PROBABILIDADES
Formulación Matemática de Probabilidad.- Es una rama de las matemáticas que trata de la incertidumbre
Definición.- Es un número de 0 a 1, que le asignamos a un fenómeno para indicar su posibilidad de ocurrir.
Probabilidad según el concepto de frecuencia relativa (concepto estadístico).- Consideremos un evento E que se produce en n repeticiones o ensayos de algún experimento. De acuerdo con el concepto de frecuencia relativa, la probabilidad del evento E, es igual a la frecuencia relativa de ocurrencia del evento E. Entonces podemos decir que: Si un suceso puede ocurrir en H maneras diferentes de un número total de n maneras posibles, todos igualmente factibles, entonces la probabilidad del suceso es h/n
Definiciones:
a.- Experimento.- Es cualquier operación cuyo resultado no puede predecirse con exactitud. Ejemplo: Lanzar un dado y ver el número que sale.
b.- Espacio Muestral.- Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Lo representamos por S.
c.- Evento o suceso.- Es cualquier sub conjunto del espacio muestral d.- Evento cierto o seguro.- Un evento es cierto o seguro si es igual al espacio muestral. Se le asigna probabilidad igual a 1.
e.- Evento Imposible.- Un evento es imposible sie es igual al conjunto vacío. Se le asigna probabilidad igual a 0.
f.- Sucesos mutuamente excluyentes.- Dos o mas sucesos son mutuamente excluyentes si no pueden suceder a la vez, es decir, la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia de los demás.
Ejemplo: Si el experimento es lanzar un dado y ver el número que sale, Los eventos:
A = Sale número par B = Sale número impar
Propiedades y axiomas que debe cumplir la probabilidad del evento A: 1.- 0 ≤ P(A) ≤ 1 La frecuencia relativa
∈
[ ]
0
,
1
2.- P (S) = 1
3.- P (A1 U A2 U A3 U ……An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + …….…P(An)
Si Ai ∩ Aj = Ǿ ; ¥ i,j
Teoremas Fundamentales
Teorema 1 .- Si Ǿ es el conjunto vacío, entonces P(Ǿ) = 0
Demost.- Para cualquier suceso A, A = A U Ǿ, como A y Ǿ son mutuamente excluyentes: A = A U Ǿ P(A) = P(AUǾ) P(A) = P(A) + P(Ǿ) P(A) - P(A) = P(Ǿ) 0 = P(Ǿ)
Nota.- El recíproco de este teorema no siempre es verdadero. Esto es si P(A) = 0 en general no podemos concluir que A = Ø, porque hay
situaciones en que asignamos probabilidad cero a un suceso que puede ocurrir, solo que es muy pequeño Ej. 0.0000001
Teorema 2 .- Si
A
es el suceso complementario de A, entonces P(A)=1- P(A
)Demostración: S = A U Ā
P(S) = P(A) + P(Ā) P(A) = 1 – P(Ā)
Este teorema es muy útil porque hay muchos problemas en el que es mas fácil calcular P(Ā) que P(A)
Teorema 3.-
“Teorema de la adición”. Si A y B son dos sucesos cualesquiera, entonces: P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Demostración: AUB = AU(B∩Ā) B = (A∩B)U(B∩Ā) Por lo tanto: P(AUB) = P(A) + P(B∩Ā)
-P(B) = P(A∩B) + P(B∩Ā) P(AUB)- P(B)=P(A) - P(B∩Ā) P(AUB) = P(A)+P(B)- P(A∩B)
Teorema 4.-
Si A, B y C son 3 sucesos cualesquiera, entonces:
P(AUBUC) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)- P(B∩C)+ P(A∩B∩C) Demostración:
Haciendo P(AUBUC) = P((AUB)UC)
P((AUB)UC)=P(AUB)+P(C)-P((AUB) ∩C) Por teorema 1.3 P(AUBUC)=P(A)+P(B)-P(A∩B)+P(C)-P((AUB) ∩C)
Como:
P((AUB) ∩C)=P(A∩C)+P(B∩C)-P(A∩B∩C Reemplazando:
P(AUBUC) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)- P(B∩C)+ P(A∩B∩C) Teorema 5.- Si A⊂B entonces P(A) ≤ P(B)
Demostración: Podemos descomponer B en dos sucesos que se excluyen mutuamente ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A P B P A B P A P B P A B A B ≥ + = = I I U A B
Definiciones:
a)Evento simple.- Es el evento que no puede expresarse como la unión de otros eventos, exceptuando el evento vacío. Estos eventos tienen las siguientes propiedades:
- Son mutuamente excluyentes
- La unión de todosb ellos constituye el espacio nuestral
b) Eventos equiprobables.- Dos o mas eventos son equiprobables si: P(A1)=P(A2) = . . . .P(An)=p
Teorema 6.- Si un espacio muestral S consta de “n” eventos simples equiprobables y en dicho espacio muestral consideramos un evento cualquiera A, que consta de “r” de estos eventos simples. Bajo estas condiciones se tiene: P(A) = r/n
Demostración:
Llamaremos E1, E2, . . . En a los eventos simples del espacio
muestral S.
