ECUACIONES DE PRIMER GRADO

ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Teoría de Ecuaciones

Teoría de Ecuaciones

Igualdad Igualdad

Una relación de comparación que se establece entre dos expresiones el cual nos indica que tienen el mismo valor.

Una relación de comparación que se establece entre dos expresiones el cual nos indica que tienen el mismo valor.

Clases de Igualdad Clases de Igualdad

Absolutas Incondicionales

Absolutas Incondicionales Relativas CondicionalesRelativas Condicionales

Aquella que se verifica para todos los valores asignados a sus incógnitas.

Ejm.: (x + 1)² = x² + 2x + 1

la igualdad se verifica para cualquier valor real de “x”

Aquella que se verifica para todos los valores asignados a sus incógnitas.

Ejm.: (x + 1)² = x² + 2x + 1

la igualdad se verifica para cualquier valor real de “x”

Aquella que se verifica para ciertos valores particulares que se les atribuye a sus incógnitas.

Ejm.: 2x + 1 = x + 7 se verifica sólo si: x = 6

2(6) + 1 = 6 + 7

Aquella que se verifica para ciertos valores particulares que se les atribuye a sus incógnitas.

Ejm.: 2x + 1 = x + 7 se verifica sólo si: x = 6

2(6) + 1 = 6 + 7 una

es

es es

Ecuaciones

Una igualdad condicional que queda satisfecha sólo para algunos valores asignados a sus variables.

Así:

25 ,

3 3 x x

5   

es

Conceptos Fundamentales

Solución o Raíz Conjunto Solución Resolución de una Ecuación

Ecuaciones Equivalentes

Aquellos valores que asumen las incógnitas las cuales verifican o satisfacen una deter- minada ecuación.

Conjunto formado por todas las soluciones.

Efectuar en ellas todas las operaciones nece- sarias para obtener sus soluciones.

Ecuaciones son equivalen- tes si todas las soluciones de la primera ecuación son también soluciones de la segunda ecuación e inversamamente.

Dada la ecuación:

x³ – 5x² = x² – 11x + 6 Para: x = 1  -4 = -4 Para: x = 2  -12 = -12 Para: x = 3  -18 = -18 Luego las raíces o soluciones son:

x = 1; x = 2; x = 3 así

Como las soluciones de la ecuación:

x³ – 5x² = x² – 11x + 6 Son: x = 1; x = 2; x = 3 Entonces el conjunto solución (C.S.) es:

C.S. = {1; 2; 3}

así

Conseguirlo se le trans- forma sucesivamente en otras equivalentes.

para

Conseguirlo que ella sea sencilla y permita hallar el valor de la incógnita.

hast a

Las ecuaciones:

x 2 36 x 5

; 3 14

x 2 2

x    

son equivalentes puesto que ambas ecuaciones se verifican solamente para:

x = 12

así

son es el es dos

Ecuación de Primer Grado Ecuación de Primer Grado

ax + b = 0 ax + b = 0 Forma General

Análisis de sus Raíces Análisis de sus Raíces

solución única (compatible determinada)

solución única (compatible determinada)

Forma General

si

a = 0  b = 0  0x = 0

“x” admite cualquier solución (compatible indeterminada)

a = 0  b = 0  0x = 0

“x” admite cualquier solución (compatible indeterminada)

si

a = 0  b  0  0x = -b No existe ningún valor “x” que multiplicado por cero da como

resultado –b.

(Incompatible o absurdar) a = 0  b  0  0x = -b No existe ningún valor “x” que multiplicado por cero da como

resultado –b.

(Incompatible o absurdar)

Teoremas Teoremas

Transposición Transposición

Forma General

a + b = c  a = c – b ab = c  a = = c  a = bc a + b = c  a = c – b ab = c  a = = c  a = bc

Cancelación Cancelación

a + c = b + c  a = b, si: c  R ac = bc  a = b, si: c  0  a = b, si: c  0

a + c = b + c  a = b, si: c  R ac = bc  a = b, si: c  0  a = b, si: c  0

si si

EJERCICIOS DE APLICACIÓN EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Ejercicios Resueltos

1. Resolver:

40

15 x 9 5

x 3 3

x

2   

Resolución:

Multiplicando ambos miembros por el M.C.M. de los denominadores: 15

) 40 ( 15 15

x 15 9 5

x 15 3 3

x

15 2  



 



 

 

 



 

 

 





5(2x) + 3(3x) = 9x + 600 10x + 9x = 9x + 600 eliminando 9x: 10x = 600  x = 60

2. Resolver:

3 x 1 1 3 x

1

 

 

Resolución:

Tener presente que el denominador es diferente de cero.

