Ipem 43 Presidente Hipólito Yrigoyen 6º A Turno Mañana
Asignatura: matemática. Profesor: Gerardo Gnavi Unidad 2: Análisis combinatorio
Técnicas de conteo. Diagrama arbolado. Principio multiplicativo. Permutaciones, variaciones y combinaciones. Resolución de problemas. Probabilidad de un suceso.
Análisis de distintos casos utilizando técnicas simples de conteo. Resolución de problemas.
COPIAR CON FECHA: LUNES 22/06/2020
GUÍA TEÓRICA: ANÁLISIS COMBINATORIO Técnicas de Conteo
La combinatoria es la rama de las matemáticas que estudia y cuenta las posibles agrupaciones de objetos tomados de un conjunto dado. La teoría combinatoria es de gran utilidad en todas aquellas áreas en donde tengan relevancia las distintas
maneras de agrupar un número finito de elementos. Por poner un ejemplo, la
cantidad de formas en que pueden agruparse las cartas de un mazo de baraja de 52 cartas, es un poco más de 8 seguido de 67 ceros, una cantidad comparable a la cantidad de átomos de toda nuestra galaxia.
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN:
Si un determinado hecho o suceso puede ocurrir de “A” maneras diferentes (o presenta un total de “A” posibilidades), otro hecho puede ocurrir de “B” maneras distintas, un tercer hecho presenta “C” posibilidades...y así sucesivamente, la
cantidad de veces que pueden ocurrir simultáneamente todos los hechos, se calcula multiplicando las posibles ocurrencias de cada uno de ellos, es decir:
Ejemplo: un restaurante ofrece un menú compuesto por 3 platos principales (pastas, asado o pollo), 4 postres (fruta, helado, budín o flan) y 2 tipos de bebida: gaseosa o vino. Se puede elegir sólo uno de cada tipo (o sea: un plato principal, un postre y una bebida), entonces nos podemos preguntar cuántas posibilidades diferentes de
elección puede haber, que son:
Número total de posibilidades = A x B x C x...
3 x 4 x 2 = 24
Una de las posibilidades, por ejemplo, es: pollo con helado y vino.
DIAGRAMA DE ÁRBOL
Un diagrama de árbol es una representación gráfica de una situación que tiene un cierto número de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo o de ocurrir.
Pensemos en la situación: arrojar una moneda y un dado. La moneda tiene 2 posibilidades: cara (C) y cruz (X). El dado tiene 6 números: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. La cantidad de posibilidades, según el principio de multiplicación, es 2 x 6 = 12 y el diagrama de árbol es:
1 C - 1 2 C - 2 C 3 C - 3
4 C - 4 5 C - 5 6 C - 6
1 X - 1 2 X - 2 X 3 X - 3
4 X - 4 5 X - 5 6 X - 6
1) El señor Gregorio Samsa tiene 4 pantalones, 3 camisas, 6 corbatas y 5 sacos, todos distintos entre sí. ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse
Gregorio?
2) Un castillo tiene 5 patios internos y 4 externos. Cada patio tiene 28 rosales, cada rosal 3 ramas y cada rama 7 flores. En cada una de las flores hay dos abejas.
¿Cuántas abejas hay en total en el castillo?
3) ¿Cuántos números distintos de tres cifras pueden formarse con los dígitos 2, 9 y 4?
a. Si no puede haber dígitos repetidos. (Resolver con diagrama de árbol).
b. Si los dígitos pueden repetirse.
4) El sistema antiguo de patentes de automóviles utilizaba una letra (de la “A” a la
“Z” excepto la “Ñ” y la “O”) seguida de un número de 6 cifras. Cerca de 1992 se cambió a un sistema que utiliza 3 letras y un número de 3 cifras. ¿Qué sistema permite una mayor combinación? Considerar un alfabeto de 26 letras para cada caso.
5) El sistema de patentes adoptado en 2016 tiene cuatro letras y dos números. Las letras están separadas en 2 grupos para evitar que se formen palabras con sentido. ¿Qué opina del mensaje que se ve en el gráfico de abajo? (“El nuevo diseño permite 450 millones de combinaciones”)
COPIAR CON FECHA: JUEVES 25/06/2020
OPERACIONES: PERMUTACIONES, VARIACIONES, COMBINACIONES
1) Permutaciones:
Supongamos que tenemos 5 libros y debemos acomodarlos en un estante vacío. El número total de posibilidades diferentes para hacerlo, se puede calcular utilizando el principio de multiplicación: 5x4x3x2x1=120
Esta operación se conoce con el nombre de PERMUTACIÓN, es el producto de todos los números naturales decrecientes desde n hasta 1, y se simboliza así:
Pn = n!= n.(n–1).(n–2)...1 Siendo:
Pn= Permutaciones de “n” elementos
n!= Factorial de “n”. Ejemplo: 6!= 6x5x4x3x2x1= 720
2) Variaciones:
Un club tiene 8 candidatos para ocupar los cargos de Presidente, Vicepresidente y Secretario. ¿Cuántas listas pueden formarse si nadie puede ocupar más de un cargo?
