MANUAL DE RECUPERACIÓN MATEMÁTICAS 1

MANUAL DE RECUPERACIÓN

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MANUAL DE RECUPERACIÓN

MANUAL DE RECUPERACIÓN

PARA

MATEMÁTICAS 1

MATEMÁTICAS 1

MATEMÁTICAS 1

MATEMÁTICAS 1

Coordina:

Manuela Valle

Participan:

Juan Carlos Jiménez

Porfirio Pérez

Jesús Gil

Mª Teresa Sanz

Alfredo Jiménez

1: NÚMEROS REALES

1. INTERVALOS

Intervalo abierto de extremos a y b: (a,b) = { x є IR / a < x < b } o---o

Intervalo cerrado de extremos a y b: [a, b] = { x є IR / a ≤ x ≤ b } ●---●

Intervalo semiabierto …: [a, b) = { x є IR / a ≤ x < b } ●---o

Semirrectas: (-∞, b) = { x є IR / x < a } ←o ; (a, -∞) = { x є IR / x > a } o→→→→ (-∞, b] = { x є IR / x ≤ a } ←● ; (a, -∞) = { x є IR / x ≥ a } ●→→→→ Entornos: E (xo , r) = (xo - r, xo + r) ; E*(xo , r) = E (xo , r) – {xo} = (x0 - r, x0) U (x0 , x0 + r). 2. VALOR ABSOLUTO Si x є IR, |x| =    > − < 0 x si x 0 x si x

- Propiedades: 1. |a| ≥ 0 2. |a·b| = |a| · |b| 3. |a+b| ≤ |a|+|b|

- Si |x| < a, a > 0 ⇒ –a < x < a; si |x| ≥ a, a > 0 ⇒x ≥ a ó x ≤ -a - Si a ≠ b ⇒|a-b| = |b-a|

3. POTENCIAS Y RAÍCES

Si a∈IR y n∈IN, se define la potencia an como:

       ≠ = = > = − 0 a si , 1 a a a 1 a si , a ...· a · a · a a 0 1 veces n n 48 47 6 Además: n _n a 1 a− =

La raíz enésima de un nº a es otro nº b cuya potencia enésima es igual que a. Se representa

con la expresión n _{a :} n _{a = b} ⇔ n

b = a .

POTENCIAS RAÍCES

1. Producto de potencias con la misma base a p · a q = a p+q

1’. Cociente de potencias con la misma base a p : a q = a p-q

Prop. Fundam.: n s n·p s·p

a a = 2. Producto de potencias con el mismo exponente

a p · b p = (a · b) p

2. Producto de raíces con el mismo índice

n n

n_{a· b}= _a·b

2’. Cociente de potencias con el mismo exponente a p: b p = (a : b) p

2’. Cociente de raíces con el mismo índice

n n

n _{a: b}= _a:b

3. Potencia de una potencia (a p)q = a p · q 3. Raíz de un raíz q · p p q a a = Potencia de una raíz:

( )

p q p q

a a =

4. LOGARITMOS

Si a, x >0 con a≠1, se llama logaritmo en base a de x al exponente, y, al que hay que elevar la base, a, para obtener x: y = log a x ⇔ a

y

= x.

Logaritmos destacados: loga 1 = 0; loga a = 1; loga a n

= n

Operaciones: loga (x·y) = loga x + loga y loga (x/y) = loga x - loga y log a x n

= n· log a x

x log

EJERCICIOS

1.- Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Todos los números decimales son racionales

b) Todos los números son reales

c) La suma de dos racionales es racional

d) La suma de dos irracionales es irracional

2.- Clasifica estos números según sean naturales, enteros, racionales o reales:

2 27 3 + , 3,5), 3 π , 2 14 − , 2,0100100..., 9 2,7) , π2, 25 21 , 1 , 3 21 3.- Efectúa : a) 3,45)+2,46= b) 3,4)+2,5)−3,42)= c) 0,187) = d) 1 00 , 0 1 ) = Sol: a) 5,915), b) 2,57), c) 0,43), d) 30 .

4.- Expresa en intervalos y con desigualdades los siguientes conjuntos:

a) Reales comprendidos entre 2 y 7, incluido el 7 b) Reales menores que –3

c) Reales mayores o iguales que –3

d) Reales que no son menores que –2 ni mayores que 10

5.- Sean :A=

{

x∈R/−3≤x≤8

}

, B=

{

x∈R/x>−1

}

y C=

{

x∈R/−1≤x<1

}

. Calcula:

a) A∪B∪C b) A∩B∩C

c) (A∩B)∪C d) (R∩B)∩(R∪A)

Sol: a) [-3, ∞), b) (-1, 1), c) [-1, 8], d) B 6.- Escribe los intervalos a los que pertenece x si:

a) −3≤x y x≤10 b) x>10 ó x≥15

c)

4 3

x>− y 3>x d) −0,02≤x<0

7.- Escribe los intervalos a los que pertenece x si:

a) 1 7 4 x 3≤ + ≤ − b) 4>−x+3>0 c) 10 2 4 x 2< − ≤ − d) 1 2 x 3 2 4 7_> − _>

8.- Escribe los intervalos a los que pertenece x: a) x−5<7 b) 2x+6 ≤4 c) 1 3 2 2 x+ _{− >} d) x−3+ x−6≥6 Sol: a) (-2, 12), b) [-5, -1], c) (-∞, -6)∪(6, ∞), d) (-∞, 3/2)∪(15/2, ∞) 9.- Racionaliza: a) 3 4 4 b) 2 2 2 + c) 1 2 3 2 + + d) 2 3 5 4 + + Sol: a) 23 2, b) 2− 2, c) 2 3 2 1+ − , d) 11 15 4 3 6 5 2 8+ + −

10.- Simplifica las expresiones siguientes:

a) 3₁₂₅⋅3 ₅6 _b) 4 10 3 4 3 2 x x 1 x ⋅ ⋅ Sol: a) 125, b) x6 x5 11.- Calcula y simplifica: a) 8 8+5 2+4 20−12 5 b) 1+x −2 9+9x−3 25+25x c) 5 27+3 12−5 75 d)

(

7 − 18

)

2+3 56 Sol: a) 21 2−4 5, b) −20 1+x , c) −4 3, d) 25 12.- Opera y simplifica: a) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + − + − + − b) 3 27 3 27 1 5 1 5 + ⋅ − + ⋅ − Sol: a) −3 2, b) 3 2

13.- Calcula x en las siguientes ecuaciones:

a) lg_x9=2 b) log(x+1)=2 c) lg x2 3 3 =− d) x 8 1 lg 2 1 =

14.- Calcula x en las siguientes ecuaciones:

a) lgx+181=4 b) x

e 1 ln =

15.- Sabiendo que lg3x=1,1 calcula: a) 3 3 3 1 lg b) 2 39x lg c) lg9 x d) 2 3 1x lg Sol: a) -1/3, b) 4,2, c) 0,275, d) -2,2 16.- Sabiendo que log A = -2,2, log B = 0,8 y log C=2,4, calcula:

a) ₄ 3 2 C B A log b) ₃ B AC log c) 3 A 10 log d) C 1000 B A log 3 Sol: a) -11,6, b) -1,1, c) -0,4, d) -1,03

17.- Expresa en forma de un solo logaritmo: a) loga 3logb logc

2 1 − − b) 3lna−lnb+6lnc c) 3 b log a log − d) 3 1 ln 27 ln

18.- Expresa estos números en notación científica:

a) 12 10 00356 , 0 ⋅ b) 4 10 69800000⋅ − c) 2 10 4 , 0 ⋅ − d) 1 10 3 , 18 ⋅ −

19.- Expresa el resultado en notación científica:

a) 6 7 10 8 , 28 10 2 , 3 ⋅ − + ⋅ − b) ₆ 7 10 2 , 3 10 8 , 28 − − ⋅ ⋅ c) 5 2 6 10 5 10 1 , 1 10 3⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ d) 12,1⋅107⋅0,09 Sol: a) 6,08·10 -6, b) 9·10-1, c) 1,65, d) 3,3·103 20.- Efectúa las siguientes operaciones:

a) ₅ 5 6 10 3 10 45 , 2 10 83 , 5 − ⋅ ⋅ + ⋅ b)

(

₈

) (

)

5 2 5 10 2 , 4 10 2 10 5 , 1 10 2 , 3 − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ Sol: a) 2,025·1011, b) 1,523·107

2: ECUACIONES Y SISTEMAS

1. POLINOMIOS

Si r es raíz de P(x), según el Tª del resto la división de P(x) entre x-r es exacta, y existirá C(x)

tal que: P(x) = (x-r) · C(x). Tomado una raíz de C(x) -que lo será también de P(x)- y repitiendo el proceso, podemos factorizar el polinomio P(x) mediante divisiones sucesivas entre sus raíces:

P(x) = an · (x – r1) · (x – r2) · (x – r3) · … 2. ECUACIONES

Una ecuación es polinómica si puede reducirse a la forma P(x)=0. Para resolver una ecuación de grado superior a 2, en general, es preciso factorizar P(x). Esto se puede evitar a veces con un cambio de variable, como en las ecuaciones bicuadradas.

Una ecuación es racional si aparecen fracciones algebraicas. Pueden reducirse a la forma

P(x) / Q(x)=0. Se resuelve directamente reduciendo a común denominador y eliminando los denominadores. Nota: las raíces del denominador no son soluciones de la ecuación.

Una ecuación es irracional si la incógnita aparece bajo el signo radical. Para resolverlas se aísla el término radical y se elevan los dos miembros a la potencia del índice. Nota: es preciso comprobar las soluciones.

