Teoría de Grafos. Ivan D. Molina N.

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Teor´ıa de Grafos

Ivan D. Molina N.

20 de octubre de 2017

(2)

(3)

´

_{Indice general}

1. Teor´ıa de Grafos 7

1.1. Grafos . . . 7

1.2. Arboles . . . 10

1.2.1. Arboles de Expansi´on . . . 12

1.3. Isomorfia de Grafos . . . 12

1.4. Grafos Eulerianos y Hamiltonianos . . . 12

1.5. Grafos Planos . . . 13

1.6. Otras definiciones . . . 14

1.7. Operaciones de Grafos . . . 15

1.8. Conexidad y Independencia y Cobertura . . . 15

1.9. Bloques . . . 17

1.10. Emparejamientos(Matching) . . . 18

1.11. Factorizaci´on . . . 18

1.12. Coloreado y Clique . . . 19

1.13. Grafo Potencia y Grafo de Linea . . . 22

1.14. Grafos Perfectos . . . 23 1.15. Numero de Cruce . . . 23 1.16. Coloreado Completo . . . 24 1.17. Grafos Dirigidos(Digrafos) . . . 25 1.18. Torneos . . . 26 1.19. Aplicaciones . . . 28 1.19.1. Programaci´on de periodos . . . 28

1.19.2. Locura Instant´anea . . . 31

2. Flujo de Red 33

(4)

(5)

Lista de Algoritmos

(6)

(7)

Cap´ıtulo 1

Teor´ıa de Grafos

1.1. Grafos

Definici´on 1 Un grafo, no dirigido, G es una pareja (V, A), donde V es un conjunto finito y A es un conjunto cuyos elementos son subconjuntos de V con dos elementos. Esto es,

A ⊆ {{x, y} | x, y ∈ V }

Cada v ∈ V se llama vértice o nodo y cada a ∈ A se denomina arista o lado. Definición 2 Si a = xy := {x, y} ∈ A, entonces decimos que los vértices x y y son adyacentes o que la arista a incide con x y y. Si x = y, entonces decimos que a es un bucle o un lazo.

Definición 3 Si dos vértices v, w inciden en una misma arista, i.e., {v, w} ∈ E, diremos que los vértices son adyacentes, y lo notaremos como v ∼ w y en caso contrario v w

Definici´on 4 Si un grafo no contiene aristas m´ultiples ni lazos, lo llama-remos Grafo Simple.

Si un grafo no contiene lazos, lo llamaremos Multigrafo

En general si un grafo contiene lazos, o puede contener lazos o aristas m´ultiples lo llamaremos PseudoGrafo.

Definición 5 Sean G = (V, A) un grafo y v ∈ V . El número de aristas que inciden en v, descartando lazos, se denomina grado o valencia de v y se nota con grad(v). Si existen lazos, entonces asumimos que cada uno de estos contribuye dos veces con el grado del vértice sobre el cual incide.

Definici´on 6 Sea G un grafo. Denotamos como V (G) el conjunto de v´ertices de G

Definici´on 7 Sea G un grafo. Denotamos como E(G) el conjunto de aristas de G

(8)

Definición 8 Sea G un grafo. decimos que n es el orden de G si n es el numero de vértices del grafo, es decir, |V (G)| = n. Y decimos que m es el tamaño de G si m es el numero de aristas del grafo, es decir, |E(G)| = m.

Definici´on 9 Sea G un grafo Notaremos como δ(G) al grado menor de G y como ∆(G) al mayor grado, de manera que para todo v´ertice v ∈ V (G)

δ(G) ≤ grad(v) ≤ ∆(G)

Teorema 10 La suma de los grados de los v´ertices de un grafo es igual al doble del n´umero de aristas.

Corolario 11 Sea G = (V, A) un grafo con V = {v1, · · · , vn}. Entonces:

1.

n

X

j=1

grad(vj) es un n´umero par.

2. Existe un numero par de v´ertices con grado impar.

Definici´on 12 Sea G un grafo, y sea v ∈ V (G), decimos que v es un v´ertices aislado si grad(v) = 0

Definici´on 13 Un grafo simple Kn se denomina completo, si tiene n v´ertices

y cada par de v´ertices son adyacentes. Ejemplo 14 Los primeros grafos completos

K1 K2 K3 K4 K5 K6

K7 K8 K9 K10

Figura 1.1: Primeros 10 Grafos Completos

Definici´on 15 Sean G = (V, A) y H = (V0, A0) dos grafos. Decimos que H es un subgrafo de G, si y solo si V0⊆ V y A0_{⊆ A.}

Definición 16 Un subgrafo de expansión H de un grafo G es un subgrafo con el mismo conjunto de vértices que G, es decir, V (H) = V (G)

(9)

Definici´on 17 Sea G = (V, A) un grafo.

1. Si a, b ∈ V , entonces un camino de longitud n de a hasta b es una n + 1-tupla (v0, v1, · · · , vn) con v0 = a, vn = b, vj ∈ V y cada vj es adyacente

con vj+1. En este caso, a se llama v´ertice inicial y b el v´ertice final.

2. Un camino en el que no aparecen aristas repetidas se llama recorrido. 3. Un recorrido en el que no hay v´ertices repetidos (salvo eventualmente el

primero y el ´ultimo) se llama camino simple.

4. Un camino en el que coinciden el primer y el ´ultimo v´ertice se llama camino cerrado.

5. Un recorrido que es a la vez camino cerrado se llama circuito. 6. Un circuito que a su vez es camino simple es un ciclo.

Definici´on 18 Sea G = (V, A) un grafo.

1. G se denomina conexo, si para todo u, v ∈ V existe un camino de u hasta v.

2. Un grafo no conexo es la uni´on de subgrafos conexos. Cada uno de es-tos subgrafos se denomina una componente, y notaremos como k(G), el numero de componentes de G.

Definici´on 19 Sea G un grafo conexo de orden n y sea u, v dos v´ertices de G. Definimos la distancia entre u, v como la menor longitud de un recorrido de u a v y se denota dG(u, v) o simplemente d(u, v)

Definici´on 20 La mayor de todas las distancias de un grafo conexo G se de-nomina di´ametro y se simboliza como diam(G)

Definici´on 21 Sea G un grafo y u, v ∈ V (G) y u − v un camino de u a v, decimos que u − v es un geod´esico, si y solo si la longitud del camino u − v es igual a d(u, v)

Ejercicio 22 Modele los siguientes problemas mediante un grafo:

1. Suponga que tenemos 2 monedas, una de plata y una de oro, colocadas en una cuadricula de ajedrez de 2 × 2. Hay 12 posibles configuraciones. Una configuraci´on puede ser transformada a otra mediante dos posibles operaciones:

Mover una de las monedas horizontal o verticalmente a una posici´on no ocupada.

Intercambiar las 2 monedas del tablero.

