PROBLEMAS RESUELTOS DE ONDAS y SONIDO

(1)

1

PROBLEMAS RESUELTOS DE ONDAS y SONIDO

CURSO 2011 - 2012

Antonio J. Barbero, Mariano Hernández, Alfonso Calera, José González Departamento Física Aplicada. UCLM

(2)

2 Calcular:

a) La frecuencia, el periodo, la longitud de la onda y la velocidad de propagación.

b) El estado de vibración, velocidad y aceleración de una partícula situada en x = 0,2 m en el instante t = 0,3 s.

c) Diferencia de fase entre dos puntos separados 0,3 m.

(

6 /4

)

sin 2 .

0 π +π +π

= t x

y

PROBLEMA 1. Una onda se propaga por una cuerda según la ecuación (en unidades S.I.)

a) Ecuación de la forma

y ( ) x , t = A sin ( ω t + k x + δ )

Se propaga en sentido negativo del eje X

m 2 m 2

s .333 0 1

Hz 3

rad/s 6

2

1

-

→ =

=

→

=

→

=

λ π

π π

ω k

f T

f

f = = 6 = 6 m/s

π π ω c k

b) Para x = 0.2 m, t = 0.3 s.

(

6 0.3 0.2 /4

)

sin 2 .

0 π ⋅ +π ⋅ +π

y = =0.2sin

(

7.069

)

=0.1414 m

(

6 /4

)

cos 6 2 .

0 ⋅ π π +π +π

= t x

dt dy

(

6 /4

)

sin 36 2 .

0 ²

2

2 = − ⋅ π π t+π x+π

dt y d

(

7.069

)

2.666 m/s cos

6 2 .

0 ⋅ =

= π

( )

²

2cos 7.069 50.25 m/s 36

2 .

0 ⋅ =−

= π

Velocidad Aceleración

c) Diferencia de fase entre dos puntos separados ∆x = 0.3 m 4

/

1 6π π π

δ = t+ x+

(

0.3

)

/4

2 6π π π

δ = t+ x+ +

rad 3 .

1 0

2 δ π

δ

δ = − =

∆

(3)

3 PROBLEMA 2. La ecuación de una onda transversal que viaja por una cuerda tensa está dada por

( 0 . 02 4 ) donde , están en cm; en segundos sin

6 x t x y t

y = π + π

a) Poner esta ecuación en forma coseno. Determinar su longitud de onda y su frecuencia.

b) ¿Cuál es su amplitud? ¿En qué sentido se propaga, y cuál es la velocidad de propagación?

c) ¿Cuál es la velocidad máxima de vibración de un punto de la cuerda? ¿Y la aceleración máxima?

(El seno de un ángulo está atrasado π/2 rad

respecto al coseno) a) Para ponerla en forma coseno tendremos en cuenta la relación

( φ π / 2 ) cos φ cos ( π / 2 ) sin φ sin ( π / 2 ) sin φ

cos − = + =

( 0 . 02 4 ) 6 cos ( 0 . 02 4 / 2 )

sin

6 π + π = π + π − π

= x t x t

y

Número de ondas k

1

cm-

02 .

2 0 π

λ π ₌

=

k Frecuencia

angular ω

Hz

=2 f rad/s 4

2π 2π π

ω = = f = cm T

=100

λ _T ₌₀_.₅_s

cm/s cm 200

.02 0

rad/s 4

1 -

=

= π

π ω

v k

b) Amplitud: directamente de la ecuación A = 6 cm. Velocidad propagación Se propaga en el sentido negativo del eje X.

c) Velocidad de vibración

( ) ( ^x ^t )

dt t x y

y & = d , = 6 ⋅ 4 π cos 0 . 02 π + 4 π

( ) ( ^x ^t )

dt t x y

y d , 24 · 4 sin 0 . 02 4

2

= − π π π + π

&& =

( 0 . 02 ^x 4 ^t )

cos

24 π π + π

=

( 0 . 02 ^x 4 ^t )

sin

96 π

²

π + π

−

=

cm/s

max

= 24 π y &

2 2

max

= 96 π cm/s

y &&

(4)

4 X

PROBLEMA 3. El nivel de presión L

_P

de una onda sonora se define como

siendo p

_rms

el valor rms de la onda de presión en el punto considerado.

