3 AÑO
Fracciones algebraicas
La historia del número irracional ""
= 3.141592653589793 ... Fracción algebraica
Fracciones
Los antiguos le daban un valor de 3 con lo que erraban Es una expresión que se puede escribir como cociente
en un 5 %; Arquímedes le dio el valor 22 , los chinos en el de dos polinomios P
(x)
Q . El polinomio "P(x)" es el
7
siglo I le asignaron el valor de 10 con un error de 1 .
50
(x)
numerador y "Q(x)" el denominador de la fracción, donde
Q(x) 0
Ejemplo:
En la India un valor de 3,1416, con un error de 1 .
400 000
3x 4
x2 6x 8
x3 2y2
y
x 4 3xy 2y3
En el siglo XVII, Adriano Mecio le asigna la fórmula son fracciones algebraicas
Las reglas para el cálculo con fracciones algebraicas
355 , con un error de
113
1 . Legendre, en 1794,
10 000 000 son las mismas que las correspondientes de las fracciones en Aritmética. Una de las fundamentales es: El valor de
demostró que "" no podía ser una fracción, y en 1882
Lindemann probó que era un número trascendente , y por tanto no podía ser solución de ninguna ecuación cuyos coeficientes fueran enteros.
Actualmente las máquinas electrónicas lo calcularon con
una fracción no se altera si se multiplican, o dividen, el numerador y el denominador por una misma cantidad, siempre que ésta sea distinta de cero. En estas condiciones
las fracciones se llaman equivalentes.
Por ejemplo, si se multiplica el numerador y denomi-
x 2 por (x - 1), se obtiene la fracción equivalente:
más de diez mil decimales. Semejante precisión no tiene nador de: x 3
aplicación práctica. (x 2) (x 1)
(x 3)(x 1)
x2
x 2
x2 4x 3 siempre que (x - 1) sea distinto
El valor asignado por los chinos, o sea 10 , es sumamente práctico; basta construir un triángulo rectángulo de la siguiente forma: uno de los catetos se lo construye
de cero, es decir, x 1.
Análogamente, la fracción x2 3x 2
x2
4x 3 se puede
igual al diámetro de la circunferencia, y el otro cateto igual
a tres veces dicho diámetro. La hipotenusa del mismo es expresar por
(x 2) (x 1)
(x 3) (x 1)
y dividir, entonces, su numerador
igual a la longitud de la circunferencia. y denominador por (x + 1), siempre que (x + 1) sea distinto
Si consideramos el diámetro de una circunferencia igual a la unidad, su longitud será:
de cero, o bien, x -1, obteniéndose x 2 .
x 3 La operación
. d
Si: d = 1, longitud de la circunferencia es igual a: .1 =
de dividir por un factor común al numerador y denominador
recibe el nombre de simplificación y se indica tachando el
término común; por ejemplo:
(x 2) (x 1)
x 2) .
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo antes
mencionado, cuyo cateto menor es 1, y el mayor 3, su (x 3) (x 1) (x 3)
hipotenusa será:
32 12 10
2
Ejemplo: El producto de dos o más fracciones es otra fracción
cuyo denominador es el producto de los numeradores, y cuyo denominador es el producto de los denominadores. x 2
4xy 3y2
(x 3y) (x y) x 3y
x 2 y2 (x y) (x y) x y Ejemplos:
También: 2 . 4 . 15
2. 4 .15 1
3 5 16 3.5.16 2
a
a a ; a
a
; a a x2 9 x 5 (x 3) (x 3) x 5
b b b b b b b . .
x2
6x 5 x 3 (x 5) (x 1) x 3
* Muchas veces la simplificación consiste en un cambio de signo.
Ejemplo:
(x 3) (x 3) (x 5)
(x 5) (x 1) (x 3)
x 3
x 1
x 3x 2
(x 2) (x 1) (x 2) (x 1) x 1 1 x
El cociente de dos fracciones es otra fracción que se obtiene multiplicando la fracción dividendo (o fracción numerador) por el recíproco de la fracción divisor (o fracción
2 x 2 x (x 2) 1 denominador).