2. Suponga que tenemos una colecci´on de palabras de 3 letras.

{ACT, AIM, ARC, ARM, ART, CAR, CAT, OAR, OAT, RAT, T AR} Decimos que una palabra W1 puede ser transformada en una palabra W2,

si W2 puede ser obtenida de W1 aplicando alguna de las siguientes

(10)

Intercambiar 2 letras en W1

Remplazando una letra de W1 por otra letra.

3. Dado el conjunto de los primeros 13 números naturales(1, 2, 3, . . . , 13). Una relación R de estos números está dada por xRy ⇔ x + y es primo. Construya el grafo de esta relación y muestre su distribución de grados. Definición 23 Un grafo G es regular si los vertices de G tiene el mismo grado y es regular de grado r o r-regular si el grado es r

Teorema 24 Sean r, n enteros, existe un grafo r-regular de orden n, si y solo si, 0 ≤ r ≤ n − 1 y r y n no son ambos impares

Definición 25 Un grafo G es bipartido(o bipartito) si V (G) puede ser particio-nado en 2 subconjuntos U, W (Llamados conjuntos partitos) tal que cada arista de de G una un vértice de U con un vértice de W

Definici´on 26 Un grafo G es un grafo bipartido completo si V (G) puede ser particionado en dos conjuntos U, W , tal que {u, w} = uw es una arista de G, si y solo, u ∈ U , w ∈ W . Si |U | = s y |W | = t entonces es un grafo bipartido completo de orden s + t, notado como Ks,t

Teorema 27 Un grafo G es bipartito si y solo si, G no contiene ciclos de longitud impar.

Definici´on 28 Para un entero k ≥ 1, un grafo G es llamado k-partido si V (G) puede ser particionado en k subconjuntos tal que cada arista de G una 2 v´ertices en 2 conjuntos diferentes.

1.2. Arboles

Definici´on 29 Un grafo simple, conexo que no tiene ciclos (ac´ıclico) se deno-mina un ´arbol

(11)

∧

¬

⇒

p q

r

Teorema 31 Si G es un árbol con n vértices (n ≥ 2), entonces G tiene por lo menos dos vértices de grado 1.

Teorema 32 Sea G es un grafo simple con n v´ertices (n ≥ 2). Entonces son equivalentes:

1. G es un ´arbol.

2. G tiene n - 1 aristas y no tiene ciclos. 3. G tiene n - 1 aristas y es conexo.

Ejemplo 33 (De la l´ogica) Sea F0:= P un conjunto de letras y para n ∈ N0

definimos Fn+1:= Fn∪ {¬α | α ∈ Fn} ∪ {(α ∗ β) | α, β ∈ Fn, ∗ ∈ {∨, ∧, ⇒, ⇔}} Entonces F or = [ n∈N0 Fn

Los elementos del conjunto For se denominan formulas proposicionales. Como consecuencia de la unicidad en la escritura de una f´ormula proposi-cional podemos definir el conectivo principal de una f´ormula α que no es una letra proposicional.

Si α = ¬β, con β ∈ F or, entonces el conectivo principal de α se define como ¬.

Si α = (ψ ∗ φ), con ψ, φ ∈ F or y ∗ un conectivo binario, entonces ∗ es el conectivo principal de α.

Dada la proposición (¬(p ⇒ q) ∧ r), el árbol asociado a esta proposición es el siguiente, con altura 3

(12)

1.2.1. Arboles de Expansi´

on

Definición 34 Dada la definición de subgrafo de expansión(Definición 16), si el subgrafo resultante es un árbol, lo llamaremos árbol de expansión. Notaremos con τ (G) el numero de arboles de expansión del grafo G.

Teorema 35 (Teorema de Cayley) El numero de arboles con n v´ertices es nn−2

Corolario 36 Ses G un grafo, si G ∼= Kn, entonces hay nn−2 arboles de

ex-pansi´on.

Definici´on 37 Sea G un grafo, sea A(G) la matriz de adyacencia de G, y sea D(G) la matriz de grados de G(todas las entradas 0, excepto en la diagonal Duu= grad(u)), definimos la matriz de Kirchhoff de G es K(G) = D(G) −

A(G). Esta matriz es tambi´en llamada la matriz laplaciana de G.

Teorema 38 (Teorema de Kirchhoff ) Sea K la matriz de Kirchhoff de un grafo G. Entonces τ (G) = (−1)u+v_det(K

uv), para cualesquiera indices u, v(Kuv

es la submatriz formada por eliminar la fila u y la columna v).

1.3. Isomorfia de Grafos

Definici´on 39 Dos grafos G1 = (V1, A1) y G2 = (V2, A2) se dicen isomorfos,

si existe una biyecci´on f : V 1 −→ V 2 tal que para todo u, v ∈ V 1 se verifica la siguiente propiedad:

{u, v} ∈ A1⇐⇒ {f (u), f (v)} ∈ A2

Es decir, f preserva la relaci´on de adyacencia entre v´ertices. Como es usual, escribimos G1∼= G2 y decimos que f es un isomorfismo de grafos.

Resulta evidente que si |V1| 6= |V2|, entonces G1 y G2no pueden ser

isomor-fos.

Definici´on 40 Dos grafos son homeomorfos si ambos pueden ser obtenidos por el mismo grafo insertando nuevos v´ertices de grado 2 entre sus aristas.

1.4. Grafos Eulerianos y Hamiltonianos

Definici´on 41 Un camino(recorrido) euleriano en un grafo es un recorrido que usa cada arista una y s´olo una vez.

Definici´on 42 Un ciclo(tour, circuito) euleriano en un grafo es un ciclo que usa cada arista una y s´olo una vez. Si existe tal ciclo denominaremos al grafo euleriano.

Definición 43 Un camino(recorrido) hamiltoniano en un grafo es un re-corrido que usa cada vértice una y sólo una vez.

(13)

Definición 44 Un ciclo(circuito) hamiltoniano en un grafo es un ciclo que usa cada vértice una y sólo una vez. Si existe tal ciclo denominaremos al grafo hamiltoniano.

Teorema 45 Un grafo conexo es Euleriano, si y solo si, todos los v´ertices de G tienen grado par.

Teorema 46 Un grafo conexo G tiene un camino Euleriano, si y solo si, tiene exactamente dos v´ertices de grado par. Adicionalmente ese camino empieza en uno de estos v´ertices y termina en el otro.

Definici´on 47 Para un grafo G, escribimos σ2(G) como la m´ınima suma de

los grados de 2 v´ertices no adyacentes.

Teorema 48 (Teorema de Ore) Sea G un grafo de orden n ≥ 3. Si σ2(G) ≥

n, entonces G es Hamiltoniano

Corolario 49 (Teorema de Dirac) Sea G un grafo de orden n ≥ 3 tal que grad(v) ≥ n/2

para todo v´ertice v de G, entonces G es Hamiltoniano

Definici´on 50 La clausura C(G) de un grafo G de orden n es el grafo obtenido de G por recursivamente uniendo pares de v´ertices no adyacentes cuya suma de grados sea al menos n

Corolario 51 Sea G un grafo de orden n ≥ 2, si σ2(G) ≥ n − 1, entonces G

contiene un camino Hamiltoniano.