Una ecuación es exponencial si la incógnita se encuentra en el exponente. Para resolverla, se expresan los dos miembros como potencias de la misma base, pues: ax = ay ⇒ x = y. Si no es posible, se realiza un cambio de variable o se aplican logaritmos.

Una ecuación es logarítmica si la incógnita se encuentra dentro de una expresión logarítmica. Para resolverla, se expresan los dos miembros como logaritmos de la misma base, pues: loga x =

loga y ⇒ x = y. Al no ser el dominio del logaritmo todo IR, conviene comprobar las soluciones. 3. INECUACIONES

Una inecuación es polinómica si puede reducirse a una de las formas P(x)<0, P(x)>0, … - Si el polinomio es de grado 1, la inecuación se dice lineal o de primer grado. Se resuelve despejando la incógnita directamente, teniendo en cuenta las propiedades de las desigualdades.

- Si el polinomio es de grado dos o superior, para resolverla es necesario factorizar el polinomio; las raíces de éste determinan n+1 intervalos abiertos en la recta, de los cuales son solución los que cumplen la desigualdad (basta probarlo con un valor del interior del intervalo). Si la desigualdad no es estricta, las raíces del polinomio también serán soluciones de la ecuación.

Una inecuación es racional si puede reducirse a una de las formas P(x) / Q(x) < 0, …

Su resolución equivale a la de la inecuación polinómica P(x) · Q(x) < 0, …, salvo que las raíces de Q(x) nunca pueden ser solución de la inecuación racional.

4. SISTEMAS DE ECUACIONES

Un sistema lineal formado por más de 2 ecuaciones es recomendable resolver por el Método de Gauss (reducción-sustitución): se convierte el sistema original en un sistema escalonado (aplicando reducción), y se sustituye en el orden contrario al de reducción.

Si el sistema es no lineal, no hay un procedimiento estándar para resolverlo. Aunque si una ecuación sí es lineal, siempre se puede aplicar sustitución.

5. SISTEMAS DE INECUACIONES

Para resolver un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita se resuelve cada inecuación por separado y se cortan las soluciones.

EJERCICIOS

1.- Calcula el cociente y el resto en las siguientes divisiones:

a)

(

x4+3x3−2x2+3x+2

) (

÷ x2−2x+3

)

_b)

(

) (

)

1 x x 1 x 2 x 3 x5− 3+ + ÷ 2 − + c)

(

x4−3x

) (

÷ x2+1

)

Sol: a) R(x) = -2x - 13, b) R(x) = x+5, c) R(x)= -3x + 1 2.- Calcula el cociente y el resto en las siguientes divisiones:

a)

(

3x3+2x2−x+2

)

÷

(

x+1

)

_b)

(

)

(

)

3 x 2 x 3 4− ÷ − c)

(

x5−x3

)

÷

(

x−1

)

Sol: a) R=2, b) R=241, c) R=0 3.- Calcula a y b en los siguientes polinomios si:

a)

(

x4−ax2+b

)

es divisible entre

(

x−2

)

y entre

(

x−1

)

b)

(

x3+ax2+bx−3

)

es divisible por

(

x

+

3

)

y tiene resto 3 entre

(

x+2

)

c)

(

x21+a

)

_{es divisible por}

(

)

1 x+

Sol: a) a=5, b=4, b) a=3, b= -1, c) a=1 4.- Escribe un polinomio que cumpla las siguientes condiciones:

a) Es de grado cuatro y es divisible por

(

x+2

)

y por 2

x

b) Es de grado cuatro y no tiene divisores de grado uno c) Es de grado tres y su única raíz real es 3

5.- Descompón en factores primos los siguientes polinomios: a) P

( )

x =x3+3x2−4x−12 _b)

( )

12 x 8 x 3 x 2 x P = 3+ 2− − c)

( )

6 4 2 x 2 x x x P = + −

6.- Descompón las siguientes expresiones:

a) 4 4 a 16 x − b) 6 3 2 a 9 a x 30 x 25 − + c) 2 2 2 2 ay by bx ax − + −

Sol: a) (x-2a)(x+2a)(x2+4a2), b) (5x3 – 3a)2, c) (x+y)(x-y)(a-b) 7.- Efectúa las siguientes operaciones:

a) 1 x 3 x 1 x 2 x 2 x 2 2 − − + + + + _b) b a 2 a b b a 2 2− + + − c) x 3 x 2 x x 2 x x x x 2 x 2 4 5 2 3 2 3 2 − + + − + + Sol: a)

(

x 1

) (

x 1

)

5 x x 2 2 2 − ⋅ + − − _{, b)} b a 1 + , c) 2 x x 1− −

8.- Efectúa las siguientes operaciones:

a) x 2 x x 2 − ⋅ + _b) 9a2 1 3a−1 ÷ − _{c) }   − ⋅ + − ÷ 1 x 5 x 3 4

9.- Efectúa las siguientes operaciones: a) ₃ 2 2 2 x 2 1 x 1 x x 1 x x _⋅ −       + + − b) x x 1 x 2 2 x 1 x 2 1 x 1 x 2 2+ + ÷       − + − + + c) 1 1 a 1 1 1 a a a3 2 + − ⋅       − − − Sol: a) 1, b) 2 x x 3 − − _{, c) a+2}

10.- Efectúa las siguientes operaciones:

a) 2 2 2 3 x 4 x 1 x       + + − b)             − + ÷ 1 x 1 1 1 8 c) 1 x 3 x 1 x x 3 2+ − − Sol: a) 9 x 6 x 1 x 2 x 2 2 + + + − _{, b) -8(x+1), c)}

(

)

1 x 1 x 3 4 4 − +

11.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)

(

x−3

)

2 −2x=

(

x−2

)

2 +21 b)

(

)

(

) ( )

x 5 3 2 x 6 1 x 3 x 4 x− 2 + ₊ + ₌ − 2 _{+ −} c)

(

x−2

)

4 −10

(

x−2

)

2 +9=0 Sol: a) -4, b) 5 , c) 5, -1, 3, 1 12.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x3 −9x=0

b) x3−6x2 +11x−6=0

c) 3x3 +12x2 +3x−18=0

Sol: a) -3, 0, 3 , b) 1, 2, 3 , c) –2, 1, -3 13.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 3 3 x 2 x 2 3 x 1 x = + − + − − _b) 1 2 x x 3 2 x 2 x = + − − + c) 3 2 x 1 x 2 x 1 x 2 = − − + + − Sol: a) 5, b) 4, -2/3, c) 3 14.- Resuelve los siguientes sistemas:

a)    − = − = + 1 y x 2 1 y x 2 2 2 b)

(

) (

)

   − = + − − = − 1 1 y 1 y 2 x 0 y 6 x 2 2 c)    = − = − 4 y 3 x 2 y 3 x 2 2 2 Sol: a) (0,1), (2,-3), b) (0,0), (3,1), c) (4,2) doble

15.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x−3+ x+2=5 b) 2x+2− 4x−3=1 c) 3x+1− x+4 = x−4

Sol: a) 7, b) 1, c) 5 16.- Estudia estos sistemas y resuélvelos cuando sea posible:

a)      = + − = + − = + − 2 z 9 y 5 2 y x 3 1 z 3 y 2 x b)      = + + − = − + − = + + 1 z y 3 x 2 10 z 3 y 2 x 2 z y x c)      = − = − + = + − 3 z 5 y 3 2 z y x 1 z 3 y x 2 Sol: a) incompatible, b) (3,-2,1), c)       _{− +} z , 3 z 5 3 , 3 z 2 3

17.- Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) 4 x 4 4 x 2 − ≤ + _b)

(

)

4 2 x 3 3 x 2 4 2 x 3 − > − − − c)     < − < − 12 x 3 4 2 3 x Sol: a) (-∞, 2] , b) (-∞, 2) , c) (-9, 11) 18.- Resuelve las siguientes inecuaciones:

a)

(

2x+3

)(

3x−5

)

≤0 b) 2 4 x 2 7 x 3 _> − + c) 6x2 +7x−3<0 Sol: a) _      − 3 5 , 2 3 , b) (2, 15), c)       − 3 1 , 2 3

19.- Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) 0 x 4 x2 ≥ − b) 0 3 x 2 x 1 x 2− − < − c) 0 x 4 x 12 x 8 x 2 2 ≤ − + − Sol: a) [-2, 0)∪[2, ∞), b) (-∞, -1)∪(1, 3), c) (0, 2]∪(4, 6] 20.- Resuelve los siguientes sistemas:

a)     − < > + 3 x y 1 2 y 3 x b)      < − ≥ + ≤ − 3 x 3 x y 3 x y _x2 _{−4x−y≤−3}

21.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 22x+3 =128 b) 9x+2 =27 c) 4x −9⋅2x +8=0 c) 3 1 9x2−3= Sol: a) 2, b) -1/2, c) 0 y 3, d) 2 7 22.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x 1 x2 x 2 2 128 + = −− b) x x 3 9 9 3 ⋅ = c) 61−x +6x =7 d) x 3 x 8 2− = − Sol: a) 1, 7, b) 2, c) 1, d) 9/2

23.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) lg2 8=x b) lg9x=3 c) 2 1 4 lg_x = d) x e 1 ln = Sol: a) 3/2, b) 729, c) 16, d) -1/2

24:- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) log

(

3x−1

)

−log

(

2x+3

)

=−log25+1 b) logx=1+log

(

22−x

)

c)

(

)

(

)

2 x 2 log x 5 log 2 ₌ − + c) log(x+3)=log

(

2x−4

)

Sol: a) 1, b) 20, c) -1/4, d) 7

25.- Resuelve los sistemas: a)    − = − = + + + _{5 9} 2 9 5 2 1 y 2 x y x b)    = ⋅ − = + 0 2 2 2 12 2 2 y x y x c)    = + = + 3 y x 0 y lg x lg3 3 c)    = − = + 3 y lg x lg 5 y lg 3 x lg 2 2 2 2 2

Sol: a) x=2, y=1, b) x=3, y=2, c)

2 5 3±

3: NÚMEROS COMPLEJOS

1. NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA

Llamamos unidad imaginaria, i, al no real que elevado al cuadrado da –1: i = −1

Llamamos número complejo, en forma binómica, a una expresión de la forma a+bi, siendo

a y b nos reales; a es la parte real y bi es la parte imaginaria.

