MATEMÁTICA, 1 NÚMEROS REALES

MATEMÁTICA,

1 NÚMEROS REALES

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. . c b n a 2011

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1 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA:RECORDANDO LO OLVIDADO

. . . las matemáticas no son tanto un tema como una manera de estudiar cualquier tema, no tanto una ciencia como una forma de vida.

G. TEMPLE(1981)

Índice

1.1 Operaciones básicas Muchos estudiantes ya están en conocimiento de todos, o casi todos, los tópicos de

este capítulo. Éstos están incluidos aquí con un propósito de revisión y asegurar que todos estén en posesión del mismo lenguaje previo al estudio de tópicos más avanzados.

Como punto de partida asumiremos que todos los alumnos están familiarizados con las operaciones bási-cas de suma o adición, resta o sustracción, multiplicación o producto y división o cuociente, aplicados éstos a todos los números reales (o números enteros, al menos).

Adiciónp`q: 24`204“228

Sustracciónp´q: 9089´393“8696 Multiplicaciónpˆo¨q: 12ˆ24“288 Divisiónp{o :q: 4448 : 16“278

(1)

El signo “¨” es utilizado algunas ocasiones para la multiplicación cuando usamos notación algebraica, sin embargo, como veremos posteriormente, es usual no utilizar ningún símbolo para expresar la multiplicación, es decir, si A y B son dos números entonces AB representa el producto de ambos.

1.3 Fracciones 1 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA: RECORDANDO LO OLVIDADO 1.2 Operaciones múltiples Considere los siguiente problemas que involucran suma, resta, multiplicación y

división.

Ejemplo 1. Un bus sale del terminal con 22 pasajeros abordo. En la primera parada se bajan 7 pasajeros y suben

12. En la segunda parada 18 bajan y suben 4. ¿Cuántos pasajeros quedan en el bus?

Demostración. Muchos probablemente contestarán realizando las operaciones 22´7“15, 15`12“27, 27´ 18“9, 9`4“13 pasajeros, lo cual es la respuesta correcta. Sin embargo, podemos realizar un proceso de abstracción matemática como el siguiente:

22´7`12´18`4“?

lo cual resuelve el problema del mismo modo, i.e. operando desde izquierda a derecha. Si realizamos solamente las operaciones suma obtenemos 22´19´22“ ´19 la cual claramente no es la respuesta. □

Ejemplo 2. Un restaurante ofrecerá una gran fiesta y para ello planifica sentar en cada mesa a 6 personas. Cada mesa requiere 2 platos de ensaladas. ¿Cuántos platos de ensaladas se requieren para una fiesta de 60 personas? Demostración. Muchos nuevamente responderán diciendo 60 : 6“10 mesas, 10ˆ2“20 platos, lo cual es correcto. Sin embargo si realizamos la operación

60 : 6ˆ2“?

procediendo de izquierda a derecha obtendremos el mismo resultado. La pregunta es ¿qué operaciones realizar primero? No debe haber duda en esto: las operaciones se realizan de izquierda a derecha siguiendo el orden mnemotécnico PAPOMUDAS:

1 2 3 4 5 6

PA PO MU D A S

p q p qn ˆ : ` ´

paréntesis potencias mult. división adición sustracción

□ Ejemplo 3. Si una empresa produce 600 unidades de un bien (o producto) con un costo promedio de $76 y vende todo el stock al precio de $99, ¿Cuál es la ganancia total?

Demostración. 600ˆ99´600ˆ76“59400´45600“$13800. □

1.3 Fracciones Si computadoras y calculadoras usan decimales cuando operan con partes de un número,

por qué usar fracciones? Hay variadas razones:

Ciertas operaciones, particularmente la multiplicación y la división, pueden algunas veces ser calcula-das más rápido cancelando numeradores y denominadores.

Cuando usamos notación algebraica en lugar del número decimal no podemos usar la calculadora, y las operaciones en este caso se llevan a cabo usando los principios básicos de fracciones.