Teorema 52 Un grafo es Hamiltoniano, si y solo si, su clausura es Hamilto-niana.

Teorema 53 Sea G un grafo de orden n ≥ 3, Si C(G) es completo, entonces G es Hamiltoniano.

1.5. Grafos Planos

Definici´on 54 Un grafo G se denomina plano si puede ser dibujado en el plano sin que dos aristas se crucen. tal dibujo es llamado una incrustaci´on de G en el plano.

Definici´on 55 Toda representaci´on plana de un grafo G divide al plano en el que se encuentra en regiones, las cuales denominamos caras, una de las cuales es infinita.

Teorema 56 F´ormula de Euler Todo grafo simple, conexo y plano con n v´ erti-ces y q aristas divide al plano que lo contiene en r caras y se verifica que

(14)

Corolario 57 Sea G un grafo plano con n v´ertices, m aristas, f regiones and k componentes. entonces

n − m + r = k + 1

Corolario 58 Si G es un grafo conexo simple con n(≥ 3) v´ertices y m aristas, entonces m ≤ 3n − 6. Si adicionalmente, G no contiene tri´angulos, entonces m ≤ 2n − 4.

Corolario 59 K5 y K3,3 son grafos no planos.

Teorema 60 Un grafo es plano si y solo si no contiene subgrafos homeomorfos a K5 y K3,3

Teorema 61 Un grafo es plano si y solo si no contiene subgrafos contraibles a K5 y K3,3

Teorema 62 Todo grafo plano simple contiene un v´ertice de grado a lo mas 5.

1.6. Otras definiciones

Definici´on 63 Un grafo ponderado asocia un valor o peso a cada arista en el grafo. El peso de un camino en un grafo ponderado es la suma de los pesos de todas las aristas atravesadas.

Definición 64 Denominaremos como grafo nulo, al grafo cuyo conjunto de aristas sea vació. Notaremos como Nn al grafo nulo con n vértices

N6

Definición 65 Denominaremos como grafo de camino, grafo de ruta o textbfgrafo de recorrido, al árbol con todos sus vértices de grado 2, excepto los dos de grado 1. Notaremos como Pn al grafo de camino con n vértices

P4

Definición 66 Denominaremos como grafo c´ıclico o grafo de ciclo, al grafo que resulta de unir los vértices de grado 1, en un grafo de camino. Notaremos como Cn al grafo c´ıclico con n vértices

(15)

Definici´on 67 Denominaremos como grafo rueda, al grafo c´ıclico con un no-do adicional que se une con los dem´as nodos. Notaremos como Wn al grafo

rueda con n v´ertices

W8

1.7. Operaciones de Grafos

Definición 68 El complemento G de un grafo G, es el grafo cuyo conjunto de vértices es V (G) y tal que para cada par de vértices u, v de G, uv es una arista de G si y solo si uv no es una arista de G

Definici´on 69 Un grafo es auto-complementario si G ∼= G

Definici´on 70 Sean G1, G2 dos grafos disjuntos, la union G1∪ G2 de G1 y G2

es el grafo no conexo con

V (G1∪ G2) = V (G1) ∪ V (G2) y E(G1∪ G2) = E(G1) ∪ E(G2)

Definici´on 71 La operaci´on suma de dos grafos, G1+ G2, tiene V (G1+ G2) =

V (G1) ∪ V (G2) y

E(G1+ G2) = E(G1) ∪ E(G2) ∪ {uv : u ∈ V (G1), v ∈ V (G2)}

Definici´on 72 El producto cartesiano de dos grafos G1, G2tiene como conjunto

de vertices

V (G1× G2) = V (G1) × V (G2)

y dos vertices diferentes (u, v), (x, y) de G1× G2 son adyacentes si:

u = x y vy ∈ E(G2) ´o

v = y y ux ∈ E(G1)

Definici´on 73 Un grafo Ps× Pt lo llamaremos una cuadricula.

1.8. Conexidad y Independencia y Cobertura

Definici´on 74 un conjunto de desconexion (disconnecting set) en un grafo conexo G es un conjunto de aristas cuyo eliminaci´on, desconecta G

Definici´on 75 Si G es un grafo, un conjunto de desconexion (disconnecting set) de G es un conjunto de aristas cuya eliminaci´on incrementa el numero de componentes de G,

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Definici´on 76 un conjunto de corte (cutset) es un ((disconnecting set)) el cual no contiene subconjuntos propios que sea un conjunto de desconexion. Definici´on 77 Si un conjunto de corte (cutset) tiene solo una arista e, llama-mos e un puente (bridge).

Definición 78 Si G es conexo, su conexidad de arista (edge connectivity) λ(G) es el tamaño de el conjunto de corte mas pequeño en G.

Definición 79 G es k-conexo de arista (k-edge connected) si λ(G) ≥ k Definición 80 Un conjunto de separación (separating set) en un grafo co-nexo G es un conjunto de vértices cuya eliminación desconecta el grafo G Definición 81 Si un conjunto de separación contiene un solo vértice v, llama-mos v un vértice de corte (cut-vertex)

Definición 82 Si G es un grafo conexo y no completo, su conexidad de v´ erti-ce (vertex connectivity) κ(G) es el tamaño de el conjunto de separación mas pequeño en G.

Definici´on 83 Decimos que G es k-conexo si κ(G) ≥ k.

Definición 84 Llamamos S un conjunto independiente de vértices(aristas) si no hay dos vértices(aristas) adyacentes

Definición 85 El numero de independencia de un grafo G es el mayor nu-mero de vértices independientes en un conjunto, el cual notaremos como β(G). Definición 86 Un conjunto independiente S de vértices en un grafo G, lo lla-maremos máximo conjunto independiente, si y solo si |S| = β(G)

Definici´on 87 El numero de independencia de aristas de un grafo G es el mayor numero de aristas en un conjunto independiente, el cual notaremos como β1(G).

Definici´on 88 Sea G un grafo. Decimos que un v´ertices v ∈ V (G) y una arista e ∈ E(G) se cubren si y solo si e inside en v

Definición 89 Una cobertura ó cubrimiento de vértices de un grafo G es un conjunto de vértices de G que cubren todas los aristas de G.

Definición 90 Una cobertura de vértices m´ınima es una cobertura de v´ erti-ces del menor tamaño posible. El número de cubrimiento de vértices α(G) es el tamaño de una cobertura de vértices m´ınima.

Definición 91 Una cobertura de aristas de un grafo G sin vértices aislados es un conjunto de aristas de G que cubren todos los vértices de G.