El punto P = (a, b) representa el complejo a + bi. El punto P es el afijo del no complejo. A la forma (a,b) la llamaremos forma cartesiana del no complejo a+bi.

Dos complejos son iguales si lo son sus partes real e imaginaria. En este caso, estarán representados por el mismo afijo.

Dos complejos son opuestos si sus partes real e imaginaria son opuestas. Si llamamos z al complejo a + bi, su opuesto -a - bi se representa por -z.

Dos complejos son conjugados si tienen la parte real igual y partes imaginarias opuestas. Si

z = a + bi su conjugado será a - bi y se representa por z. 2. OPERACIONES EN FORMA BINÓMICA

- SUMA: se suman sus partes real e imaginaria (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i

- PRODUCTO: Se aplican la P. Distributiva y que i 2 = -1: (a + bi) · (c + di) = (a·c - b·d) + (a·d + b·c) i

- COCIENTE: Se racionaliza el denominador, multiplicando por el conjugado.

- POTENCIA: Se desarrolla la potencia teniendo en cuenta que i 0 = 1, i 1 = i, i 2 = -1, i 3 = -i, … Como

i 4 =1, las potencias de i son cíclicas, y para calcular i nbasta con calcular i rsiendo n = 4·c+r. 3. NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR

Se llama módulo del complejo z = a + bi al nº real m = |z| = 2 2

b a + Se llama argumento del complejo z = a + bi al ángulo α _{que forman el}

semieje positivo de abscisas y la semirrecta de origen O = (0, 0) que pasa por el afijo P = (a, b) del complejo.

Como    = = = ≠ ⇒ = 2 π/ 3 , 2 π/ α , 0 a si ) a / b ( arctg α , 0 a si a b tgα

La determinación de α no es única. En [0,2π), hay 2 soluciones que difieren en π radianes. La buena depende del cuadrante en que esté el complejo.

Sustituyendo a = m · cos α y b = m · sen α en z = a + bi, obtendremos la forma trigonométrica del complejo: z = m · cosα + m · senα i = m (cosα + i senα)

Podemos representar el complejo simplemente de la forma z = mα que se llama forma polar.

Las fórmulas de paso de F. Binómica a F. Polar y viceversa serán: B → P :      = α + = a b arctg b a m 2 2 P → B :    α = α = sen · m b cos · m a z=a+bi m b α a

4. OPERACIONES EN FORMA POLAR

Suma: Se pasan a forma binómica, se opera y se pasan a forma polar. Producto: m α · m’β = (m · m’) α + β Cociente: β − α β α _      = ' m m ' m m Potencia: (m α) n = (mn)n α

Expresado en forma trigonométrica sería: [m (cosα + i senα)]n = mn [cos (nα) + i sen (nα)]. Para

m = 1 se obtiene la fórmula de De Moivre: (cosα + i senα)n = cos (nα) + i sen (nα) Radicación:

Dado un complejo, m α , su raíz n-ésima, r θ , verificará (r θ)n = m α ⇒ (rn )n θ = mα

Luego los módulos serán iguales y los argumentos diferirán en un no entero de vueltas:

r n = m ⇒ r =n _{m, nθ –α = k·2π ⇒ θ =} n 2 · k π + α con k∈Z

Así, todo no complejo no nulo tiene n raíces n-ésimas distintas:

( )

n 2 · k n n

_m

_m

π + α α

=

, donde k = 0, 1, 2, …, n-1.

EJERCICIOS

1. Efectúa las siguientes operaciones:

a) 4i + (3 - 5i) + (2 - i) + (1 - i) b) (2 + 4i) + (3 - 2i) - 2(-4 + 7i)

c) (5 - 4i) - (-3 + 2i) + ½(6 - 6i) d) 4 + 3i + (2 + i) - (3 - 4i) - (4 + 2i)

Sol. a) 6 - 3i b) 13 -12i c) 11 - 9i d) –1 + 6i 2. ¿Qué tipo de gráfica forman los afijos de los números complejos que tienen el mismo

argumento?

Sol: forman una recta de pendiente la tangente del argumento de los complejos 3. Calcula los productos:

a) (4 – 2i)(5 + 3i) b) (3 + 4i)(6 - i)

c) (3 + i)(3 - i) d) (5 – 3i)(2 + 3i)

Sol. a) 26 + 2i b) 22 + 21i c) 10 d) 19 + 9i 4. Efectúa los cocientes:

a) i 3 i 3 1 − + _b) i 2 4 i 5 2 + − _c) i 4 3 i 5 + − d) i 2 5 e) i 2 2 i + f) 1 i i 2 − − Sol. a) i b) i 5 6 10 1 − − c) i 25 23 25 11 − d) i 2 5 − e) i 4 1 4 1 + f) -1 - i

5. Sabiendo que u = 4 – 3i, v = 2i y w = -1 + i, Calcula:

a) i17 b) i50 c) i301 d) i723 e) i1999 f) ₃ 13 11 6 3 i 1 i i i i + + + +

Sol a) i b) –1 c) i d) –i e) –i f) –i 6. Calcula el módulo y el argumento de:

(

) (

) (

)

31

i i 3 i 3 i 3 1+ ⋅ + ⋅ − + − Sol: m = 255; α = 90º 7. Calcula las siguientes raíces:

a) 3π3 b) − i c) 2−2i d) 4 −_{625 e)} 3 _{8i f) 5} º 60 243 Sol: a) 6 7 6 3 y 3_{π π} b) 1135º y 1315º c)

( )

( )

337,5º 4 º 5 , 157 4 _{8 y 8 d) 5} π/4, 53π/4, 55π/4, 57π/4 e) 2π/6, 25π/6, 29π/6 f) 312º, 384º, 3156º, 3228º, 3300º

8. Resuelve las siguientes cuestiones:

a) Halla x con la condición de que (x + 3i)2 sea un número imaginario puro b) Encuentra a con la condición de que (2 + i)(a – 3i) sea un número real. c) Calcula a + bi para que se verifique que el producto (a + bi)(2 – i) = 7 – i. d) Calcula el valor de a para que el producto (2 – 5i)(3 + ai) sea imaginario puro. e) Determina el número real x para que el cociente

xi 1

xi 2

−

+ _{sea un número real.}

Sol: a) x = ± 3 b) a = 6 c) a + bi = 3 + i d) a = -6/5 e) x = 0 9. Escribe de todas las formas posibles los siguientes complejos

a) 2 + 2i b) 1 – i

c) –3 + 4i d) 2225º

Sol: a) (2,2); 2 + 2i; 2 2_45º ; 2 2

(

cos45º+isen45º

)

b) (1,-1); 1 – i; 2_315º ; 2 2

(

cos315º+isen315º

)

c) (-3, 4); -3 + 4i; 5_127º; 5

(

cos127º+isen127º

)

d)

(

− 2,− 2

)

; − 2− 2i ; 2225º ; 2

(

cos225º+isen225º

)

10. Efectúa, en forma binómica, y representa gráficamente la solución de

(

)

i 2 3 i 2 i 134 − − Sol: 8 + i 11. Simplifica las expresiones:

a) 6 2 3 30 15 45⋅ b) 1 3 3 2 300 120 60 30⋅ c) 4 2 2 90 15 45⋅ Sol: a) 130º; b) 230º; c) 1330

12. Expresa el resultado de las siguientes operaciones en forma polar: a) (-4 – 4i)4 b)

(

)

( )

3 5 i 1 i 3 − + c)

(

)

i 2 i i8+ 5 d) _       − ⋅ − _i 2 3 2 3 3 i 73 Sol: a) 1024180º b)8 2285º c) 1135º d) 3240º

13. Resuelve las ecuaciones:

a) z6 – 1 = 0 b) z2 + z + 1 = 0 c) z4 + 1 = 0 d) z3 – 6z2 + 10z – 8 = 0 e) z6 – 64 = 0 Sol: a) 160ºk b) i 2 3 2 1 ± − c) 145º+90ºk d) 4; 1 + i; 1 – i e) 20º; 260º ; 2120º; 2180º; 2240º; 2300º

14. Resuelve las siguientes cuestiones:

a) Determina los números complejos cuyo cuadrado sea igual a su conjugado. b) Encuentra los números complejos cuyo conjugado coincide con su inverso. c) Determina los números complejos cuyo inverso sea igual a su opuesto.

15. Utiliza la fórmula de De Moivre para obtener sen 2α y cos 2α en función de sen α y cos α. De igual forma halla sen 4α y cos 4α.

16. Determina las siguientes cuestiones:

a) Determina b para que el módulo del cociente (b + 4i) : (1 + i) sea 36.

b) La suma de dos números complejos conjugados es 24 y la suma de sus módulos es 26. ¿De qué números complejos se trata?

c) La suma de dos números complejos es 5 – 3i. El cociente de ambos es imaginario puro y la parte real del numerador es 4. Halla dichos números.

Sol a) b = ±6 b) 12 ± 5i c) 4 – i y 1 + i, o bien 4 + i y 1 – 4i. 17. El número 5i es una raíz cúbica de un número complejo. Calcula las otras raíces cúbicas y el

número complejo.

