18°
PROBLEMA 13
En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), se traza la altura BH y la bisectriz interior BE del triángulo ABH. Si BC=12 y EH=1.
Calcule HC.
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 PROBLEMA 14
En el gráfico adjunto: α + β + θ + w = 150º, Calcular: x.
A) 100° B) 105° C) 110° D) 115° E) 120°
PROBLEMA 15
En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior BP, si AB=3u, BC=4u y AC toma su mayor valor entero, calcule el mayor valor de (AP)(PC),
A) 36u B) 35u C) 18u D) 12u E) 9u PROBLEMA 16
En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BF; si AF = 3u, BC = 7u y m∢BAC = 2(m∢BCA). Calcule AB.
A) 1u B) 2u C) 3u D) 4u E) 5u
PROBLEMA 17
En el triángulo ABC, se traza la ceviana interior BD, talque AB = DC, si m∢BAD = 8x y m∢BCD = 2x. Calcule m∢DBC.
A) 15° B) 8° C) 10° D) 12° E) 5°
PROBLEMA 18
En el gráfico, // . Calcule x.
A) 110°B) 120° C) 130° D) 150° E) 155°
PROBLEMA 19
En un triángulo ABC, AB = 6u. Si además, m∢BAC=3(m∢BCA), calcule la suma del mínimo y máximo valor entero de BC.
A) 19u B) 21u C) 24u D) 26u E) 28u PROBLEMA 20
En el triángulo ABD se ubica el punto Q en la región exterior relativa a BD, tal que AD=DQ, m∢BAQ=30°, m∢ABD=18° y m∢BDQ=42°. Calcule m∢DBQ.
A) 15° B) 16° C) 20° D) 25° E) 30°
I. DEFINICIÓN
Son dos triángulos cuyos ángulos son respectivamente de igual medida y, además, sus lados correspondientes de igual longitud (ángulos y lados homólogos).
A C
B a c
b A’ C’
B’
a c
b Entonces:
m∢ABC = m∢A'B'C' BC = B'C' m∢BAC = m∢B'A'C' y AB = A'B' m∢ACB = m∢A'C'B' CA = C'A' II. CASOS DE CONGRUENCIA
Para poder afirmar que los triángulos son congruentes, es necesario que tres elementos en uno de ellos sean de igual medida que los tres elementos correspondientes en el otro triángulo, de los que, por lo menos uno, debe ser un lado.
Los casos más comunes son:
1. Lado-Ángulo-Lado (L. A. L.)
Dos triángulos son congruentes si tienen un ángulo interior de igual medida y, ádemas, los lados que determinan a dichos ángulos son, respectivamente, de igual longitud.
A B c
b C A’
B’
c
b C’
Si m∢BAC = m∢B'A'C' AB = A'B' y AC = A'C'
∆ABC = ∆A' B'C'
2. Ángulo-lado-ángulo (A. L. A.)
Dos triángulos son congruentes si tienen un lado de igual longitud y, además, los ángulos adyacentes a dichos lados son, respectivamente, de igual medida.
A B
b C A’
B’
b C’
Si AC = A'C' m∢BAC = m∢B'A'C' m∢ACB = m∢A'C'B'
∆ABC = ∆A' B'C'
3. Lado-lado-lado (L. L. L.)
Dos triángulos son congruentes si sus lados son, respectivamente, de igual longitud.
A B c
b C
a
A’
B’
c
b C’
a
Si AB = A'B' BC =B'C'
AC = A'C' ∆ABC = ∆A' B'C'
III .APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA A. Teorema de la bisectriz
Todo punto que pertenece a la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de dicho ángulo.
Sea OP bisectriz del ∢AOB.
Si RH OA y RQ OB
RH RQ
Además:
OH OQ
IV. TRIÁNGULOS NOTABLES
1. De 45° y 45°
45º
45º
a 2 a
a 2. De 30° y 60°
30º
60º 2 a a
a 3 3. De 15° y 75°
75º 15º
B
A H C
BHAC4
NOTA:
• En el triángulo rectángulo notable cuyos ángulos miden 15° y 75°, se recomienda trazar la altura relativa a la hipotenusa para aprovechar la propiedad ya aprendida.
• Las perpendiculares solo se trazan si aparecen ángulos notables.
• Siempre buscar triángulos notables.
• Elegir pocas variables al relacionar segmentos.
• Memorizar todos los triángulos notables.