En algunos casos las fracciones pueden dar una respuesta más precisa que una calculadora, especial-mente cuando redondeamos el error.

Una fracción se escribe como

numerador denominador

que es una forma sencilla de escribir el hecho que numerador divide a denominador. Luego 120

960“120 : 960

Antes de realizar cualquier operación aritmética con fracciones lo mejor es simplificar individualmente cada fracción. Para esto es necesario encontrar aquel número que es múltiplo de ambos.

Los siguientes ejemplos, pretenden ser un estudio de casos. Lea con atención y reconozca sus propias téc-nicas.

Ejemplo 4. Las fracciones se pueden simplificar. Para ello es necesario encontrar un múltiplo común entre numerador y denominador. Note que esto no siempre es posible. (¿Por qué?).

168 104“ 21ˆ
8 13ˆ
8“ 21 13 2 TÉC. AGRONOMÍAUAC

1 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA: RECORDANDO LO OLVIDADO 1.3 Fracciones Ejemplo 5. 120 960“ 12ˆ10 12ˆ8ˆ10“ 1 8

Ejemplo 6. Las fracciones se pueden amplificar. Esto es, podemos expresar la fracción original como cuocien-te de otros dos números “más grandes”, para ello basta multiplicar numerador y denominador por un mismo número. 1 6“ 2ˆ1 2ˆ6“ 2 12

Ejemplo 7. Cuando operamos con sumas (o restas) si los denominadores no son iguales, pero si son múltiplos uno del otro, entonces podemos amplificar uno de ellos e igualar ambos denominadores, para finalmente sumar (o restar) los numeradores y mantener el denominador común.

1 6` 5 12“ 2 12` 5 12“ 2`5 12 “ 7 12

Ejemplo 8. Un tipo de expresión muy común en matemática, es la fracción mixta, que no es nada más que una forma de expresar un número entero más una parte decimal. El procedimiento es evidente.

13₅“5ˆ1`3 5 “ 8 5 Ejemplo 9. 23₇´24 63“ 17 7 ´ 8 21“ 51´8 21 “ 43 21“2 1 21

Ejemplo 10. A la hora de multiplicar fracciones procedemos hacia el lado multiplicando numerador con nume-rador y denominador con denominador.

3 8ˆ 5 7“ 15 56 Ejemplo 11. 20 3 ˆ 12 35ˆ 4 5“ p4ˆ5q ˆ p4ˆ3q ˆ4 3ˆ35ˆ5 “ 4ˆ4ˆ4 35 “ 64 35 La vía usual para realizar esta operación es cancelar todos los factores posibles:

4 Z20Z
3 1 ˆ 4 12 Z35Z 7 ˆ4 5“ 64 35 Ejemplo 12. 4 7ˆ 7 2“?

La respuesta es sencilla cancelando términos comunes (iguales) 4
7ˆ
7 2“ 4 2“2

Sin embargo, si utilizamos una calculadora básica, incluso probablemente la incluida en el teléfono celular, obtendremos

0. 5714285ˆ3. 5“1. 9999997

Usando una calculadora científica obtendremos el resultado correcto.

Ejemplo 13. AL dividir un número en una fracción, mantenemos el número y multiplicamos por la fracción “invertida”, por ejemplo

3 :1 6“3ˆ

6 1

Ejemplo 14. Nuevamente, si dividimos una fracción en otra fracción, mantenemos la primera fracción y la multiplicamos por la segunda invertida:

44 7 : 8 49“ 44 7 ˆ 49 8 “ 11 1 ˆ 7 2“ 77 2 “38 1 2 T . A UAC 3

1.5 Potencias 1 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA: RECORDANDO LO OLVIDADO 1.4 Decimales Los decimales son otra forma de expresar fracciones.

0. 1 “ 1 10 0. 01 “ 1 100 0. 001 “ 1 1000 De esta forma 0. 234 es equivalente a234_{1000.

