Introducción a vectores. Un vector-m se puede escribir como un vector renglón a1 a 2 a m o como un vector columna. a 1 a 2. a m

Introducci´on a vectores

Un vector-m se puede escribir como un vector rengl´on 

a₁ a_{2 · · · am} o como un vector columna

    a₁ a₂ ... a_m     2.1. Operaci´on transposici´on

La transposici´on permite pasar de un vector columna a un vector rengl´on y viceversa

 a₁ a_{2 · · · am}T =     a₁ a₂ ...    

    a₁ a₂ ... a_m     T = a₁ a_{2 · · · am} 2.2. Algunas definici´on

Cada a_i es el elemento i del vector, donde a_{i ∈ ℜ.}

El n´umero de elementos del vector se conoce como el ta-ma˜no del vector. Un vector-m es un vector de tama˜no m. Por ejemplo, h 23

−1

i

es un vector de tama˜no 3 o un vector-3. El vector cero (0) tiene cero en todos los elementos. Para indicar el n´umero de renglones podemos clocar un sub´ındi-ce (0_m)

Dos vectores columna v =

 _v1 v₂ ... v_m  y u =  _u1 u₂ ... v_n  son iguales si tienen el mismo tama˜no y v_i = u_i para cada uno de sus renglones.

El conjunto de todos los vectores-m se conoce como _ℜm Ejemplo de algunos vectores columna:

v =  11 0  , u =  1 1  , 0₃ =  00 0  

2.3. El plano coordenado y los vectores de 2 renglones

2.3.1. Ejes coordenados

Un eje coordenado corresponde a la recta de los n´umeros reales. El plano coordenado est´a formado por dos ejes coordenados: el eje horizontal o abscisa y el eje vertical u ordenanda. Los dos ejes se intersectan en el cero de cada eje y ese punto se llama el origen de coordenadas. Como se muestra en la Figura 2.1.

2.3.2. Vectores-2 como puntos

Un punto en el plano se puede representar por un vector-2. el primer rengl´on representa el desplazamiento horizontal y el segundo rengl´on representa el desplazamiento vertical.

P = 

x₁ x₂



x₁ desplaza horizontalmente y x₂ verticalmente. Por ejemplo v =

 200 100



2.3.3. Vectores-2 como flechas

Una vector-2 tambi´en se puede representar en el plano coor-denado como flechas. El primer elemento tiene la longitud horizontal de la flecha y el segundo elemento tiene la longitud vertical.

v = 

x₁ x₂



x₁ longitud horizontal, x₂ longitud vertical. Por ejemplo v =  200 100  Se recomienda ver [NJ99, Pg 154 y 155]

2.4. Operaci´on suma de vectores

Si v =  _v1 v₂ ... v_m  y u =  _u1 u₂ ... v_m 

entonces la suma de vectores u + v es la suma elemento a elemento.

 _v1 v₂ ... v_m  +  _u1 u₂ ... v_m  = " _v 1+u1 v₂+u₂ ... v_m+v_m #

Ejemplo:  4 3  +  2 5  =  6 8 

Gr´aficamente la suma de dos vectores se representa por la ley del paralelogramo.

 2 1  +  0,5 1  =  0,5 1  +  2 1  =  2,5 2 

0

1

2

0 1 2 3

2.5. Operaci´on escalar por vector

Si v es cualquier vector y c es cualquier escalar, entonces el producto de escalar por vector cv es vector obtenido al multiplicar c por cada elemento de v.

c  _v1 v₂ ... v_m  =  _cv1 cv₂ ... cv_m 

Ejemplo: 3  4 3  =  12 9 

Gr´aficamente el producto escalar por un vector se representa por otro vector en la misma direcci´on pero diferente longitud.

1,5  2 1  =  3 1,5  0 1 2 0 1 2 3

Dos vectores u y v son paralelos si hay un escalar c tal que u = cv.