(17)

Definición 92 Una cobertura de aristas m´ınima es una cobertura de aris-tas del menor tamaño posible. El número de cubrimiento de aristas α1(G)

es el tama˜no de una cobertura de aristas m´ınima.

Teorema 93 un conjunto S ⊆ V (G) es un conjunto independiente de G, si y solo si, V (G) \ S es un cubrimiento de G.

Corolario 94 Sea G un grafo de orden n, entonces α(G) + β(G) = n

Teorema 95 (Gallai,1959) Sea G un grafo de orden n con δ(G) > 0, entonces α1(G) + β1(G) = n

Teorema 96 Sea G un grafo bipartido, el numero de independencia de aristas es igual al numero de v´ertices en una cobertura de v´ertices m´ınima, es decir,

α(G) = β1(G)

Teorema 97 Sea G un grafo bipartido, con δ(G) > 0, el numero de indepen-dencia es igual al numero de aristas en una cobertura de aristas m´ınima, es decir,

β(G) = α1(G)

Definición 98 Decimos que dos vértices son lejanos, si la distancia entre ellos es igual al diámetro del grafo, i.e., Sea G un grafo y sean u, v ∈ V (G), si d(u, v) = diam(G), entonces u es lejano a v y v es lejano a u.

Teorema 99 Sea G un grafo y sea u ∈ V (G), si v ∈ V (G) es lejano a u, entonces v no es un v´ertice de corte.

Teorema 100 Todo grafo conexo, no trivial contiene al menos 2 v´ertices que no son v´ertices de corte.

1.9. Bloques

Definici´on 101 Si un grafo conexo no trivial, no tiene v´ertices de corte, lo llamaremos grafo no separable.

Teorema 102 Un grafo de orden al menos 3 es no separable, si y solo si, cada par de v´ertices yacen en un mismo ciclo

Definici´on 103 Un subgrafo no separable de un grafo G que no es un subgrafo propio de ning´un otro subgrafo no separable en G es llamado Bloque de G Teorema 104 Para todo B1, B2, bloques distintos en un grafo conexo no trivial

G, se cumple lo siguiente:

1. Los bloques B1 y B2 no tienen aristas comunes.

2. Los bloques B1 y B2 tiene a lo mas un v´ertice en com´un.

3. Si B1 y B2tiene un vértice v en común, entonces v es un vértice de corte

(18)

1.10. Emparejamientos(Matching)

Definici´on 105 Denominaremos como emparejamiento(Matching) a un con-junto S independiente de aristas.

Definici´on 106 Sea M un emparejamiento:

1. Llamaremos como emparejados bajo M a dos extremos de una arista e ∈ M .

2. Un emparejamiento M satura un v´ertice v, y v se dice ser M -saturado, si alguna arista de M es incidente en v; sino v es no M-saturado, o no saturado bajo M .

3. Si todos los v´ertices de G son M -saturados, entonces M es un empare-jamiento perfecto.

4. M es un emparejamiento m´aximo, si no existe un emparejamiento M0 tal que |M0| > |M |

Definici´on 107 Sea M un emparejamiento en G. Un M -recorrido alterno en G, es un recorrido cuyas aristas est´an alternadas en M y E \ M

Definici´on 108 Sea M un emparejamiento en G. Un M -recorrido de au-mento es un M -recorrido alterno cuyos v´ertices de origen y destino no son saturados bajo M

Teorema 109 (Berge, 1957) Un emparejamiento M en G es m´aximo si y solo si, G no contiene M -recorridos de aumento

Definición 110 Para cualquier conjunto S ⊆ E(G), definimos el vecindario de S en G como el conjunto de todos los vértices adyacentes a un vértice en S, y denotamos este conjunto como N (G)

Teorema 111 Sea G un grafo bipartido con biparticion (X, Y ). entonces G contiene un emparejamiento que satura todos los v´ertices en X, si y solo si

|N (S)| ≥ |S| para todo S ⊆ X

Corolario 112 Si G es un grafo bipartido k-regular con k > 0, entonces G tiene un emparejamiento perfecto.

1.11. Factorizaci´

on

Definici´on 113 Un subgrafo de expansi´on 1-regular, es llamado 1-factor de G

Si un grafo G tiene un emparejamiento perfecto M , el subgrafo F = hM i inducido por M es un 1-factor de G

Teorema 114 Un grafo G tiene 1-factor, si y solo si, G tiene un empareja-miento perfecto.

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Teorema 115 (Teorema de Petersen) Todo grafo 3-regular sin puentes con-tiene un 1-factor.

Teorema 116 Todo grafo 3-regular con a lo mas 2 puentes 1-factor. Teorema 117 Todo grafo bipartido r-regular, r ≥ 1, contiene 1-factor. Definici´on 118 Un grafo G es llamado 1-factorizable, si existen 1-factores F1, F2, . . . , Fr de G tales que {E(F1), E(F2), . . . , E(Fr)} es una partici´on de

E(G). Decimos que G es factorizado en los 1-factores F1, F2, . . . , Fr, los cuales

forman una 1-factorizaci´on.

Teorema 119 Para cada entero positivo k, el grafo completo K2kes 1-fatorizable

Teorema 120 Todo grafo bipartido r-regular, r ≥ 1, es 1-factorizable.

Definici´on 121 Un 2-factor en un grafo G es un subgrafo de expansi´on 2-regular de G.

Toda componente de un 2-factor es un ciclo.

Definici´on 122 Un grafo es llamado 2-factorizable, si existen 2-factores F1, F2, . . . , Fr

de G tales que {E(F1), E(F2), . . . , E(Fr)} es una partici´on de E(G).

Teorema 123 Un grafo G es 2-factorizable si y solo si, G es r-regular para alg´un entero positivo par r

Definición 124 Una factorización hamiltoniana de un grafo G es una 2-factorización de G en el cual cada 2-factor es un ciclo hamiltoniano. Un grafo G es Hamiltoniano-factorizable si y solo si existe una factorización hamil-toniana de G

1.12. Coloreado y Clique

Definición 125 Un Coloreado propio o simplemente un coloreado de un grafo G, es una asignación de colores a los vértices de G, un color para cada vértice, de tal manera que vértices adyacentes tengan colores diferentes. Definición 126 El menor numero de colores usado en cualquier coloreado de un grafo G es llamado el numero cromático de G y denotado por χ(G) Definición 127 Si es posible colorear el grafo G con k colores, entonces G se dice k-coloreable. Un coloreado que usa k colores es llamado k-coloreado. Si χ(G) = k, entonces G es k-cromático y todo k-coloreado de G es un coloreado m´ınimo de G

Teorema 128 (El teorema de los cuatro colores) El numero crom´atico de todo grafo plano es a lo mas 4

(20)

Teorema 129 Un grafo G tiene numero crom´atico 2, si y solo si, G es bipartido no nulo

