Índice
UNIDAD 1
LA fórmULA mAtemátIcA De LA beLLezACapítulo 1
razones ... 5
Capítulo 2
Proporciones ... 11
Capítulo 3
Serie de razones geométricas equivalentes ... 18
UNIDAD 2
¿cómo DetermINAríAS eL ANcho De eSte río? Capítulo 1magnitudes proporcionales ... 25
Capítulo 2
complemento ... 32
Capítulo 3
reparto proporcional simple ... 35
Capítulo 4
reparto proporcional compuesto ... 40
Capítulo 5
regla de compañía ... 46
Capítulo 6
repaso ... 53
Capítulo 7
regla de tres simple ... 56
Capítulo 8
regla de tres compuesta ... 62
UNIDAD 3
¡QUé tAL PeNDIeNte! Capítulo 1 Porcentaje I ... 70 Capítulo 2 Porcentaje II ... 76 Capítulo 3 complemento ... 82UNIDAD 4
LAS tArjetAS De créDIto Capítulo 1regla de interés simple I ... 85
Capítulo 2
regla de interés simple II ... 91
Capítulo 3
repaso ... 96
UNIDAD 5
eL máS grANDe De toDoS LoS tIemPoS Capítulo 1TRILCE
Aritmética
UNIDAD 6
UN PrecIo jUSto Capítulo 1mezcla ... 105
UNIDAD 7
LoS cIrcUItoS DIgItALeS Capítulo 1 Lógica proposicional ... 112 Capítulo 2 cuantificadores ... 119 Capítulo 3 complemento ... 122UNIDAD 8
¿DIoS eS Lo máS grANDe? Capítulo 1conjuntos ... 125
Capítulo 2
operaciones con conjuntos ... 132
Capítulo 3
repaso bimestral ... 139
UNIDAD 9
UN DetALLe ImPortANte Capítulo 1 estadística I ... 143 Capítulo 2 estadística II ... 150 Capítulo 3 estadística III ... 156 Capítulo 4medidas de tendencia central ... 163
Capítulo 5 complemento de estadística ... 170 Capítulo 6 Probabilidades ... 174 Capítulo 7 repaso bimestral ... 181
La fórmula matemática de la belleza
BELLEZA = (Largo del rostro)(Ancho del rostro)(Tamaño de la oreja)22
p
AmorS
ería extraño que de esta manera pudiéramos calcular la belleza de una persona, pero esta fórmula no es real sin embargo:• ¿Existirá alguna fórmula matemática que determine la belleza de una persona? • Y si existe, ¿en qué conceptos matemáticos estará basada dicha fórmula?
APreNDIzAjeS eSPerADoS
Razonamiento y demostración
• Identificar y relacionar las clases de razón y proporción.
• Interpretar los resultados que se obtienen de la resolución de problemas de índole real.
Comunicación matemática
• Representar matemáticamente enunciados vinculados a la proporción.
• Utilizar el lenguaje correcto para leer enuncia-dos de proporciones.
Resolución de problemas
• Resolver problemas que involucren razones arit-mética y geométrica así como proporciones. • Resolver problemas de contexto real y
mate-mático que implican utilizar una relación en-tre medidas.
Las matemáticas están presentes en el arte y en la naturaleza, por ejemplo, el número áureo fue usado profusamente por des-tacados artistas. El rostro de la Mona Lisa de Leonardo tiene la proporción del número áureo (ver imagen). Asimismo, pode-mos ver en el fósil del Nautilus y también en algunos molus-cos actuales, como la forma del caparazón corresponde a una espiral logarítmica, que es también dependiente de la relación áurea.
1
razones
razones
En este capítulo aprenderemos:• A reconocer la razón aritmética y razón geométrica así como identificar los tipos de ra-zón y su aplicación.
• A elaborar modelos de la vida real donde se aplique las razones. • A utilizar el lenguaje correcto para leer enunciados de razones.
• A resolver problemas de contexto real y matemático que implican utilizar una relación entre medidas.
El mapa topográfico nacional
L
os mapas topográficos son aquellos que utilizan escalas muy grandes (1:25 000 y 1:50 000) porque representan superficies muy pequeñas de la Tierra. Son los mapas adecuados para estudiar las pobla-ciones y sus comarcas adyacentes.En los mapas topográficos, como en el Mapa Topográfico Nacional editado en Perú, aparecen aspectos físicos (relieve, red hidrográfica, vegetación, etc.) y aspectos humanos (ciudades importantes, capitales, límites políticos, etc.), en la leyenda, está la escala que permite identificarlos.
Esto nos da una idea de la importancia que tiene en la vida real la aplicación de la comparación que se hace entre la medida real, es decir en el terreno y la medida en el papel, es decir en el mapa, ahora responde:
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Saberes previos
• ¿Sabes simplificar? 1. 12 × 45 × 54 × 18 16 × 81 × 15 =• Es importante que sepas despejar: 2. 3x 8 = 15 4 ⇒ x = 3. x + 1 3 = 4 9
⇒
x =4. Encuentra el valor de "a" y "b", si son números enteros y positivos mediante el tanteo:
a . b = 15
a + b = 8
⇒
a =b =5. Resuelve: (2k)2 + (3k)2 = 52
Conceptos básicos
Razón
Si observamos dos magnitudes y una es mayor que la otra nos preguntamos: ¿en cuántas unidades es ma-yor? ó ¿cuántas veces contiene la mayor a la menor?, para responder a estas preguntas comparamos estas dos magnitudes por diferencia o por división respectivamente.
Clases de razón
Razón aritmética
Es la comparación de dos cantidades mediante la sustracción. Dicha diferencia determina en cuántas unidades excede una cantidad a la otra.
Ejemplo:
• En el 3er año del colegio Trilce asisten 25 varones y 18 mujeres. ¿Cuál es la razón aritmética? Comparando:
25 varones – 18 mujeres = 7 varones
14243 14243 14243
Antecedente Consecuente Valor de la razón aritmética • En general: a – b = r Razón Consecuente Antecedente Razón geométrica
Es la comparación de dos cantidades utilizando la división.
Ejemplo:
• La edad de un padre y su hijo son 40 y 5 años respectivamente. Comparando: Padre
Hijo = 40 años5 años = 8
Interpretación:• La edad del padre es ocho veces la edad del hijo. • La edad del hijo es la octava parte de la edad del padre.
1
razones
¡Ahora hazlo tú! • La altura de un edificio "A" es: 120 m • La altura de un edificio "B" es: 60 m
Compara las alturas (utilizando la razón geométrica) e interpreta.
• En general: a
b = k
Donde: a: antecedente
b: consecuente
k: valor de la razón geométrica
"Razón es la comparación de dos cantidades de una misma magnitud mediante la operación de sustracción o división existiendo la razón aritmética y la razón geométrica respectivamente".
Recuerda que...
Síntesis teórica
GeométricaRazón
a b = k Puede ser Es decir o puede ser Es decir aritmética a – b = r a: antecedente b: consecuenteAplica lo comprendido
10 x 5 501. Coloca verdadero (V) o falso (F) según sea el siguiente caso: 8 – 3 = 5
• 8 excede en 5 a 3 ... ( ) • 3 es 5 unidades menor que 8 ... ( ) • Es un ejemplo de razón geométrica .... ( )
2. Coloca el nombre que corresponde a cada tér-mino:
↓
15 – 5 = 10
←
↑
3. • Representa matemáticamente: "La edad de Pedro es a la edad de Luis, como 2 es a 3". • Representa como una razón geométrica:
"Ana tiene el doble de dinero que Rosa".
4. Coloca el nombre que corresponde a cada tér-mino:
↓
a
b = c
←
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Aprende más
1. La razón aritmética de dos números es 20 y su razón geométrica es 2. El número mayor es:
2. La razón entre dos números es 3/5. Determinar la diferencia entre ellos, sabiendo que su suma es 72.
3. Dos números están en la razón de 3 a 2. Si la suma de dichos números excede a la diferencia de los mismos en 80, hallar el mayor de los nú-meros.
4. La edad de Carlos es a la edad de Julio como 5 es a 6 y después de cierto tiempo sus edades están en la relación de 9 a 10. ¿En qué relación están el tiempo transcurrido y la edad inicial de Julio?