2.6. Operaciones opuesto de vectores

El vector opuesto de _{v es −v = (−1)v.} −  _v1 v₂ ... v_m  = " _−v 1 −v2 ... −vm # Ejemplo: ₋  4 3  =  −4 −3 

Gr´aficamente un la operaci´on opuesta sobre una flecha con-siste en cambiarle la direcci´on

−  2 1  =  −2 −1 

1

−1

1 2

−1

−2

2.7. Operaciones resta de vectores

La resta entre vectores consiste en sumar el opuesto u − v = u + (−v). Si v =  _v1 v₂ ... v_m  y u =  _u1 u₂ ... v_m 

entonces la resta de vectores u − v es la suma elemento a elemento.

 _v1 v₂ ... v_m  −  _u1 u₂ ... v_m  = " _v 1−u1 v_2−u2 ... v_m−vm # Ejemplo:  4 3  −  2 5  =  2 −2 

En Octave la resta se realiza de manera usual [4 ; 3] - [2 ; 5]

Gr´aficamente la resta de dos vectores se representa por la otra diagonal de la ley del paralelogramo.

 2 1  −  0,5 1  =  1,5 0 

0

1

2

0 1 2 3

2.8. Propiedades de la suma y escalar por vector

Como en la suma entre vectores se realizan independiente-mente varias sumas de reales y como en la multiplicaci´on por escalar tambi´en se realizan de manera independiente varias multiplicaciones de reales, entonces la notaci´on usada permi-te extrapolar algunas propiedades de la suma y multiplicaci´on de reales a la suma entre vectores y multiplicaci´on de escalar con vector.

Proposici´on 2.1. Si _{a, b, c ∈ ℜ y u, v, w son vectores-n} entonces se cumplen las siguientes propiedades

Reales Vectores

Suma conmutativa a + b = b + a u + v = v + u

Mult. conmutativa ab = ba Escalar a la izquierda

Suma asociativa (a + b) + c = a + (b + c) (u + v) + w = u + (v + w)

Mult. asociativa (ab)c = a(bc) (ab)v = a(bv)

Modulativa a + 0 = a v + 0 = v

Identidad 1a = a 1v = v

Nulidad 0a = 0 0v = 0

Opuesto _{a + (−a) = 0 v + (−v) = 0}

Distributiva I (a + b)c = ac + bc (a + b)v = av + bv

Distributiva D a(b + c) = ab + ac a(u + v) = au + av

2.9. Operaci´on producto punto

El producto punto o producto escalar entre dos vec-tores de igual tama˜no n da el escalar definido por

u · v =     a₁ a₂ ... a_n     ·     b₁ b₂ ... b_n     := a1b1 + a2b2 + · · · + anbn u · v =     1 4 2 3     ·     3 2 7 5     = (1)(3) + (4)(2) + (2)(7) + (3)(5)

= 3 + 8 + 14 + 15 = 40 Proposici´on 2.2. 1. _{u · v = v · u.} 2. _{u · (v + w) = v · u + v · w.} 3. c(u _{· v) = (cv) · u = v · (cu).} 4. _{u · u ≥ 0. Adem´as, u · u = 0 si y s´olo si u = 0.} 2.10. Magnitud [NJ99, pag 79]

La norma, longitud o magnitud de un vector u es |u| = √u · u

Que en funci´on de los elementos queda             v₁ v₂ ... v_n             = q v₁2 + v₂2 + _{· · · + vn}2 Ejemplo:             3 4 1             = √9 + 16 + 1 + 25 = √51

Proposici´on 2.3. Si u y v son dos vectores-n cualquiera, se tiene

1. _{|cu| = abs(c)|u|.}

2. _{|u| ≥ 0. Adem´as, |u| = 0 si y s´olo si u = 0.} 3. _{|u + v|}2 = _|u|2 + _|v|2 + 2u _{· v.}

4. Es un caso particular del anterior si _{u · v = 0 entonces} |u + v|2 = _|u|2 + _|v|2.

5. _{|u − v|}2 = _|u|2 + _|v|2 _{− 2u · v.}

6. abs(u _{· v) ≤ |u| |v| la igualdad se da cuando u y v son} paralelos.