Un diapasón vibra con una frecuencia de 275.2 Hz. Una persona que oye la nota emitida por el mismo percibe un nivel de presión de 64 dB. Calcular la longitud de onda, escribir la ecuación de onda y determinar la intensidad de la onda en W/m

²

. Densidad del aire ρ = 1,29 g/litro. Velocidad de propagación del sonido v = 344 m/s.

Pa 10 2

donde p_ref = ⋅ ⁻⁵

( )

·

2 /

v p

I = _rms

ρ Relación entre la intensidad en W/m

²

y la presión en Pa:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

= ⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

= ⎛

ref

ref p

p p

L_P p^rms ₁₀ ^rms

2

10 20log

log 10

T f v λ λ·

=

= f

= v

λ 1.25m

4 5 2 . 275

344 = =

Longitud de onda: cálculo a partir de

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

= ⎛

pref

L_P 20log₁₀ p^rms ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ₁₀⎛ ₋₅

10

· log 2 20

64 p^rms

Amplitud de la onda sonora

ref·10 ^P^/²⁰

L

rms p

p =

2 . 20 3 64 10

·

log₁₀ 2 ₅⎟= =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

−

prms p_rms =2·10⁻⁵·10³^.² =3.17·10⁻² Pa

Ecuación de onda

Cálculo de ω y k

3 3

3 -

-3

m 29kg . m 1 10

kg 2910

. 1 g/litro 29 .

1 = =

ρ=

rad/s 1 . 1729 4

. 550 2

. 275 2

2 = ⋅ = =

= π π π

ω f

1

m-

0 . 344 5

1 . 1729

→ = = =

= k v

v ωk ω

p = p

_rms

2 cos( kx − ω t )

) 4 . 550 0

. 5 cos(

10 · 2 17 .

3

²

x t

p =

⁻

− π

·

2

v I p^rms

=

ρ (

³

)

² ₂_.₂₆_·₁₀ ⁶_W/m²

344

· 1.29

10

· 17 .

3 ⁻ ₋

=

= I

Intensidad (

W/m²

)

(5)

5

PROBLEMA 4

Un diapasón montado sobre una caja de resonancia se golpea con un martillete emitiendo una onda sonora de 612 Hz que se propaga a 340 m/s y alcanza un receptor. Considerando que la onda que alcanza el receptor es una onda plana, se pide:

a) Si la sobrepresión máxima producida por la onda sonora en el receptor es igual a p₀ = 2⋅10^-4 Pa, escribir la ecuación de la onda viajera, explicando la elección que se haga para la fase inicial, y calcular su longitud de onda.

b) La intensidad del sonido en función de la presión está dada por la relación indicada en el recuadro al margen. Calcular la intensidad del sonido que percibe el

receptor. ¿Cuáles son sus unidades en el S.I? 2

1 ₀² v I p

= ρ c) Tomando como intensidad de referencia I₀= 10^-12 W/m², calcular el nivel de intensidad en dB.

d) En un segundo experimento se vuelve a golpear el diapasón y en el receptor el nivel de intensidad es 20 dB mayor que antes. ¿Cuál es la intensidad que llega al receptor?

Dato. Densidad del aire en las condiciones del experimento: ρ = 1.22 kg/m³

Ayuda

a) Onda sonora de 612 Hz que se propaga a 340 m/s. Sobrepresión máxima en el receptor p₀= 2⋅10^-4 Pa.