Sol: z = -125 i; las otras raíces son i 2 5 2 3 5 − − y i 2 5 2 3 5 − 18. Halla las coordenadas de los vértices de un hexágono regular, de centro en el origen, sabiendo

que uno de sus vértices es el afijo del número complejo 2180º

Sol: Los vértices son (2,0); (1, 3); (-1, 3); (-2,0); (-1, − 3); (1, − 3) 19. Un cuadrado tiene sus vértices por encima del eje real. Si dos de sus vértices consecutivos del

cuadrado son 2 + i y 5 + 3i, halla los otros dos vértices.

Sol: 3 + 6i y 1 + 5i 20. Los afijos de los puntos z1 y z2 forman un triángulo

equilátero con el origen de coordenadas. Calcula z2 sabiendo que z1 = 4+ 5i.

Sol (-6.33, -0.96)

21. Representa gráficamente los resultados de hallar 3₁−_i.

¿Qué figura obtenemos al unir los afijos de las raíces cúbicas obtenidas?

Sol: 6 º 345 6 º 225 6 º 105 , 2 y 2

2 Al unir los afijos de las 3 raíces obtenemos un triángulo equilátero.

4: GEOMETRÍA

1. VECTORES

Un vector,wv , es combinación lineal de un conjunto de vectores, ur₁,ur₂,...,ur_n, si: n n 2 2 1 1·u k ·u ... k ·u k wr= r + r + + r , con ki∈IR

Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si uno cualquiera de ellos se puede expresar como combinación lineal **(no trivial) de los demás.

En particular: ur y vv L. Dependientes ⇔ ur=k·vr ⇔ ur||vv n 2 1,u ,...,u ur r r L. Independientes ⇔ k1·u1 k2·u2 ... kn·un o r r r r = + + + ⇒ ki = 0 (la única C.L. de ellos que da el vector nulo es la trivial)

En el plano, dos vectores con distinta dirección forman una base porque son L. Indep. (≠dirección) y cualquier otro vector se puede expresar como C.L. de ellos (sólo 2 dimensiones).

Una base es ortonormal si todos sus vectores son unitarios (módulo 1) y perpendiculares dos a dos. La base B {i,j}

r r

= del plano es una base ortonormal.

Llamamos coordenadas de un vector libre respecto de una base, a los coeficientes de la CL que permite expresar ese vector en esa base. Así, si v 4i 3j

r r v

+

= ⇒ vv=(4,3)B

Un sistema de referencia en el plano: es la terna formada por un punto (origen) y dos vectores de distinta dirección (base). Dado R {O,i,j}

r r

= , llamamos vector de posición del punto

A al vector OA. Llamamos coordenadas de un punto a las de su vector de posición. Las coordenadas de un vector en función de su origen y extremo son AB=br−ar (extremo menos origen). Coordenadas del punto medio y del baricentro: M=(A+B)/2 , G=(A+B+C)/3.

Si B es ortonormal y vr= (a, b)B, el módulo en coordenadas es:

2 2 b a | v |r = + . Suma en coordenadas: (v1,v2)+(w1,w2) = (v1+w1, v2+w2)

Producto por un nº real en coordenadas: k·(v1,v2) = (k·v1,k· v2) 2. PRODUCTO ESCALAR

El producto escalar de dos vectores no nulos, ur y vv, es el nº real: ur·vr=|ur|·|vr|·cos(ur,vr) . Si uno

de los vectores es nulo, el producto escalar es 0.

Geométricamente, el producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por el módulo de la proyección del otro sobre él: ur·vr=|ur|·

(

±|proyvr/ur|

)

PROPIEDADES:

1. Conmutativa: ur·vv = vv·ur (el P.E. es simétrico)

2. Asociativa mixta (homogénea): a·( ur· vv)= (a· ur) · vv= ur·(a· vv)

3. Distributiva respecto de la suma: ur·( vv+wr)= ur· vv+ ur· wr

4. ur⊥vv ⇒ ur· vv= 0

5. urII vv ⇒ ur·vv= ±|ur|· |vv|. Luego: ur· ur=| ur|2≥0

Ángulo formado por dos vectores:

| v || u | v · u ) v , u cos( r r r r r r = Expresión analítica del producto escalar: a·b=a1b1+a2b2

r r

3. ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO 1. Si A=(a1,a2)∈r y v

v

II r, otro punto cualquiera de r, P=(x,y) verificará: AP=λvr ⇒ OP=OA+λvr ⇒ v

a

pr=r+λr Ecuación vectorial de la recta. En coordenadas: (x,y) = (a1,a2) + λ (v1,v2) 2. Operando en la ec. vectorial y despejando:

   λ + = λ + = 2 2 1 1 v a y v a x Ecuaciones paramétricas 3. Despejando e igualando λ: 2 2 1 1 v a y v a x− ₌ − Ecuación continua

4. Operando y llamando A= v2, B= - v1, C=…, queda: Ax + By + C =0 Ecuación general. El vector

) B , A (

nr= es perpendicular a la recta, pues nr·vr=0

5. Despejando “y” en la ecuación general, y llamando m=-A/B, n=-C/B: y = mx+n Ec. explícita

6. En la ec. vectorial, y llamando m = v2 /v1 se obtiene: y-a2 = m(x-a1) Ec. punto-pendiente 7. Si la recta corta a los ejes en A=(a,0) y en B=(0,b), se verifica: 1

b y a x = + Ec. canónica

8. Si A∈r y nr⊥ r, se verifica: rn·(rp−ar)=0 Ecuación normal. En coordenadas: A(x-a1)+B(x-a2)=0 4. ÁNGULO DE DOS RECTAS. POSICIÓN RELATIVA

Si r: y = mx + n ó Ax + By + C = 0 , y s: y = m’x + n’ ó A’x + B’y + C’ = 0, entonces:

r II s ⇔ m r = m s ⇔ vr kvs r r = ⇔ nr_r=knr_s ⇔ ' B B ' A A ₌ Posición relativa:

El ángulo formado por dos rectas no paralelas es el menor de los ángulos que determinan.

Se verifica: ... | v || v | | v · v | | ) n , n cos( | | ) v , v cos( | ) s , r cos( s r s r s r s r = = = = r r r r r r r r

Dos rectas son perpendiculares si lo son sus vectores del mismo tipo, es decir:

r⊥s ⇔ vr vs r r ⊥ ⇔ nr ns r r ⊥ También: r ⊥ s ⇔ vr·vs =0 r r ⇔ nr·ns=0 r r ⇔ m r · m s = -1 5. DISTANCIAS EN EL PLANO

La distancia entre dos puntos es el módulo del vector que va de uno a otro, es decir: 2 2 2 2 1 1 a ) (b a ) b ( | AB | ) B , A ( d = = − + −

La distancia entre un punto y una recta es la distancia entre el punto y su proyección ortogonal sobre la recta: d(A,r)=|AA₀|. Si A= (a1,a2) y r ≡ Ax + By + C = 0, se verifica que:

2 2 2 1 B A | C a · B a · A | ) r , A ( d + + + =

Ec. Explícita Ec. General

Secantes m ≠ m’ ' B B ' A A ≠ Paralelas m = m’ n ≠ n’ C' C ' B B ' A A _{= ≠} Coincidentes m = m’ n = n’ C' C ' B B ' A A _{= =}

EJERCICIOS

1.- Los puntos (2, 3), (-5, 7) y (4, -1) son vértices consecutivos de un paralelogramo. Calcula el cuarto vértice.

Sol: (11, -5) 2.- Los puntos (2 , 6) , (5 , 8) y (8 , x) están alineados. Calcula x.

Sol: 10 3.- Expresa el vector (7, 0) como una combinación lineal de los vectores (2, 3) y (-3, 6).

Sol: 2a-b 4.- En una base ortonormal ar = (2, 3), br= (-1, 4) y cr = (-6, 4). Calcula:

a) |ar| , |br| y |cr| b) a b r r ⋅ , ar⋅cr y b cr r ⋅ c) Un vector normal a b r d) cos (ar,b r ) y cos(ar,cr) Sol: a) 13, 17, 52; b)10, 0, 22; c) (a , 4a); d) 13 17 10 ⋅ , 0

5.- Si ar y br son vectores de módulo unidad, demuestra que entonces ( ar+ br) y ( ar- br) son perpendiculares.

6.- Sean los vectores ar = (6, x) y br= (y, 9). Calcula x e y si son perpendiculares y el módulo de

a r

es 10.

Sol: x = 8, y = -12 7.- Los puntos (1 , 3), (4 , 6) y (x , 8) son vértices consecutivos de un rectángulo. Calcula x.

Sol: 2 8.- Dados los vectores ar = (7, 4) y b

r

= (4, x). Calcula x para que ar y b r

sean: a) Paralelos b) Perpendiculares

9.- Calcula la proyección ortogonal de ar = (1, 3) sobre br = (-2, 7)

Sol:

53 19

10.- Calcula el área del triángulo formado por (2 , 3), (4 , 6) y (7 , 4)

Sol:

2 13

11.- Halla las ecuaciones paramétricas y general de las siguientes rectas: a) Pasa por A (1, -3) y tiene por vector director el (2, -2)

b) Pasa por los puntos A (2, -5) y B (-2,-1)

c) Pasa por A (3, -2) y su pendiente es -2

d) Pasa por el origen y forma 60º con OX

12.- Dada la recta 3x + 4y - 6 = 0 escribe las ecuaciones paramétricas, continua y explícita de la misma. Sol: 3 y 4 2 x = − −

13.- Dada la recta ax – 3y + 9 = 0 calcula el valor de a para que: a) Pase por el punto (3, 1)

b) Tenga pendiente -2

c) (6, -4) sea su vector director. d) Sea paralela a la recta 2x – y = 0

Sol: a) -2, b) -6, c) -2, d) 6 14.- Dadas las rectas r: -2x + y +3 = 0 y s: x – 2y –3 = 0. Determina la ecuación de la recta que

pasa por su punto de corte y cuya pendiente es –3.