7. _{|u + v| ≤ |u| + |v|.}

2.11. Distancia entre dos vectores o dos puntos

dist(u, v) := _{|u − v|}

Proposici´on 2.4. Si u, v y w son vectores-m entonces 1. _{dist(u, v) ≥ 0.}

2. dist(u, v) = 0 si y s´olo si u = v . 3. dist(u, v) = dist(v, u).

[Ant06, Teorema 4.1.5] Esta distancia se conoce como dis-tancia euclidiana. Ejemplo: dist     3 4 1   ,   2 6 3     =         3 4 1   −   2 6 3         =         1 −2 −2         = √ 1 + 4 + 4 = 3 2.12. Vector unitario

Dado un vector v, el vector unitario de v es ˆv= 1

|v|v. Ejemplo: Si v =     3 4 1 5     entonces ˆv = √151     3 4 1 5     =      3/√51 4/√51 1/√51 5/√51     

Proposici´on 2.5. Si v es un vector diferente de cero, se tiene

2.13. cos(α)

La siguiente igualdad se obtiene, por un lado con la ley del coseno, y por otro lado con la magnitud de la diferencia vista antes.

|u| |v|cos(α) = 1

2(|u|

2 _{+ |v|}2 _{− |u − v|}2_{) = u · v}

Con esto se encuentra una forma para calcular el coseno entre dos vectores.

cos(α) = u · v |u| |v| o lo que es lo mismo.

cos(α) = ˆ_{u · ˆv}

Dos vectores (diferentes de cero) son ortogonales o per-pendiculares si el producto punto entre ellos es cero. Lo cual implica que el ´angulo entre ellos es de 90◦.

Los cosenos directores de un vector v son los cosenos entre v y cada uno de los ejes coordenados.

Demuestre en _ℜ2 que el coseno director de un vector v con el eje y es sen(α)

2.14. Proyecci´on

[NJ99, pag 86]

La proyecci´on del vector-m u sobre el vector v se define proy_v(u) = u · v

2.15. Problemas 1. Sean u =  3 2  , v =  −1 4  , w =  −2 −1  , graf´ıque : 2u, _−v, 2u + 3v, 2u _{− 3v,} 2u _{− 3v + w}

2. Encuentre el per´ımetro y los ´angulos internos del triangulo con puntos P = h00 1 i Q = h 01 1 i R = h 11 0 i 3. Para el vector v = h 11 0 i

encuentre un vector que un vector unitario paralelo a v

un vector paralelo a v con magnitud 9_|v| un vector paralelo a v con magnitud 9 un vector perpendicular a v

un vector unitario perpendicular a v

4. (Opcional) Imagine una pantalla de 20 pixeles de ancho por 6 pixeles de alto. Escriba las letras FJC, cada letra ocupa un cuadro de 6x6 pixeles.

Sea v_J el vector columna de 36 renglones formado por los pixeles de la letra J (1 si es negro y 0 si es blanco).

El vector u₀ corresponde al vector columna de 36 renglo-nes formado por los 6x6 pixeles de la pantalla m´as a la

izquierda. El vector u₁ es similar a u₀ pero desplazado una columna a la derecha. El vector u_i esta desplazado i co-lumnas a la derecha. El ´ultimo vector es u₁₄ formado por las 6 columnas de la pantalla m´as a la derecha.

En grupos calculen (para i entre 0 hasta 14) el producto punto de los vectores unitarios bv_{J · b}u_i e indique en donde da el mayor valor.

[Blo00] E. D. Bloch, Proofs and Fundamental, Birkh¨auser, Boston, 2000.

[Ant06] H. Anton, ´Algebra Lineal, Editorial Limusa, 3a. edici´on, Mexico 2006.

[Gro05] S. A. Grossman, ´Algebra Lineal, Mc Graw Hill, 5a. edici´on, Mexico 2005.

[NJ99] Nakos, Joyner, ´Algebra Lineal con aplicaciones, Editorial Thomson 1999.

[Str03] G. Strang, Introduction to Linear Algebra, 3a. edici´on, Wellesley Cambridge Press.