Ejercicios Resueltos Geometría Descriptiva

(1)

|

| 1

1

PROBLEMAS

1.

1. Construir gráficamente un triángulo isósceles ABC (AB=BC),

Construir gráficamente un triángulo isósceles ABC (AB=BC),

conociendo

h

bb

y

A

.

(4 p)

F

IGURAIGURA

A

UXILIARUXILIAR

A

_NÁLISIS

1.

1. Se supone el problema resuelto.Se supone el problema resuelto.

2.

2. Las rectasLas rectas LL11 yy LL22 son paralelas a una son paralelas a una distancia

distancia hhbb..

3.

3. Si se fija elSi se fija el

A

sobre sobre LL11 (un lado sobre (un lado sobre LL11),), BB pertenece a pertenece a LL22 y al segundo lado y al segundo lado del ángulo

del ángulo

A

. el vértice. el vértice CC pertenece a pertenece a LL11 y dista y dista ABAB ( (cc) de) de BB..

Conocidas las condiciones de los tres Conocidas las condiciones de los tres vértices, podemos pasar a la

vértices, podemos pasar a la síntesissíntesis construcción.

construcción.

C

ONSTRUCCIÓN

(S

ÍNTESIS

))

1.

1. Se trazan dos rectas (Se trazan dos rectas (LL11 y y LL22) paralelas) paralelas a una distancia

a una distancia hhbb.. 2.

2. Se traza sobreSe traza sobre LL11 el punto el punto AA y con y con vértice

vértice AA se traza el se traza el

A

(un lado sobre (un lado sobre LL11).).

3.

3. El vérticeEl vértice BB se ubica en la intersección se ubica en la intersección de dos lugares geométricos:

de dos lugares geométricos: Recta

Recta LL22.. 2

2do.do. Lado del Lado del

A

A..

4.

4. El vérticeEl vértice CC se ubica en la intersección se ubica en la intersección de dos lugares geométricos:

de dos lugares geométricos: Recta

Recta LL11..

Circunferencia de centro B y radio AB. Circunferencia de centro B y radio AB. 5.

5. Ubicados los tres vértices, se unenUbicados los tres vértices, se unen formando el triángulo pedido.

formando el triángulo pedido.

Datos:

B

C

A

H

A A

h

bb

LL

22

LL

11

A

hh

bb R= R= AB AB L L22 ● ●

A

●● ●●

_C

B

L L11

hh

bb

A

(2)

| 2

2. Construir gráficamente un triángulo ABC, conociendo a, b-c y B.

(4 p)

F

IGURA

A

UXILIAR

A

_NÁLISIS

1. Se supone el problema resuelto.

2. No se puede analizar directamente el triángulo ABC por falta de datos (sólo a y

B

).

3. El triángulo CAB’ es isósceles. En el triángulo CBB’, B dista a de C y b-c de B’, además C y B’ pertenecen a los lados del (180°- B)

.

4. Si se fija BC(a), B’ dista b-c de B y pertenece al 2do.lado del (180°- B). 5. El vértice A equidista de C y B’ y

pertenece a la prolongación del segmento B’B.

Conocidas las condiciones de los tres vértices, podemos pasar a la síntesis construcción.

C

ONSTRUCCIÓN

(S

ÍNTESIS

)

1. Se traza sobre una recta el segmento BC(a).

2. El vértice B’ se ubica en la intersección de dos LGs:

Circunferencia de centro B y radio b-c.

2do. Lado del (180°- B)

.

3. El vértice A se ubica en la intersección de dos LGs:

Mediatriz del segmento CB’. Prolongación del segmento B’B. 4. Ubicados los tres vértices, se

unen formando el triángulo pedido.

Datos:

A

C

b

B’

b

c

b-c

B

B 180- B

a

C

A

B’

a

B

R1 180°- B R1 R=b-c

a

B

b-c

(3)

| 3

3. Construir gráficamente un triángulo, conociendo b

c

, m

c

y h

c

.

(4 p)

C

ONSTRUCCIÓN

(S

ÍNTESIS

)

1. Se trazan dos rectas (L1 y L2) paralelas a una distancia hc.

2. Se traza sobre L2 el punto C. M se ubica en la intersección de dos LGs: Recta L1.

Circunferencia de centro C y radio mc. 3. P se ubica en la intersección de dos LGs:

Recta L1.

Circunferencia de centro C y radio bc.

4. Se traza una recta perpendicular a L1 y que pasa por M(se llama L3). 5. Q se ubica en la intersección de dos LGs:

Recta L3.

Prolongación de segmento CP.

6. O se ubica en la intersección de dos LGs: Recta L3.

Mediatriz de CQ.

7. A y B se ubican en la intersección de dos LGs: Recta L1.

Circunferencia de centro O y radio OC.

Ubicados los tres vértices, se unen formando el triángulo pedido.

F

IGURA

A

UXILIAR

A

_NÁLISIS

1. Se supone el problema resuelto.

2. Las rectas L1 y L2 son paralelas a una distancia hc.

3. “m” es la circunferencia circunscrita al triángulo ABC. O es el centro de”m”. El

ACP= PCB, por lo que la medida del

arco AQ

es igual a la medida del arco QB.

4. La recta L3 es la mediatriz de AB que contiene a Q y a O.

5. Si sobre la recta L2 que es paralela a L1, se fija C, M dista mc de C y pertenece a L1. P dista bc de C y pertenece a L1. Q pertenece a L3 y a la prolongación de CP. O equidista de Q y C y pertenece a L3.

6. A y B distan OC de O y pertenecen a la recta L1.

Conocidas las condiciones de los tres vértices, podemos pasar a la síntesis construcción.

m

c

b

c

C

B

A

P

O

h

b

L

2

L

1

M

●

Q

L

3

(4)

| 4

Datos:

TEORÍA

4. Para el caso en que el ángulo inscrito no contiene al centro de la

circunferencia, demuestre que su medida es igual a la mitad de la medida de

su arco correspondiente.

(3 p

Dem.: El centro O es exterior al ángulo.

MN arco 2 1 = NP arco 2 1 - MP arco 2 1 = a -a = aˆ ˆ1 ˆ2 Lqqd.

m

c

b

c

h

b

C

B

A

P

O

h

b

L

2

L

1

M

●

Q

L

3

R

1

R

1

R

2

R

2

m

c

b

c M V a_a1 2 O P N

(5)

| 5

5. Enuncie y demuestre el primer paso de la demostración del teorema de Thales.

Mencione alguna utilidad.

(3 p)

Dem.: Paso 1) Si dos segmentos de r son iguales, los 2 homólogos de r' también lo son (hay correspondencia en la igualdad).

6. Demostrar que la suma de distancias de un punto cualquiera interior de un

triángulo equilátero a sus tres lados es constante.

(2 p)

Sea MN = PQ (hipótesis). Demostraremos que M'N' = P'Q' (tesis).

Trazando por M y P paralelas a r' obtenemos los triángulos MNN'' y PQQ'' que son congruentes (MN = PQ, α y ß son iguales a α' y ß' por correspondientes).

Luego MN'' = PQ''; luego M' N' = P' Q'

Corolario: Dividir un segmento en n partes iguales.

Es útil para dividir gráficamente un segmento en “n” partes iguales. r’ r M N N’ N” M’ m n Q” P’ P Q’ p q α ' α’