Sol: y = -3x + 2

15.- Dadas las rectas r: 2x – 3y + 8 = 0    λ + − = λ + = k 1 y 2 3 x

calcula k para que r y s sean:

a) Paralelas b) Perpendiculares

Sol: a)

3 4

b) -3

16.- Calcula la perpendicular y la paralela a las siguientes rectas en el punto que se indica: a) 2x – 5y +10 = 0 en A(0, 0) b) y = -x + 3 en B(-2, -2) c) 2 1 y 3 2 x− ₌− − en C(2, -1) Sol: a) 5x + 2y = 0, 2x – 5y = 0, b) x – y = 0, x + y + 4 = 0, c) 3x – 2y – 4 = 0, 2x + 3y – 7 = 0 17.- Estudia la posición relativa de las siguientes rectas:

a) 3x – y + 1 = 0 y 6x –2y + 7 = 0 b) y = x y (x, y) = (1 , 2) + λ (3 , -3) c) y 4 3 2 x+ _{= −} y    λ − = λ − = 4 2 y 2 1 x

Sol: a) paralelas, b) perpendiculares c) secantes no perpendiculares 18.- Calcula la distancia entre la recta r: 3x + 2y – 5 = 0 a:

a) El origen de coordenadas b) El punto A (-5, 2)

19.- Sean los puntos A (2, 2) , B (5, 6) y C (-2, 5). Estudia que tipo de triángulo forman, calcula la altura desde el vértice A y calcula su área.

Sol: Isósceles y rectángulo, su área es

2 25

20.- Dados los puntos A (-1, 3) y B (3, -1), calcula un punto de la recta r: x + 3y +7 = 0 que equidiste de A y B. Sol:       ₋ 2 5 , 2 1

21.- De todas las rectas que pasan por el punto A (-2 , 1) halla las que distan una unidad del origen.

Sol: y = 1, 4x + 3y + 5 = 0 22.- Escribe las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (-3 , 4) y forman un ángulo de

45º y 135º con el eje OX

Sol: y = x +3, y = -x + 5 23.- A (0 , 0) , B (6 , 0) y C (4 , 4) son los vértices de un triángulo. Calcula:

a) La mediatriz del lado AB

b) La mediana desde el lado BC

c) Las coordenadas del ortocentro d) Las coordenadas del baricentro

Sol: a) x = 3, b) 2x – 5y = 0, c) (4 , 2), d)       3 4 , 3 10

24.- Calcula el área del cuadrado de vértices consecutivos A (2, -6), B (3 , 2) y C (-5 , 1)

Sol: 65 25.- Los puntos A (3 , 5) y B (7 , 1) son vértices consecutivos del rectángulo ABCD. El vértice C

está en la bisectriz del cuarto cuadrante. Halla C y D y calcula el área del rectángulo.

5: CÓNICAS

1. CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es el L. G. de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado centro. La distancia de un punto cualquiera de la circunferencia al centro se llama radio, R.

Ecuaciones:

- Si el centro es O =(0, 0): x2 +y2 =R2 Ec. Reducida ó Canónica - Ec. Centro-Radio: (x−a)2 +(y−b)2 =R2

- Ec. General: x2 +y2+mx+ny+p=0

Potencia del punto P respecto de la circunferencia F : PotF(P)=PA·PB=±PA⋅PB

Eligiendo la secante que pasa por el centro de la circunferencia: y llamando d a la distancia de

P a dicho centro: 2 2 F(P) (d R) (d R) d R Pot = − ⋅ + = − = (xo-a) 2 + (yo-b) 2 - R2 = xo 2 + yo 2 + mx + ny + p Posiciones relativas de un punto y una circunferencia:

- Si P es exterior a la circunferencia F (d >R) ⇒ Pot F (P) > 0 - Si P es interior a la circunferencia F (d <R) ⇒ Pot F (P) < 0 - Si P pertenece a la circunferencia F (d =R)⇒ Pot F (P) = 0

El eje radical de dos circunferencias es el L. G. de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto de ambas circunferencias: (m-m’) x + (n-n’) y + p-p’= 0.

2. ELIPSE

La elipse es el L. G. de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos), es constante.

Elementos: eje focal (recta rFF’) y distancia focal (2c); eje secundario (mediatriz de FF’); vértices (A, A’, B y B’), eje mayor (2a) y eje menor (2b); centro de la elipse, C.

Relación fundamental: a2 =b2+c2 (siempre: a > b, c) ECUACIONES:

- Si el centro de la elipse es el origen y el eje focal OX: 1 b y a x 2 2 2 2 =

+ Ec. reducida con orientación OX

- Si el centro es el origen pero el eje focal es OY: 1 a y b x 2 2 2 2 =

+ , Ec. reducida con orientación OY

- Si C=(xo, yo) y el eje focal es paralelo a OX: 1

b ) y y ( a ) x x ( 2 2 0 2 2 0 + − = −

, Ec. centro-semiejes con or. OX

- Análogamente, con orientación OY: 1

a ) y y ( b ) x x ( 2 2 0 2 2 0 + − = −

, Ec. centro-semiejes con or. OY. - La ecuación general (or. OX ó OY) es: Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, con sig(A) = sig(B)

La excentricidad de una elipse es cociente entre la semidistancia focal y el semieje mayor:

B P A’ F’ C F A B’ y P(x,y) R O x

R

F’

C

F

C=(a,b) R F’ C F

3. HIPÉRBOLA

La hipérbola es el L. G. de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Elementos: eje focal (pasa por F y F’) y distancia focal (2c); eje secundario (mediatriz de FF’); vértices (cortes con el eje focal, A y A’), eje real (2a) y eje imaginario (2b); centro de la elipse, C.

Relación fundamental: c2 =a2+b2 (siempre: c > a , b) ECUACIONES:

- Si el centro es el origen y el eje focal es OX: 1 b y a x 2 2 2 2 =

− Ec. reducida con orientación OX

- Si el centro es el origen pero el eje focal es OY: 1 b x a y 2 2 2 2 =

− Ec. reducida con orientación OY

- Si C=(xo, yo) y el eje focal es paralelo a OX: 1

b ) y y ( a ) x x ( 2 2 0 2 2 0 − − = −

Ec. centro-semiejes con or. OX

- Análogamente, con orientación OY: 1

b ) x x ( a ) y y ( 2 2 0 2 2 0 ₋ − ₌ −

Ec. centro-semiejes con or. OY. - La ecuación general (or. OX ó OY) es: Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, con sig(A) ≠ sig(B)

La excentricidad de una hipérbola es cociente entre la semidistancia focal y el semieje real:

a c

e= Como 0< a < c, se verifica que e >1.

Si el centro en el origen y la orientación es OX, las asíntotas son: x a b y=± . Si la orientación es OY serán: x b a y=± . Y si está desplazada: (x x ) a b ) y y ( − ₀ =± − ₀ ó ...

La hipérbola se llama equilátera cuando a = b. Si el centro es el origen y tiene orientación OX,

su ecuación será 1 a y a x 2 2 2 2 =

− ⇒ x2−y2 =a2, sus asíntotas y = ± x y su excentricidad e= 2. 4. PARÁBOLA

La parábola es el L.G. de los puntos del plano que equidistan de una recta, llamada directriz, y de un punto, llamado foco.

Elementos: parámetro (distancia del foco a la directriz), eje (perpendicular a la directriz pasando por el foco) y vértice (corte de la parábola con su eje).

ECUACIONES:

- Si el vértice es el origen, el eje de OX y las ramas están dirigidas hacia la derecha: y2 = 2p x ec. reducida con or. OX +.

- Si las ramas están hacia la izquierda: y2 = -2p x→ec. reducida con or. OX -

- Si el vértice es V = (xo, yo) y el eje es paralelo a OX: (y-yo) 2

= ± 2p (x-xo) →ec. con or. OX - Si el vértice es O = (0, 0) y el eje es paralelo a OY: x2 = ±2p y→ ec. reducida con or. OY

- Si el vértice es V = (xo, yo) y el eje es paralelo a OY: (x-xo) 2

= ± 2p (y-yo) →ec. con or. OY

2 2 P V e F d P F’ A’ C A F

EJERCICIOS

1.- Calcula el lugar geométrico de los puntos que equidistan de A (12, 8) y el centro de coordenadas.

Sol: 3x + 2y – 26 = 0

2.- Calcula el lugar geométrico de los puntos que equidistan de 4x + 3y – 4 = 0 y de 3x + 4y + 6 = 0 Sol: x + y = 10 7x + 7y = -2

3.- Calcula el lugar geométrico de los puntos que equidistan de la recta y = 6 y del punto A (3, 4) Sol: x2−6x+4y−11=0

4.- Calcula el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los ejes de coordenadas es 12.

Sol: |x| + |y| = 12 5.- Calcula el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a (0, 3) y a (0, -3) es 10.