Definici´on 130 Un Clique en un grafo G es un subgrafo completo de G Definici´on 131 El orden del clique mas grande en un grafo G es llamado su Clique number, y es denotado como ω(G)

Teorema 132 Sea G un grafo, entonces

β(G) = k si y solo si ω(G) = k Teorema 133 Para todo grafo G de orden n,

χ(G) ≥ ω(G) χ(G)β(G) ≥ n χ(g) ≤ n − β(G) + 1

Teorema 134 Para todo grafo G,

χ(G) ≤ 1 + ∆(G)

Teorema 135 (Teorema de Brooks) Para todo grafo conexo no completo, no isomorfo a Ck, k impar,

χ(G) ≤ ∆(G) Teorema 136 Para todo grafo G,

χ(G) ≤ 1 + m´ax{δ(H)},

en el cual el m´aximo es escogido sobre todos los subgrafos inducidos H de G Teorema 137 Si H es un subgrafo de G, entonces χ(H) ≤ χ(G)

Teorema 138 Para grafos G1, G2, . . . , Gk y G = G1∪ G2∪ · · · ∪ Gk,

χ(G) = m´ax{χ(Gi) : 1 ≤ i ≤ k}.

Teorema 139 Si G es un grafo con componentes G1, G2, . . . , Gk, entonces

χ(G) = m´ax{χ(Gi) : 1 ≤ i ≤ k}.

Teorema 140 Si G es un grafo conexo, no trivial, con bloques B1, B2, . . . , Bk

entonces

χ(G) = m´ax{χ(Bi) : 1 ≤ i ≤ k}.

Teorema 141 Para grafos G1, G2, . . . , Gk y G = G1+ G2+ · · · + Gk,

χ(G) =

k

X

i=1

(21)

Definición 142 El grafo sombra de un grafo S(G) es obtenido de G adicio-nando por cada vértice v, un nuevo vértice v0, llamada el vértice sombra de v, y uniendo v0 con los vecinos de G.

Teorema 143 Para cada entero k ≥ 3, existe un grafo libre de tri´angulos(no contiene subgrafos isomorfos a K3) con numero crom´atico k

Definici´on 144 Un Coloreado de aristas de un grafo G, es una asignaci´on de colores a las aristas de G, un color para cada arista, de tal manera que aristas adyacentes tengan colores diferentes.

Definición 145 El menor numero de colores usado en cualquier coloreado de aristas de un grafo G es llamado el numero cromático de aristas o el indice cromático de G y denotado por χ1(G). Un colorado de aristas que usa k colores

es llamado k-coloreado de arista

Teorema 146 (Teorema de Vizing) Para todo grafo no nulo G, se cumple que:

χ1(G) = ∆(G) ´o χ1(G) = 1 + ∆(G)

Definici´on 147 Un grafo G pertenece a, o es de Clase uno si χ1(G) = ∆(G)

y es de Clase dos si χ1(G) = 1 + ∆(G)

Teorema 148 Sea G un grafo de orden n y tama˜no m(m = |E(G)|). Si m >jn

2 k

∆(G) entonces χ1(G) = 1 + ∆(G)

Teorema 149 Si G es un grafo de tama˜no m tal que m > β1(G)∆(G),

entonces G es de Clase dos. Teorema 150 Para todo n ≥ 3,

χ1(Cn) =

2 si n es par 3 si n es impar Teorema 151 Para todo n ≥ 2,

χ1(Kn) =

n si n es impar n − 1 si n es par

Teorema 152 Un grafo regular G es de Clase uno si y s´olo si G es 1-factorizable Corolario 153 Todo grafo regular de orden impar es de Clase dos.

(22)

Teorema 154 (Teorema de K¨onig) Si G es un grafo bipartido no nulo, en-tonces

χ1(G) = ∆(G)

Es decir, todo grafo bipartido no nulo es de Clase uno.

Definici´on 155 Un grafo G de orden n y tama˜no m es llamado sobrecarga-do(overfull). Si m > ∆(G)bn

2c.

Teorema 156 Todo grafo sobrecargado(overfull) es de Clase dos.

Teorema 157 Todo grafo que contiene un subgrafo sobrecargado(overfull) es de Clase dos.

Teorema 158 Todo grafo plano 3-regular sin puentes es de Clase uno. Teorema 159 Si G es un grafo plano con ∆(G) ≥ 7, entonces G es de Clase uno.

1.13. Grafo Potencia y Grafo de Linea

Definici´on 160 Para cada entero positivo k, la k-esima potencia Gk de un grafo G es el grafo con V (Gk) = V (G) y uv ∈ E(Gk), si y s´olo si, 1 ≤ dG(u, v) ≤

k. Por lo tanto G1 = G y Gk = Kn si k ≥ diam(G). El grafo G2 es tambi´en

llamado el cuadrado de G, mientras que G3 es llamado el cubo de G

Definici´on 161 Un grafo G es Hamiltoniano-conexo si para cada par de v´ertices u, v de G, existe un u − v camino Hamiltoniano.

Necesariamente todo grafo Hamiltoniano-conexo de orden 3 o mas es Hamil-toniano pero el opuesto no es cierto.

Teorema 162 Si G es un grafo conexo, entonces G3 _{es Hamiltoniano-conexo.}

Teorema 163 Si G es un grafo 2-conexo, entonces G2 _{es Hamiltoniano.}

Teorema 164 Si G es un grafo 2-conexo, entonces G2_{es Hamiltoniano-conexo.}

Definición 165 El Grafo de Linea L(G) de un grafo G, es el grafo cuyos v´ erti-ces pueden ser puestos en correspondencia uno a uno con las aristas de G de tal manera que dos vértices de L(G) son adyacentes si y sólo si las correspondientes aristas en G son adyacentes.

Teorema 166 Sean G1 y G2 grafos conexos no triviales. Si L(G1) ∼= L(G2),

entonces G1∼= G2 a menos que G1 o G2 sea K3 y el otro sea K1,3

Definici´on 167 Un circuito C es un grafo G es llamado un circuito domi-nante si todas las aristas de G pertenecen a C o son adyacentes a una arista de C.

(23)

Teorema 168 Sea G un grafo sin vértices aislados. Entonces L(G) es Hamil-toniano, si y sólo si, G = K1,l para algún l ≥ 3 o G contiene un circuito

dominante.

Definici´on 169 Para un grafo nono nulo G, escribimos L0_{(G) para denotar}

G, L1_{(G) para denotar L(G), y para un entero k ≥ 2 el grafo de linea iterado}

Lk_{(G) es definido como L(L}k−1_(G))

Teorema 170 Si G es un grafo conexo tal que grad(v) ≥ 3 para cada v´ertice v de G, entonces L2(G) es Hamiltoniano.

Teorema 171 Si G es un grafo conexo no isomorfo a Pn, entonces existe un

entero k0 tal que Lk(G) es Hamiltoniano para cada entero k ≥ k0.