La suma algebraica de fracciones que tienen el mismo denominador es otra fracción cuyo numerador es la
Ejemplos:
3
suma algebraica de los numeradores de las fracciones 3 5 ó 8 3 . 4 3
dadas, y cuyo denominador es el denominador común.
Ejemplos:
8 4 5 8
4
7
xy
2
5 10
7
. x 2 7
• 3 4
5 5
2
1
5 5
3 4 2 1
5
2 2
5 5
x 4 x 2 (x 2)(x 2) xy xy(x 2)
2 •
x 3
3x 4
x 3
x 2 5
x 3 =
Una fracción compuesta es aquella que tiene una o más fracciones en el numerador o en el denominador. Para simplificarla:
1. Se reducen el numerador y denominador a fracciones
2 (3x 4) (x
2
5)
x
2 3x 3 simples.
2. Se dividen las dos fracciones que resultan.
x 3 x 3
Para sumar y restar fracciones de distinto x 1 x 2 1
2 2
denominador, se transforman éstas en otras equivalentes que tengan un denominador común.
Ejemplos:
x
1 1
x
x x x 1
x
1
. x
x x 1
x 1
x 1
• 3 4
4 5
7 15
10 20 16 20 14 20
15 16 14
20 13 20
(x 1)(x 1)
(x 1)
x 1
2 3 x 2(14) 3(7x) x(2x2) 28 21x 2x3
•
x2 2x 7 14x2 14x2
2x 1 3 (2x 1)(x 1)3x 2x2 4x 1
•
a) m - 1 b) m - 2 c) m - 3
d) m - 4 e) m - 5
2
Problemas resueltos
1. Simplificar:
M a 2 a3
Bloque I
1. Efectuar:
Problemas para la clase
a2 a 6
2 2
Solución
Buscando reducir numerador y denominador, para esto tratamos de factorizar.
• a2 + 2a - 3 = (a + 3) (a - 1)
a 3
a
a) x - y
a - x
a x - a y ax2 - ay2
a
b) x y c)
x
a x
a y
a -1
• a2 + a - 6 = (a + 3) (a - 2)
a 3
a -2
d) a - y
2. Efectuar:
e) y
* Reemplazando: e indique como respuesta el denominador.
2. Efectuar:
M (a 3) (a 1)
(a 3)(a 2)
2
a 1
a 2
2
a) n b) n + 1 c) n - 1
d) n + 2 e) 1
3. Simplificar:
B (a 1) 1 a y2 2y - 3
Solución:
a 1 1 a y2 y - 6
Factorizando los numeradores por diferencia de cuadrados.
y - 1
a) y - 2
y 1
d)
y 1
b) y 2
y
e)
1
c) y
B (a 1)(a 1)
(a 1)
(1 a)(1 a)
(1 a)
y 2
4. Efectuar:
3. Efectuar:
B = a - 1 + 1 + a = 2a x2 - 1
x 1
1 - x2
1 - x
M
Solución:
m 5
m2 7m 10
m 1
m2 m 2
a) x b) 2x c) 3x
d) 2 e) 1
5. Efectuar:
Primero verifiquemos que cada fracción sea irreductible.
35 - 7x
x2 - 25 7 x 5
M m 5
(m 5) (m 2)
m2 7m 10
Aspa simple
m 1
(m 1)(m 2)
m2 m2
Aspa simple
a) 1 b) 0 c) 2
d) 3 e) 14
6. Reducir:
m2n - 8mn 15n
M 1
m 2
1
m 2
mn - 3n
7. Reducir:
ax ay bx by
am bm an bn
13.Simplificar:
x2y3 8xy3 7y3 x2y3 xy3
a) x y
m - n b)
x - y m n
c) a - b
m - n
x 7
a) 1 b) x + 7 c)
x 1
d) x y
m n e)
a b
d) x
14.Reducir:
e) 0
8. Efectuar:
x 5
x 2 7x 10
x - 1
x 2 x - 2
6x2 x - 1 10x - 3 - 3x2
2x 1
x - 3
a) 1 b) 0 c) - 1 a) x b) 1 c) x
1 1
d) e) d) - 1 e) 0
15.Reducir: 9. Efectuar:
6x2 - x - 2
a2 - a a - b
2
2x2 7x 3
señalar el numerador de la fracción resultante.
