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En España: Real Decreto 1317/1989, de 20 octubre 1.989 (B.O.E. de 3-11-1.989, p. 34.496 ss.)
Arturo Quirantes Sierra - Apuntes de Física
SISTEMAS DE UNIDADES. EL SISTEMA INTERNACIONAL
Un sistema de unidades es un conjunto coherente de unidades de medida. La coherencia implica un respeto por las constantes que aparecen en las ecuaciones físicas. La ecuación F = ma nos da una relación no sólo entre las magnitudes fuerza, masa y aceleración, sino también una relación numérica entre cantidades. Si se definiese la unidad de fuerza como dos veces la unidad de masa multiplicada por la unidad de aceleración, esa ecuación no sería válida a menos que hiciésemos F = ½ma. Todo es cuestión de convenios, pero evidentemente es más cómodo cambiar la definición de la unidad de fuerza que añadir factores numéricos adicionales a todas las ecuaciones de la Física donde intervengan fuerzas.
Esto esconde un punto importante: puesto que las ecuaciones físicas ligan unas magnitudes con otras, puede elegirse un conjunto de magnitudes fundamentales y considerar las demás como magnitudes derivadas, relacionadas con aquéllas mediante ecuaciones. Cuáles son magnitudes fundamentales es algo arbitrario: podemos tomar fuerza y aceleración como magnitudes fundamentales y ligarlas con la magnitud derivada masa mediante m =F/a.
En lo que sigue utilizaremos el Sistema Internacional (S.I.), aceptado por la mayoría de los países del mundo1. En el S.I., las magnitudes fundamentales son: masa, longitud, tiempo,
corriente eléctrica, temperatura, cantidad de materia e intensidad luminosa. Para la mecánica emplearemos únicamente las tres primeras.
La definición de las unidades va paralela a la tecnología existente y conforme ésta avanza se procura definirlas de modo más preciso. Parece absurdo hablar de precisión en una unidad patrón, puesto que una unidad es, por definición, exacta; pero un olvidemos que una unidad ha de ser constante y reproducible, de modo que dos patrones unidad para laboratorios distintos pueden diferir entre sí: una unidad como la longitud de un pie es fácilmente reproducible, pero poco constante.
Tomemos, por ejemplo, la unidad de longitud. primeramente se definió como la diezmillonésima parte de un cuadrante de meridiano terrestre. Posteriormente se comprobó que el metro patrón así construido tenía un pequeño error, y que por lo tanto un cuadrante de meridiano mediría no diez millones sino 10.001.800 de tales metros. Posteriormente se redefinió como 1.650.763'73 longitudes de onda de una radiación emitida en una transición atómica concreta. ¿Por qué 1.650.763'73 y no, por ejemplo, 1.650.000? Pues para que el metro tuviese la misma longitud con la definición nueva que con la antigua, y no haya que referirse a "metros nuevos" o "metros antiguos". Ahora, incluso esa definición ha sido sustituida por otra que permite reproducir dos patrones de longitud en dos lugares del mundo con un error menor.
Similar desarrollo tuvo lugar con la unidad de tiempo. Primeramente se definió como 1/86.400 de la duración de un día. Esta unidad así definida es reproducible, pero no constante, ya que los efectos de mareas ralentizan el giro de la Tierra sobre su eje. La solución consistió, en principio, en considerar la duración de un día concreto; en particular, se convino que la unidad de tiempo fuese tal que en el año de 1.900 cupiesen 31.556.925'9747 de tales unidades ... con lo cual lo ganado en constancia se pierde en reproducibilidad, ya que ¿cómo medimos hoy un año pasado? La definición moderna está basada en fenómenos atómicos regulares, constantes y fácilmente reproducibles.
Por contra, la unidad de masa no tiene una definición precisa y fácilmente reproducible. En un principio se definió como la masa de un volumen de agua destilada igual a 10-3 veces el volumen unidad, a 4ºC y una atmósfera. Dicha unidad no es muy precisa, ya que este patrón unidad es extremadamente sensible a cualquier modificación como variación de temperatura, presión, tensión superficial, compresibilidad, concentración de iones (no olvidemos que el agua es un magnífico disolvente), equilibrio de fases, solubilidad de aire, pH, etc. Puesto que los únicos objetos de masa constante son partículas atómicas y subatómicas de masa muy pequeña, una definición basada en ellas requeriría el contaje preciso de grandes cantidades de partículas microscópicas.
Debido a ello, se ha empleado un procedimiento poco elegante y rara vez utilizado: definir la unidad como el valor que tiene en un objeto concreto. La unidad de masa es la cantidad de masa de un objeto en particular guardado cerca de París, Francia. Es reproducible, pero ello obliga a ir a París y encargar una copia lo más exacta posible del original (no se puede, pues, reconstruir en un laboratorio cualquiera); y es exacto por definición, mas cualquier modificación -sea una rayadura o un golpe- alteraría su valor. Su sustracción o destrucción física dejaría al mundo sin unidad de masa y, aunque pudiese reconstruirse a partir de patrones secundarios (p. ej.l copias de otros institutos), no habría seguridad absoluta de que la nueva unidad coincidiera con la anterior. La definición precisa y fácilmente reproducible de la unidad de masa es una asignatura todavía pendiente.