1.14. Grafos Perfectos

Teorema 172 Para cada entero positivo k, existe un grafo k-crom´atico libre de tri´angulos.

Definici´on 173 Un grafo G es llamado perfecto si χ(H) = ω(H) para cada grafo inducido H de G

Teorema 174 Cada grafo bipartito es perfecto.

Teorema 175 Todo grafo cuyo complemento es bipartito es perfecto.

Teorema 176 (The Perfect Graph Theorem) Un grafo es perfecto, si y s´olo si, su complemento es perfecto.

Definici´on 177 Una cuerda en un ciclo C de un grafo G es una arista que une dos v´ertices no consecutivos de C

Definici´on 178 Un grafo G es un grafo de cuerda si todo ciclo de longitud 4 o mas en G tiene una cuerda.

Teorema 179 Todo grafo de cuerda es perfecto.

Teorema 180 (The Strong Perfect Graph Theorem) Un grafo G es per-fecto, si y s´olo si, ni G ni G contiene un ciclo inducido de orden 5 o mas.

1.15. Numero de Cruce

Definici´on 181 El n´umero de cruce cr(G) de un grafo G es el m´ınimo nu-mero de cruces(de sus aristas) entre todas las posibles representaciones del grafo en el plano.

1. Un grafo G es planar, si y s´olo si, cr(G) = 0 2. Si H es un subgrafo de G, entonces cr(H) ≤ cr(G)

(24)

Teorema 182 Si G es un grafo de orden n ≥ 3 y tama˜no m, entonces cr(G) ≥ m − 3n + 6 Corolario 183 Para n ≥ 3 cr(Kn) ≥ n 2 − 3n + 6 = (n − 3)(n − 4) 2 Teorema 184 Para n ≥ 5 cr(Kn) ≥ 1 5 n 4 Teorema 185 cr(Kn) ≤ 1 4 jn 2 k n − 1 2 n − 2 2 n − 3 2 Teorema 186 Para 1 ≤ n ≤ 12 cr(Kn) = 1 4 jn 2 k n − 1 2 n − 2 2 n − 3 2

Teorema 187 Si s y t son enteros positivos con s ≤ t y pasa alguna de las siguientes dos cosas (1) s ≤ 6 o (2) s = 7 y t ≤ 10, entonces

cr(Ks,t) = 1 4 js 2 k s − 1 2 t 2 t − 1 2

1.16. Coloreado Completo

Definición 188 Definimos un coloreado completo de un grafo G como un coloreado de vértices(dos vértices adyacentes no deben tener el mismo color) de tal manera que para cualquier par de colores i, j usados en tal coloreado, exista una arista que una dos vértices de colores i y j. Un coloreado completo que usa k colores es llamado un coloreado k-completo

Definici´on 189 El mayor entero positivo k para el cual un grafo tiene un co-loreado k-completo es el numero acrom´atico del grafo. Notado como ψ(G) Teorema 190 Para todo grafo G

ψ(G) ≥ χ(G)

Teorema 191 Si G es un grafo bipartito entonces ψ(G) = 2 Teorema 192 Si G es un grafo de tama˜no m, entonces

ψ(G) ≤ 1 + √

1 + 8m 2

(25)

Teorema 193 Para cada 2 enteros a, b con 2 ≤ a ≤ b, existe un grafo G con χ(G) = a y ψ(G) = b

Teorema 194 Para cada grafo G de orden n ≥ 2 ψ(G) − χ(G) ≤ n

2 − 1

Teorema 195 Para cada v´ertice v en un grafo no trivial G ψ(G) − 1 ≤ ψ(G − v) ≤ ψ(G) Teorema 196 Para cada grafo inducido H de G

ψ(H) ≤ ψ(G)

Teorema 197 Para cada arista e en un grafo no vaci´o G ψ(G) − 1 ≤ ψ(G − e) ≤ ψ(G) + 1 Teorema 198 Para cada n ≥ 2

ψ(Pn) = m´ax k : k 2 + 1 (k − 2) + 2 ≤ n

Corolario 199 Para cada entero positivo k, existe un entero positivo n tal que ψ(Pn) = k

Teorema 200 Para cada n ≥ 3, ψ(Cn) = m´axk : k k₂ ≤ n − s(n), donde

s(n) es el numero de soluciones enteras positivas de la ecuaci´on n = 2x2+ x + 1

1.17. Grafos Dirigidos(Digrafos)

Definición 201 Un grafo dirigido o digrafo D es un conjunto finito no vació de objetos llamado vértices con un conjunto(posiblemente vació) de conjunto de pares ordenados de vértices llamados arcos o aristas dirigidas. Para vértices u, v un arco (u, v), algunas veces denotado u → v (o v ← u). De manera análoga que con grafos el conjunto de vértices es notado V (D) y el de arcos E(D), de igual manera el orden del d´ıgrafo D es la cardinalidad de V (D) y su tamaño, la cardinalidad de E(D)

Definici´on 202 Si a = (u, v) es una arista dirigida de un digrafo D, entonces decimos que u es adyacente a v y v es adyacente de u.

Definici´on 203 El grado de salida de un v´ertice gout(v) o g+(v) es el numero

de v´ertices u para las cuales (v, u) ∈ E(D)

Definici´on 204 El grado de entrada de un v´ertice gin(v) o g−(v) es el numero

(26)

Definici´on 205 El grado de un v´ertice lo definiremos de la siguiente manera grad(v) = gin(v) + gout(v)

Teorema 206 (Primer teorema de la teor´ıa de digrafos) Si D es un di-grafo de tama˜no m, entonces

X v∈V (G) gout(v) = X v∈V (G) gin(v) = m

1.18. Torneos

Definici´on 207 Un Torneo es una orientaci´on de un grafo completo. Ejemplo 208 Torneo de orden 4.

v1 v2

v3

v4

Definici´on 209 Un torneo T es transitivo si cuando (u, v) y (v, w) son arcos de T , entonces (u, w) tambi´en es un arco de T

Teorema 210 Un torneo es transitivo, si y s´olo si, es aciclico. Ejemplo 211 Torneos transitivos de orden 3, 4, 5.

Definici´on 212 el grado de salida de un v´ertice v, es llamado el score de v. Una secuencia s1, s2, . . . , sn de enteros no negativos es llamado una secuencia

de scores de un torneo si existe un torneo de orden n cuyos vertices pueden ser etiquetados v1, v2, . . . vn tal que gout(vi) = si para i = 1, 2, . . . n

(27)

v1 v2

v3

v4

Teorema 213 Una secuencia no decreciente π de n enteros no negativos es una secuencia de scores de un torneo transitivo de orden n, si y s´olo si, π es la secuencia 0, 1, 2, . . . , n − 1

Corolario 214 Para cada entero positivo n, existe un ´unico torneo transitivo de orden n

Corolario 215 Para cada entero positivo n, existe un ´unico torneo aciclico de orden n

Definición 216 Un vértice v en un torneo T en un rey en T , si todo vértice w diferente de v, v −→ w o existe un vértice u tal que v −→ u −→ w

Teorema 217 Todo torneo contiene un rey

Definici´on 218 Un v´ertice v en un torneo de orden n es llamado un emperador si gout(v) = n − 1

Teorema 219 Si un torneo T contiene un emperador u, entonces u es el ´unico rey.