5. Si:A B =
9
4 y A – B= 4, hallar "A – B"
6. De cada 13 alumnos de un colegio, 3 son mu-jeres. Si en el colegio hay 50 varones, ¿cuántos alumnos son en total?
7. Dos números son entre sí como 11 es a 4. Ha-llar el mayor de los números, sabiendo que su razón aritmética es 77.
8. En una reunión hay hombres y mujeres. Sien-do el número de hombres al número total de personas como 3 es a 8 y la diferencia entre los números de hombres y mujeres es 24. ¿Cuál será la relación entre hombres y mujeres, si se retiran 33 mujeres?
9. La razón de las cantidades de dinero de Pedro y Juan es 8/17. Si Juan le diera 63 soles a Pe-dro ambos tendrían la misma suma de dinero. ¿Cuánto tiene Juan?
10. Dos números están en la relación de 2 a 7. Agregando a uno de ellos 73 y 138 al otro se obtienen cantidades iguales. Hallar la suma de los números.
11. Si el corredor "A" compite con el corredor "B" en una carrera de 100 metros, "A" le da a "B" una ventaja de 20 metros. Cuando corre "B" contra "C" en una carrera de 100 m, "B" le da a "C" 25 metros de ventaja. ¿Qué ventaja debería darle el corredor "A" a "C" en una carrera de 200 m, si en los dos primeros casos los compe-tidores llegan al mismo tiempo a la meta?
12. Un termómetro defectuoso indica 2º para fun-dirse el hielo y 107º para el agua hirviendo. ¿Cuál es la temperatura real en ºC cuando mar-ca 23º?
13. Por cada 100 huevos que compro se me rom-pen 10 y por cada 100 huevos que vendo doy 10 de regalo. Si vendí 1 800 huevos, ¿cuántos huevos compré?
14. En una reunión el número de hombres que bailan es al número de mujeres que no bailan como 1 a 2 y además el número de mujeres es al número de hombres que no bailan como 3 es a 5. Determinar cuántas personas bailan, si en total asistieron 72 personas.
15. El número de vagones que lleva un tren "A" es los 5/11 del que lleva un tren "B" y el que lleva un tren "C" es los 7/13 de otro "D". Entre "A" y "B" llevan tantos vagones como los otros dos. Si el número de vagones de cada tren no excede de 60, ¿cuál es el número de vagones que lleva el tren "C"?
aplicación cotidiana Congestión vehicular
16. La Unión Europea pierde 100 mil millones de euros anuales
por congestión vehicular. Sin embargo los accidentes auto-movilísticos son una constante en estos países. Se sabe que uno de cada mil vehículos sufre un accidente en 1 kilómetro. ¿Cuántos vehículos de cada millón sufren un accidente en 2 kilómetros?
1
razones
¡Tú puedes!
1. Una empresa dispone de S/. 28 710 para ser distribuidos entre 25 obreros, 12 empleados y 10 ejecuti-vos. Se sabe que la parte de un obrero es los 5/7 de las de un empleado y también representa los 5/11 de un ejecutivo. El haber de un empleado es:
a) S/. 630 b) 2 250 c) 400 d) 210 e) 120
2. Un auto consume un galón de gasolina para recorrer 40 km y otro auto consume un galón para reco-rrer "m" km. ¿Cuántos km puede recoreco-rrer el primer auto con la gasolina que el segundo emplea para recorrer 120 km?
a) 480 m b) 4 800 m c) 4 800 + m d) 4 800
m e)
480 m
3. Newton parte a caballo de "A" hacia "B", al mismo tiempo que Einstein y Trilce parten a pie desde "B" hacia "A". Newton se encuentra primero con Einstein y 16 km más adelante con Trilce, esto debido a que el caballo se desplaza con una rapidez que es cuatro y cinco veces la de cada peatón. Hallar la distancia de "A" a "B".
a) 520 km b) 480 c) 400 d) 360 e) 320
4. Las alturas de tres cubos son proporcionales a 1; 2 y 3. El primero está lleno de agua por completo y las cantidades de agua son proporcionales a 3; 4 y 5. Se arrojó la mitad del contenido del primero en cada uno de los otros dos. ¿En qué relación quedan los volúmenes vacíos de los otros dos?
a) 2,4 b) 4,3 c) 3,5 d) 4,027 e) 4,02
5. Se tiene un aula de tres filas "A", "B" y "C", en donde la cantidad de varones con la cantidad de mujeres en la fila "A", en la fila "B" y en la fila "C" están en la relación de 2 a 3, de 3 a 4 y de 5 a 2 respectiva-mente. Hallar el total de alumnos, si los varones de la fila "A" son tantos como las mujeres de la fila "C" y además la cantidad de varones de la fila "C" excede a la cantidad de mujeres de la fila "B" en 12. En la fila "A" y "B" la cantidad de alumnos están en la relación de 10 a 7.
a) 62 b) 65 c) 70 d) 80 e) 85
Practica en casa
18:10:451. Un padre tiene 34 años y su hijo 7. ¿Al cabo de cuánto tiempo, la razón de las edades será 1/2?
2. Si "a3" es a "b3" como 125 es a 8, ¿cuánto
val-drá "b" cuando "a" sea 35?
3. Si "m" y "n" son entre sí como 5 es a 9, ¿cuál será el valor de:E = 5n + 3m
n – m ?
4. En un corral hay gallinas y pavos. Se sabe que el número de gallinas es al total de aves como 2 es a 9 y la diferencia entre pavos y gallinas es 30.
5. Dos números están en la razón de 2 es a 5. Si se aumenta 175 a uno de ellos y 115 al otro se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el menor?
6. Los volúmenes que contienen dos recipientes están en la relación de 5 a 8. Si agregamos 22 litros a cada uno, la nueva relación será de 7 a 9. ¿Cuántos litros tenía al inicio cada recipiente?
7. La suma de tres números es 18 300. El primero es al segundo como 25 a 10 y su diferencia es 300. Hallar la suma de las cifras del número mayor.
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10
9. Un alumno que mide 1,60 m proyecta una som-bra de 3,20 m. Si en el mismo instante un poste de luz proyecta una sombra de 12 m, ¿cuánto mide el poste?
10. Lo que gana y gasta un hombre suman 6 000 soles y la razón entre lo que gasta y gana es 2/3. ¿Cuánto tiene que disminuir lo que gasta para que la razón anterior se transforme en 3/5?
11. Un jugador de billar "A" le da 40 puntos de ven-taja a otro "B", para un total de 100. "B" le da de ventaja a otro "C", 30 puntos para 50. ¿Cuántos puntos de ventaja debe dar "A" a "C" en un par-tido de 150?
12. Un termómetro mal calibrado indica 6 ºC para el hielo al fundirse y 81 ºC para el vapor de agua hirviendo. Si la lectura real es 32 ºC, ¿cuál será la lectura incorrecta?
13. A una fiesta asisten 140 personas entre hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si se retiran 20 parejas, ¿cuál es la razón entre el número de hombres y el número de mujeres que se quedan en la fiesta?
14. Para elegir la directiva de un club que consta de 1 200 socios se presentan las listas "A" y "B". Antes de las elecciones, "B" es favorito en la relación de 7 a 5, pero en el día decisivo los votos favorecieron a "A" en la relación de 5 a 3. ¿Cuántos socios cambiaron de opinión, si no hubo abstenciones?
15. En un salón de clases, el número de varones es al de mujeres como 9 es a 5. Si después del recreo se retiran 1/5 de las mujeres y 1/3 de los varones, ¿cuál es la nueva relación entre el nú-mero de varones y de mujeres?
2
Proporciones
Proporciones
En este capítulo aprenderemos:• A definir y distinguir las clases de proporciones.
• A identificar los términos de una proporción aritmética y una proporción geométrica. • A codificar y decodificar los enunciados y símbolos relacionados con las proporciones. • A resolver problemas referidos a la proporción.
El número de oro presente en nuestro cuerpo
U
nas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Paciolieditado en 1509.