He aquí las definiciones actuales de las unidades de tiempo, longitud y masa en el S.I.
- SEGUNDO (tiempo). Es la duración de 9.192.631.770 períodos de la vibración correspondiente a la transición entre dos niveles hiperfinos del estado fundamental en el átomo de cesio-133.
- METRO (longitud). Es la distancia recorrida por la luz en el vacío en un intervalo de tiempo de 1/299.792.458 segundos (esta definición se basa en la constancia de la velocidad de la luz en el vacío, según afirma la teoría de la Relatividad de Einstein; esta velocidad es, pues, igual por definición a 299.792.458 m/s)
- KILOGRAMO (masa). Es la masa del cilindro de platino iridiado que se conserva en Sévres, Francia (dicho patrón está vigente desde 1.887).
Sistema Magnitudes y unidades mecánicas Conversión al S.I.
CGS M(gr) L(cm) T(s) 1 gr = 10-3 kg, 1 cm = 10-2 m
Inglés F(libra) L(pie) T(s) 1 libra = 4'4482 N, 1 pie = 0'3048 m Técnico F(kg-fuerza) L(m) T(s) 1 kg-fuerza = 9'806 N
Electrostático: Id. al S.I. en Mecánica, varía en Electricidad
Los factores de conversión permiten convertir las cantidades de un sistema a otro, o bien del mismo sistema, ya que para que una ecuación física relacione cantidades -y no sólo magnitudes- han de ser expresadas respecto a la misma unidad patrón. Un método habitual de pasar de unas unidades a otras es escribir una igualdad que exprese los tamaños relativos de las unidades, y tratar dichas unidades como si fuesen relaciones algebraicas. Supongamos que, por ejemplo, deseamos convertir la velocidad v = 55 millas/hora al S.I. Conociendo el factor de conversión entre longitudes (1 milla = 1.609 m) y tiempos ( 1 hora = 3.600 s), podemos hacer:
v' 55millas hora ' 55 millas hora @ 1.609 m 1 milla @ 1 hora 3.600 s' 55@ 1.609 3.600m/s' 24 ) 58m/s
Como los factores de conversión pueden introducirse tantas veces como se quiera, puede extenderse el procedimiento a casos más complejos. Esta es una importante ventaja sobre métodos como el de la regla de tres, que solamente sirve para relaciones proporcionales de tipo lineal. Así, una velocidad de 6 m/s2 puede quedar en un imaginario sistema MHK (milla, hora, kilogramo) como: 6m s2 ' 6m s2 @ 1 milla 1.609m@ 3.600 s1 hora 2 ' [email protected] 1.609 millas h2 '•48.328 millas h2
Cualquiera que sea la unidad empleada, ha de ser capaz de permitir medidas de mediciones con cantidades muy grandes y muy pequeñas. Una solución consiste en definir unidades secundarias, lo cual requiere introducir nuevos factores de conversión: en el sistema inglés, por ejemplo, hay que recordar que 1 milla = 1759'6 yardas, 1 yarda = 3 pies, 1 pie = 12 pulgadas, etc. Para aprovechar la simplicidad de contar con una sola unidad patrón se suelen escribir los números mediante la llamada notación científica: consiste en expresar un número como el producto de un número comprendido entre 1 y 10 por una potencia de diez (esta notación es usual en las calculadoras científicas para números de módulo inferior a 0'001 o superior a 100.000.000). De este modo se evita introducir un gran número de ceros y, por otro lado, se facilitan las operaciones de cálculo.