VI. TRIÁNGULOS APROXIMADOS
16º 74º 25 a
24 a 7 a
53º 5 a 4 a
3 a
37º /2 a 3 a
53º /2 a 2 a VII. TEOREMA DE PITÁGORAS
b a
c a2c2b2 VIII.TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS MÁS USUALES
12 13
5
7 25
24
15 17
8
b 2b
ALGUNOS TRIÁNGULOS NOTABLES (No son tan usadas)
1. DE: 36° y 54°
4k k( 102 5 )
36°
54°
k ( 51) 2. DE: 18° y 72°
18°
72°
k( 51) 4k
k( 102 5 )
Si: ABCD es un cuadrado, calcular "x"
A) 70° B) 72° C) 74° D) 79° E) 80°
Si los triángulos que limitan las regiones sombreadas son congruentes y CD=52. Calcule AD.
A) 5 B) 9 C) 10 D) 15 E) 25
Si: BF = BC y AF = EC, calcular "x".
A) 60° B) 50° C) 70° D) 80° E) 75°
Del gráfico, calcule x. Si AB=BE y AD=DE=EC.
A) 35° B) 36° C) 37° D) 38° E) 39°
Calcular "AQ", si: AB = CQ y AB+PQ = 24u
A) 12u B) 16u C) 18u D) 24u E) 28u
Del gráfico, calcule el máximo valor entero que puede tomar “x”.
A) 1u B) 2u C) 3u D) 4u E) 5u
En la gráfico, es la mediatriz de AC y AB=BD. Calcule x.
A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°
PROBLEMA 07
Calcular "x", si los triángulos AFB y BEC son equiláteros.
A) 60° B) 90° C) 110° D) 120° E) 150°
PROBLEMA 08 De la figura, calcule x.
A) 30° B) 37° C) 45° D) 53° E) 60°
PROBLEMA 09
Sea ABCD un cuadrado. Calcule m∢PDC.
A) 37° B) 45° C) 53° D) 60° E) 75°
PROBLEMA 10
En el gráfico mostrado, el triángulo ABC es equilátero. Si AB //CP , AE=CP y EB=9u, calcule BP.
A) 3u B) 6u C) 9u D) 18u E) 4,5u
PROBLEMA 11
En el gráfico mostrado, AB=CD y AD=AC+BC. Calcule x.
A) 30° B) 37° C) 45° D) 53° E) 60°
PROBLEMA 12CEPRE UNSCH 2007 Calcular "x", si: AD = BC
A) 20° B) 40° C) 30° D) 50° E) 18°
PROBLEMA 13 En la figura, calcule x.
A) 2 B) 22 C) 32 D) 42 E) 52 PROBLEMA 14
En el siguiente gráfico, AD=BC. Halle .
A) 10° B) 15° C) 22°30’ D) 26°30’ E) 30°
PROBLEMA 15
Del gráfico, calcule HC. Si AB=6 y AH=2.
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 PROBLEMA 16
Los lados congruentes de un triángulo isósceles miden 5 cada uno. Si la base mide 6, ¿cuánto mide una de las alturas iguales?
A) 4,2 B) 4,5 C) 4,8 D) 5 E) 5,1 PROBLEMA 17 (UNSCH 2009-II)I
En la siguiente figura se tiene AB=6m y CD=9m. Calcule la longitud AD.
A) 2(3+2)m B) 3(3+8) C)(63+9) D) 3(3+3) E) (33+10)
A B
C
P
E
PROBLEMA 18
En el gráfico mostrado, BN=4(AM). Halle m∢ANB.
A) 14° B) 15° C) 37°/2 D) 53°/2 E) 30°
PROBLEMA 19 (SEMINARIO CEPRE – UNI)
En un triángulo ABC, se traza la mediana . Si m<BAD = m<BCA = 2 (m<DAC). Calcule la m<DAC.
A) 18° B) 15° C) 20° D) 25° E) 12°
PROBLEMA 21
De la figura, calcule PQ, si PC = 8, BQ = QC.
A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 10
PROBLEMA 22
En un triángulo PRQ se traza la mediana RS, tal que PS=SQ=RQ y la m<RPQ= 26,5°.Calcular m<RQS.
A) 30° B) 37° C) 45° D) 53° E) 60°
PROBLEMA 23
En el gráfico, calcule el valor de EL, si BT = 4u
A) 1u B) 3u C) 4u D) 6u E) 8u
I. DEFINICIÓN
Polígono de cuatro lados. Puede ser convexo o no convexo.
