Progresiones
Objetivo: Comprender y aplicar progresiones aritméticas.
Progresión aritmética
Si analizas la sucesión infinita 2, 4, 6, 8, ...
La ley de formación de los siguientes es la
suma de 2 unidades al término anterior.
Progresión aritmética
¿Qué sucesión se tendría si el primer
término fuera -3 y la ley de formación
consistiera en sumar 5 unidades al término anterior?
Progresión aritmética
Una Progresión Aritmética (P.A.) es una
sucesión de términos a1, a2, a3, ..., an, ... tal que cada uno se obtiene de sumar un valor constante al anterior.
Ej: 3, 6, 9, 12, 15, …
Esta diferencia constante se llama DIFERENCIA ARITMETICA DE LA
PROGRESIÓN y se designa con la letra d.
Ejercita
1. Escribe los cuatro primeros términos de la P.A. si:
El primer término es 10 y a los siguientes términos
les sumas 3 de manera consecutiva.
El primer término es -5 y a los siguientes términos
les restas 2 de manera consecutiva.
El primer término es -15 y a los siguientes términos
les sumas 3 de manera consecutiva.
El primer término es 0 y a los siguientes términos les
Formulas para la progresión aritmética
a1: primer término de la P.A. d : diferencia de la P.A.
an : término enésimo de la P.A. n : número de términos de la P.A.
1 −
−
=
a
na
nd
d
n
a
a
n(
1
)
1+
−
=
Calcular el término que ocupa el lugar 50 en
una P. A. si el primero es 5 y la diferencia es 2. Solución: a1 = 5 ; d = 2 ; n = 50 ; an = ? an = a1+ (n – 1) d a50 = 5 + 49 • 2 = 103 a50 = 103
El undécimo término de una P. A. es 49 y su
diferencia es 4. Encontrar el primer término.
Solución: a11 = 49 ; d = 4 ; a1 = ? an = a1 + (n – 1) d 49 = a1 + (11 – 1) 4 a1 = 49 – 40 a1 = 9
El primer término de una P. A. es 5, su diferencia
es 4 y el término enésimo es 53. Hallar el número de términos. Solución: a1 = 5 ; d = 4 ; an = 53 ; n = ? an = a1+ (n – 1) d 53 = 5 + (n – 1) 4 4n = 52 n = 13
Determinar la P. A. cuyo quinto término es
14 y cuyo décimo término es 29. luego encuentra el termino veinteavo.
En la P. A. tal que su sexto término es 15 y
la diferencia es 3/5, hallar el término del lugar 16.
Dadas las siguientes P. A., determina
el valor del término pedido.
-2, 2, 6, 10, . . . a15
12, 7, 2, -3, -8, . . . a9
1/3, 0, -1/3, -2/3, -1, . . . a30
3, 3/5, -9/5, -21/5, . . . a17
Resuelve los siguientes
Determina la diferencia y el primer término
de una P.A. cuyo décimo quinto término es 112 y cuyo término del lugar 66 es 265.
El primer término de una PA. es 8, su
diferencia es 1/2 y ak 26. ¿Cuál es el valor de k?
Características de una progresión
aritmética
Los términos de una P.A. que se encuentran
entre dos términos dados se llaman medios aritméticos y el procedimiento para hallarlos se denomina interpolación de medio aritméticos.
Ejemplo: interpolaremos cuatro medios
aritméticos entre -8 y 12, determinaremos los seis primeros términos de PA
a= - 8; y an=12 an= a1+ (n – 1) d 12 = - 8+ (6-1)d
20/5=d d= 4
Intercala tres medios aritméticos a la P. A.
{3; a; b; c; 4}
d
n
a
a
n
(
1
)
1
+
−
=
5. Realiza las siguientes indicaciones
Interpola cuatro medios aritméticos entre 2 y 4,5 . Interpola ocho medios aritméticos entre 2 y 5. Determina el primer término de una P.A. cuyosquinto y sexto términos son 3 y -4, respectivamente.
Determina el noveno término de una P.A. cuyo
primer y tercer término son 181 y 150, respectivamente.
Determina una PA. cuyo primer término es 3 y la
suma del segundo y tercer término es 18 .
Formulas para la progresión aritmética
[
a n d]
n S n 2 ( 1) 2 1 + − = a1: primer término de la P.A. d : diferencia de la P.A.
n : número de términos de la P.A. Sn: suma de n términos de la P.A.
Podemos encontrar una formula para la sumatoria de los n primeros terminos de una P.A, la que se designara por
n
Ejemplos:
Calculemos la suma de los 20 primeros
términos de una P.A, en que el primer a1 es 3 y la diferencia entre dos términos es 4. Encontremos el numero de términos de una
P.A que debe considerarse para que la suma sea 304, si el primer termino es 4 y la
diferencia es 2.
Ejercita.
1.- deduce el decimoquinto termino de una P.A en que el primer termino es 40 y la diferencia es 0,5
2. ¿Qué lugar ocupa el número 109 en la P.A: 15, -11, -7,…?