Veamos un ejemplo. Un año-luz es la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un año; podemos hallar su valor mediante la ecuación l = v*t. De forma aproximada, podemos poner v como 300.000 km/s, o 300.000.000 m/s = 3*108 m/s. Por otro lado, un año es igual a
(365 días/año)*(24 h/día)*(86.400 s/h) = 365*24*86.400 s = 31.536.000 s = 3'1536*107 s. De ahí resulta que un año-luz es:
1 a-l = 1 año*300.000 km/s = (3'1536*107 s)*(3*108 m/s) = (3'1536*3)*(107+8)
Otro ejemplo: la energía asociada a un fotón con longitud de onda 8 es E = hc/8, donde c = 3*108m/s es la velocidad de la luz y h = 6'626*10-34 kg*m2/s es la llamada constante de
Planck. Para un fotón de luz roja, con 8=6'3*10-7m: E'hc 8' (6 )626@10& 34kg@m2/s)@(3@108m/s) 6)3@10& 7m ' ' 6 )626@3 6,3 @(10
& 34% 8& (& 7))@kg@m2 s @ m s@ 1 m' 3 )155@10& 19kg@m2/s2
A un nivel de conversación coloquial, sin embargo, resulta poco intuitivo usar la notación científica, y así no existe la tendencia a dar la distancia total recorrida en el rally Granada-Dakar como "uno coma dos cinco por diez elevado a siete metros". El modo tradicional consiste en usar cientos, miles, millones, etc, y transformar la expresión anterior en, por ejemplo, "doce coma cinco millones de metros". Otra opción consiste en la definición de múltiplos y submúltiplos, que no son más que unidades cuyo factor de conversión respecto a la unidad fundamental es una potencia entera de diez. Los múltiplos (mayores que la unidad) y submúltiplos (menores que la unidad) se indican mediante un prefijo. Así, el prefijo kilo- indica una unidad 103 = 1.000 veces
mayor, con lo que 1 kilo-metro = 1.000 metros. Con ello, la longitud del Granada-Dakar queda como 1'25*107 m = 1'25*104*(103 m) = 12.500 km, que es más fácil de entender para nosotros.
Del mismo modo, "micro" significa "millonésima de" (10-6), con lo que podemos escribir 6'7*10-5
segundos como 67*106s = 67 milisegundos. Los múltiplos y submúltiplos del S.I. son los
siguientes:
MÚLTIPLOS SUBMÚLTIPLOS
Prefijo Abreviatura Valor Prefijo Abreviatura Valor
deca D 101 = 10 deci d 10-1 = 0'1 hecto H 102 = 100 centi c 10-2 = 0'01 kilo K 103 = 1.000 mili m 10-3 = 0'001 mega M 106 micro µ 10-6 giga G 109 nano n 10-9 tera T 1012 pico p 10-12 peta P 1015 femto f 10-15 exa E 1018 atto a 10-18
Pasaremos de una unidad a otra sin más que multiplicar por sus respectivas potencias de diez. Así, si un micrometro es 10-6m y un kilómetro es 103m, se sigue que 1 km = 109 µm, ya
que: 1km' 1km@103m 1 km@ 1 µm 10& 6m ' 103 10& 6 µm' 103& (& 6)µm' 109µm
Podemos considerar los múltiplos y submúltiplos como escalones que se extienden por encima y por debajo de la planta baja, representada por la unidad principal; para ir del metro al kilómetro hay que "subir" tres escalones, y para ir la micrómetro hay que "bajar" seis escalones, por lo que del km al µm hay 9 escalones de diferencia.
Finalmente, es necesario hacer una consideración acerca del carácter de las leyes físicas. Cada ley o principio relaciona cuantitativamente magnitudes, es decir, liga distintas cantidades. Si (X1), ... (Xn), (Y) son cantidades, una relación del tipo (Y)-(X1)a1*(X2)a2... *(Xn)an significa que, si la cantidad (Xi) se hace k veces mayor, la cantidad (Y) se hará kai veces mayor. Estas
relaciones no dependen del sistema de unidades. Pero, puesto que una cantidad no es más que una medida multiplicada por una unidad (tres metros, cinco segundos, etc.), el paso a una ecuación entre medidas implica la introducción de una constante de proporcionalidad. Sea x el valor de una medida y Ux su unidad correspondiente. La relación (X) = xUx conduce a
Y' C@xa1 1 @x a2 2 ...x an n
Puede suceder que C sea una constante cuyo valor dependa del cuerpo o sistema con que se opere (constante característica), o bien que sea independiente de la naturaleza del sistema (constante universal). La determinación de cuáles de las constantes son universales resulta complejo y sujeto a múltiples determinaciones. Puede hacerse que la mayoría de las constantes universales valgan la unidad, sin más que elegir convenientemente el valor de las unidades. Sin embargo, no es posible elegir un sistema de unidades que haga igual a uno todas las constantes universales, y a las que tienen un valor no igual a uno se las llama constantes universales ineludibles. En el S.I. se tienen por ahora las siguientes constantes universales ineludibles, junto con su valor y error más precisos obtenidos hasta ahora:
Cte. Nombre Valor Error relativo (p.p.m)
h Cte. Planck 6'6260755*10-34 J*s 0'60
K Cte. Boltzmann 1'380658*10-23 J*K 8'5
Na Número de Avogadro 6'0221367*10 mol-1 0'59
c Velocidad luz (vacío) 299.792.458 m/s 0 (exacto por definición) G Cte. gravitación univers. 6'67259*10-11 m3kg-1s-2 128
µo Permeabilidad del vacío 4B107=1'256637*10-6 NA-2 0 (exacto por definición)
Existen otras constantes universales relacionadas con éstas. Como ejemplos, están la permitividad del vacío go = 1/µoc
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, la constante de estructura fina " = µoce/2h, la constante molar