( ) ^x ^t ⁼ ^p ( ^kx ⁻ ^ω ^t ⁺ ^δ )

p ,

₀

cos

v ₌ωk _-₁

m 6 . 340 3 2 612

2π π π

ω = = =

= v

f k v

rad/s 1224

612 2

2π π π

ω = f = ⋅ =

m 555 . 6 0

. 3

2

2 = =

= π

π λ π

k

( ) x , t 2 10

⁴

cos ( 3 . 6 x 1224 t ) ( p en Pa)

p = ⋅

⁻

π − π

Elegimos como punto inicial el momento en que la presión pasa por un máximo

( ) 0 , 0 p

₀

cos ( ) p

₀

p = δ = δ = 0

Suponemos que se propaga de izquierda a derecha

m 555 . 6 0

. 3

2

2 = =

= π

π λ π

Longitud de onda k

(6)

6

PROBLEMA 4 (Continuación)

b) La intensidad del sonido en función de la presión está dada por la relación indicada en el recuadro al margen. Calcular la intensidad del sonido que percibe el

receptor. ¿Cuáles son sus unidades en el S.I? 2

1 ₀² v I p

= ρ c) Tomando como intensidad de referencia I₀= 10^-12W/m², calcular el nivel de intensidad en dB.

Dato. Densidad del aire en las condiciones del experimento: ρ = 1.22 kg/m³

Ayuda

b) Nivel de intensidad que percibe el receptor

2 1 ₀²

v I p

= ρ

Densidad del aire: ρ = 1.22 kg/m³

( )

11 2

4 2

W/m 10

82 . 40 4 3 .22 1

10 2 2

1 ⁻ ₋

⋅

⋅ =

⋅ ⋅

= Justificación de las unidades S.I.

[ ]

m watios Área

Potencia

≡ 2

= I

c) Nivel de intensidad ¹⁰^log

(

⁴^.⁸² ¹⁰

)

¹²⁰ ¹⁷^dB

10 10 82 . log 4

10 ₁₂ ¹¹

11

10 ⎟⎟= ⋅ + =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅

= ₋ ⁻ ⁻

LI

7 . 10 3

log₁₀ ₁₂ ⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ′

−

I ₃_.₇

12 10

10′ =

−

I

2 9

12 7

.

3

10 5 10 W/m

10 ⋅

⁻

= ⋅

⁻

′ = I

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ′

= +

′ = ₁₀ ₋₁₂

log 10 10 20 17

20 I

L L_I _I

(7)

7 Un silbato que emite una frecuencia de 4300 Hz produce una onda cuyo valor máximo de presión por encima de la presión ambiental es 4⋅10^-2 Pa. Esta onda se propaga a 344 m/s en el aire.

PROBLEMA 5

a) Escribir la ecuación de onda. Determinar la longitud de onda.

b) ¿Cuál es el nivel de presión sonora?. Presión de referencia p_ref = 2⋅10^-5Pa.

a) Ecuación de onda: consideramos una onda plana en el sentido creciente del eje Xy tomamos el origen de modo que la fase inicial sea cero.

( ) x , t p

₀

cos ( k x t )

p ,p₀ en Pa, x en m, t en s

p = − ω

( ) x , t 4 10

²

cos ( 2 5 x 8600 t ) (Pa)

p = ⋅

⁻

π − π

Hz 8600 4300

2

2π π π

ω = f = ⋅ =

1

m-

344 25

8600π π

ω = =

= v

k 0.08 m

25 2

2 = =

= π

π λ π

k v ωk

=

b) Nivel de presión sonora. Presión de referencia p_ref= 2⋅10^-5 Pa.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

= ⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

= ⎛

ref

ref p

p p

L_P p ₁₀ ⁰

2

10 0 20log

log

10 66 dB

10 2

10 log 4

20 ₅

2

10 ⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⋅

= ⋅ ₋⁻

(8)

8

PROBLEMA 6

Un tono puro de 432.9 Hz se propaga en el aire a 340 m/s. La amplitud de la onda de presión en un punto situado a 2 m de la fuente es de 184 mPa. Se pide:

(a) La ecuación de onda y representar en el punto indicado la presión como función del tiempo.