Sol: 1 25 y 16 x2 2 = +

6.- Escribe la ecuación del lugar geométrico de los puntos que distan 7 unidades del punto (-3, 4)

Sol. x2+y2+6x−8y−24=0 7.- Calcula el centro y el radio de las siguientes circunferencias:

a) x2+y2−4=0

b) x2+y2−6x=0

c) x2+y2−10y=0

d) x2+y2−6x+6y=0

Sol: a) (0 , 0) R=2, b) (3 , 0) R=3 c) (0 , 5) R=5 d) (3 , -3) R= 18 8.- Escribe la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a (-11, 2) y

(13, 2) es 20. Sol:

(

) (

)

1 64 2 y 100 1 x− 2 ₊ − 2 ₌

9.- Escribe la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a (4, 0) y a

(4, 8) es 10. Sol:

(

) (

)

1 25 4 y 9 4 x− 2 ₊ − 2 ₌

11.- Calcula los focos, semiejes y excentricidad de las siguientes elipses: a) x2+4y2−4=0

b) 9x2+y2−9=0

c) 3x2 +2y2−6=0

Sol: a)

(

± 3,0

)

, b)

(

0,± 8

)

, c) (0, ±1) 12.- Escribe la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya resta de distancias a (0, -5) y a

(0, 5) es 6. Sol: 1 16 x 9 y2 2 = +

13.- Escribe la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya resta de distancias a (-3, 5) y a

(23, 5) es 24. Sol:

(

) (

)

1 25 5 y 144 10 x 2 2 = − − −

14.- Calcula los focos y las asíntotas de las siguientes hipérbolas: a) 9x2−16y2−36x−108=0

b) 16x2−9y2−64x−80=0

c) −16x2+9y2+64x−208=0

Sol: a) (7 , 0), (-3 , 0), b) (5 , 0), (-1 ,0), c) (2 , 5), (2 , -5) 15.- Calcula focos y asíntotas de la hipérbola 9x2−16y2−54x−64y−127=0

Sol: focos (8 , -2) y (-2 , -2) 16.- Escribe la ecuación de un hipérbola equilátera cuyos focos se encuentran en (4, 4) y (-4, -4)

Sol: x · y = 16 17.- Calcula los focos de la hipérbola x⋅y=−6

Sol:

(

± 3 m, 3

)

18.- Escribe el lugar geométrico de los puntos que equidistan de la recta x = 2 y del punto (4 , 0).

Sol: y2−4x+12=0

19.- Calcula el foco y la directriz de las siguientes parábolas: a) 2 x y= b) 4x2−24x−4y+9=0 c) y2+4y−4x+16=0 d) y2+4y+4x−8=0 Sol: a) (-1/2, 0), y = -1/2, b) (1, 3), y = -1, c) (4, -2), x = 2, d) (2, -2), x = 4 20.- Calcula la ecuación de la tangente a la parábola y=x2−3x+5 _en

2 x0 =

21.- Calcula los puntos en los que la circunferencia x2+y2=40

con los siguientes elementos: a) x – 2y +2 = 0 b) 9x2+16y2=25

c) x2−25y2=25

d) x · y = 20 Sol: a) (3,6 , 5,2) y (10 , 18), b) no hay intersección c) (

26 15 40± , 26 15 ) d) (20±10 2 , 20±10 2)

22.- Escribe la ecuación de la circunferencia tangente a los ejes y que pasa por el punto (-3, 6)

Sol: x2+y2+6x−6y+9=0

23.- Calcula la ecuación de la tangente a x2+y2−4x−6y−12=0 en el punto (5, 7) y en el punto

(-1, 7)

Sol: 4x - 3y + 41 = 0, 4x + 3y + 25 = 0 24.- Sea x · y = 32. Calcula la secante que pasa por los puntos de OX x1=1 y x2 =2. Escribe

las ecuaciones de las tangentes paralelas a dicha secante.

Sol: 16x + y – 48 = 0, 16x+y−32 2=0, 16x+y+32 2=0

25.- Calcula las ecuaciones de las tangentes trazadas a x2+y2=25 _{desde el punto}

A(8 , 0). Sol:

39 5

m=± , los puntos son _

      ± 8 39 5 , 8 25

26.- Escribe la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas, el punto (0 , 6) y el punto (4 , 0).

Sol: x2+y2−4x−6y=0

27.- Una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje de ordenadas pasa por los puntos (2, 0), (6, 0) y (0, 6). Escribe su ecuación.

Sol: x 4x 6 2

1

6: FUNCIONES

1. DEFINICIÓN. DOMINIO Y RECORRIDO

Si A, B son subconjuntos de IR la función f: A → B se llama función real de variable real. Dominio de una función es el conjunto original A de la aplicación, es decir, los elementos x

que tienen imagen y = f(x): Dom f(x) = {x / ∃ y = f(x)}.

Restricciones al Dominio Máximo: cocientes, raíces, funciones logarítmicas y algunas funciones trigonométricas.

Así, el Dominio Máximo de una función polinómica es IR, el D.M. de una función racional son los valores de x que no anulan el denominador y el D.M. de una función irracional es IR (si el índice es impar) o los valores que hacen el radicando no negativo (si el índice es par). Para calcular el D.M. de una función definida a trozos se unen los diferentes subconjuntos para los que está definida.

Recorrido de una función es el conjunto imagen de la aplicación, es decir, el subconjunto de todos los elementos de B que tienen antiimagen x=f-1(y):

Rec f(x) = {y / ∃ x є Dom f(x) con f(x) = y }

Gráficamente, el dominio y el recorrido se obtienen por proyección sobre los ejes de abscisas y ordenadas respectivamente.

Una función se dice que está definida a trozos si aplica diferentes fórmulas a distintas partes de su dominio. Para calcular su dominio, se unen los diferentes subconjuntos para los que está definida.

2. CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN Signo de una función

Para determinar los intervalos de signo constante es preciso hallar los ceros de la función -posibles cambios de signo- y los puntos donde la función no está definida, y probar en cada intervalo (como se hacía en las inecuaciones).

Monotonía

Una función es estrictamente creciente en un intervalo si para todo par de valores del intervalo la imagen del pequeño es menor que la imagen del grande:

f(x) E. Creciente en [a,b] ⇔ ∀ x,x’ є [a,b], con x<x’ ⇒ f(x) < f(x’)

Análogamente: f(x) E. Decreciente en [a,b] ⇔ ∀ x,x’ є [a,b], con x<x’ ⇒ f(x) > f(x’) f(x) (Simplemente) Creciente en [a,b] ⇔ ∀ x,x’ є [a,b], con x<x’ ⇒ f(x) ≤ f(x’) f(x) (Simplemente) Decreciente en [a,b] ⇔ ∀ x,x’ є [a,b], con x<x’ ⇒ f(x) ≥ f(x’)

Acotación

Una fon está acotada superiormente si existe un nº real k mayor o igual que todas las imágenes de la fon (k es una cota superior de f ):

f acotada superiormente ⇔ ∃ k∈ IR / f(x) ≤ k ∀ x∈ Dom(f)

Análogamente: f acotada inferiormente ⇔ ∃ k∈ IR / f(x) ≥ k ∀ x∈ Dom(f)

Se dice que una función está acotada, únicamente cuando lo está superior e inferiormente. En este caso se cumple: f acotada ⇔∃ k∈ IR+ / | f(x)| ≤≤≤≤ k ∀ x∈ Dom(f) . El número k será una cota superior y el nº - k una cota inferior.

Las cotas no son únicas sino infinitas: la cota superior mínima, si existe, se llama supremo; y la cota inferior máxima, si existe, ínfimo.

Simetrías

- Una fon es par si asigna la misma imagen a valores opuestos de la variable independiente:

f par ⇔ f(-x) = f(x) ∀ x∈Dom(f)

La gráfica de la función es simétrica respecto del eje de ordenadas.

- Una fon es impar si asigna imágenes opuestas a valores opuestos de la var. independiente:

f impar ⇔ f(-x) = - f(x) ∀ x∈Dom(f)

La gráfica de la función es simétrica respecto del origen de coordenadas. Periodicidad

Una fonf es periódica si existe T > 0 tal que f(x+ T) = f(x) para todo x∈ Dom(f). Al menor T

con esa propiedad se le llama periodo.

Gráficamente, la función se repite cada cierto intervalo de amplitud T.

3. OPERACIONES

Suma y diferencia: (f+g)(x) = f(x) + g(x) , donde Dom (f+g) = Dom f ∩ Dom g

(f-g)(x) = f(x) - g(x) , donde Dom (f-g) = Dom f ∩ Dom g

Producto por un nº real: (a·f)(x)= a · f(x) , donde Dom(a ·.f) = Dom f

Producto: (f·g)(x) = f(x) · g(x) , donde Dom (f·g) = Dom f ∩ Dom g

Cociente: (f / g)(x) = f(x) / g(x) , donde Dom (f / g) = (Dom f ∩ Dom g) – {x∈Dom g | g(x)=0 }

Composición: La función compuesta de f y g, g of , se obtiene aplicando g a la imágenes de f:

[ ]

f(x) (g f)(x) g ) x ( f x→f →g = o

El dominio es: Dom(g o )= Dom f f ∩ f--1 (Dom g) = Dom f – {x ∈ Dom f / f(x) ∉ Dom g}

Dada un función inyectiva f(x), se denomina función inversa, f -1(x), a la que compuesta con ella da la función identidad: (f−1of)(x) = (f of−1)(x) = x

EJERCICIOS

1. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

a) f

( )

x =5x4+4x3+3x+2 b)

( )

2 x 6 x 2 1 x x f + + − = c) f

( )

x = 3x+12 d) f

( )

x = 12−3x

2. Calcula el dominio de las siguientes funciones: a)

( )

4 x 8 x x f ₂ − + = b)

( )

8 x 4 x x f 2 − − = c)

( )

6 x 9 x x f 2 + − = d)

( )

₂ 2 x 25 9 x x f − − = Sol: a) [-8, -2) ∪ (-2, 2) ∪ (2, ∞), b) (-8, ∞), c) (-∞, 3) ∪ (3, 6) ∪ (6, ∞), d) (-∞, -5) ∪ (-5, -3) ∪ (-3, 5) ∪ (5, ∞) 3. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

a)

( )

12 x 2 3 x x f − + = b) f

( )

x = x2 +5x+7 c) f

( )

x = x2 +3x−10 d)