A
B C
D CUADRILÁTERO CONVEXO
+ + + = 360°
Del gráfico:
Diagonales: y Se cumple:
AC BD
A
B
D
C CUADRILÁTERO NO CONVEXO
+ + + = 360°
Del gráfico:
Diagonales: y Se cumple:
AC BD
II. CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS A. Trapezoide
Cuadrilátero convexo que no presenta lados opuestos paralelos.
B. Trapecio
Cuadrilátero convexo que solo tiene un par de lados paralelos llamados bases.
C. Paralelogramo
Cuadrilátero convexo que tiene sus lados opuestos paralelos y de igual longitud.
TRAPECIO I. DEFINICIÓN
Cuadrilátero convexo que tiene dos lados paralelos llamados bases.
* En la figura:
A
B C
E
L
T
ɸ 2ɸ
BC//AD AB CD
B C
b
b
a
M N
a
A H D
w
* Entonces:
ABCD es un trapecio.
BC y ADbases AB y CDlados laterales BHaltura
MNbase media
Propiedades:
· El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos se llama base media, mediana o paralela media; es paralelo a las bases y mide la semisuma de ellas.
B C
M N
A D
=BC AD+
MN 2
1)
·
III. TRAPEZOIDES No tienen lados paralelos.
Existe un tipo especial de trapezoide, llamado simétrico o contra paralelogramo.
C A
B
D
90 -o 90 -o
90 -o 90 -o
En este, una diagonal es porción de mediatriz de la otra.
PROBLEMA 01
En un cuadrilátero convexo ABCD, la m<A=70°, m<B=100°.
Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices interiores de los ángulos de los vértices C y D.
A) 75° B) 95° C) 85° D) 80° E) 82°
PROBLEMA 02
Si PQRS es un Losange, calcular el suplemento de x. si: PH = HS
A) 30° B) 45° C) 150° D) 60° E) 120°
PROBLEMA 03
Sobre el lado de un cuadrilongo ABCD se toma el punto F, de modo que FC = BC, se traza perpendicular a . Calcular AB, si BM = 9 cm.
A) 18cm B) 9cm C) 15cm D) 3cm E) 6cm PROBLEMA 04
Del gráfico, ABCD es un cuadrado y los triángulos BCF y CED son equiláteros. Calcule .
A) 15° B) 10° C) 12° D) 18° E) 20°
PROBLEMA 05
Se tiene un cuadrilátero ABCD, en el cual la m<BAD=30°;
m<ABC=150°; m<BCD=120°. Si BC=10u y CD=12u. Calcule AD.
A) 32u B) 34u C) 36u D) 38u E) 40u PROBLEMA 06 (UNSCH 2017- II)
En un trapecio, la mediana mide 14 cm mas que la base menor y esta, la tercera parte de la base mayor. ¿Cuánto mide la base mayor?.
A) 28cm B) 84cm C) 14cm D) 58cm E) 42cm PROBLEMA 07
En el trapecio ABCD, calcule el valor de “x”. si BC=7u, AD=14u, AM=MB y CN=ND
A) 15 u B) 12 u C) 11 u D) 10,5 u E) 11,5 u
PROBLEMA 08
Sobre la diagonal de un cuadrado ABCD se marca un punto F, tal que m<BCF = 15°, FC = 3 u. Calcule la longitud del lado del cuadrado.
A)9u B)6u C) 92 u D) 122 u E)12u
PROBLEMA 09
En la figura, Calcular EF, si EB = 4, BC = 7 y AB = 17 (CF = FD).
A) 8 B) 10 C) 9 D) 6 E) 7 PROBLEMA 10
Sobre la prolongación del lado AB de un paralelogramo ABCD se toma un punto E, de modo que, AE = AD y el cuadrilátero BECD sea un trapecio isósceles. Calcular la altura del paralelogramo, si CD = 6u.
A)3u B)6u C) 33 u D) 43 u E) 32 u
PROBLEMA 11
En un triángulo ABC, AC = 14u, m<C=45°, sobre el lado exteriormente se construye un cuadrado de centro O. Hallar la distancia del punto O al lado AC.
A) 5u B) 7u C) 6u D) 3,5u E) 3u PROBLEMA 12
Calcular el complemento de x, si: BO = OD = OE.