(b) Calcular la intensidad de la onda y el nivel de intensidad en dicho punto.

Umbral de percepción de intensidad I

₀

= 10

^-12

W·m

^-2

; densidad del aire 1.27 kg.m

^-3

.

rad/s 2720 rad/s

8 . 865 9

. 432 2

2 = ⋅ = =

= π π π

ω f 8m^-¹

340 2720

→ = = =

= k v

v ωk ω

Cálculo de ω y k ) cos( kx t p

p =

_m

− ω ⁼ ¹⁸⁴ ^cos( ⁸ ^x ⁻ ²⁷²⁰ ^t ⁾ ( ^m ^Pa )

Representación gráfica en x = 2 m

mPa 2 130

184 2 = =

=

^m

rms

p p Valor rms de

la presión

( ^mPa )

) 2720 16

cos(

184 t

p = −

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

( )^s

t

( )

5 2

3 2

W/m 10

· 91 . 340 3

· 27 . 1

10

·

130 ⁻ = ₋

=

c

I

I p

^rms

·

2

= ρ

dB 76 9 . 10 75

10 · 91 , log 3 10 log

10

₁₂

5

0

≈

=

₋ ⁻

I

L

_I

I

(9)

9 PROBLEMA 7

El nivel de intensidad de la sirena de un barco, percibido por un marinero en la cubierta a 10 metros de distancia de la misma, es de 70 dB.

Determinar (a) el nivel de intensidad a 1 km de distancia; (b) la distancia a la cual la sirena dejará de ser audible; (c) la presión rms de la onda sonora a la distancia a la que la sirena deja de ser audible. Umbral de percepción de intensidad I

₀

= 10

^-12

W·m

^-2

; densidad del aire 1.20 kg.m

^-3

; velocidad del sonido 338 m/s.

dB 70 log

10

0 1

1 = =

I L_I I

0 2 10log 2

I

L_I = I ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

−

0 1 0

2 1

2 10 log log

I I I

L I L_I _I

1

log 2

10 I

= I =L_I₂−70 Intensidad de la onda en cubierta

A 10 m de distancia (punto 1)

^I¹⁼¹⁰⁻¹²^·¹⁰⁷ ⁼¹⁰⁻⁵^W·m^-2

A 1 km de distancia (punto 2)

La intensidad de las ondas sonoras es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente (suponemos propagación isótropa)

2 2

2 1 1 2

r r I = I

( )

⁶ ⁴

2 3 2

2

10 10 10 10

10 ₋

=

= L_I₂ =70+10log10⁻⁴ =70−40=30dB

La distancia r

₀

a la que la sirena deja de ser audible es aquella a la intensidad de la onda se hace igual al límite de percepción I

₀

= 10

^-12

W·m

^-2

2 1

2 0 0 1

r r I I =

0 1 1

0

I

r I

r =

31600m

10 10 10₁₂

5

=

= ₋⁻

Relación entre la intensidad y la presión rms de la

onda sonora ^c

I p

^rms

·

2

= ρ ( ^p

_rms

)

₀

= ^ρ ^{· I} ^c ^·

₀ ₌ ₁_.₂₉_·₃₄₄_·₁₀⁻¹² ₌₂_·₁₀⁻⁵ _Pa ^{Umbral de}presión = 20 µPa

(10)

10 PROBLEMA 8

Una fuente sonora isótropa produce un nivel de intensidad de 65 dB a 1 m de distancia. Las condiciones ambientales son densidad del aire 1.27 kg.m

^-3

y velocidad del sonido 340 m/s.