La mayoría de las veces estaremos en condiciones de realizar operaciones con decimales con la ayuda de la calculadora y tan sólo en algunas ocasiones será necesario realizar las operaciones manualmente, y por lo tanto sólo algunos de los procedimientos de aritmética que involucran decimales se dan aquí.

Suma y resta Ejemplo 15. 1. 345`0. 00041`0. 20023“? 1. 345 0. 00041 0. 20023 ` 1. 54564 Multiplicación Ejemplo 16. 2463ˆ0. 38“? 2463 ˆ 38 19. 704 73. 890 93. 954

1.5 Potencias Todos estamos familiarizados con conceptos tales como “metros cuadrados” o “capacidad

cú-bica”, también llamada esta última “volumen”. Un metro cuadrado es el área de un rectángulo de lados iguales a 1m (un cuadrado). Si una habitación posee todas sus paredes de longitud igual a 5m, entonces decimos que al área de la habitación es de 5ˆ5“25 metros cuadrados.

Cuando multiplicamos un número por sí mismo, de esta forma, diremos que “lo elevamos al cuadrado”. La notación matemática para esta operación es a través del supra-índice 2. De esta forma, 12 al cuadrado se escribe 122.

Ejemplo 17.

2. 52“2. 5ˆ2. 5“6. 25

La capacidad cúbica de una habitación, medida en metros cúbicos, también llamada volumen, se obtie-ne multiplicando largoˆanchoˆalto, si todas estas magnitudes fueran iguales, digamos, 3 m3, entonces la habitación tendrá 3ˆ3ˆ3“27 metros cúbicos. Cuando un número es “elevado al cubo” anotamos 33“27.

Estos superíndices son conocidos como potencias y denotan el número de veces que un número es multi-plicado por sí mismo.

Ejemplo 18. 124 “ 12ˆ12ˆ12ˆ12“20736 125 “ 12ˆ12ˆ12ˆ12ˆ12“248832 Ejemplo 19. 33ˆ35“ p3ˆ3ˆ3q ˆ p3ˆ3ˆ3ˆ3ˆ3q “38“6561 Ejemplo 20. 66 63“ 6ˆ6ˆ6ˆ((((6ˆ6ˆ6 ((((6ˆ6ˆ6 “6ˆ6ˆ6“6 3 “216 Ejemplo 21. 4. 6ˆ4. 63ˆ4. 62“4. 66“9474. 3 4 T . A UAC

1 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA: RECORDANDO LO OLVIDADO 1.6 Simplificaciones Ejemplo 22. 36ˆ3´4“3 6 34“ 3ˆ3ˆ₍₍₍₍3ˆ3ˆ3ˆ((3 ((((3ˆ3ˆ3ˆ((3 “3 2 Ejemplo 23. 84ˆ8´2“82“64 Ejemplo 24. 147ˆ14´9ˆ146“144“38416 Ejemplo 25. p´3q4“ p´3q2ˆ p´3q2“9ˆ9“81 Ejemplo 26. p´3q5“35ˆ p´1q5“243ˆ p´1q “ ´243 Ejemplo 27. p´19q6“196“47045881 Ejemplo 28. p´26q5“ ´p26q5“ ´11881376 Ejemplo 29. p´2q´2ˆ p´2q´1“ p´2q´3“ 1 p´2q3“ 1 ´8“ ´0. 125 1.6 Simplificaciones

1.6.1 Adición, sustracción Simplificar una expresión significa re ordenar los términos que conforman una expresión con el fin de transformarla en otra más sencilla. Comencemos con un ejemplo sencillo que explica dicha situación.

Ejemplo 30. Un empleado realiza viajes a lo largo del país, haciendo entregas directas de productos e insumos agrícolas. Durante sus viajes se le cancelan honorarios en función de la cantidad de kilómetros de viaje. El em-pleado registra durante una semana un viaje de 234 km, otro de 166 km y finalmente un viaje de 90 km. Derive una expresión para el total de horarios de viaje del empleado.