3.- El septimo termino de una P.A es 29 y el
decimoctavo es 7. Encuentra el primer termino y la diferencia.
4.- Interpola cinco medios aritmeticos entre -4 y 8. 5.- En una P.A el quinto termino es 22 y el octavo es
Progresión geométrica
Un grupo de amigos salió a recolectar latas de bebida
con el fin de juntar dinero para una campaña solidaria. El día lunes juntaron 384 latas y cada siguiente día recolectaron el doble de lo del día anterior.
¿Cuántas latas recolectaron solo el día sábado de la
misma semana?
Plantea una fórmula que permita calcular la cantidad de latas que el grupo de amigos obtendrá el n-ésimo día de recolección, si se mantiene la ley de formación.
progresión geométrica
Una progresión geométrica (P.G.) es una
sucesión cuyos términos consecutivos an y an+1, Vn E N, tienen una razón fija dada por:
n n
a
a
r
=
+1 Donde, anes el n-ésimo término y r es la
razón entre dos términos consecutivos. En una P.G. se cumple que:
an= a1ºrn-1, Vn e N. Donde a1 es el primer término de la
Ejemplos:
Progresión geométrica razón a1 1,2,4,8,16,32,… 2 1 3, -9, 27, -81, 243 -3 3 2/5; 3/10; 9/40; 27/160,…
1. Determina en cada caso el valor del
término pedido.
Sea a1 = 1 r = 1/4. calcula a20 Sea a1 = 8 r = -1/2. calcula a8 Sea a1 = 10 r = 5. calcula a6 Sea a1 = -1/5 r = 1/2. calcula a8 Sea a1 = 5/4 r = -1/2. calcula a12 Sea a1 = 6 r = 1/3. calcula a4Interpolación de un nº finito de
terminos en una P.G
Los terminos que están entre dos términos cualquiera de una progresión se denominan medios geométricos. Ejemplo: interpolemos seis términos entre 1/3 y 729
729 ; 3 1 8 1 = a = a 1 1 −
•
=
n na
r
a
resuelve los siguientes problemas
Interpola tres medios geométricos entre 3/4 y 1/108. Interpola un medio geométrico entre 4/5 y 1/5.
Determina el valor de x para que x +1, 2x+2 y 4x +4
formen una P.G.
Si una determinada bacteria se reproduce por
bipartición cada 20 minutos, ¿cuántas bacterias habrá luego de 10 horas transcurridas desde que se detectó la primera?
Serie aritmética
Serie aritmética
La sumatoria de los primeros n términos
de una progresión aritmética es lo que se denomina serie aritmética y se calcula:
Donde a1 es el primer término, anel
término n-ésimo y d la diferencia de la P.A.
( )
(
a n d)
n S n 2 1 2 1+ − =1. Encuentra la suma de las series
aritméticas dadas.
a) 20 + 15´+ 10 + 5 + . . . + (-50)
b) 125 + 110´+ 95 + 80 + 65
c) -20 + (-16)´+ (-12) + . . . + 40
2. Resuelve los siguientes problemas.
Sea una PA. con d = 40, tal que S20 = 650.
Determina a1 y a 10.
Sea una PA. con a14= 40 y a20= 64.
Determina a1, d y S20.
Sea la P.A. b, (a+b)/2 ,a, .... Calcula la suma
2. Resuelve los siguientes problemas.
Calcula la suma de los primeros 200
números naturales.
Calcula la suma de los primeros n números
enteros positivos.
Calcula la suma de los primeros n números
naturales impares.
Una mujer desea pagar un préstamo libre de
interés de $ 1,5 millones, cancelando un primer pago de $ 100.000 y aumentando su valor en $ 5.000 cada mes. ¿En cuántos meses pagará la totalidad del préstamo? Calcula el valor aproximado del último pago.
Serie geometríca
La suma de los primeros n términos de una P.G. se
denomina serie geométrica finita.
Ejemplo: calcula la suma de los 5 primeros términos de la P.G. 4, 16, 64, 256, 1.024, 4.096,…
r
r
a
a
S
n n−
•
−
=
1
11. Resuelve los siguientes problemas.
En una P.G. r = 1/5, la suma de los cuatro
primeros términos es 312/125. Determina el primer termino.
Determine el numero de términos de una PG en
la que el primer termino es 2, la razón es 3 y la suma es 728.
Determina la suma de la PG hasta
el noveno termino. ,... 27 8 , 9 4 , 3 2 , 1
1. Resuelve los siguientes problemas.
Determina la suma de la PG {20; 2; 0,2; 0,02;…}
hasta el undécimo termino.
Determina la suma de la PG
Determina la suma de la serie infinita
Determina la suma de la serie infinita
− − ,... 64 27 , 16 9 , 4 3 , 1 ... 3 1 1 3+ + + ... 64 27 16 9 4 3 + + −