( )

x 4 x 4 x x f ₂ 2 − − = Sol: a) (-∞, -3] ∪ (6, ∞), b) R, c) (-∞, -5] ∪ [2, ∞), d) (-∞, -2] ∪ (0, 2] ∪ (4, ∞) 4. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

a) f

( ) (

x =ln x+5

)

b)

( )

8 x x ln x f 2 − = c)

( )

(

)

2 x x 36 ln x f 2 + − = d)

( )

₍

₎

8 x 6 x ln 1 x 2 x x f ₂ 2 + − + + = Sol: a) (-5, ∞), b) (8, ∞), c) (-6, -2) ∪ (-2, 6), d) (-∞, 2) ∪ (4, ∞) 5. Averigua el recorrido de las siguientes funciones ayudándote de su representación gráfica:

a) f(x)=−x2 +3x−2 b) f(x)= x+4 c) f(x)= x2 +x−6 d)    > − ≤ + = 3 x si 7 x 3 x si 1 x f(x) ₂ Sol: a) (-∞,1/4], b) [0, ∞), c) [0, ∞), d) [0, ∞) 6. Estudia el signo de las siguientes funciones:

a) f(x)=−x3 +2x2 +3x b) 1 x 3 -f(x) ₂ − =

Sol: a) es + en (-∞, 1)∪(0, 3) y – en (-1, 0)∪(3, ∞);b) es + en(-1, 1)y - en (-∞, -1) ∪(1, ∞) 7. Representa las siguientes funciones:

a) f

( )

x =x2+2x−3 _b)

( )

4 x x f = 2− c) f

( )

x =−2x2+2x+12 d) f

( )

x =−x2−1

8. Representa el valor absoluto de las funciones del ejercicio 6. 9. Representa las siguientes funciones:

a)

( )

   > ≤ + = 3 x 5 3 x 2 x x f b)

( )

   ≥ − < + − = 2 x 2 x 2 x 4 x x f ₂ c)

( )

   > + − ≤ + − = 2 x 8 x 6 x 2 x 4 x x f ₂ 2 d)

( )

   > ≤ + = 0 x 0 0 x 2 x x f 2

10. Representa las siguientes funciones:

a)

( )

       ≤ − < < − ≤ − = x 3 2 5 x 3 x 2 1 2 x x 2 3 x f b)

( )

       ≤ < < ≤ − = x 4 2 4 x 0 x 0 x 3 x x f c)

( )

       ≤ < < − + − − ≤ + = x 1 x 1 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x x f 2 d)

( )

   > + ≤ − = 2 x 1 x 2 x x 9 x f 2 2

11. Calcula el dominio y el recorrido de las funciones que has representado en los ejercicios 9 y 10.

12. Estudia la simetría de las funciones: a) 1 x x f(x) 2 + = b) f(x)=x3+x−1 c) f(x)= x +x2

Sol: a) y b) no son pares ni impares, c) es par

13. Sean 1 x 1 ) x ( f − = y 1 x 1 x ) x ( g + − = calcula: a) (f +g)(x) b) (f⋅g)(x) c) (x) f g_      d) (x) g f       Sol: a) 1 x 2 x x 2 2 − + − _{, b)} 1 x 1 x 2− − _{, c)}

(

)

2 1 x 1 x − + _{, d)}

(

)

1 x 1 x 2 + −

14. Calcula el dominio de las cuatro funciones que has obtenido en el ejercicio anterior.

Sol: a) R-{-1, 1}, b) R-{-1, 1}, c) R-{1}, d) R-{-1} 15. Sean 1 x 1 ) x ( f − = y 1 x 1 x ) x ( g + − = calcula: a) b) c) d)

16. Dadas las funciones x 1 ) x ( f = , g(x)=x+5 y 2 x ) x ( h = escribe la función 5 x 1 ) x ( t = ₂ + como

resultado de una composición de las tres.

17. Expresa f(x)= 3x2 +2

como composición de tres funciones.

18. Estudia si las siguientes funciones son inyectivas:

a) f(x)=4x−6 b) f(x)=2x2−6x+4 c) 4 x 2 2 x ) x ( f − + = d)       + = 5 8 x 2 ln ) x ( f Sol: a) sí, b) no, c) sí, d) sí 19. Calcula la inversa por la composición de las siguientes funciones:

a) f(x)=4x−6 b) 4 x 2 2 x ) x ( f − + = c)       + = 5 8 x 2 ln ) x ( f d) 2x1 e ) x ( f = + Sol: a) 4 6 x+ _{, b)} x 2 1 2 x 4 − + − , c) 2 8 e 5 x− , d) 2 1 x ln −

20. Comprueba los resultados obtenidos en el ejercicio 19. 21. Define las siguientes funciones:

a) El volumen de un cono de altura 4 en función de su generatriz. b) El área total de un cilindro de radio 3 en función de su altura.

c) El volumen de un cono inscrito en una esfera de radio 4 en función de su altura. d) El volumen de un cilindro de área lateral 20 en función de su radio.

Sol: a)

(

)

3 16 g 4π 2− , b) 6π(3+h), c)

(

)

3 h h 8 2− 3 π _{, d) 10 r}

22. Un rectángulo mide 8 dm de largo y 4 dm de ancho. De cada esquina se recorta un cuadrado de lado x con el fin de hacer una caja sin tapa. Calcula el volumen de la caja en función de x.

Sol: V(x)= 4x3

-24x2+32x

23. ¿Son iguales las funciones f(x)=x+2 y

2 x 4 x g(x) 2 − −

= ? ¿Por qué? Represéntalas gráficamente.

7: LÍMITE Y CONTINUIDAD

1. LÍMITES DE SUCESIONES Sucesión convergente: Líman L n→∞ = ⇔ ∀ε >0 ∃ no∈IN* / n > no ⇒ |an-L| < ε Sucesión divergente: =±∞ ∞ → n n a Lím ⇔ ∀ k∈IR ∃ no∈IN* / n > no ⇒ an >k (ó an <k) Las sucesiones que no son convergentes ni divergentes se llaman oscilantes. OPERACIONES con ∞∞∞∞, 0 y a∈IR* (regla de los signos como en el álgebra real):

SUMA PRODUCTO COCIENTE POTENCIA

CERO 0 + 0 = 0 a + 0 = a 0 · 0 = 0 a · 0 = 0 a 0 = 0 0 0 = ? 0+a = 0 1 a0 = 0 0 = ? INFINITO ∞ + ∞ = ∞ ∞ + a = ∞ ∞ - ∞ = ? a · ∞ = ∞ ∞ · ∞ = ∞ ∞ = ∞ a ∞ ∞ = ? (+∞) +a = +∞; (+∞) +∞ = +∞    < < > ∞ + = + +∞ 1 a 0 si 0 1 a si ) a ( ∞ 1 = ? CERO E INFINITO 0 + ∞ = ∞ 0 · ∞ = ? 0 a = ∞ , 0=∞ a 0 0 = ∞ , =∞ ∞ 0 0+∞ = 0 0 ∞ = ? INDETERMINACIONES: ∞ - ∞ , 0 · ∞ , 0 0 , ∞ ∞ _{, 0} o , ∞o, 1∞ .

Sucesión polinómica: el límite es +∞ ó -∞ (sucesión divergente).

Sucesión racional (Indet.∞/∞): se dividen N y D por la mayor potencia de n que aparezca (en el denominador). Será divergente cuando gr.N > gr.D; tiene límite cero si gr.N < gr.D; y tiene por límite el cociente de los coeficientes principales cuando gr.N = gr.D

Sucesión irracional: si el término general es la raíz de un polinomio, la sucesión es divergente. Si el término general es un cociente de radicales polinómicos, se procede como en el caso de cociente de polinomios. Si el término general es la suma o diferencia de dos radicales polinómicos y aparece la indeterminación ∞-∞, se resuelve: 1º comparando los grados de los términos principales; 2º comparando los coeficientes de dichos términos principales (cuando sean del mismo grado); 3º multiplicando y dividiendo por la expresión irracional conjugada.

Sucesión potencial-exponencial: si aparece la indeterminación 1∞ se resuelve por el nº e.

2. LÍMITES DE FUNCIONES

Límite finito de una función en el infinito: Límf(x) L

x→+∞ = ó xLím→−∞f(x)=L. En ambos casos diremos que la recta y =L es una asíntota horizontal de la función.

Límite finito en un punto finito: a x

lim

→ f(x) = L ⇔ ∀ε>0, ∃δ>0 / 0< |x - a| <δ ⇒ |f(x) - L| < ε.

Límite infinito en un punto finito: =+∞

→ f(x)

Lím

a

x ó xlim→a f(x) = -∞. En ambos casos diremos que la recta x = a es una asíntota vertical de la función.

- Para calcular los límites en un punto finito se sustituye x por a en la expresión de f(x) y se opera. Si al operar da cero en el denominador, los límites laterales son infinitos y hay que mirarles el signo: podría no haber límite en el sentido general y, en todo caso, la recta x = a es una asíntota vertical. Si da cero en el numerador y en el denominador, se dividen ambos entre x-a, y se repite el proceso. Si es una función definida a trozos, en los puntos de corte de la definición hay que calcular los límites laterales y comprobar si coinciden.

3. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON LÍMITES

4. CONTINUIDAD

f(x) es continua en a ⇔ limf(x) f(a)

a

x→ = Luego debe cumplir: 1. Existe f(a). 2. Existe limf(x) a x→ 3. limf(x) f(a) a x→ =

La suma, diferencia y producto de funciones continuas es otra función continua. Consecuentemente, las funciones polinómicas son continuas en IR.

El cociente de dos funciones continuas es una función continua allí donde no se anule el denominador. Consecuentemente, las funciones racionales son continuas en su dominio.