Demostración. Si la tasa por km es denotada por K , entonces sus honorarios se pueden expresar como 234K por el primer viaje, 166K por el segundo viaje y 90K por el último viaje. El total de honorarios que ganará el empleado, se expresa entonces

234K`166K`90K

Podemos sin embargo, simplificar esta expresión, agrupando sólo las expresiones numéricas: p234`166`90q ˆtasa por kilómetro“490ˆtasa por kilómetro“490K En otras palabras, en una expresión con diferentes términos, todos de la forma

pnúmeroq ˆK

dichos términos pueden operarse juntos. □

Ejemplo 31.

3x`14x`7x“24x

Ejemplo 32.

45A´32A“13A

Es importante notar que sólo los términos que poseen exactamente la misma notación algebraica pueden ser sumados o restados. De esta forma, los términos x, y2y x y son todos diferentes y no pueden ser sumados o restados.

Ejemplo 33. Simplifique la expresión

5x2`6x y´32x`3y x´x2`4x Demostración.

Sumando/restando todos los términos en x2obtenemos 4x2.

1.6 Simplificaciones 1 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA: RECORDANDO LO OLVIDADO Sumando/restando todos los términos en x obtenemos´28x.

Sumando/restando todos los términos en x y obtenemos 9x y. (Note que x y“y x) Colocando todos estos términos obtenemos

4x2´28x`9x y

□ Ejemplo 34. Simplifique la expresión

16q`33q´2q´ p15q´6qq Demostración.

16q`33q´2q´15q`6q“38q

□ 1.6.2 Multiplicación Cuando un paréntesis o un grupo de paréntesis contiene una cierta cantidad de núme-ros multiplicada por un símbolo, letra o expresión numérica, es posible simplificar dicha expresión multipli-cando cada término por la expresión que está fuera.

Ejemplo 35. xp4`xq “4x`x2 Ejemplo 36. 5p7x2´xq ´3p3x2`6xq “ 35x2´5x´9x2´18x “ 26x2´23x Ejemplo 37.

6yp8`3xq ´2x y`12y “ 48y`18x y´2x y`12y “ 60y`16x y Ejemplo 38. Simplifiquep6`2xqp4´2xq. Demostración. p6`2xqp4´2xq “ 6¨4`6¨ p´2xq `2x¨4`2x¨ p´2xq “ 24´12x`8x´4x2 “ 24´4x´4x2 □ 6 T . A UAC

1 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA: RECORDANDO LO OLVIDADO 1.7 Problemas 1.7 Problemas Calcula las siguientes operaciones de

números enteros. No utilice calculadora.

Ejercicio 1. 52´73“ Ejercicio 2. 62´97“ Ejercicio 3. 32´91“ Ejercicio 4. 22´31“ Ejercicio 5. 25´83“ Ejercicio 6. 13´61“ Ejercicio 7. 21´41“ Ejercicio 8. 33´49“ Ejercicio 9. 37´62“ Ejercicio 10. 81´91“

Calcula las siguientes operaciones de números en-teros. No utilice calculadora.

Ejercicio 11. p´712q `912“ Ejercicio 12. p´322q `434“ Ejercicio 13. p´423q `623“ Ejercicio 14. p´1q `623“ Ejercicio 15. p´5q `956“ Ejercicio 16. p´523q `665“ Ejercicio 17. p´11q `322“ Ejercicio 18. p´322q `666“ Ejercicio 19. p´42q `821“ Ejercicio 20. p´2q `523“ Ejercicio 21. p´7q `823“

Calcula las siguientes operaciones de números en-teros. No utilice calculadora.

Ejercicio 22. p´2232q `122“ Ejercicio 23. p´4121q `200“ Ejercicio 24. p´5212q `3001“ Ejercicio 25. p´7010q `2081“ Ejercicio 26. p´5000q `1001“ Ejercicio 27. p´4111q `3010“ Ejercicio 28. p´690q `5989“

Calcula las siguientes operaciones de números en-teros con paréntesis. No utilice calculadora.