Calcular (a) la potencia emitida por la fuente; (b) el valor máximo de la presión de la onda sonora a 2 m de la fuente ¿Cuál es el valor rms correspondiente?. Umbral de percepción de intensidad I

₀

= 10

^-12

W·m

^-2

.

dB 65 log

10

0 1

1 = =

I

L_I I log 6.5 I¹=10⁻¹²·10⁶^.⁵ =10⁻⁵^.⁵ W·m^-2 =3.16·10⁻⁶ W·m^-2

0 1 = I I

La intensidad a 1 m de la fuente es la potencia emitida repartida sobre la superficie de una esfera de radio r

₁

= 1m.

Intensidad a 1 m de la fuente

2 1

1 4 r

I W π

&

=

2 1 1·4 r I W& = π

W 10

· 4 W 10 · 16 . 3 ·

4 ⁻⁶ = ⁻⁵

= π W&

Para determinar la presión de la onda sonora calculamos la intensidad a r

₂

= 2 m de la fuente.

La intensidad de las ondas sonoras es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente

2 2

2 1 1 2

r r

I = I

₂

2 2 1 1

2

r

I r

I =

⁵^.⁵ ²₂ ⁵^.⁵ 7.91·10 ⁷ W·m^-² 4

10 2

10 1 ⁻

− = − =

=

Relación entre la intensidad y la presión máxima de la onda sonora

c I p

^m

· 2

2

= ρ ( ) ^p

_m ₂

= ² ^ρ ^· ^c ^· ^I

₂ ⁼ ²^·¹^.²⁷^·³⁴⁰^·⁷^.⁹¹^·¹⁰⁻⁷ ⁼²^.⁶¹^·¹⁰⁻² ^Pa

En una función senoidal la relación

entre valor máximo y valor rms es

^rms

₂

^m

p = p

1.85·10 Pa

2 Pa 10

· 61 .

2 −² −₂

=

(11)

11

PROBLEMA 9. Un altavoz de forma semiesférica se ajusta para un nivel de intensidad de 40 dB a 10 m de distancia. (a) ¿Cuál es la intensidad en W·m

^-2

a esa distancia? (b) ¿Cuál es el nivel de intensidad a 2.5 m de distancia? (c) Suponiendo que el altavoz semiesférico es una fuente isótropa de sonido, ¿cuál es su potencia? (d) ¿Cuál es la presión rms a 20 m de distancia?

Densidad del aire 1.29 kg.m

^-3

; velocidad del sonido 344 m/s. Umbral de percepción de intensidad I

₀

= 10

^-12

W·m

^-2

.

dB 40 log

10

0

1

=

1

=

I

L

_I

I I

₁

= 10

⁻¹²

· 10

⁴

= 10

⁻⁸

W·m

^-2

A r

₁

= 10 m de distancia (punto 1)

1 r

1

2 r

2

3 r

3

Intensidad inversamente proporcional al cuadrado de la

distancia a la fuente, por tanto para r

₂

= 2.5 m la intensidad es

₂²

2 1 1 2

r r I = I

2 2

2 1 1

2

r

I r

I =

⁸ ²₂ ¹^.⁶^·¹⁰ ⁷^W·m^-² 5

. 2

10⁻ 10 = ⁻

=

52 dB

10 10

· 6 . log 1 10 log

10

₁₂

7

0 2

2

= =

₋ ⁻

=

I L

_I

I

La potencia emitida por el altavoz se distribuye uniformemente sobre una superficie semiesférica. Por lo tanto, tomando el dato de I

₁

y r

₁

tenemos que

2 1

1 2 r

I W π

&

=

W & = I

₁

· 2 π r

₁² _W& ₌₁₀⁻⁸_·₂_π _·₁₀² ₌₆_.₂₈_·₁₀⁻⁶_W

( )