A) 15° B) 16° C) 17° D) 63° E) 73°
PROBLEMA 13
En un rectángulo ABCD se traza perpendicular a y la perpendicular a la prolongación de , tal que DF = 2(HB). Hallar la m<AHD.
A) 60° B) 30° C) 26,5° D) 18,5° E) 22,5°
PROBLEMA 14
En el gráfico, BF=2u y ED=3u. Calcule AB.
A) 15u B) 17u C) 13u D) 11u E) 19u PROBLEMA 15
En un trapecio ABCD, donde BC//AD, se tiene que AB=5, BC=4, AD=12 y la m∢ABC=3(m∢CDA). Halle la m∢CDA.
A) 30° B) 37° C) 45° D) 53° E) 60°
PROBLEMA 16
En un trapecio ABCD, donde BC // AD, AB = 6u, BC = 8u, CD = 10u y AD = 18u, las bisectrices interiores de los ángulos A y B se cortan en el punto P, las bisectrices interiores de los ángulos C y D se cortan en el punto Q. Calcular PQ.
A) 3u B) 6u C) 4u D) 5u E) 8u PROBLEMA 17
En un romboide ABCD, m<B=100°, las mediatrices de los lados y se intersecan en un punto F del lado . Calcular la medida del ángulo FAD.
A) 20° B) 15° C) 10° D) 30° E) 25°
PROBLEMA 18
En un cuadrilátero convexo ABCD: = , m<ADB = 30°;
m<B = 90°; m<BCD = 150°. Calcule la m<CAD.
A)10° B)15° C)20° D)30° E)45°
PROBLEMA 19
Calcular: x, si: m∠BCM=78º y 2AD = 3BC.
A) 39° B) 24° C) 26° D)18° E) 42°
DEFINICIÓN: Es la figura geométrica determinada por los puntos P1, P2, P3, ...Pn coplanarios, donde no hay tres puntos colineales, y n3, entonces a la reunión de los segmentos P1 P2, P2 P3, P3 P4, ..., Pn-1 Pn, Pn P1 se denomina polígono.
Estos segmentos no deben intersectarse más que en sus extremos.
P1 1
1
P2
3 P
P
4 5
2
3
4
2
3 4
Re gión in te rior de l p olígon o Pn
P
Elementos:
• Vértices: P1, P2, P3, ..., Pn
• Lados : P P ,P P ,P P ,....,P P1 2 2 3 3 4 n 1 Notación:
Polígono P1 P2 P3 ... Pn
Medida de los ángulos
• Internos 1, 2, 3, ..., n
• Externos 1, 2, 3, ..., n
DENOTACIÓN DE LOS POLÍGONOS
3 Triángulo
4 Cuadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octágono
9 Nonágono o Eneágono
10 Decágono
11 Endecágono
12 Dodocágono
15 Pentadecágono
20 Icoságono
21 Polígono de 21 lados n Polígono de n lados Nº de lado s Po lígo no
CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS
I. Según la región que limitan
a. Polígono convexo: Es el polígono que limita una región convexa.
b. Polígono no convexo: Es el polígono que limita una región no convexa.
II. Según la medida de sus lados y ángulos internos determinados
a. Polígono equiángulo: Es aquel polígono convexo cuyos ángulos son congruentes.
b. Polígono equilátero: Es aquel polígono cuyos lados son congruentes.
P O LÍG O NO C O NVEXO EQ UILÁTERO
P O LÍG O NO NO CO NVEXO EQ UILÁTERO
c. polígono regular: Es aquel polígono convexo que es a la vez equiángulo y equilátero.
O
FORMULAS PARA TODO POLÍGONO DE “n” LADOS
A. Suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono convexo (S∢i)
B. Suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono convexo (S∢e)
C. Número de diagonales trazadas desde un vertice. (NºDTV)
D. Número total de diagonales.
E. Número de diagonales trazadas desde “m” vértices consecutivos. (NºD(m))
F. Número total de diagonales medias (NTDM)
FORMULAS PARA TODO POLÍGONO
REGULAR DE “n” LADOS
A. Medida de un ángulo interior (M∢ i)
B. Medida de un ángulo externo (M∢ e)
C. Medida de un ángulo central (M∢ c)
NOTA:
Las fórmulas para calcular las medidas de los ángulos interior y exterior de un polígono regular son aplicables también a un polígono equiángulo.
PROBLEMA 01
Se tiene un polígono equilátero que tiene 20 lados. Halle la medida de uno de sus ángulos interiores.