Teorema 220 Todo torneo que no contiene emperador contiene al menos 3 reyes.

Teorema 221 Todo torneo contiene un camino Hamiltoniano.

Corolario 222 Todo torneo transitivo contiene exactamente un camino Hamil-toniano.

(28)

1.19. Aplicaciones

1.19.1. Programaci´

on de periodos

Ejemplo 223 El departamento de matemáticas de un colegio, planea dictar las clases de Teor´ıa de Grafos(TG), Estad´ıstica(E), Álgebra(A), Calculo(C), Geometr´ıa(G), Programación(P) en el verano. Diez estudiantes (Tabla inferior) han indicado qué cursos tienen la intención de matricular. Con esta información calcule, cuál es la menor cantidad de periodos de clase que deber´ıan haber para que todos los estudiantes puedan asistir a todas las clases.

Juan: A, E. Maria: P, A, G. Daniel: P, G, A. Paula: G, A, C. Pedro: C, A, E. Andrea: G, C. Carlos: TG, P, A. Daniela: A, TG, E. Luis: C, E, A. Natalia: TG, E.

Solución: Primero construimos un grafo G cuyos vértices son las 6 mate-rias, y dos vértices están unidos si hay algún estudiante que quiera cursar esas 2 materias. El menor numero de periodos es χ(G), cada color representara un periodo diferente. C A E TG P G

Figura 1.2: Grafo del ejemplo 223

χ(G) = 4. Estos nos dice una forma de organizar estos periodos. Perio-do 1: Teor´ıa de grafos, Calculo; PerioPerio-do 2: Geometr´ıa; PerioPerio-do 3: Estad´ıstica, Programaci´on; Periodo 4: ´Algebra.

Ejemplo 224 Ocho qu´ımicos quieren ser enviados por correo aéreo. El costo depende de cuántos contenedores necesiten ser enviados. El costo de enviar un contenedor es de $125. Por cada contenedor adicional el costo incrementa en $85. Algunos qu´ımicos interactúan con otros y es muy arriesgado enviarlos en el mismo contenedor. Los qu´ımicos están etiquetados c1, c2, . . . , c8. Las

interac-ciones est´an dadas en la siguiente tabla.

c1: c2, c5, c6 c5: c1, c2, c6, c7, c8

c2: c1, c3, c5, c7 c6: c1, c4, c5, c8

c3: c2, c4, c7 c7: c2, c3, c4, c5, c8

(29)

¿Cu´al es el costo m´ınimo de realizar este env´ıo?.

Soluci´on: El siguiente grafo representa las interacciones de los ocho qu´ımi-cos. c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8

Figura 1.3: Grafo del ejemplo 224

La solución es χ(G), y cada color indicara que qu´ımicos van en un mismo contenedor, la cantidad de colores será el número de contenedores diferentes necesarios, por lo tanto el valor total de este env´ıo será de $(125 + (χ(G) − 1)85)

Ejemplo 225 Alvin(A) a invitado tres parejas de casados a su casa por una semana: Bob(B) y Carrie(C), David(D) y Edith(E), y Frank(F) y Gina(G). Da-do que los 6 invitaDa-dos les gusta jugar tenis, se establecen unos partiDa-dos. Cada uno de los 6 invitados jugara una partida contra cada uno de los otros invitados excepto contra su esposo(a). Adicionalmente Alvin jugara una partida contra David, Edith, Frank, y Gina. Si nadie juega dos partidos el mismo d´ıa, cual es la programaci´on de estos partidos en el menor numero de d´ıas posible.

Solución: Primero construimos un grafo G cuyos vertices son cada una de las 7 personas y 2 vértices son adyacentes si las correspondiente 2 personas jugaran una partida, para solucionar este problema debemos calcular el indice cromático, o numero cromático de aristas.

(30)

A B C D E F G 6 4 3 2 4 1 6 3 2 4 3 1 2 5 5

Figura 1.4: Grafo soluci´on ejemplo 225

En el grafo anterior tenemos que ∆(G) = 5, por teorema 146 tenemos que χ1(G) = 5 o χ1(G) = 6, tambi´en el orden de G es 7 y su tama˜no es 16, y por lo

tanto

m = 16 > 15 = (7 − 1) · 5

2 =

(n − 1)∆(G) 2

se sigue del teorema 148 que χ1(G) = 6. La sigueinte tabla muestra la

progra-macion de los partidos

D´ıa 1: Bob-Gina, Carrie-Edith, David-Frank D´ıa 2: Alvin-Frank, Bob-David, Edith-Gina D´ıa 3: Alvin-Edith, Bob-Frank, Carrie-Gina D´ıa 4: Alvin-Gina, Edith-Frank, Carrie-David D´ıa 5: David-Gina, Edith-Frank

D´ıa 6: Alvin-David, Carrie-Frank

Ejemplo 226 Una familia de ardillas deben hacer frente a un nuevo depreda-dor. Tenemos n ardillas y m agujeros, cada uno en una posici´on (x, y) distinta. Un halc´on llega y si una ardilla no llega a un agujero en s segundos es vul-nerable a ser comida. Un agujero puede albergar a lo sumo una ardilla. Todos las ardillas corren a una velocidad v.

La familia de ardillas necesita una estrategia de escape que minimiza el n´umero de ardillas vulnerables.

(31)

1.19.2. Locura Instant´

anea

Locura instant´anea es un acertijo que consiste de 4 cubos, cada uno de los cubos tiene pintada cada una de sus caras de uno de los 4 colores, rojo, blanco, azul, o verde. El problema es apilar los cubos, uno encima de otro, de tal manera que al ser vistos por el frente, atr´as, izquierda, derecha.

Cubo 1 Cubo 2

Cubo 3 Cubo 4

Cuadro 1.1: Una configuraci´on de locura instant´anea

Creamos un grafo por cada cubo, con v´ertices los 4 colores, y ponemos una arista por cada par de colores contrarios en el cubo, esto resultara en un multi-grafo. Cubo 1 R A B V Cubo 2 R A B V Cubo 3 R A B V Cubo 4 R A B V

Cuadro 1.2: Una configuraci´on de locura instant´anea

Unimos estos 4 grafos y terminamos con el siguiente muligrafo que llamare-mos la representación de esta configuración del acertijo de locura instantánea.

(32)

R A

B V

Cubo 1 Cubo 2 Cubo 3 Cubo 4

Figura 1.5: Grafo representativo del acertijo locura instant´anea del ejemplo an-terior

Es f´acil darse cuenta que para resolver el problema lo ´unico que necesitamos son 2 subgrafos(uno representando la parte delantera y trasera, y otro represen-tando los laterales) que cumplan las siguientes condiciones.