En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particu-lar, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el NÚMERO DE ORO
(
j
= 1 + 52 ≈ 1,61803….)
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Saberes previos
• ¿Cuánto vale? 1. 42 × 93 362 = 2. 64 × 121 • Hallar "x". 3. 12 15 = 16 x⇒
x = 4. 50 x = x 2 5. x + a b = b a⇒
x =Conceptos básicos
Proporciones
Es la igualdad de dos razones y puede ser de dos clases. Proporción aritmética (Equi – diferencia)
Igualdad de dos razones aritméticas. a – b = c – d
Medios Extremos
Además: "a" y "c": antecedentes "b" y "d": consecuentes
• La suma de medios es igual a la suma de extre-mos:
a + d = b + c
Observación:
Las proporciones aritméticas se dividen en dos tipos: P. a. Discreta
Cuando se cumple que sus términos medios son diferentes entre sí. a – b = c – d ; b
≠
c• Al último término "d" se le denomina cuarta diferencial de "a", "b" y "c".
Observación:
Ejemplo:
• Calcular la cuarta diferencial de 18; 14 y 46
Luego: 18 – 14 = 46 – x
Resolviendo: x = 42
2
Proporciones
P. a. Continua
Cuando los términos medios son iguales.
a – b = b – c
• "b" se denomina media diferencial o media aritmética de "a" y "c". • "c" se denomina tercera diferencial de "a" y "b".
Observación:
Ejemplo:
• Calcular la tercera diferencial de 78 y 65
Luego: 78 – 65 = 65 – x
Resolviendo: x = 52
¡Ahora hazlo tú! • Calcular la tercera diferencial de 41 y 34
Ejemplo:
• Calcular la media diferencial de 28 y 20
Luego: 28 – x = x – 20
Resolviendo: x = 24
¡Ahora hazlo tú! • Calcular la media diferencial de 34 y 30
• La media diferencial de "a" y "c" también se puede calcular de la siguiente manera:
a + c 2
Observación:
Proporción geométrica (Equi – cociente) Igualdad de dos razones geométricas.
a b = cd "a" y "d": extremos "b" y "c": medios "a" y "c": antecedentes "b" y "d": consecuentes
• El producto de medios es igual al producto de extremos:
a . d = b . c
Observación:
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14
Las proporciones geométricas se dividen en dos tipos: P. G. Discreta
Cuando se cumple que sus términos medios son diferentes entre sí: a
b = cd ; b
≠
c• Al último término "d" se le denomina cuarta proporcional de "a", "b" y "c".
Observación:
Ejemplo:
• Calcular la cuarta proporcional de 28; 14 y 16
Luego: 28
14 = 16x
Resolviendo: x = 8
¡Ahora hazlo tú! • Calcular la cuarta proporcional de 45; 15 y 36
P. G. Continua
Cuando los términos medios son iguales. a
b = bc
• A "b" se le denomina media proporcio-nal o media geométrica de "a" y "c". • A "c" se le llama tercera proporcional
de "a" y "b".
Observación:
Ejemplo:
• Calcular la tercera proporcional de 40 y 20.
Luego: 40
20 = 20x
Resolviendo: x = 10
¡Ahora hazlo tú! • Calcular la tercera proporcional de 27 y 9.
Ejemplo:
• Calcular la media proporcional de 48 y 3
Luego: 48
x = x3
2
Proporciones
1. Coloca verdadero (V) o falso (F):
• P.G. es comparar razones aritméticas ( ) • P.A. es comparar razones geométricas ( )
2. Si: a b = cd
"a" y "c": ... "b" y "d": ... "a" y "d": ... "b" y "c": ...
3. En la siguiente proporción: 8 = 4, la tercera
4. Aplica la propiedad:
Producto de extremos = Producto de medios Resuelve: • x 6 = 2824 • 24 x = 729 5. Halle "x" • 24 – x = 12 – 6
¡Ahora hazlo tú! • Calcular la media proporcional de 20 y 5.
• La media proporcional de "a" y "c" también se puede calcular de la siguiente manera:
a . c
Observación:
Síntesis teórica
PROPORCIón
Puede ser a – b = c – d a b = c d es Puede ser es es es Proporción geométrica Proporción aritmética P.G. Continua Tercera y media proporcional a b = b c P.a. Continua Tercera y media diferencial a – b = b – c P.G. Discreta Cuarta proporcional a b = c d P.a. Discreta Cuarta diferencial a – b = c – dAplica lo comprendido
10 x 5 50Aritmética
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16
1. El producto de los extremos de una proporción geométrica es 12. Hallar el producto de los cua-tro términos.
2. En una proporción geométrica continua, la suma de los extremos es 90 y la diferencia de los mismos es 54. Hallar la media proporcional.
3. La suma de la media diferencial de 28 y 12 con la cuarta diferencial de 18; 12 y 10, es igual a:
4. Hallar la tercera diferencial entre la media pro-porcional de 9 y 16 y la cuarta propro-porcional de 10; 15 y 14.
5. En una proporción geométrica continua, los tér-minos extremos están en relación de 4 a 9 sien-do su suma 65. Hallar la media proporcional.
6. En una proporción aritmética continua, se sabe que los extremos son 10 y 4. Hallar la media diferencial.
7. Si la tercera proporcional de 9 y "a" es 25, hallar la cuarta proporcional de "a"; 35 y 12.
8. En una proporción geométrica continua, el pro-ducto de los cuatro términos es 50 625. Hallar la media proporcional.
9. La diferencia entre el mayor y menor término de una proporción geométrica continua es 25. Si el otro término es 30, hallar la suma de los términos, si los cuatro son positivos.
10. En una proporción aritmética continua, la me-dia diferencial es igual a 16 y la razón aritmética de los extremos es 8. Hallar el producto de los extremos.
11. Si "m" es la media proporcional de 9 y 4 y "n" es la cuarta proporcional de 8; "m" y 12, hallar "m + n".
12. En una proporción geométrica continua, los tér-minos extremos están en relación de 4 a 9, sien-do su suma 39. Hallar la media proporcional.
13. En una proporción aritmética continua, la suma de los cuatro términos es 36 y el producto de los extremos es 32. Calcular la razón aritmética, sabiendo que es positiva.
14. El producto de los cuatro términos de una pro-porción geométrica continua es 1 296 y la suma de los cuadrados de los extremos es 97. Calcu-lar uno de los extremos.
15. Determinar una proporción geométrica con-tinua, sabiendo que el producto de sus cuatro términos es 312 y además uno de sus extremos
es nueve veces el otro. Dar como respuesta la suma de sus términos.
Aprende más
aplicación cotidiana Elecciones en el club
16. Para elegir los nuevos dirigentes del club Lima Deport Center se
presenta-ron dos listas "A" y "B" y para votar se hacen presentes 240 socios. En una votación de sondeo inicial la elección favorece a "B" en la proporción de 3 a 2; pero en la segunda votación legal ganó "A" en una proporción de 5 a 3. Si no hubo abstenciones, ¿cuántos socios que inicialmente votaron por "B" cambian de opinión por "A"?
¡Tú puedes!
1. ¿Cuántas proporciones geométricas continuas de términos naturales existen, tal que la suma de sus términos sea 81 y su razón sea mayor que 1?
2
Proporciones
2. El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica cuya razón es 2/3, es 656 100. Si los antecedentes están en la relación de 3 a 5, determinar la suma de los cuatro términos de dicha proporción.
a) 90 b) 100 c) 120 d) 125 e) 15
3. La media proporcional de los números "a" y "b" es 12 y la tercera diferencial de "a" y "b" es 2. La media diferencial de "a" y "b + 1" es:
a) b + 1 b) b + 2 c) b + 3 d) b + 4 e) b + 5
4. En una proporción geométrica continua, el producto de los antecedentes es 400 y el de los consecuen-tes es 6 400. Hallar la suma de los cuatro términos. Indique la suma de cifras del resultado.
a) 9 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15
5. Quince es la media proporcional de "a" y 25 y "2a" es la tercera proporcional de 8 y "b". ¿Cuál es la cuarta proporcional de "a"; "b" y 15?
a) 18 b) 20 c) 15 d) 30 e) 45
Practica en casa
18:10:451. Julio tiene 38 años y Juan 24 años. ¿Hace cuán-tos años sus edades fueron como 2 es a 1?
2. Tres números están en la misma relación que 5; 9 y 13. Si la suma de ellos es 216, indicar el mayor de ellos.
3. La suma de los extremos de una proporción geométrica continua es 15 y su diferencia es 9. Hallar la media proporcional.
4. El producto de los cuatro términos de una pro-porción geométrica continua es 1 296. Si uno de los extremos es 3, la suma de cifras del otro es:
5. La media proporcional de "a" y 27 es "b" y ade-más "a" es la tercera proporcional entre 3 y 27. Hallar "a – b".
6. Determinar la tercera proporcional entre la me-dia proporcional de 9 y 16 y la cuarta propor-cional de 10; 15 y 14.
7. Las edades de tres hermanas hace 4 años esta-ban en la misma relación que 2; 3 y 4. Si dentro de 4 años será como 6; 7 y 8, ¿qué edad tiene la mayor?
8. En una proporción geométrica continua, la suma de los extremos es 51 y su diferencia 45. Hallar la media proporcional.
mujeres, la nueva relación será de 3 hombres por cada 2 mujeres. ¿Cuántas personas habían inicialmente en la reunión?
10. Si 5 es la cuarta proporcional de "a"; 6 y "b" y además "b" es la cuarta proporcional de "a"; 9 y 30, halle "a + b".
11. Halle la cuarta proporcional de 56; "m" y "n", sabiendo que "m" es la media proporcional de 28 y 7 y "n" es la tercera proporcional de 9 y 12.
12. La suma de los cuadrados de los términos de una proporción geométrica continua es 400. Hallar el mayor término, sabiendo que un ex-tremo es la cuarta parte del otro.
13. Si 8 es la cuarta proporcional de "a"; 6 y "b", y "a" es la cuarta proporcional de "b"; 16 y 48, hallar el valor de "a + b".
14. El producto de los cuatro términos de una pro-porción geométrica es 50 625. Sabiendo que los medios son iguales y que uno de los extremos es 75, indicar la suma de los cuatro términos de la proporción.
15. En una reunión social las cantidades de inge-nieros, médicos y arquitectos forman una pro-porción aritmética continua de razón 20. Si por
18
3
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Serie de razones geométricas
equivalentes
En este capítulo aprenderemos:
• A analizar el concepto de serie de razones geométricas equivalentes. • A identificar una serie de razones geométricas equivalentes y continuas.
• A demostrar y aplicar las propiedades de serie de razones geométricas equivalentes. • A resolver situaciones problemáticas que requieran para su solución propiedades de la
serie de razones geométricas equivalentes.
Una mezcla gaseosa muy proporcional
L
a idea de que los compuestos tienen fórmulas químicas definidas fue propuesta, primero, al final del año 1700 por el químico francés Joseph Proust. Éste realizó varios experimentos y observó que no importaba cómo diferentes elementos reaccionan con el oxígeno, pues ellos siempre reaccionan en proporciones definidas.Por ejemplo: Dos partes de hidrógeno siempre reaccionan con otra parte de oxígeno al formar agua. Una parte de mercurio siempre reacciona con una parte de oxígeno al formar el óxido de mercurio.
Dalton usó la ley de proporciones definidas de Proust al desarrollar su teoría atómica.
+
→
2 partes de hidrógeno 1 parte de oxígeno 1 parte de agua gaseosa
La ley también se aplica a los múltiplos de la proporción fundamental.
+
→
4 partes de hidrógeno 2 partes de oxígeno 2 partes de agua gaseosa
Ahora responde:
Si queremos formar agua y tenemos ocho partes de hidrógeno, doce partes de hidrógeno o diez partes de hidrógeno, ¿con cuántas partes de oxígeno deben reaccionar, respectivamente?
• ¿En qué relación se encuentran el hidrógeno y el oxígeno en todos los casos anteriormente menciona-dos?
3
Serie de razones geométricas equivalentes
Saberes previos
• Sabemos que: 80 = 16 . 5 = 4 5Entonces a qué es igual:
1. 50
2. 48
• Resuelve las ecuaciones:
3. 3k + 4k + 5k = 48
4. Hallar "a" y "b" en: a 3 = b 5 = 2 5. Reducir: (2m)2 + (2n)2 + (2p)2 m2 + n2 + p2 =
Conceptos básicos
Serie de razones geométricas equivalentes
Se denomina así al conjunto de más de dos razones geométricas que tienen el mismo valor.
Ejemplos: 15 30 = 7 14 = 14 28 = 8 16= 0,5
←
Valor de la razón35 7 = 10 2 = 40 8 = 25 5 = 5
←
Valor de la razón En general: a1 c1 = a2 c2 = a3 c3 = ... = acnn = k Donde:"a1"; "a2"; "a3";...; "an"
→
antecedentes" c1"; "c2"; "c3"; …; " cn"
→
consecuentesk
→
constante de proporcionalidad o valor de la razón También: a1: Primer término a2: Tercer términoc1: Segundo término c2: Cuarto término etc.
Propiedades
• a1 + a2 + a3 + ... + an c1 + c2 + c3 + ... + cn = k • a1 . a2 . a3 . ... . an c1 . c2 . c3 . ... . cn = kn • am1 cm1 = a m 2 cm2 = a m 3 cm3 = ... = a m n cmn = kmSabías que...?
Una serie de razones geométricas equivalentes y continuas, se expresa de la siguiente manera: a b = b c = c d = de = ... = k
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Síntesis teórica
a m = bn = cp = dq = k a b = bc = cd = de "a"; "b"; "c"; "d"⇒
Antecedentes "m"; "n"; "p"; "q"⇒
Consecuentes Serie de razones geométricas equivalen-tes y continuas PropiedadesSERIE DE RazOnES GEOmétRICaS EqUIvalEntES
a = mk b = nk c = pk d = qk a + b + c + d m + n + p + q = k a . b . c . d m . n . p . q = k4
Aplica lo comprendido
10 x 5 50 1. Completar:• En una serie de razones geométricas equiva-lentes, la suma de……… dividido entre la suma de………. es igual a la cons-tante de proporcionalidad.
2. Completar la siguiente serie de razones geomé-tricas equivalentes: 30 = 7 = 1428 = 16 3. En la siguiente serie: a b = b c = c d = de= k Deduce y completa en el espacio en blanco:
• a = e.k • b = e.k
4. Dada la siguiente serie: 18 6 = 24 8 = 12 4 = 155 Completa:
• El segundo término es……... • El tercer antecedente es………... • El 12 es el …...…… término 5. Se tiene la serie: a b = b c = c d = de Completar: • El último antecedente es ………... • El segundo consecuente es ………... • El tercer término diferente es …...
antecedentes consecuente 15 14 4 3 6 12 quinto d c c
3
Serie de razones geométricas equivalentes
Aprende más
1. En una serie de razones equivalentes los conse-cuentes son: 3; 5 y 9 y la suma de los antece-dentes es 102. Hallar la razón geométrica.
2. Si se tiene: a 4 = b 8 = c 10 = d15 a . b
+
c . d = 1 638 hallar "a + b + c + d" 3. Si: 4 a = 7 b = 8 c = 10d y además: b . c = 504 hallar "a + b + c + d"4. En una serie de tres razones geométricas equi-valentes, los consecuentes son 30; 35 y 15. Si el producto de los antecedentes es 1 008, hallar la constante de proporcionalidad. 5. Si: a 3 = b 5 = c 7 y además: (a + b + c)b(a + b – c) = 375 Calcular: 5a – b – c 6. Dada la serie: 9 a = b 35 = 18 c = d20 y además: b – d = 9, hallar "a + b + c + d" 7. Si se tiene: p2 12 = q 2 27 = r 2 48 = s 2 147 (p + s) – (q + r) = 36, hallar "p + q + r + s" 8. Si se cumple: A a = B b = C c = Dd A + B + C + D = 45 a + b + c + d = 125 Hallar: E = 2 3( Aa + Bb + Cc + Dd) 9. Si: 9 a = 15 b = 33 c = 21d
y además: c – a + b – d = 6, hallar "a . c"
10. Si: b a =d c =ef =k, hallar: a2 + c2 + e2 ab + cd + ef
11. Los pesos de tres recipientes son proporcionales a los números 8; 12 y 15. Si el peso total con-tenido en los tres asciende a 2 100 kg, ¿cuánto pesa el menor de los tres?
12. Las edades actuales de tres hermanos son pro-porcionales a los números 3; 4 y 7. Si el menor nació cuando el mayor tenía 12 años, hallar la suma de las edades de los hermanos dentro de 10 años. 13. Dada la serie: a b = c d = e f = k Hallar: a20 + c20 + e20 b20 + d20 + f20 14. Si se tiene: A m = B n = C p A2 + B2 + C2 = 324 hallar: E = 5 2 Am + Bn + Cp m2 + n2 + p2
15. En una serie de tres razones geométricas conti-nuas y equivalentes, la suma del primer antece-dente y último consecuente es 189. Si la suma de las tres razones es 6, calcular el segundo an-tecedente.
aplicación cotidiana tres días con la ley
16. El número de asistentes en los tres días que duró la última presentación
del grupo "La Ley" el mes pasado se observó que por cada 4 del primer día asistieron 5 del segundo día y 8 del tercer día. Si las entradas tuvieron un precio único de $ 25, ¿cuántas personas asistieron el último día, si la recaudación por las tres presentaciones ascendió a $ 85 000?
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1. Si:a 4 = b 5 = c 7 y a + 3c = 75, hallar "b" 2. Si:m 3 = n 7 = p 8; calcular: E = 4m – n + 2p n + 2p3. Si: a . b . c = 1 008, hallar "a + b + c", en: a 30 = b 35 = c 15 4. Si: 32 b = b c = c 4 = 4e, hallar "e" 5. Si: a 9 = b 6 = 4 c
además "a" es a "b" como "b" es a "c", hallar: a – b
6. En una serie de razones iguales, los antecedentes son los cuatro primeros números primos, siendo la suma de los cuadrados de los consecuentes 34 800. Entonces el consecuente mayor es:
7. En una serie de razones geométricas, los ante-cedentes son 2; 3; 4 y 5. Si la suma de los con-secuentes es 98; luego la suma de las cifras del mayor consecuente es:
8. En una serie de razones geométricas, los antece-dentes son los tres primeros impares naturales. Si la suma de los consecuentes es 108, entonces el mayor consecuente es:
9. Tres números son entre sí como 5; 7 y 8. Si se suman 5; 10 y "n" al primer, segundo y tercer término respectivamente, la nueva relación es ahora 11; 16 y 21. Hallar "n" 10. Dada la serie: a b = c d = e f Si: a2 . c2 . e2 b2 . d2 . f2 + a2 + c2 + e2 b2 + d2 + f2 = 4 112 hallar: E = a b + c d + e f
¡Tú puedes!
1. Sabiendo que: a 7 = b 9 = c 11 = d15 y: a + b + c = 36, calcular el valor de "d". a) 20 b) 25 c) 42 d) 52 e) 48 2. Si: a 5 = b 8 = c15 y además: 3a – 5b + 2c = 245, hallar el valor de "a + b + c".
a) 892 b) 1 436 c) 842 d) 982 e) 1 372 3. Si: a b = c d = e f = 12, hallar: 2a 4b2 + 3a2e2 – 5e4f 2b6 + 3b2f2 – 5f5 –1 a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17
4. Se tiene tres números "a"; "b" y "c" que suman 1 270 y cumplen que: a + b a – b = 23 7 y b + c b – c = 13 7. Hallar "a" a) 400 b) 200 c) 300 d) 550 e) 750
5. Hallar "a + b", si: 1111 aaaa = 2222 bbbb = 3333 cccc y: a + b + c = 360 a) 120 b) 180 c) 150 d) 160 e) 280
Practica en casa
18:10:453
Serie de razones geométricas equivalentes
11. En una serie de cuatro razones geométricas, los antecedentes son los cuatro primeros números naturales. Si la suma de los consecuentes es 190, entonces el mayor consecuente es:
12. Si: a b = c d = e f = K2 y b.d.e = R 2 K2 (R > 0) hallar: a . c . f 13. Sabiendo que: 15 A = 24 B = 33 C y que: 4A – 2B + 5C = 295 calcular: A + B + C 14. Si: a2 12 = b2 27= c2 48 = d2 75 (b + d) – (a + b) = 210, hallar: a + b + c + d 15. Si: a2 – 16 68 = b2 – 25 85 = c2 – 49 119 además: a + b + c = 12 Determinar: 2a + 3b – c
UNIDAD 2
¿cómo determinarías el ancho
de este río?
E
l río Marañón es el más importante del Perú, porque es uno de los principales afluentes del curso alto del río Amazonas.• ¿Te parece esta zona muy inaccesible?
• ¿De qué manera podríamos estimar el ancho de este río?
APreNDIzAjeS eSPerADoS
Razonamiento y demostración
• Interpretar los resultados que se obtienen de la resolución de problemas de carácter real. Comunicación matemática
• Representar matemáticamente en forma ade-cuada enunciados vinculados a la proporción.
• Interpretar enunciados de proporcionalidad. • Comprender que la proporcionalidad resuelve
muchos problemas de carácter comercial. Resolución de problemas
• Resolver problemas que involucren reparto proporcional así como su aplicación que es regla de compañía y ejercicios de regla de tres.
1
magnitudes proporcionales
magnitudes proporcionales
En este capítulo aprenderemos:• A identificar la proporcionalidad directa y la proporcionalidad inversa. • A interpretar los gráficos entre magnitudes D.P. e I.P.
• A resolver ejercicios de gráficos con rectas e hipérbolas.
la proporcionalidad, herramienta auxiliar de la electrostática
C
oulomb desarrolló la balanza de torsión con la que determinó las propiedades de la fuerza elec-trostática. Este instrumento consiste en una barra que cuelga de una fibra capaz de torcerse. Si la barra gira, la fibra tien-de a regresarla a su posición original, con lo que conociendo la fuerza de tor-sión que la fibra ejerce sobre la barra, se puede determinar la fuerza ejerci-da en un punto de la barra. La ley de Coulomb también conocida como ley de cargas tiene que ver con las cargas eléctricas de un material, es decir, de-pende de que sus cargas sean negativas o positivas.Saberes previos
1. Determina el valor de "x": 18 21 = 24 x⇒
x = • Suma las componentes del punto "A".2. 18 12 A B 3. 18 9 A B 3 6 • Con: A = 3; B = 2 y C = 6, hallar: 4. A . B2 C
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Conceptos básicos
magnitud
Es todo aquello que puede ser medido o cuantificado; ejemplo: el área de un terreno, la edad de una per-sona, etc.
magnitudes proporcionales
Dos magnitudes serán proporcionales si son dependientes entre sí, es decir, si una de ellas varía, la otra también varía.
Clases de magnitudes
magnitudes directamente proporcionales (D.P.)
También denominadas simplemente proporcionales. Las magnitudes "A" y "B" son directamente pro-porcionales (D.P.), cuando el cociente entre sus valores correspondientes es una constante.
Es decir: "A" D.P. "B"
↔
AB = k (constante)o también: A = Bk Se denota: A
∝
BSi una magnitud se duplica, triplica, cuadruplica, etc. la otra magnitud lo realiza en la misma relación.
Ejemplo:
Sean las magnitudes "costo" del kg de arroz y "cantidad" de arroz. magnitudes valores correspondientes
A: Costo 2 4 6 10 …
B: kg arroz 1 2 3 5 …
Del cuadro, observamos que si dividimos el costo entre el número de kg de arroz se obtiene una cantidad constante.
Esta gráfica nos indica que a medida que "B" (número de kg de arroz) aumenta; también "A" (costo) aumenta, o si "B" disminuye también "A" disminuye.
Gráficamente: 6 A 4 2 1 2 3 4 5 B 10 Costo (S/.) (kg arroz) Recta
¡Ahora hazlo tú! • Del gráfico anterior, ¿cuál es el costo de 7 kg de arroz?
"Cuando dos magnitudes son D.P. entonces la división de sus valores correspondientes es siempre constante".
1
magnitudes proporcionales
magnitudes inversamente proporcionales (I.P.)
Dos magnitudes "A" y "B" son inversamente proporcionales cuando el producto entre sus valores co-rrespondientes es una constante.
Es decir: "A" I.P. "B" ↔ A. B = k (constante)
o también: A = kB Se denota: A 1
∝
BEsto significa que al duplicarse "A", "B" se reduce a su mitad y si "A" se cuadruplica, "B" se reduce a la cuarta parte, etc.
Ejemplo:
Un móvil al recorrer un tramo con una velocidad de 20 km/h se demoró 8 horas. Si duplica su velocidad, entonces se de-morará menos tiempo en recorrer el mismo tramo específica-mente lamitad del tiempo; es decir 8
2 horas = 4 horas. magnitudes valores correspondientes
A: Velocidad 20 40 80 …
B: Tiempo 8 4 2 …
Del cuadro, observamos que si multiplicamos la velocidad por el tiempo se obtienen siempre, para este cuadro, 160 una cantidad constante. Gráficamente: 60 A 40 20 2 4 6 8 B 80 (Velocidad) (Tiempo) Hipérbola equilátera
¡Ahora hazlo tú! • Del gráfico anterior, ¿cuánto tiempo se demora para una velocidad de 10 km/h?
"Cuando dos magnitudes son I.P. entonces el producto de sus valores correspondientes es siempre constante".
Recuerda que...
Propiedades • Si: "A" D.P. "B" "A" D.P. "C"⇒
A B . C = k • Si: "A" D.P. "B" "A" I.P. "C" "A" D.P. "D"⇒
A. C B . D = kAritmética
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Síntesis teórica
maGnItUDES
magnitudes proporcionales
Proporcionalidad compuesta
PropiedadesDirectamente proporcionales Inversamente proporcionales
pueden ser "A" D.P. "B" A B = k "A" I.P. "B" A . B = k más de dos magnitudes "A" D.P. "B" "A" I.P. "C" A . C B = k pueden ser Recta Hipérbola
Aplica lo comprendido
10 x 5 501. Une con una flecha, la gráfica que corresponda: • Magnitud D.P. • Hipérbola equilátera • Magnitud I.P. • Recta
2. Coloca verdadero (V) o falso (F) según conven-ga:
• an D.P. bn
⇒
"a" I.P. "b" ... ( )• "A" I.P. "B"
⇒
A D.P. 1B ... ( )
3. Coloca verdadero (V) o falso (F) según conven-ga:
• A D.P.1
B
⇒
An (I.P.) Bn ... ( ) • "A" D.P. "B""A" D.P. "C"⇒
"A" D.P. "BC"... ( )4. Escribir en los espacios en blanco, la relación entre las magnitudes:
• Velocidad de un auto ... Distancia • Número de obreros ... Obra • Obra ... Tiempo
5. Une con una flecha: • a1
b1 = a2
b2 =... = abnn (I.P.) • a1 . b1 = a2 . b2 = … = an . bn (D.P.)
1
magnitudes proporcionalesAprende más
1. Si "A" es D.P. a "B", hallar: x + y 15 A 12 y 4 x 10 B2. Se sabe que "A" es D.P. a B e I.P. a C2. Si: A = 3 cuando B = 36 y C = 8, hallar "B", cuan-do A = 6 y C = 4.
3. "P" varía D.P. a "Q" e I.P. a "R", cuando Q = 240 y R = 600 entonces P = 30. Hallar "P", cuando Q = 500 y R = 150.
4. "M" es D.P. a "B" e I.P. a C3 . Calcular el valor de "M" cuando B = 2 y C = 64, si se sabe que cuando M = 16; C = 216 y B = 6.
5. "A" varía D.P. con la diferencia de dos núme-ros. Cuando: A = 15, la diferencia es 6. ¿Cuán-to vale esta diferencia, si: A = 18?
6. Si "A" es D.P. a B2 y D.P. a C, hallar "A",
cuan-do B = 2 y C = 25, si cuancuan-do B = 5 y C = 16 entonces A = 15.
7. Si la siguiente gráfica muestra dos magnitudes inversamente proporcionales, hallar "a + b".
P Q a b 8 5 25 10
8. Se sabe que "A" es D.P. a B2, ¿en cuántas veces
aumenta "A", cuando "B" aumenta en su triple?
9. El gasto de un profesor es D.P. a su sueldo, siendo el resto ahorrado. Si su sueldo equivale a S/. 900 ahorra S/. 90. ¿Cuál será su sueldo, cuando su gasto sea de S/. 1 260?
10. Se tienen dos magnitudes "A" y "B" tales que "A" es D.P. a B2. Si cuando "B" aumenta en 2 unidades, el valor de "A" se cuadruplica, ¿qué sucede con el valor de "A", si "B" aumenta en 4 unidades?
11. Si "A" es directamente proporcional a la raíz cuadrada de "B", completar el siguiente cuadro y dar la suma de los valores obtenidos.
A 240 160
B 81 225
12. "A" es directamente proporcional a "B" y C2 e
inversamente proporcional a "D" y "E". Cuando A = 2B; D = 4; C = 2 entonces E = 3. Calcular "E", cuando A = 72; D = 6; B = 2 y C = 3E
13. El precio de un televisor a color varía en forma D.P. al cuadrado de su tamaño e I.P. a la raíz cuadrada de la energía que consume. Si cuando su tamaño es de 14 pulgadas y consume "E" de energía su precio es de S/. 360, ¿cuánto costará un televisor cuyo tamaño es de 21 pulgadas y consume E
4 de energía?
14. El precio de un diamante es directamente pro-porcional al cuadrado de su peso. Si un diaman-te que pesa 80 gramos cuesta $ 320, ¿cuánto costará otro diamante de 100 gramos de peso?
15. Del gráfico, calcular "x". A
b x
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aplicación cotidiana la ley de Boyle16. Es la ley de los gases ideales que relaciona el volumen y la presión de una cierta cantidad de gas mantenida a temperatura constante. Cuando la presión se multiplica por un número el volumen se divide entre el mismo número y si la presión se divide entre un número entonces el volumen se multiplica por el mismo número. ¿A qué presión está sometida un gas, si al aumentar esta presión en 2,5 atmósferas, el volumen varía en un 20%?
¡Tú puedes!
1. El alargamiento que sufre una barra es proporcional a su longitud y a la fuerza que se aplica, e I.P. a su sección y rigidez. Si a una barra de acero de 100 cm de largo y 31 mm2 de sección se le aplican 2 000 newton, sufre un alargamiento de 1 mm. Hallar qué alargamiento ocasiona 800 newton aplicado a una barra de aluminio de 70 cm de largo y 12,4 mm2 de sección, sabiendo que la rigidez del aluminio
es la mitad que la del acero.
a) 1,4 b) 1,2 c) 3 d) 2,5 e) 1
2. La magnitud "A" varía proporcionalmente a la magnitud B2 e I.P. a la magnitud "C"; así mismo "B" va-ría D.P. a la raíz cuadrada de "D" y "C" vava-ría I.P. a la magnitud "E". Si: A = 40; D = 2 y E = 5, hallar "A", cuando: D.E = 20.
a) 40 b) 80 c) 30 d) 50 e) 100
3. En cierto proceso de producción se descubre que ésta era D.P. al número de máquinas e I.P. a la raíz cuadrada de la antigüedad de ellas. Si inicialmente habían 15 máquinas con 9 años de uso y se consi-guen 8 máquinas más con 4 años de uso cada una, determinar la relación entre la producción actual y la anterior.
a) 5:9 b) 4:9 c) 5:4 d) 4:11 e) 9:11
4. La potencia del motor de un automóvil es D.P. a su capacidad e I.P. a los años de uso. Si un motor de 4,2 litros de capacidad y 3 años de uso tiene una potencia de 72 caballos, ¿cuántos caballos de poten-cia tiene otro motor de 6,3 litros de capacidad y 6 años de uso?
a) 54 b) 42 c) 36 d) 40 e) 45
5. La resistencia de un conductor metálico de sección recta circular es proporcional a su longitud e inver-samente proporcional al cuadrado de su diámetro. ¿Qué sucede con la resistencia, cuando su longitud se duplica y el radio se hace la mitad de su valor?
a) Se multiplica por 4 b) Se multiplica por 8 c) Se divide entre 16 d) Se divide entre 8 e) Se multiplica por 15
1
magnitudes proporcionalesPractica en casa
18:10:45 1. Si "A" es D.P. a "B", calcular: x . y 15A 12 y 4 x 10 B2. Si "A" y "B" son magnitudes proporcionales re-presentadas mediante el siguiente gráfico, cal-cular "x". A B 18 x 4 6
3. Si las magnitudes "P" y "Q" son inversamente proporcionales, hallar "a + b"
P 4 b 12
Q a 10 5
4. Se sabe que "M" varía D.P. al cuadrado de "R" e I.P. al cubo de "S". ¿Cuál expresión representa la relación entre las tres magnitudes? (K = cons-tante de proporcionalidad). a) M R2S = K b) MR2S3 = K c) MS3 R2 = K d) MR2 S3 = K
5. Sabiendo que "A" es D.P. a B2, y las variaciones
de las magnitudes "A" y "B" se muestran en el siguiente cuadro. Hallar: a + b + d.
A 27 6a + d d a
B a b 4 8
6. Siendo "A" D.P. al cuadrado de "B" e I.P. al cubo de "C", hallar "m" y "p" del siguiente cuadro:
A B C
12 4 5
7. Si "A" y "B" son magnitudes proporcionales re-presentadas mediante el siguiente gráfico, cal-cular "x". A B a 40 20 4 x 16
8. La presión de un gas es directamente proporcio-nal a su temperatura absoluta. Si a la temperatu-ra de 300 K la presión es de 2 atmósfetemperatu-ras, ¿a qué temperatura la presión es de 2,5 atmósferas?
9. "A" es D.P. a B2 y D.P. a C. Hallar "A",
cuan-do B = 2 y C = 25, si cuancuan-do B = 5 y C = 16 entonces A = 15.
10. "M" es D.P. con P2 e I.P. con N/2, cuando
M = 18; P = 3 y N = 8. Hallar "N", cuando "P" es 6 y "M" es 45.
11. "A" varía D.P. con la diferencia de dos núme-ros. Cuando A = 15, la diferencia es 6. ¿Cuánto vale esta diferencia, si: A = 20?
12. El precio de una casa es directamente propor-cional al área e inversamente proporpropor-cional a la distancia que la separa de Lima. Si una casa ubi-cada a 75 km cuesta S/. 45 000, ¿cuánto costará una casa del mismo material, si su área es el doble y se encuentra a 150 km de distancia?
13. La potencia del motor de un automóvil es direc-tamente proporcional a su capacidad e inver-samente proporcional a los años de uso. Si un motor de 4 litros de capacidad y tres años de uso tiene una potencia de 80 caballos, ¿cuántos años de uso tiene otro motor de 6 litros de capa-cidad y 90 caballos de potencia?
14. El precio de un diamante es directamente pro-porcional al cuadrado de su peso. Si un diamante que pesa 20 gramos cuesta 4 000 dólares, ¿cuán-to costará otro diamante que pesa 25 gramos?
15. "A" y "B" son dos magnitudes D.P. Cuando el valor inicial de "B" se triplica, el valor de "A"
32
2
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Aprende más
1. Las edades de tres hermanas hace cuatro años estaban en la misma relación que 2; 3 y 4. Si dentro de cuatro años será como 6; 7 y 8, ¿qué edad tiene la mayor?
2. Cinco es la cuarta proporcional de "a"; 6 y "b" y además "b" es la cuarta proporcional de "a"; 9 y 30, halle "a + b".
3. Halle la cuarta proporcional de 56; "m" y "n", sabiendo que "m" es la media proporcional de 28 y 7 y "n" es la tercera proporcional de 9 y 12.
4. Determinar la tercera proporcional entre la me-dia proporcional de 9 y 16 y la cuarta propor-cional de 10; 15 y 14.
5. En una reunión social las cantidades de inge-nieros, médicos y arquitectos forman una pro-porción aritmética continua de razón 20. Si por cada 7 ingenieros hay 2 arquitectos, ¿cuántos son en total?
6. La suma de dos números es a su diferencia como 6 es a 1. Si el producto de los dos números es 5 040, indicar la diferencia de los numerales.
7. En un momento de una fiesta, el número de hombres que no bailan es al número de perso-nas que están bailando como 1 es a 6. Además el número de damas que no bailan es al número de hombres como 3 es a 20. Encontrar el nú-mero de damas que están bailando, si en total asistieron 456 personas.
8. En un corral hay patos y gallinas. Si el número de patos es al total como 3 a 7 y la diferencia entre patos y gallinas es 20, ¿cuál será la rela-ción entre patos y gallinas al quitar 50 gallinas?
9. Cuatro números son proporcionales a: 1; 2; 3 y 5, además la suma de los cubos de dichos nú-meros es 1.288. El mayor es:
10. En una proporción geométrica continua, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los cuatro términos es 15, entonces la diferencia entre los términos mayor y menor es:
11. En una serie de razones geométricas equiva-lentes de razón 3, los consecuentes son tres números consecutivos. Hallar la suma de los consecuentes, sabiendo que el producto de an-tecedentes es 5 670.
12. Sabiendo que la razón geométrica de dos nú-meros cuya diferencia de cuadrados es 180, se invierte al sumar 6 al menor y restar 6 al mayor, hallar su producto.
13. En una tienda el número de lapiceros azules es al número de rojos como 24 es a 31. Si en un día se vendieron la quinta parte de los lapiceros de los cuales los rojos y azules están en la pro-porción de 9 a 13, ¿en qué relación quedaron los lapiceros sin vender?
14. En una proporción geométrica continua, la suma de los consecuentes es 9 y el producto de los términos diferentes es 216. Hallar la suma de los antecedentes.
15. Del gráfico, hallar "a + b". y
8 6 1,6
2
complemento
¡Tú puedes!
1. Dos ruedas de 24 y 39 dientes están concatenadas. En el transcurso de 4 minutos una da 50 vueltas más que la otra. Hallar la velocidad del menor en rev/min.
a) 38,5 b) 20 c) 37,5 d) 32,5 e) 22,5
2. El precio de impresión de un libro es directamente proporcional al número de páginas e inversamente proporcional al número de ejemplares que se impriman. Se editaron 2 000 ejemplares de un libro de 400 páginas cuyo costo es $ 6 el ejemplar. ¿Cuánto costará editar un ejemplar, si se mandaron a im-primir 1 800 libros de 360 páginas?
a) $ 6 b) 8 c) 4 d) 7 e) 5
3. El sueldo de un empleado es directamente proporcional a su rendimiento e inversamente proporcional al número de días que ha faltado a trabajar. Si Juan tuvo un sueldo mensual de S/. 600 y su rendimiento es como 5 y faltó 4 días, entonces, ¿cuál es el sueldo de Carlos, si su rendimiento es como 8 y faltó 3 días?
a) S/. 960 b) 1 080 c) 1 280 d) 1 440 e) 980
4. La siguiente figura muestra la gráfica de dos magnitudes directamente proporcionales: La producción de una fábrica respecto al número de obreros. La primera recta se ha obtenido con obreros experi-mentados y la segunda con obreros nuevos. La gerencia desea averiguar en primer lugar, ¿cuál sería su producción con 60 obreros experimentados?, y en segundo lugar, ¿cuántos obreros nuevos necesitaría para producir con ellos 1 760 artículos?
1300 Producción Número (Obreros) 1 100 50 Obreros experimentados Obreros nuevos a) 1 560; 90 b) 1 240; 70 c) 1 560; 80 d) 1 560; 70 e) 1 650; 90
5. La cantidad de demanda de cierto bien es directamente proporcional al cubo de la inversión en publi-cidad e inversamente proporcional al cuadrado del precio unitario. Si el año pasado se vendieron 64 millones de artículos a S/. 200 e invirtió en publicidad S/. 4 000 , ¿cuánto hay que invertir este año en publicidad, si se quiere vender 80 millones de artículos a S/. 250 cada uno?
Aritmética
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1. Tres números son proporcionales a 2; 5 y 7. Si la diferencia del segundo y el primero es 15, indicar el tercer número.
2. En una reunión el número de hombres es al número de mujeres como 8 es a 7. Si en to-tal asistieron 90 personas, indicar el número de mujeres, si se retiran 7 parejas.
3. En un corral el número de patos excede al nú-mero de gallinas en 75 y además se observa que por cada 8 patos hay 5 gallinas. ¿Cuál es el número total de patos y gallinas que hay en el corral?
4. Se tiene dos magnitudes "A" y "B" tales que "A" es D.P. a B2; además cuando A = 75, entonces B = 5. Hallar "A", cuando B = 4.
5. El sueldo de un empleado es proporcional al cuadrado de la edad que tiene. Si actualmente tiene 18 años, ¿dentro de cuántos años cuadru-plicará su sueldo?
6. La gráfica muestra los valores que toman dos magnitudes "A" y "B". Calcular "m + n".
A B m 8 18 12 36 n
7. En el siguiente gráfico, calcular "a + b". A B a + 16 b 32 24 a a – 24
8. Se tienen tres magnitudes "A", "B" y "C" tales que "A" es D.P. a "C" e I.P. a B . Hallar "A", cuando B = C2 sabiendo que A = 10; B = 144
y C = 15.
9. La razón geométrica entre dos números cuya suma es 91, se invierte si se añade 19 al menor y se quita 19 al mayor. ¿Cuál es el mayor de dichos números?
10. La razón aritmética de dos números es a la ra-zón geométrica de los mismos, como el menor es a 7/4. ¿En qué relación se encuentran dichos números?
11. En una proporción aritmética discreta los extre-mos son entre sí como 4 a 3 y los medios son entre sí como 5 a 9. Si la suma de los antece-dentes es 68, calcular la cuarta diferencial.
12. En una reunión la relación del número de hom-bres con el número de mujeres es 8/5, pero lue-go el número total de personas aumentó en un 20%, quedando el número de hombres aumen-tado en su 30%. Hallar la nueva relación que hay entre el número de hombres y el número de mujeres.
13. Si A + B es D.P. a C2; cuando A = 6 y B = 3,
entonces C = 3. Hallar "B", si: C = 6 y A = 9.
14. El costo de un terreno es I.P. al cuadrado de la distancia que lo separa de Lima y D.P. a su área. Un cierto terreno cuesta 500 mil soles y otro terreno de doble área y situado a una distancia cuádruple que la anterior costará:
15. Dos veteranos de guerra tienen concedidas pensiones que son D.P. a las raíces cuadradas del número de balazos que recibieron. Si el pri-mero recibió 24 balazos más que el segundo y las pensiones están en la relación de 91 a 65, ¿cuántos balazos recibió el segundo?
Practica en casa
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reparto proporcional simple
reparto proporcional simple
En este capítulo aprenderemos:• A comparar los dos tipos de reparto proporcional simple.
• A comprender que el reparto proporcional simple es un ejercicio de proporciones. • A resolver problemas de reparto proporcional simple directo e inverso.
• A resolver problemas de contexto real y matemático que implican utilizar reparto pro-porcional simple directo o inverso.
El reparto: ¿habilidad o técnica?
E
l reparto proporcional ha sido fuente de inspiración para ingeniosos problemas relacionados con la vida cotidiana y que incluso se les puede encontrar en algunas narraciones que tienen como principal objetivo entretener al lector; textos como "El hombre que calculaba" o "Aritmética recreativa" son solo dos ejemplos que podemos citar. Si bien es cierto que en la actualidad ya no se requieren tantas complicaciones para hacer un sencillo reparto, nos sirve como ejercicio para posterior-mente podernos adaptar a situaciones reales en las cuales la distribución toma en cuenta muchas variables las que interactúan simultáneamente, para ello se estructuran pequeños modelos que nos permitirán idealizar la situación y poder lograr el cometido. Leamos la siguiente historia: "Cuando con un amigo íbamos por un camino, encontramos a un hom-bre que ansiosamente nos preguntó:–¿Traéis quizás algo de comer? Me estoy muriendo de hambre... –Me quedan tres panes –respondí
–Yo llevo cinco –dijo a mi lado mi compañero
–Pues bien, sugirió él, yo os ruego que juntemos esos panes y comamos en forma equitativa e igual. Cuan-do lleguemos a Bagdad prometo pagar con ocho monedas de oro por el pan que coma.
Al llegar a aquella ciudad y sacando las ocho monedas nos dijo:
–Quiero repetiros mi agradecimiento por el gran auxilio que me habéis prestado y para cumplir la palabra dada os pagaré lo que tan generosamente disteis. Y dirigiéndose al hombre que calculaba le dijo:
–Recibirás cinco monedas por los cinco panes y volviéndose a mi añadió: –Y tú ¡Oh Bagdalí!, recibirás tres monedas por los tres panes
Mas con gran sorpresa mía, el calculador objetó respetuoso.
–¡Perdón, oh, Jeque! La división, hecha de ese modo, puede ser muy sencilla, pero no es matemáticamente cierta.
"El HOmBRE qUE CalCUlaBa" • ¿Puede usted, alumno sagaz, decirme como deben repartirse las valiosas ocho monedas?"
Aritmética
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Saberes previos
1. ¿Cómo plantearías "cuatro números son propor-cionales a 2; 4; 5 y 7"?
2. Calcula el m.c.m. de: 24; 30 y 15
3. Determina la inversa de: 2 3
4. Resolver: 3k + 5k + 6k = 280
5. Simplificar: 18 × 2 15 =
Conceptos básicos
Reparto proporcional simple
El reparto proporcional simple es un procedimiento aritmético que consiste en descomponer una cantidad en varias partes que son directamente o inversamente proporcionales a dichos números llamados conve-nientemente índices.
Reparto simple
Reparto simple directo.
En este caso las partes son directamente proporcionales.
Ejemplo:
• Repartir 600 en partes D.P. a los números 2; 3 y 7. Dar la mayor parte. Solución: D.P. Partes donde: k = 600 2 + 3 + 7 = 50 ∴ a = 100 b = 150 c = 350 600 2
⇒
a = 2k 3⇒
b = 3k 7⇒
c = 7k¡Ahora hazlo tú! • Repartir 250 en partes D.P. a los números 9; 11 y 5.
Reparto simple inverso
En este caso las partes son inversamente proporcionales.
Ejemplo:
• Repartir S/. 1 800 en forma I.P. a los números 3; 4 y 6. Dar la parte intermedia. Solución: I.P.<> D.P. Partes Donde: k = 1 800 4 + 3 + 2 = 200 ∴ a = 800 b = 600 c = 400 1800 3 1 3 × 12 = 4
⇒
a = 4k 4 1 4 × 12 = 3⇒
b = 3k 6 1 6 × 12 = 2⇒
c = 2k3
reparto proporcional simple
¡Ahora hazlo tú! • Repartir S/. 370 en forma I.P. a los números 5; 6 y 4.
Síntesis teórica
REPaRtO PROPORCIOnal SImPlE
Directo Ejercicios Inverso o puede ser Puede ser Cuando se reparte en
forma D.P. Cuando se reparte en forma I.P.
Aplica lo comprendido
10 x 5 50 1. Repartir 3 300 D.P. a 3; 1 y 7. 2. Repartir 6 200 I.P. a 3; 7 y 1.3. Marca verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda:
• Cuando al mayor le toca más y al menor menos, se trata de un reparto inverso. ( ) • Repartir D.P. a1 3; 1 5 y 1 es lo mismo que repartir D.P. a 5; 3 y 15. ( )
4. Coloca verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda:
• Cuando se reparte 390 I.P. a 1; 4 y 7, la mayor cantidad obtenida fue 280.
( )
• Si un reparto de ganancias se hace a los capitales impuestos, se hace en forma I.P.
( )
5. Repartir 600 en forma I.P. a 1 2;
1 5 y
1 7.