Es decir: x – 3  0  x  3 …(1)

Reduciendo la ecuación:

3 x

1 3

x 3 x 1

 







Cancelando (x – 3): 1 + x – 3 = 1 x = 3 … (2)

De (1) y (2) se observa una contradicción.

Concluimos: la ecuación no tiene solución o es incompatible.

3. Resolver: x x57

Resolución:

x 7 5 x  

Elevando al cuadrado miembro a miembro:

2 2 (7 x)2 x 5 49 14x x 5

x       

x² – 15x + 44 = 0

x -11

x -4

Verificando en la ecuación original:

7 5 x x  

Si: x = 11 11 115 7  11 + 4 = 7 (Falso)

Si: x = 4 4 45 7  4 + 3 = 7

(Verdadero)

 La única solución es: x = 4 4. Resolver: (x - 2)(x - 4) = 5x(x – 4)

Resolución:

Llevando 5x(x - 4) al 1er miembro:

(x - 2)(x - 4) – 5x(x - 4) = 0 Extraemos el factor común (x – 4):

(x - 4)[(x - 2) – 5x] = 0 x – 4 = 0  (x – 2) – 5x = 0 Despejando para c/u se tiene:

x = 4 x = -1/2 Entonces tiene dos soluciones.

1. Resolver: 7(x - 18) = 3(x - 14)

a) 20 b) 21 c)

22

d) 23 e) 24

2. Resolver: 7(x - 3) = 9(x + 1) – 38

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 12

3. Resolver:

11

3 x 2 x  x  

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

4. Resolver:

3

1 x

5 x

5 





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8

Donde: x = 11  x = 4

5. Resolver:

8 10

x 5 9 8

x

7   

a) 110 b) 100 c)

120

d) 160 e) 162

6. Resolver:

x 2

7 1 x 2

x    

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

7. Resolver: 4(x - 3) – 7(x - 4) = 6 - x

a) 5 b) 4 c) 3

d) 2 e) 1

8. Resolver:

x 17

5 x 4 x 3 x 2

x     

a) 60 b) 61 c)

-60

d) -61 e) 62

9. Resolver:

x 2

5 1 x 3 3

3 x

10   

 

11

 23

13

24

13

 24

13

26

13 21

10. Resolver:

4 1 36 x 5 2

x 12 3

2

x      

a) 1 b) 2 c) 3

d) 6 e) 8

11. Resolver:

2 2 14 x 4

8 x 3

2 x

5      

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

12. Resolver:

3 0 2 2 4

3 x 5 3

5 x

2      

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

13. Se han vendido 1/3; 1/4 y 1/6 de una pieza de paño, de la cual quedan todavía 15 metros. Búsquese la longitud de la pieza.

a) 40 m b) 60 c)

80

d) 120 e) 160

14. Repartirse 100 soles entre 3 personas, de manera que la primera reciba 5 soles más que la segunda, y que ésta reciba 10 soles más que la tercera. ¿Cuánto recibe la tercera persona?

a) S/. 20 b) 22 c)

24

d) 25 e) 50

15. Resolver:

1

x 1 b a b x 1 a b

a  



 

  

 



 

  

a) a – b b) a + b c)

a²–ab+b²

d) a² + b² e) a² – b²

TAREA DOMICILIARIA Nº 2 TAREA DOMICILIARIA Nº 2

1. Resolver: 5x + 50 = 4x + 56

a) 1 b) 2 c) 4

d) 5 e) 6

2. Resolver:

8

9 x 36  4 

a) 1 b) 60 c)

62

d) 63 e) 68

3. Resolver:

3 5 x

16 x 3  

a) 11 b) 12 c)

13

d) 14 e) 16

4. Resolver:

15

6 x 5 4

x 3 2

x   

a) 1 b) 12 c)

18

d) 36 e) 40

5. Resolver:

2 11 x 2 2

x 2 x 19

2    

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

6. Resolver:

14 x 3 3

7 x 2 2

7 x

5     

a) 1 b) 2 c) 3

d) 6 e) 7

7. Resolver:

15 1 x 2 3 5

4 x 3

4

x      

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

8. Dividir el número 46 en 2 partes tales, que 1/7 de una, más 1/3 de la otra sumen 10. Hallar o indicar la mayor de las partes.

a) 12 b) 18 c)

22

d) 24 e) 28

9. Repartirse 90 dólares entre 3 personas, de manera que la tercera reciba 5 dólares menos que la segunda y ésta 10 dólares más que la primera.

¿Cuánto recibe la segunda?

a) $35 b) 30 c)

20

d) 10 e) 60

10. Resolver:

9 4 8 7 1 5 x 6 7 3 x 1 6

5 

 

  

 

 

 

a) 4 b) 5 c) 6

d) 10 e) 12