Las funciones compuestas son continuas en su dominio.

Las funciones exponencial, logarítmica, seno y coseno son continuas.

Clasificación de discontinuidades:

EVITABLE (FINITA) L

-, L+∈ IR L- = L+

DISCONTINUIDADES DE SALTO (FINITO) L

-, L+∈ IR L-≠ L+ ASINTÓTICA L- ó/y L+ = ±∞ [ En la tabla: L limf(x) a x -− → = y L limf(x) a x→+ + _{= ]}

lim k = k lim (k·f) = k · lim f lim (f ± g) = lim f ± lim g lim (f·g) = lim f · lim g

g lim f lim g f lim _=     

, si lim g≠0 lim e f = e lim f lim f g = (lim f) lim g lim (log f) = log (lim f) lim (sen f) = sen (lim f)

EJERCICIOS

1. Escribe el término general de las siguientes sucesiones: a)       = ,.... 2 25 , 11 , 2 19 , 8 , 2 13 , 5 an b) an =

{

192,96,48,24,12....

}

c)       = ... 17 39 , 13 28 , 10 19 , 7 12 , 4 7 , 4 a_n d) a_n =

{

0,7,−26,63,−124...

}

Sol: a) 2 7 n 3 + _{, b)} 7 n 2 3 − , c) 2 n 3 3 n2 − + _{, d)}

_{( )}

_n3−₁

_{( )}

−₁n

2. Calcula cuántos términos de la sucesión

4 n 1 n 3 a_n + +

= quedan fuera de un entorno centrado en su límite y de radio 0,011.

Sol: 996

3. Calcula cuántos términos de la sucesión

( )

1 n 1 a ₂ n n ₊ −

= están fuera de un entorno centrado en cero y de radio 0,005.

Sol: 15

4. Dadas las sucesiones

1 n n 2 n 3 a ₃ 3 n ₊ + = , 2 2 n n 5 2 n 5 b − + = y n 1 1 n 2 c 2 n ₋ + = calcula: a) lim

(

an +cn

)

b) lim

(

an ⋅bn

)

c)       n n c b lim d) _      n n b a lim Sol: a) -∞, b) -15, c) 0, d) -3/5 5. Calcula los siguientes límites:

a) 3 n n 2 n 5 lim ₂ 2 − + b) 3 n n 4 n lim ₂ 2 3 + + c) 3 n n 2 n 5 lim ₂ 2 − + d) 3 3 2 5 n 3 n 8 7 n 16 lim + + + Sol: a) 5, b) 0, c) 0, d) 2 6. Calcula el límite de las siguientes sucesiones:

a) a 4n2 2 4n2 8n 4 n = + − − − b) n 3 n 2 n 2 1 a 2 2 n + − = c)

(

)

n 2 n 6 3 n 6 a 2 n + − + = d) n 3 n n 36 1 n 6 a 2 2 n + − + = Sol: a) 2, b) 3 2 2 − , c) -∞, d) 0

7. Calcula el límite de las siguientes sucesiones: a) 2 n 3 n 3 n 2 1 n 2 a +       − + = b) 1 n 2 2 2 n 2 3 n 3 n 2 n a +       − + + = c) 1 n 2 2 n 3 n 2 3 n 4 a −         − + = d) 2 n 5 n 3 n 3 1 n 2 a +       − + = Sol: a) e6, b) ∞, c) e-3, d) 0 8. Calcula los siguientes límites:

a) lim

(

x2 8x 3

)

x→∞ − + b) lim

(

x 4x 5

)

2 3 x→−∞ − + c)

(

)

2 x 4 x 2 3 lim ₂ 2 x − + − ∞ → d)

(

)

10 x 9 x 5 3 lim ₂ 2 x − + − ∞ → Sol: a) ∞, b) -∞, c) -1, d) -25/9 9. Calcula los siguientes límites:

a) 2 x 2 2 x _{3 2x} 3 x 1 lim − ∞ → _     − + − b) 3 x x _{5x 1} 2 x 3 lim + − −∞ → _     − + c) x 2 1 x 3 x 2 2 lim + + ∞ → d) 2 x 1 x 3 x 2 2 lim + + −∞ → Sol: a) 0, b) 0, c) 1, d) 1 10. Calcula los siguientes límites:

a) 1 x 1 x lim ₂ 1 x − − → b) _{x 1} 1 x lim ₃ 4 1 x − − → c) 1 x 1 x lim 1 x − − → d) _{x 4x 3} 3 x 2 x lim ₂ 2 3 x − + − − → Sol: a) 1/2, b) 4/3, c) 1/2, d) 2 11. Calcula los siguientes límites:

a) 4 x 2 x lim 2 2 x − + − → b) _     + − − − → _{x 1} 2 1 x 1 lim ₂ 1 x c)       − + − − + → _{x x} 1 x 1 x 1 x lim ₂ 1 x d)      ₋ − − → _x 1 2 x 3 1 x lim 0 x Sol: a) 0, b) ±∞, c) 2, d) ±∞

12. Calcula por la derecha y por la izquierda los siguientes límites:

a)       − − → _{x 1} 2 x lim ₂ 1 x b) _{x 4x 4} 2 x 3 lim ₂ 2 x − + + → c) x x 2 1 lim ₂ 0 x→ − d) _{x 1} 3 2 x x 3 x 2 lim + + − →

Sol: a) +∞ por la izquierda y -∞ por la derecha, b) ∞ por la izquierda y por la derecha, c) -∞ por la derecha y ∞ por la izquierda, d) ∞ por la derecha y -∞ por la izquierda

13. Dada la función

( )

      > + − − ≤ = 2 x 2 x 3 x 4 x 2 x x 1 x f 2 2 , calcula: a) limf

( )

x

x→−∞ b) limx→0f

( )

x c) limx→2f

( )

x d) limx→∞f

( )

x

Sol: a) 0, b) no existe, c) no existe, d) 1

14. Halla el valor de a para que exista limf

( )

x

1 x→− si

( )

_  − > + − ≤ + = 1 x a x 1 x 2 x x f 2 Sol: a = 4 15. Representa una función que cumpla que:

a) limf

( )

x 3 x→∞ = y f(x) > 3f(x)>3 cuando x > 0 b) limf

( )

x 3 x→∞ = y f(x) < 3 cuando x > 0 c)

( )

=∞ → f x lim 3 x y f(x) > 0 para todo x d) ₊

( )

=∞ → f x lim 3 x , limx→3−f

( )

x =−∞ y xlim→±∞f

( )

x =4

16. Calcula las asíntotas de las siguientes funciones: a)

( )

3 x 4 x f + = b)

( )

3 x x 6 x f ₂ 2 + = c)

( )

9 x x x f ₂ 2 − = d)

( )

4 x 2 x x 4 x f ₂ 2 − − = Sol: a) y = 0, x = 3, b) y = 6, c) y = 1, x = -3, x = 3 d) y = 4, , x=1− 5 ,x=1+ 5 17. Calcula las asíntotas de las siguientes funciones:

a) 3x4 e ) x ( f = + b) x2 1 e ) x ( f = + c) f(x)=ln

(

2x+6

)

d) f(x)=ln

(

x2−8x+15

)

Sol: a) y = 0 cuando x → -∞, b) no tiene, c) x = -3, d) x = 3, x = 5 18. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

a)

( )

    > ≤ = 1 x x 1 x x 1 x f b)

( )

    > + ≤ + = _{x 0} 1 x 3 0 x 3 x 2 x f c)

( )

    ≥ + < + = 0 x 1 x 0 x x x x x f 2 2 d)

( )

    ≥ < − − = 1 x x 2 1 x 1 x 1 x x f 2

Sol: a) Continua en R – {0}, b) Continua en todo R, c) Continua en todo R, d) Continua en todo R 19. Calcula el valor de A para que f(x) sea continua.

20. Estudia el comportamiento de las siguientes funciones en los puntos en los que no están definidas. a)

( )

x 1 x 2 x f − = b)

( )

x x 1 x f ₂ − = c)

( )

₂ x 9 x x f − = d)

( )

3 x 4 x 3 x x f ₂ + − − =

Sol: a) en 1 por la izquierda ∞y por la derecha -∞, b) en 0 por la izquierda ∞y por la derecha, -∞ c) en –3 por la izda -∞y por la dcha ∞, d)

2 1 ) x ( f lim 3

x→ = y el 1 por la izda -∞y por la dcha ∞

21. Calcula: a) ( ) 2 1 x x 1 x ₂ 3 lim − − → _     b) 4 x 3 x _{2 2x} x 2 1 lim + ∞ → _     − − _{c) }      − + − − + → _{x 4x} 1 x 16 x 6 x lim _{2 2} 4 x Sol: a) 0; b) e e; c) 1/32 22. Estudia la continuidad de x-2 1 e f(x)=

Sol: Contínua en R-{2}. En x =2 discontinuidad asintótica 23. Averigua los límites laterales de las siguientes funciones en los puntos que se indican:

a)       > − ≤ + + = 1 x s x 3 x 2 -x 1 x si 4 2x 2 x f(x) 2 en x = -2, x = 1 y x = 3 b) 2 x 5 3x 1 -3x f(x) ₂ − + = en x = -2 y x = 1/3 Sol: a) lim f(x) -1/2 2 x→−− = , lim f(x) 1/2 2 x→− + = ; limf(x) 1/2 1 x→− = ,limf(x) 1/2 1 x→+ = ; = ∞ − → f(x) -lim 3 x , =∞ + → f(x) lim 3 x ; b) =∞ − − → f(x) lim 2 x , = ∞ + − → f(x) -lim 2 x ; lim f(x) -3/7 3 / 1 x→ − = , lim f(x) 3/7 3 / 1 x→ + =