1. Cada v´ertice tenga grado 2

2. Cada cubo debe estas representado por una ´unica arista en cada subgrafo. 3. Los dos grafos no deben tener aristas en com´un.

R A

B V

R A

B V

Frente/Atr´as Derecha/Izquierda

Cuadro 1.3: Solución al problema de locura instantánea del ejemplo Con estos 2 grafos podemos construir un apilamiento de los cubos, y solu-cionar el problema de locura instantánea.

(33)

Cap´ıtulo 2

Flujo de Red

Definición 227 Una Red(Network) N es un digrafo usado para modelar la distribución de bienes, datos o materias primas, etc, de unas fuentes de produc-ción a sus destinatarios, es decir, una red es un digrafo con 2 vértices especiales s, t fuente(source) y destino(target)

Definici´on 228 Las aristas de un grafo dirigido las notaremos −uv. A cada aris-→ ta −uv ∈ E(N ) se le asignara una capacidad CAP(−→ uv) siendo un entero positivo.→

Definici´on 229 Un flujo(flow) es una funci´on f que a cada arista −uv ∈ E(N )→ le asigna un valor entero.

Si v es un v´ertice cualquiera de N , el flujo de salida(out-flow) de v es: f+(v) = X

u,v→u

f (−vu)→

donde la suma es tomada sobre todos los v´ertices u adyacentes a v. Y el flujo de entrada(in-flow)

f−(v) = X

u,u→v

f (−uv)→

Un flujo debe cumplir las siguientes propiedades:

1. Restricci´on de Capacidad: 0 ≤ f (−uv) ≤ CAP(−→ uv), para todo −→ uv ∈ E(N )→ 2. Ley de conservaci´on del Flujo: f+_{(v) = f}−_{(v), para todo v 6= s, t}

Ejemplo 230 33

(34)

s v3 v2 v6 v5 t v1 v4 8[5] 2[2] 8[6] 7[7] 9[7] 5[5] 7[6] 9[9] 6[3] 4[4] 6[3] 4[2] 1[1]

Definici´on 231 El valor de un flujo VAL(f ) es el total del flujo de salida de s.

Teorema 232 Sea S un subconjunto de v´ertices de V (N ) tal que s ∈ S y t /∈ S, entonces

VAL(f ) =X

v∈S

(f+(v) − f−(v))

Definici´on 233 Sea S un subconjunto de v´ertices de V (N ) tal que s ∈ S y t /∈ S, denotamos como S a V (N )−S, y definimos el conjunto [S, S] al conjunto de aristas tal que si −uv ∈ [S, S] entonces u ∈ S y v ∈ S. Note que [S, S] es un→ conjunto de desconexion.

Teorema 234 Sea S un subconjunto de v´ertices de V (N ) tal que s ∈ S y t /∈ S, entonces VAL(f ) = X −→ uv∈[S,S] f (−uv) −→ X −→ uv∈[S,S] f (−uv)→

(35)

Demostraci´on 235 VAL(f ) = X v∈S (f+(v) − f−(v)) = X v∈S X u,v→u f (−vu) −→ X u,u→v f (−uv)→ ! = X v∈S    X u∈S v→u f (−vu) +→ X u∈S v→u f (−vu)→   − X v∈S    X u∈S u→v f (−uv) +→ X u∈S u→v f (−uv)→    = X v∈S X u∈S v→u f (−vu) +→ X v∈S X u∈S v→u f (−vu) −→ X v∈S X u∈S u→v f (−uv) −→ X v∈S X u∈S u→v f (−uv)→ = X v∈S X u∈S v→u f (−vu) −→ X v∈S X u∈S u→v f (−uv)→ = X −→ vu∈[S,S] f (−vu) −→ X −→ vu∈[S,S] f (−vu)→

Esto quiere decir que el valor de un flujo se puede medir a trav´es de cualquier conjunto de desconexion [S, S] tal que s ∈ S y t ∈ S. Escribiremos

f+(S) =X v∈S f+(v) y f−(S) =X v∈S f−(v) entonces VAL(f ) = f+(S) − f−(S) y si escribimos f ([S, S]) = X −→ vu∈[S,S] f (−vu)→ y f ([S, S]) = X −→ vu∈[S,S] f (−vu)→ entonces VAL(f ) = f ([S, S]) − f ([S, S])

Definici´on 236 Sea K = [S, S] un conjunto de desconexion con s ∈ S, t ∈ S. La capacidad de K la definimos como

CAP(K) = X

−→ uv∈K

CAP(−uv)→

Lema 237 Sea K = [S, S] un conjunto de desconexion en una red N con s ∈ S, t ∈ S y flujo f . Entonces VAL(f ) ≤ CAP(K). Si VAL(f ) = CAP(K), entonces f es un m´aximo flujo y K es un m´ınimo corte.

(36)

Definición 238 Definimos un st-camino P en una red N a un camino que va del vértice s al vértice t en el grafo asociado. Este camino puede contar con dos tipos de aristas, aristas hacia adelante(Forward edges), y aristas hacia atras(Backward edges).

Definici´on 239 Definimos la capacidad de residual de una arista uv de la siguiente manera

RESCAP(uv) =

CAP(−uv) − f (−→ uv)→ Si uv es una arista hacia adelante f (−vu)→ Si uv es una arista hacia atras Definici´on 240 Definimos la capacidad residual de un st-camino P en una red N con flujo f de la siguiente manera

δ(P ) = m´ın{RESCAP(uv) : uv ∈ E(P )}

Sea P un st-camino, una red N con flujo f . Definimos un flujo f∗ _{de la}

siguiente manera f∗(−uv) =→

  

f (−uv),→ Si uv no es una arista de P

f (−uv) + δ(P ),→ Si uv es una arista hacia adelante de P f (−uv) − δ(P ),→ Si uv es una arista hacia atras de P Lema 241 f∗ es un flujo valido en N y VAL(f∗) = VAL(f ) + δ(P )

Definici´on 242 Un st-camino P para el cual δ(P ) > 0 es llamado un camino de aumento.

Teorema 243 Sea N una red con un flujo f . Entonces f es un m´aximo flujo, si y s´olo si, N no contiene caminos de aumento.

Teorema 244 (Max-Flow-min-cut theorem) En cualquier red el valor del m´aximo flujo es igual a la capacidad de un m´ınimo corte.

Ejercicio 245 Calcule el m´aximo flujo del siguiente grafo.

s v3 v2 v6 v5 t v1 v4 7 2 6 6 6 5 9 1 4 3 4 1 5

(37)

Ejercicio 246 Calcule el m´aximo flujo del siguiente grafo. E D A H C B G F 40 20 20 30 10 15 20 20 5 5 15 5 10 20