A) 168° B) 165° C) 164° D) 162° E) 160°
PROBLEMA 02
En un polígono regular, la medida de su ángulo exterior es igual a la mitad de su ángulo interior. Halle el número de lados de dicho polígono.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
PROBLEMA 03
Calcular “x”, si ABCDEF y APQF son polígonos regulares.
A)60° B)65° C)70° D)75° E)80°
PROBLEMA 04
En un polígono la suma de las medidas de los ángulos internos y externos es 2520°. Calcular el número de lados del polígono.
A) 8 B) 12 C) 14 D) 10 E) 20
PROBLEMA 05
En un polígono ABDEFGH… donde las mediatrices AB y DE se cortan formando un ángulo de 135°; hallar cuántas diagonales tiene dicho polígono.
A) 20 B) 21 C) 17 D) 19 E) 15 PROBLEMA 06
Si a un polígono se le aumenta en 4 a su número de lados;
entonces la suma de sus ángulos internos se duplica. Hallar el número de vértices del polígono.
A) 5 B) 6 C) 7 D)8 E) 9 PROBLEMA 07
Halle la suma de los ángulos interiores de un octógono.
A) 720° B) 900° C) 1080°
D) 1160° E) 1340°
PROBLEMA 08
En un polígono, la cantidad de sus diagonales medias es igual al quíntuple d su cantidad de lados. Halle la cantidad de sus lados.
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 PROBLEMA 09
En el gráfico los polígonos mostrados son regulares, calcule x.
A) 28° B) 44° C) 32° D) 30° E) 36°
PROBLEMA 10
En un polígono, la cantidad de vértices más la cantidad de sus lados es igual a la cantidad de sus diagonales. Halle la cantidad de diagonales que presenta dicho polígono.
A) 2 B) 5 C) 9 D) 14 E) 20 PROBLEMA 11
En el gráfico mostrado ABCDEF... y PQDRS... son polígonos regulares de 50 y 30 lados respectivamente. Calcule la mQDE.
A)150°46´ B)160°30´ C)160°48´ D)106°48´ E)150°30´
B
A C
S R
P Q
D
E
F
A F
B
C D
E Q
P x
x
B
42° C
E D A F PROBLEMA 12
En un polígono equiángulo la razón entre la medida del ángulo interior y exterior es de 5 a 1. Calcule el número de diagonales de dicho polígono.
A) 52 B) 53 C) 54 D) 55 E) 56 PROBLEMA 13
En la figura ABCDEF, RSDE y RTE son polígonos regulares.
Halle “x”.
A)30° B)37° C)45° D)53° E)60°
PROBLEMA 14
Desde 5 vértices consecutivos en un polígono regular se pueden trazar 19 diagonales.
Calcule la medida del ángulo exterior.
A) 30° B) 45° C) 60° D) 75° E) 90°
PROBLEMA 15
Si quince veces el ángulo interior de un polígono regular equivale al cuadrado de su ángulo exterior.
¿Cuántos lados tiene dicho polígono?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
PROBLEMA 16
Los ángulos de un hexágono convexo se encuentran en progresión aritmética. Calcule el mayor valor entero de la razón.
A)22° B)24° C)23° D)34° E)25°
PROBLEMA 17
Halle la longitud del lado de un polígono regular de 15 lados si se sabe que su perímetro es numéricamente igual a la medida de su ángulo exterior.
A) 2/3 B) 5/2 C) 6/5 D) 8/5 E) 9/5 PROBLEMA 18
En un hexágono regular ABCDEF se ubica los puntos M, N y Q en su región interna, tal que AMNF es un cuadrado y AQF un triángulo equilátero. Calcule la medida del ángulo formado por las rectas CE y MQ.
A) 8° B) 10° C) 22°30’ D) 15° E) 30°
PROBLEMA 19
Calcule el número de lados de un polígono convexo, si el número total de sus diagonales, más el número de triángulos que se forman al unir un vértice con los restantes, más el número de ángulos rectos a que equivale la suma de sus ángulos interiores es igual a 14.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
PROBLEMA 20
En el gráfico mostrado ABCDE es un polígono regular y DF = DE, calcule x.
A) 36° B) 42° C) 48° D) 52° E) 60°
PROBLEMA 21
Del gráfico, se tiene un octono regular, calcule x. Si BD=PD.
A) 30° B) 30°30’ C) 37°30’
D) 40°30’ E) 42°30’