Ejercicio 29. p´4´7q ` p´3´4´5´8q “ Ejercicio 30. ´p2´3`5q ` p´2`6´4`7q “ Ejercicio 31. ´p4´6´9q ` p´4`5´2q “ Ejercicio 32. ´p3´2´1q ` p´5`7`4q “ Ejercicio 33. p´3`5`2`1q ´ p´8´4´9´5q “ Ejercicio 34. p´4`7`2q `9´ p´3`4´3q “ Ejercicio 35. ´p´5`6´3`6q `3´ p5´2`1q “ Ejercicio 36. p´8´3´9q `4` p´2`9q “ Ejercicio 37. ´p´5´3q ´ p4`7`2`3q “ Ejercicio 38. ´2´4` p´8`4´6`7q “ Ejercicio 39. ´3` p´5`4q ´ p´8`3`9q “ Ejercicio 40. 4´ p´7`4´5q ` p´5`1q “ Ejercicio 41. 2` p´4`5q ´ p6`6q `7“ Ejercicio 42. ´3´ p4´6´7´5`6q ´7`5“ Ejercicio 43. p´3´5`6q ´ p´4´5´9q “ Ejercicio 44. p´3´5`4q ´ p4`5`6q “ Ejercicio 45. ´p´4`5´6q ´ p7´3`6q ´5“

Ejercicio 46. Completa la siguiente tabla de cuocien-te de fracciones. Su resultado debe estar expresado en fracciones. No utilice calculadora.

: 3₅ ´3₄ ´1₃1 5 ´2 ´2₅ 21₄ 5 6 ´2₃ ´10 11₂ ´23₄

Resuelve las siguientes operaciones sin paréntesis. No utilice calculadora. Ejercicio 47. 420ˆ2`526`120ˆ3“ Ejercicio 48. 315´42 3 `14´ 36 12“ Ejercicio 49. 125 5 ´17`12`13ˆ6“ Ejercicio 50. 256´14ˆ7`318´130 5 “

Resuelve las siguientes operaciones combinadas con paréntesis. No utilice calculadora.

Ejercicio 51. p425`726´215q´p125`16´31q`412“ Ejercicio 52. p1282´144q ´ p41`12ˆ3q ´ p52`14ˆ 2q “ Ejercicio 53. p2584´216`114q ´ ´ 125´18`45 3 ¯ ` 16“ Ejercicio 54. rp425`680´142q ˆ12s: 107“ Ejercicio 55. rp286`729´215q ˆ45s: 120“ Ejercicio 56. rp549`286q ˆ15s´rp925`275q: 150s “ T . A UAC 7

1.7 Problemas 1 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA: RECORDANDO LO OLVIDADO Ejercicio 57. Completa la siguiente tabla

Fracción Número decimal Parte entera Ante-período Período 7_{20

8_{3 11_{6 23_{12

Ejercicio 58. Escribe la fracción decimal en cada caso, es decir, aquella cuyo denominador es un potencia de 10. a) 1 5 b) 0. 15 c) 0. 5 d) 3 4 e) ´0. 03 f ) ´1 7

Ejercicio 59. Escribe la fracción decimal en cada caso, es decir, aquella cuyo denominador es una potencia de 10. a) 0. 38 b) 5. 4 c) 7. 4 d) 3. 28 e) 7. 304 f ) 0. 009 g) 2. 34 h) 1. 4 i) 0. 15 j) 0. 15

Ejercicio 60. Completa el siguiente cuadro

Potencia Base Exponente Producto Valor 53 3 4 2 7 49 5 32 ´7 49 0. 5 3 ab p 5 xxxxx

Ejercicio 61. Completa con el número que falta para que la igualdad se cumpla.

a) 24“4 b) 3 “92 c) 125“5 d) p´5q “625 e) 5 “625 f ) 3“216 g) 4 “64 h) 2 “ p´24q i) p´3q “ ´27 j) 3 “27