^·

2 /

c p

I = _rms

ρ

Para calcular la presión rms a 20 m hallamos primero la intensidad de la onda

2 3

2 1 1 3

r r

I = I

₂

3 2 1 1

3

r

I r

I =

⁸ ²₂ 2.5·10 ⁷ W·m^-² 20

10⁻ 10 = ⁻

=

c I

p

_rms

= · ρ ·

₌ ₂_.₅_·₁₀⁻⁷_·₁_.₂₉_·₃₄₄ ₌₁_.₀₅_·₁₀⁻² _Pa

(12)

12 PROBLEMA 10. La ecuación de una onda transversal que se propaga por una cuerda viene dada por:

Calcular:

y = 0 . 06 sin ( 0 . 40 π x + 50 π t ) (Unidades S.I.)

a) La frecuencia, el periodo, la longitud de onda y la velocidad de propagación. Ayuda b) La velocidad transversal en un punto cualquiera de la cuerda

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ −

− cos 2

sin 2 2 sin

sin A B A B

B

c) Admitiendo que esta onda se propaga a lo largo de una cuerda fija por A

ambos extremos, ¿cuál será la ecuación de la onda estacionaria resultante de la interferencia de la onda dada con la onda reflejada en el otro extremo y que se propaga en sentido contrario?.

d) La distancia entre dos vientres consecutivos de la onda estacionaria

a) Se trata de una onda viajera en el sentido negativo del eje X _-₁

m 40 . 0

rad/s 50

π π ω

=

= k m

5 40 . 0 2 m 40 . 0 2

s 04 . 0 1

Hz 25 2

rad/s 50

2

1

-

→ = =

=

→

=

→

=

π π

λ π

π ω π

π ω k

f T

f f

m/s 40 125

. 0

50 =

=

= π

π ω

c k

Velocidad de propagación

b) La velocidad transversal en un punto cualquiera de la cuerda.

( ) ( ^x ^t )

dt t x y

d , = 0 . 05 ⋅ 50 π cos 0 . 40 π + 50 π = 2 . 5 π cos ( 0 . 40 π x + 50 π t )

(m/s)

(13)

13 c) Admitiendo que esta onda se propaga a lo largo de una cuerda fija por

ambos extremos, ¿cuál será la ecuación de la onda estacionaria resultante de la interferencia de la onda dada con la onda reflejada en el otro extremo y

que se propaga en sentido contrario?. ^sinÂ⁻^sin^B⁼²^sin^⎜_⎝^{⎛ −}Â₂^B^⎟_⎠^⎞^cos^⎜_⎝^{⎛ +}Â₂^B^⎟_⎠^⎞ Ayuda

d) La distancia entre dos vientres consecutivos de la onda estacionaria PROBLEMA 10 (continuación)

c) La onda que se propaga en sentido contrario es ^y₂

( )

^x,^t =−0.05sin

(

^k ^x−ω^t

)

( ) ^x ^t ( ^k ^x ^t )

y

₂

, = − 0 . 05 sin − ω

( ) ^x ^t ( ^k ^x ^t )

y

₁

, = 0 . 05 sin + ω = 0 . 05 sin k x cos ω t + 0 . 05 cos k x sin ω t

La superposición de las dos, llamando y₁(x,t) a la primera, es: ₀_.₄₀_π_m^-1 ₅₀_π _rad/s

Se invierte la fase de la onda reflejada

t x

k t

x

k cos 0 . 05 cos sin sin

05 .

0 ω + ω

−

= y

₁

( ) x , t + y

₂

( ) x , t = 0 . 10 cos k x ⋅ sin ω t

Onda estacionaria

( ) x t y ( ) x t ( x ) ( t )

y

₁

, +

₂

, = 0 . 10 cos 0 . 40 π ⋅ sin 50 π

Suma:

Procedimiento alternativo: usando la relación trigonométrica ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛ +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ −

− cos 2

sin 2 2 sin

sin A B A B

B A

t B

A − = 2 ω x k B A + = 2 t

x k

A = + ω t x k

B = − ω

( ) ^x ^t ( ^k ^x ^t )

y

₂

, = − 0 . 05 sin − ω

( ) ^x ^t ( ^k ^x ^t )

y

₁

, = 0 . 05 sin + ω

( ) ^x ^t ^y ( ) ^x ^t ( ^k ^x ^t ) ( ^k ^x ^t ) ^k ^x ^t

y

₁

, +

₂

, = 0 . 05 sin + ω − 0 . 05 sin − ω = − 0 . 10 cos ⋅ sin ω

( ) ^x ^t ^y ( ) ^x ^t ( ^x ) ( ^t )

y

₁

, +

₂

, = 0 . 10 cos 0 . 40 π ⋅ sin 50 π

d) La distancia entre dos vientres consecutivos de la onda estacionaria es igual que la distancia entre dos nodos consecutivos (puntos donde la amplitud es nula)

Cuando n= 1 →

( ² ¹ ) ^/ ²

40 .

0 π x = n + π

( 0 . 40 ) 0

cos π x =

Cuando n= 0 →

Hay un nodo si (nentero)

80 . 0

1 2 +

= n

x

_n ₀

1 . 25 m

Posiciones de los nodos

x =

m 75 .

1

= 3 x

Distancia entre vientres = distancia entre nodos =

x

₁

− x

₀

= 2 . 5 m

(Véase que es la mitad de la longitud de onda de las ondas que interfieren)

(14)

14 La ecuación del segundo armónico de una onda estacionaria en una cuerda de 10 m de longitud sometida a una tensión de 50 N está dada por

( ) x , t 8 sin ( 0 . 2 x ) ( sin 20 t ) x en m, y en cm, t en s

y = π ⋅ π

PROBLEMA 11

a) Determinar la frecuencia y velocidad de propagación de las ondas viajeras cuya interferencia produce la onda estacionaria en esta cuerda y calcular la densidad lineal de masa.

b) Escribir la ecuación de onda del término fundamental. Hallar la máxima velocidad de vibración de un punto de la cuerda en este modo, suponiendo que la amplitud máxima es igual que la del segundo armónico.

c) Determinar las posiciones de los nodos del cuarto armónico.

m 2 10

. 0

2 2

2

2 = = =

π π λ π

k

µ

v= T 5 10 kg/m

10

50 ₃

4 2

⋅ −

=

= v µ T m/s

2 100

. 0

20

2

2 = =

= π

π ω

v k

( ) ( ) ( )

s en cm, en m, en

40 sin 4

. 0 sin 8

4

,

t y

x

t x

y = π ⋅ π

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

a) Parámetros de la onda . estacionaria

-1 2 =0.2π m

k ω₂ =20π rad⋅s^-1

y (cm)

x (m)

Hz 2 10

20 2

2

2 = = =

π π π

f ω

b) Las frecuencias de todos los armónicos son

. múltiplos enteros del término fundamental f_n =n⋅ f¹ 1 ² 10 rad s^-¹

2 = ⋅

=ω π

ω Longitud de onda:

2 n n

L₌ λ

n L

n

= 2

λ 20m

1 2

1 = L =

λ k1 = 2π /λ1 = 2π /20=0.1π m^-1

c) Ecuación 4º armónico

( ) , 8 sin ( 0 . 1 ) ( sin 10 ) en m, en cm, en s

1

x t x t x y t

y = π ⋅ π

-1 1

4 =4ω =40π rad⋅s ω

m 4 5

2

4 = L =

λ

y (cm)

x (m)

1 - 4

4 0.4 m

5 2

2 π π

λ

π ₌ ₌

= k

Hay un nodo para cada valor x que verifica

( 0 . 4 ) 0 sin π x =

(m) 10

5 . 7 5 5 . 2

0 ₂ ₃ ₄ ₅

1= x = x = x = x =

x

( ) ^, ]

_max

⁸⁰ ^cm/s

1

max

= y x t = π

v &

PROBLEMAS RESUELTOS DE ONDAS y SONIDO