b
b
a - b
a) a b) b c) 1
a) x + 3 b) 2x + 3 c) 3x - 2
d) 4x + 1 e) 2x - 3
10.Al simplificar:
a b
d) - e)
b a
x - x - y
x x y
16.Efectuar:
a - b
2a - a
3 a2b
y x - y
y
x y
b a - b a2b - b3
se obtiene:
a) x y b) x c) y
b
a) b)
a - b
a
c)
a - b a
1 a b
x
d) 1 e) y
Bloque II
d) (a - b)- 1 e)
b
17. Simplificar:
-1
x3 - x2y
11.Calcular el numerador de la fracción que resulta de efectuar:
[x - xy(x + y)-1] 2
x 2
- y
1
x - 1 4
- x2 - 1
x 3
x2 - 2x 1
a) - 1 b) 1 c) x
x
d) x2 e) y
a) 1 b) x c) -8
d) x + 1 e) 2
12.Simplificar:
(x - y)(z - x)
- (x - z)(y - x)
18.Simplificar:
(x - 5)(y - 8)(z - 1) (8 - y)(5 - x)(1 - z) (y - x)(b - a) (a - b)(x - y)
a) 1 b) - 1 c) 0
a) 1 b) 2 c) 3
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
19.Simplificar:
x - 1
24.Simplificar:
x - 1 x
1 1
1 - 1 x 3 (x 3)5
x 2 - x
a) 1 b) x - 1 c) x2
d) x e) - 1
x - x - 4
x 5
1
20.Simplificar:
1 a
a) x b) 1 c) x
d) 2x e) x + 5
a 1
1 - a 25.Hallar el verdadero valor de la fracción:
a - 1 1 - a
a 1
para: x = - 1
x 2 - 1
x 3 1
a) 1 b) 0 c) - 1
d) 2 e) - 2
Bloque III
21.Efectuar:
2
a) 3 b) 1 c) - 3
1 1
d) - e)
3 3
x - 4 4
26.Calcular el verdadero valor de:
2 x
1 - 2
x para: x = 5.
x 2 2x - 35
x 2 - 3x - 10
1
a) x b) 2 c) x
d) 1 e) - x
22.Efectuar:
1 7 3
a) b) c)
7 12 7
5 12
d) e)
12 7
a - b - 1 27. Calcular el verdadero valor de:
a b
2 x
4 - x 3 - 12x 2
a - b 1
a para: x = - 3. x
2 - 4x - 21
a) (a + b)- 1 b)
b
b a - b
a
a
c) a - b
a) 5,1 b) 6,3 c) 7,2
d) 6,8 e) 8,1
28.Sabiendo que:
d) a
b e) a b ac b(a b)
3
23.Efectuar:
Calcular:
a
bc
b
x xy M = b 1c 1
x - y x - y
. x - xy x y
x y
a) - 1 b) 1 c) 0
2 29.Hallar:
m2 3m
m n
m3 3n2
mn n2
4. Efectuar y reducir:
M 1 1
Si: m2n- 1 = 2
(a b)(a c) (a b)(c a)
a) 2 b) 8 c) 10
d) - 1 e) 5 a) 1 b) 0 c)
1
1
a b
30.Simplificar:
x 3n
- x 2n - 1 1
d)
c a e) -1
x n - 1 x n 1 x n - 1 x n 1
5. Simplificar:
a) x2n + 1 b) x2n - 2 c) x2n + 2
d) xn + 2 e) xn - 2
a2 (a b) ab(a b)
a2 (a2 b2 )
1. Simplificar:
Autoevaluación 1
a) a b) 1 c)
a
d) -1 e) 0
M (x) 3x 4x 15
x2 5x 6
dar su denominador.
a) x - 1 b) x - 2 c) x + 3
d) x - 3 e) x + 5
2. Transformar y simplificar:
R (x) x
2 4
5ax 10a
a) x 1
a d)
x x
y
b) x 2
5a
e) x 2
5a
c) x 2
3a
3. Simplificar:
x 2 x xy y
M
x 2 2xy y 2
a) x 1
x y
d)
x x
y
b) x 1
x y
e) x y
x 1
c) x 1 x