De acuerdo al enunciado:
P(E1) = P(E2) = . . . P(En) = p
U
in Ei S 1 = = entoncesn
p
np
p
p
p
p
E
P
E
P
E
P
E
P
S
P
E
E
E
E
P
S
P
n n/
1
1
....
...
...
...
...
1
)
(
...
...
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
...
(
)
(
3 2 1 3 2 1=
=
+
+
+
=
+
+
+
=
=
U
U
U
n
r
n
n
n
n
E
P
E
P
A
P
r i i r i i=
=
+
+
+
=
=
∑
= =1
.
...
1
1
1
)
(
)
(
)
(
1 1U
Probabilidad Condicional.- Si A y B son eventos del espacio muestral S y si P(B)≠0, entonces la probabilidad condicional de A relativo a b, está dado por:
)
(
)
(
)
(
B
P
B
A
P
B
A
P
=
I
Se lee P(A) dado que ocurrió B, es decir, el evento B ya ocurrió y se quiere calcular la probabilidad de que ocurra A.
Regla general de la multiplicación:
De la fórmula
)
(
)
(
)
(
B
P
B
A
P
B
A
P
=
I
ObtenemosP
(
A
I
B
)
=
P
(
B
)
P
(
A
/
B
)
Ejemplo:La Regla general de la Multiplicación se puede extender a mas de dos eventos, en la siguiente forma:
))
/(
(
)
/
(
)
(
)
(
A
B
C
P
A
P
B
A
P
C
A
B
P
I
I
=
I
El resultado se generaliza fácilmente a n sucesos:
))
...
/(
(
))...
/(
)
/
(
)
(
)
...
(
A
B
C
Z
P
A
P
B
A
PC
A
B
P
Z
A
B
C
Y
P
I
I
I
I
=
I
I
I
I
SUCESOS INDEPENDIENTES:Dos eventos A y B son independientes si se cumple que:
)
(
)
/
(
A
B
P
A
P
=
óP
(
B
/
A
)
=
P
(
B
)
Es decir la ocurrencia o no ocurrencia de uno de ellos no afecta la ocurrencia o no ocurrencia del otro.
Cuando dos sucesos son independientes se cumple que:
)
(
)
(
)
(
A
B
P
A
P
B
P
I
=
EjemploPARTICION DEL ESPACIO MUESTRAL:
Los sucesos B1; B2; B3; ………Bk representan una partición del espacio
muestral S, si: a)
B
1I
B
j=
φ
para todo i, j b)B
S
k i i=
=U
1 c)P
(
B
i)
> 0 para todo iEs decir, para cualquier experimento E, tendremos un espacio muestral S, este espacio muestral S, lo podemos partir en Bk sucesos que
cumplan con las tres condiciones indicadas y cuando se realiza el experimento E, ocurre uno y solo uno de los sucesos Bi.
Ejemplo:
Teorema de la probabilidad total:
Sea B1; B2; B3; ………Bk una partición del espacio muestral S y sea A un
evento cualquiera en este espacio muestral, entonces podemos decir que:
)
/
(
)
(
...
...
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
(
)
(
....
...
)
(
)
(
)
(
)
...(
...
)
(
)
(
2 2 1 1 2 1 2 1 k k k kB
A
P
B
P
B
A
P
B
P
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
B
A
P
B
A
P
A
P
B
A
B
A
B
A
A
+
+
=
+
+
=
=
I
I
I
I
U
I
U
I
Ejemplo: Teorema de Bayes:Sea B1; B2; B3; ………Bk una partición del espacio muestral S. Sea A un
evento asociado con S. Aplicando la definición de Probabilidad Condicional, podemos escribir:
