mEDIDaS DE tEnDEnCIa CEntRal

Para datos agrupados:

Mo = L_inf + w

D

1

D

₁ +

D

₂

Donde:

L_inf: Límite inferior de la clase modal. w: Ancho de clase

D

₁ = f_mo – f_{mo – 1}

D

₂ = f_mo – f_{mo + 1}

f_mo: frecuencia absoluta simple de la clase modal.

f_{mo + 1}: frecuencia absoluta simple de la clase posterior a la clase modal.

f_{mo – 1}: frecuencia absoluta simple de la clase anterior a la clase mo- dal.

Síntesis teórica

mEDIDaS DE tEnDEnCIa CEntRal

Moda Mediana

Media

Variable cuantitativa discreta Variable cuantitativa continua

Aplica lo comprendido

10 x 5 50 1. La media es la ……… aritméti- ca de los datos.

2. Para calcular la media de datos agrupados se usa: x = k

S

f_i x_i i = 1 n x =

S

k x_i h_i i = 1 Donde: f_i: ……… h_i: ……… x_i: ……….. 3. Completa:

"La ……… es aquel dato que ocupa la posición central, cuando están ordena-

4. Completa para datos agrupados: Me = L_inf + w n 2 – Fme – 1 f_me L_inf: ……….. f_me: ………

5. Para datos agrupados, la moda se determina de la siguiente manera:

Mo = L_inf + w

D

1

D

₁ +

D

₂ Explica que es D₁ y que es D₂.

Aritmética

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166

• Se analizan las notas de 20 alumnos en el curso de Aritmética, recogiéndose los siguientes datos: 03 04 08 02 11 07 10 12 16 15 07 11 10 06 09 09 10 13 13 14

1. ¿Cuántos estudiantes aprobaron el curso, según los datos originales?

2. Calcular la moda para los datos sin agrupar.

3. Calcular la media para los datos sin agrupar.

4. Calcular la mediana para los datos sin agrupar.

5. De la siguiente tabla de distribución de frecuen- cias, calcular: f₂ – f₁ + n. Clases f_i h_i F_i H_i [10; 20

〉

0,1 [20; 30

〉

[30; 40

〉

0,3 [40; 50

〉

25 0,8 [50; 60

〉

20

6. Calcular la media, la mediana y moda de la muestra anterior.

7. Dada la siguiente tabla de distribución de fre- cuencias, hallar: f₁ + f₃ + F₄ I_i f_i h_i F_i H_i [10; 20

〉

0,1 [20; 30

〉

[30; 40

〉

24 0,3 [40; 50

〉

30 0,85 [50; 60

〉

8. Si se tiene la siguiente distribución de frecuen- cias sobre las estaturas (en metros) de un grupo de 50 jóvenes. Intervalo de clase f_i H_i [1,55; 1,60

〉

[1,60; 1,65

〉

[1,65; 1,70

〉

[1,70; 1,75

〉

5 0,96 [1,75; 1,80

〉

Determinar qué porcentaje de jóvenes poseen una estatura no menor de 1,70 m, si se sabe que: h₁ = h₅ y h₂ = h₄

9. Calcular la media, la mediana y moda de la muestra anterior.

10. De la siguiente distribución de frecuencias de las notas de 25 alumnos, se pide completar el tablero con un ancho de clase constante igual a 2 y f₄ = f₅ I_i f_i F_i x_if_i 15 [ ; 6

〉

20 14 25

Si la mínima nota aprobatoria es 10, ¿qué tanto por ciento de los alumnos desaprobaron?

11. Completar la siguiente tabla de distribución de frecuencias sobre la cantidad de personas aten- didas por los empleados de un banco durante 1 día e indicar qué tanto por ciento del total de empleados atienden de 20 a 33 personas.

Cantidad de personas atendidas fi hi Hi [12 ; 18

〉

0,10 [ ; 24

〉

0,30 [ ; 30

〉

42 [ ; 36

〉

18

12. La siguiente tabla nos muestra los intervalos de clase y la frecuencia relativa de una tabla de distribución de frecuencias del número de pan- talones que producen los empleados en una fá- brica. Calcular que tanto por ciento de personas producen de 5 a 8 pantalones.

I_i [5; 7

〉

[7; 9

〉

[9; 12

〉

[12; 15

〉

h_i 2k k + 0,02 0,08 3

2k • (Para los problemas del 13 al 15)

Se clasificó la inversión de un grupo de compañías mineras en una tabla de frecuencias. Se sabe que la máxima inversión es de 56 millones de soles, que la amplitud de los intervalos es de 8 millones de soles y que las frecuencias absolutas correspondientes a los intervalos son: 1; 16; 21; 9; 8; 3; 2

13. ¿Qué porcentaje de compañías invierten 24 mi- llones como mínimo?

4

medidas de tendencia central

¡Tú puedes!

1. Reconstruir la siguiente distribución simétrica y determinar la

media y la mediana muestral. Ii fi Fi Hi

[10; 12

〉

7 0,14 [12; 14

〉

0,24 [14; 16

〉

[16; 18

〉

[18; 20

〉

a) 15; 15 b) 14; 15 c) 15; 15,5 d) 14; 15,5 e) 14,5; 15

2. En el siguiente cuadro se muestra la frecuencia de las edades de una muestra de gente joven. Calcule el ta- maño de la muestra, así como la frecuencia relativa del intervalo número 5.

Frecuencia

absoluta Frecuencia relativa Frecuencia relati-va acumulada

[ 0; 4

〉

[ 4; 8

〉

[ 8; 12

〉

0,3 [12; 16

〉

20 0,85 [16; 20

〉

30 a) 200; 0,20 b) 300; 0,30 c) 200; 0,05 d) 130; 0,15 e) 180; 0,10

3. El gráfico mostrado indica la variación porcentual de cada año del precio del dólar (tipo de cambio). Si al finalizar el año 2004, el dólar se cotizará a S/. 3,65, determine la cotización al finalizar el año 1999.

2000 Año % 2001 2002 2003 2004 1999 12% 15% 13% _12% 16% 10% a) 1,41 b) 1,92 c) 1,93 d) 2,50 e) 2,20

4. De la siguiente ojiva, calcule la media y la moda. F_i 72

42

12 100

60

14. Hallar la inversión promedio en soles. 15. Hallar la mediana de los datos clasificados (en millones) de las compañías.

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168

5. Si la moda de la variable aleatoria "x" es un número impar, hallar la media aritmética. |x − y| = 1 x_i f_i 3 10 4 12 5 18 + x 6 18 + y 7 4 8 8 9 15 10 10 Total 100 a) 5 b) 4 c) 6 d) 7 e) 6,3

Practica en casa

18:10:45

1. Dado el conjunto de variables a investigar: masa, profesión, grado de instrucción, longitud del aula, temperatura en el aula, nacionalidad y rapidez, ¿cuántas de ellas son variables cuanti- tativas?

2. Se pregunta a los alumnos sobre las carreras profesionales que desean estudiar, mostrándose en la tabla los siguientes resultados:

Profesión # de alumnos

Abogado 18

Ingeniero 24

Médico 17

Profesor 11

Según los datos, ¿qué porcentaje de alumnos desean ser médicos?

3. En la tabla de datos de una empresa, se observa lo siguiente: Ocupación # de personas Técnicos 19 Empleados 21 Obreros 28 Ayudantes 32

Según los datos, ¿qué porcentaje de personas son técnicos?

4. Se obtuvo las siguientes notas en el curso de Fí- sica: 10; 09; 12; 15; 10; 09; 12; 14; 10; 18 y 10. ¿Cuál es la frecuencia absoluta correspondiente a la nota 12?

5. Se tiene las edades de diez alumnos: 12; 11; 11; 10; 12; 11; 10; 12; 10 y 13. Sumar las frecuen- cias relativas correspondientes a las edades 11 y 13 años.

6. ¿Cuál es la media de: 17; 16; 15; 17; 18; 12; 14; 13; 18 y 20?

7. De los valores del problema anterior, ¿cuál es la mediana (Me)?

8. En una fiesta se le pregunta las edades a 18 per- sonas y se obtuvo lo siguiente: 15; 17; 16; 17; 17; 16; 15; 16; 17; 18; 15; 17; 16; 15; 16; 17; 16 y 17. De dichos datos, ¿cuál es la moda?

9. Si la media de 20; 15; 16; 20; 17; 18; 19; a; 16 y 16 es igual a 18, ¿cuál es el valor de "a"?

10. Suponga que el gráfico representa la produc- ción de harina de pescado entre los años 1961 y 1971 expresada en miles de toneladas métricas. ¿De cuántos miles de toneladas fue la produc- ción en 1965? 800 700 600 500 400 300 200 100 1961 1966 1971

4

medidas de tendencia central

11. Si el siguiente diagrama representa las unidades de jabón producidas por una cierta fábrica du- rante los años respectivos, ¿en qué año hubo mayor producción? 1971 1970 1969 1968 1967 1966 1965 1960 1955 100 200 300 400 500 600 700 800 12. La mediana de: 17; 20; 13; 12; 14; m; 15; 12; 19 y 12 es 14, calcular "m".

13. Reconstruir la siguiente distribución simétrica y determinar la media y la mediana muestral:

Intervalos f_i F_i H_i [10; 12

〉

7 0,14 [12; 14

〉

0,24 [14; 16

〉

[16; 18

〉

[18; 20

〉

14. Dados los siguientes datos:

06; 08; 13; 04; 12; 12; 08; 07; 04; 13; 15; 07; 08. Calcular la suma de la media, moda y mediana.

15. Dada la distribución de frecuencias de cierto número de alumnos:

Edades 20 22 24 26 28

f_i 5 4 6 3 2

Determinar el promedio aritmético entre la me- diana y la media.

170

5

Aritmética

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complemento de estadística

Aprende más

• Dada la siguiente distribución de frecuencias, según el número de empleados por empresa.

Número de empleados Frecuencia (f_i)

[ 0; 10

〉

5 [10; 20

〉

20 [20; 30

〉

35 [30; 40

〉

40 [40; 60

〉

50 [60; 80

〉

30 [80; 100

〉

20 [100; 140

〉

20 [140; 180

〉

15 [180; 200

〉

15 Total 250

1. Determinar el porcentaje de empresas que tie- nen un número de empleados entre 50 y 90. Enunciado

En una fábrica se hizo un estudio sobre la edad de los trabajadores; con el fin de establecer un plan de seguro grupal. Los resultados fueron los siguientes:

22 34 60 33 32 30 47 37 61 38 30 34 47 41 55 67 32 49 46 48 42 42 46 43 53 46 48 26 51 23 55 41 57 44 45 67 31 51 47 52

2. ¿Cuántos trabajadores tienen por lo menos 49 años y qué porcentaje representan?

3. ¿Qué porcentaje de trabajadores tienen de 39 a 58 años?

Enunciado

Se clasificó la inversión de un grupo de compañías mineras en una tabla de distribución de frecuencias. Se sabe que la máxima inversión es de 56 millones de soles; que la amplitud de los intervalos es de 8 millones de soles y que las frecuencias absolutas co- rrespondientes a los intervalos son: 1; 16; 21; 9; 8; 3 y 2.

4. ¿Qué porcentaje de compañías invierten menos de 40 millones de soles?

5. ¿Qué porcentaje de compañías invierten 24 mi- llones como mínimo?

6. Hallar la inversión promedio (en millones de soles)

Enunciado

La siguiente información representa la composición de una dieta alimenticia.

Gramos Calorías

Carbohidratos 500 2 050

Proteínas 100 410

Grasas 100 930

7. ¿Qué porcentaje del total de calorías de la dieta, se debe a las proteínas?

Enunciado

Se tiene la siguiente tabla de distribución de frecuen- cias relativas de 300 empleados, según su edad.

Edades n_i [19; 21] 0,15 [22; 24] 0,25 [25; 27] 0,40 [28; 30] 0,10 [31; 33] 0,10

8. ¿Qué porcentaje de los empleados tienen de 25 años a más?

5

complemento de estadística

9. ¿Cuántos empleados tienen 27 años o menos? Enunciado

La siguiente distribución muestra el peso en gramos de 30 paquetes en un determinado producto.

Peso (g) n_i [10; 14] K/2 [15; 19] 0,17 [20; 24] 2K [25; 29] K [30; 35] 0,13

10. ¿Cuántos paquetes tienen de 22 gramos a más? Enunciado

A partir de los siguientes datos:

2 4 8 3 3 9 5 8 1 4

5 8 9 1 10 4 0 10 10 3

3 0 10 12 2 7 8 4 2 9

9 6 2 5 7 3 2 7 4 10

9 4 6 5 1 6 9 3 11 9

11. Calcular la mediana para los datos agrupados.

12. Calcular la moda para los datos agrupados.

Enunciado

Se analizan las notas de 20 alumnos en el curso de Estadística, recogiéndose los siguientes datos:

3; 4; 8; 2; 7; 11; 10; 12; 16; 15; 7; 11; 13; 10; 6; 9; 9; 10; 13; 14

13. Agrupe los datos en intervalos de ancho común igual a 4 y complete la siguiente tabla:

I_i x_i f_i F_i h_i H_i x_i . f_i [ 0 ;

〉

[ ;

〉

[ ;

〉

[ ;

〉

[ ;

〉

Dar como respuesta: F₃ + H₄ + x₂ . f₂

14. ¿Cuántos estudiantes aprobaron el curso según los datos originales y según los datos agrupa- dos? Dar como respuesta la diferencia de los valores obtenidos. (Nota aprobatoria igual a 10)

15. ¿Cuántos obtuvieron notas superiores o iguales a 15? Dar como respuesta la diferencia de los valores obtenidos (en datos originales y en da- tos agrupados)

¡Tú puedes!

1. El siguiente pictograma muestra las preferencias de los alumnos del colegio Trilce por sus diferentes cursos, indicando su número de alumnos y porcen- tajes que representan. Calcule:

a + b + c + d + e + f. 16%G c 48 T d% 64_Q e% 6% F f 10% X b A10% a a) 142,6 b) 152,6 c) 154,8 d) 146,8 e) 116,4

2. Complete la siguiente tabla de frecuencias, refe- rida a las edades de los trabajadores de una fábri- ca de clavos. Indique:

Edad [20; 30

〉

[30; 40

〉

[40; 50

〉

[50; 60

〉

[60; 70

〉

f₁ 12 14 19 21 14

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172

3. Se tiene los datos respecto al número de hijos que posee cada una de las familias de un pueblo joven elegidos al azar. Calcule la moda.

Si: A = [0; 10] w_i = 2 (

∀

i)

• f₁ = f₅; f₂ = f₄ • f₁ + 4 = f₂ + 2 = f₃

a) 4 b) 6 c) 7 d) 5 e) 3

4. Se ha medido, mediante pruebas adecuadas, los coeficientes intelectuales de 100 estudiantes, vinien- do los resultados agrupados en seis intervalos de amplitud variable. Si estas amplitudes (ancho de clase) son W₁ = W₃ = 4, W₂ = W₄ = 12, W₅ = W₆ = 6 y las frecuencias relativas acumuladas son: H₁ = H₂ = H₃ – 0,3 = 0,02, H₄ = H₁ + H₃; H₅ = 0,85 y el límite inferior del primer intervalo es igual a 80. ¿Qué porcentaje de los estudiantes poseen un coeficiente intelectual entre 98 y 118?

a) 30% b) 42% c) 58% d) 60% e) 68%

5. En una distribución simétrica de siete intervalos de igual ancho de clase, se conocen los siguientes datos, a base de los cuales se pide reconstruir la distribución y calcular la media aritmética

• w = 10 • x₃ + f₄ = 211 • H₆ = 0,96

• f₁ = 8 • H₃ = 0,21 • f₃ + f₅ = 62

a) 105 b) 102 c) 100 d) 98 e) 96

Practica en casa

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1. En base a la siguiente tabla de distribución de frecuencias que muestra el número de hijos por familia, ¿qué porcentaje tiene menos de 5 hijos?

x_i f_i 2 10 3 8 4 16 5 10 6 6 2. Completa el tablero: I_i f_i F_i h_i [ 53 – 63

〉

3 [ 63 – 73

〉

6 [ 73 – 83

〉

11 [ 83 – 93

〉

21 [ 93 – 103

〉

28 [103 – 113

〉

30

3. Determina la media, mediana y moda de los si- guientes datos: 17; 21; 15; 12; 23; 25; 28; 28; 26; 30 4. De acuerdo al gráfico: I_i x_i f_i [2 – 4> 2 [4 – 6> 8 [6 – 8> 3 [8 – 10> 7

Hallar la media, mediana y moda.

5. En cierta fábrica se hizo un estudio sobre la edad de los trabajadores y se obtuvo la siguien- te tabla:

EDAD 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69

n_i 8 15 30 12 5

¿Qué porcentaje de empleados tienen 50 años o más?

Enunciado

Dado el tablero incompleto de la distribución de la frecuencia de las notas de 25 alumnos. Completar el tablero con un ancho de clase constante e igual a 2.

5

In document Aritmética_3°.pdf (página 165-173)