Ejercicio 62. Expresa las siguientes potencias usando exponentes positivos y luego calcula su valor.

a) 3´4“ b) 8´3“ c) p´3´2q “ d) p´10q´3“ e) ´x 4 ¯´3 “ f ) ´ ´1 4 ¯´4 “ g) ´1 9 ¯´4 “ h) ´1 6 ¯´3 “ i) ´2 3 ¯´5 “ j) 2 ´1 3´2“ k) p0. 5q´2“ l) p0. 25q´4“ m) 2 3 3´3“ n) p´2q ´2 3´3 “

Ejercicio 63. Expresa los siguientes productos usando solo una potencia.

a) 34¨3´2¨36“ b) p´2´5q ¨ p´2q´7“ c) a2¨a´3¨a“ d) 75¨72¨49“ e) 25¨32¨2´3“ f ) 5¨125¨0. 008“ g) 63¨ p´6q4“ h) ´27¨35¨ p´3q2“ i) a4¨a´3´1“ j) x2¨x´4¨x2“ k) 2a¨2b¨2´c“ l) ´1 2 ¯´4 ¨ ´1 2 ¯´4 “ m) p´4q5¨ p0. 25q´5“ n) p´3q4¨ p´0. 3q4“ o) 2x¨ p´2qx“ p) p0. 01q2¨ p0. 001q2“ 8 T . A UAC

1 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA: RECORDANDO LO OLVIDADO 1.8 Soluciones 1.8 Soluciones 1 ´21 2 ´35 3 ´59 4 ´9 5 ´58 6 ´48 7 ´20 8 ´16 9 ´25 10 ´10 11 200 12 112 13 200 14 622 15 951 16 142 17 311 18 344 19 779 20 521 21 816 22 ´2110 23 ´3921 24 ´2211 25 ´4929 26 ´3999 27 ´1101 28 5299 29 ´31 30 3 31 10 32 6 33 31 34 16 35 ´5 36 ´9 37 ´8 38 ´9 39 ´8 40 8 41 2 42 3 43 16 44 ´19 45 ´10 46 : 3₅ ´3₄ ´1₃1 5 ´2 ´2₅ 21₄ 5 6 25 18 ´ 10 9 ´ 5 8 ´ 1 6 ´ 5 12 ´ 25 12 10 27 ´2₃ ´10₉ 8₉ 1₂ ´₁₅2 1₃ 5₃ ´₂₇8 ´10 ´50₃ 40₃ 15₂ ´2 5 25 ´40₉ 1₂1 5₂ ´2 ´9_{8 10}3 ´3₄ ´15₄ 2₃ ´23₄ ´55₁₂ 11_{3 16}33 ´11₂₀ 11₈ 55₈ ´11₉ 47 1726 48 312 49 98 50 450 51 1238 52 981 53 2376 54 108 55 300 56 12517 T . A UAC 9

1 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA: RECORDANDO LO OLVIDADO REFERENCIAS

[1] L. H. Edwards. Cálculo. ISBN 970-105-710-4. McGraw-Hill Publications, 8th edition, 2005.

[2] J. D. Dennis Zill. Precálculo con preliminares de Cálculo. ISBN 970-106-516-6. McGraw-Hill Publications, 4th edition, 2008. [3] J. O. Paul Urban. Mathematics For The International Student (IBO). Haese Harris Publications, 2004.

[4] M. Rosser. Basic Mathematics for Economists. Routledge, second edition, 2003. [5] J. Stewart. Calculus Concepts and Contexts. Brooks-Cole, second edition, 2002.

[6] L. H. Edwards. Cálculo. ISBN 970-105-710-4. McGraw-Hill Publications, 8th edition, 2005.

[7] R. M. Murray Spiegel. Álgebra Superior. ISBN 970-10-6255-8. McGraw-Hill Publications, 3th edition, 2007.