En este caso, si aplicamos el principio de multiplicación, vemos que hay 8
posibilidades para ocupar el cargo de presidente, 7 para el de vice y 6 para el de secretario, por lo que la solución es:
8 x 7 x 6 = 336
La operación que resuelve este tipo de problemas se llama variación y se simboliza así:
Vnm= m.(m–1).(m–2).[m–(n–1)]
Es decir que es el producto de “n” factores, decrecientes y consecutivos, a partir de
“m”.
Donde:
Vnm=variaciones de “m” elementos tomados de “n” en “n”. En nuestro ejemplo es V 38 y se lee: “variaciones de 8 elementos tomados de 3 en 3”.
Ejemplo: V415= 15 x 14 x 13 x 12 = 32760
Otra posibilidad de cálculo surge a partir de saber que Vnm=
)!
n m (
! m
entonces para calcular hacemos:
V154 =
39.916.800
000 . 368 . 674 . 307 . 1
! 11
! 15 )!
4 15 (
!
15 32760 (…mejor que resuelva la
calculadora)
Las permutaciones nos permiten calcular la cantidad total de grupos que se pueden formar con n elementos, de tal manera que cada grupo se
diferencie de otro en por lo menos el orden de dos de sus elementos.
COPIAR CON FECHA: LUNES 29/06/2020
3) Combinaciones:
La profesora de un grupo de 8 alumnos elige 3 para el equipo de volley. ¿De cuántas maneras distintas puede hacer la elección?
Este caso es similar al anterior, sólo que en este ejemplo no interesa el orden en el que se eligen los alumnos. La operación que resuelve este tipo de situaciones se llama combinación, y su expresión es:
Cnm=
n n m
P V
Donde:
Cnm=combinaciones de “m” elementos tomados de “n” en “n”
En el caso de los alumnos para el volley es: C38=
6 336 2
x 3
6 x 7 x 8 P V
3 3
8 = 56
PARTE PRÁCTICA
Parte práctica
6) Calcular: P10, V185 y C104 .
7) ¿Qué número es mayor: V155 o P9?
8) Seis amigos se reúnen una vez por mes a comer en un restaurante. El dueño del restaurante, que es matemático, les dice que cada vez que vayan registren en qué lugar de la mesa se sientan, y que cambien de posición cada mes. Y les promete que si agotan todas las posibilidades, yendo como iban una vez por Las combinaciones nos permiten calcular la cantidad total de grupos que se pueden formar con n elementos si disponemos inicialmente de m elementos, de tal manera que cada grupo se diferencie de otro en por lo menos un elemento.
Las variaciones nos permiten calcular la cantidad total de grupos que se pueden formar con n elementos si disponemos inicialmente de m elementos, de tal manera que cada grupo se diferencie de otro en por lo menos un elemento o en el orden de por lo menos dos de sus elementos.
mes, a partir de ahí les iba a regalar la cena todos los meses. ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que esto ocurra?
COPIAR CON FECHA: JUEVES 02/07/2020
9) ¿Cuántos números distintos de tres cifras pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 5, 7, 8 y 9? Analizar los casos a) Sin repetición b) Puede haber dígitos repetidos.
10) Se arrojan tres dados. ¿De cuántas maneras distintas pueden caer? Enumera cinco de esas posibilidades.
11) En la heladería hay 20 sabores de helado. Al comprar un kg, se permiten 4 sabores. ¿Cuántas posibilidades de elección hay con 4 sabores?
12) Un alumno rindió tres exámenes. Se sabe que fue aprobado en todos ellos.
¿Cuántas fueron sus posibles calificaciones? Enumera cinco de ellas.
(ACLARACIÓN: se aprueba con 6)
13) Pedro tiene 12 libros distintos para colocar en una biblioteca. ¿De cuántas maneras diferentes puede acomodarlos?
14) Un niño alinea sus autitos de juguete en el piso. Si tiene 10 autitos ¿cuántas son las distintas posibilidades?
15) ¿Cuántas palabras -aunque no tengan sentido- pueden formarse utilizando todas las letras de la palabra RATÓN, una vez cada letra?
16) Un equipo de atletismo tiene 12 participantes, y se deben elegir 5 para participar en una olimpíada. ¿De cuántas maneras puede hacerse la elección?
17) Una empresa necesita 3 operarios para ocupar los cargos de: presidente, vicepresidente y secretario de una junta gremial. ¿Cuántos grupos distintos pueden formarse?
18) Cada día el preceptor elige al azar 2 de los 40 alumnos de un curso para llevar el registro a los demás cursos. ¿Cuántos grupos distintos de alumnos puede elegir?
19) Tengo 5 lápices de distintos colores en mi cartuchera. ¿De cuántas formas diferentes puedo sacarlos –de a uno por vez– de la cartuchera?
