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1.- CONJUNTOS NUMÉRICOS Recordemos los tipos de números que conocemos:
NÚMEROS ENTEROS:
FRACCIONES: una fracción es el cociente indicado de dos números enteros. Por ejemplo, 3
4 es una fracción.
Se puede introducir una fracción en la calculadora científica CASIO usando la tecla a b/c El proceso es: numerador a b/c denominador.
Por ejemplo, para introducir 3
4 : 3 a b/c 4. Aparecerá en la pantalla 3 ┘4 , que significa 3 4
NÚMEROS DECIMALES: Un número decimal consta de una parte antes de la coma, llamada parte entera y otra parte después de la coma, llamada parte decimal. Por ejemplo:
Expresión decimal de una fracción: Si en una fracción dividimos el numerador entre el denominador se obtiene un valor que se llama expresión decimal de la fracción.
Al calcular la expresión decimal de una fracción se puede obtener: A) Un número entero.
Esto ocurre cuando el numerador es divisible entre el denominador.
Ejemplos: 27= 27 : 3 = 9 3 28 28 : 7 4 7 B) Un número decimal
Esto ocurre cuando la división no es exacta.
1) Si obtenemos un número finito de decimales se dice que es un decimal exacto.
Ejemplos: 7 7 : 8 0,875 8 27 27 : 25 1,08 25
2) Si la división da lugar a un decimal con cifras que se repiten indefinidamente se dice que es un decimal periódico.
En los decimales periódicos, la cifra o grupo de cifras que se repite se llama periodo.
Si el periodo empieza a partir de la coma el decimal se llama periódico puro y si no periódico mixto. En los decimales periódicos mixtos la parte comprendida entre la coma y el periodo se llama
anteperiodo
Ejemplos: 11
= 11 : 3 = 3,666... = 3, 6
3 es un decimal periódico puro. La parte entera es 3 y el periodo es 6
5
= 5 : 6 = 0,8333... = 0,8 3
6 es un decimal periódico mixto.
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Fracción generatriz de un decimal exacto: Vamos a obtener una regla para hallar una fracción generatriz de un decimal exacto. Fíjate en los siguientes casos:
sin sin 2 4 1, 75 0, 0104 407, ( 100 ( 100 00 2 ) 4 ) 100 175 10000 104 175 7 104 13 1 00 4 1 0000 1 250
número coma número coma
ceros ceros
x x x
se multiplica por porque se multiplica por porque tiene cifras decimales tiene cifras decimales
x x x x sin 1 5 ( 10 1 ) 10 4075 4075 815 1 0 2 número coma cero
se multiplica por porque tiene cifra decimal
x x Regla general: sin 4 4 , 1 0000 número coma cifras ceros abcdef ab cdef
Fracción generatriz de un decimal periódico puro: Vamos a obtener una regla para hallar una fracción generatriz de un decimal periódico puro. Fíjate en los siguientes casos:
número sin coma parte entera
tan tos 9 como cifras tiene el periodo
x 7, 454545... 7, 45
(se multiplica por 100 porque el periodo tiene 2 cifras) 100x 745, 454545.... x 7, 454545.... 100x x 745 7 99x 745 7 745 7 738 82 x 99 99 11
número sin coma parte entera
tan tos 9 c
x 28,103103103... 28, 103
(se multiplica por 1000 porque el periodo tiene 3 cifras) 1000x 28103,103103... x 28,103103... Al restar : 1000x x 28103 28 999x 28103 28 28103 28 x 999 omo cifras tiene el periodo 28075 999 Regla general: 3 3 , 999 cifras nueves abcde ab ab cde
Fracción generatriz de un decimal periódico mixto: Vamos a obtener una regla para hallar una fracción generatriz de un decimal periódico mixto. Fíjate en los siguientes casos:
número sin coma parte entera y anteperiodo x 1,352767676... 1,352 76
(se multiplica por 1000 porque el anteperiodo tiene 3 cifras) 135276 1352 1000x 1352, 76 99 135276 1352 135276 1352 133 924 x : 1000 99 99 000 99000 El denom
2 nueves porque el periodo tiene 2 cifras inador tiene
3 ceros porque el anteperiodo tiene 3 cifras
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número sin coma parte entera y anteperiodo x 0,10325325... 0,10 325
(se multiplica por 100 porque el anteperiodo tiene2 cifras) 10325 10 100x 10, 325 999 10325 10 10325 10 10315 x : 100 999 99900 99900 3 nue El denominador tiene
ves porque el periodo tiene 3 cifras 2 ceros porque el anteperiodo tiene 2 cifras
Regla general 4 3 3 4 , cdef 999 0000 cifras cifras nueves ceros abcdefghi abcdef ab ghi
NÚMEROS IRRACIONALES: Hay números decimales que no son exactos ni periódicos. Estos números no se pueden expresar en forma de fracción. Son decimales que tienen infinitas cifras que no se repiten y se llaman números irracionales.
Los números irracionales más utilizados son:
- El número . Se obtiene al dividir la longitud de una circunferencia entre su diámetro. Las primeras cifras de se pueden obtener con la calculadora científica así:
SHIFT EXP . El resultado es 3,141592654….
- El número 2 . Se obtiene al calcular la diagonal de un cuadrado de lado 1. Las primeras cifras de 2 se pueden obtener con la calculadora científica así:
2 . El resultado es 1,414213562...
- El número de oro o número áureo. Se obtiene al dividir la diagonal del pentágono regular entre su lado y se representa con la letra griega φ. Su valor es : 1 5 1,61803398....
2
Las raíces cuadradas, cúbicas, etc no exactas de números naturales son números irracionales. Por ejemplo, 2, 3 , 5 , etc son números irracionales
También son números irracionales los resultados que se obtienen al sumar, restar, multiplicar o dividir un número racional con otro irracional. O también, por ejemplo, 3,1010010001.... ; 0,3737737773….. pues tienen infinitas cifras no periódicas.
Los números que son racionales o irracionales se llaman números reales. El conjunto de los números reales se representa con la letra R
- Los números reales comprenden a los racionales y a los irracionales.
Se expresa simbólicamente así: R = Q U I y se lee “R es igual a Q unión con I” - Dentro del conjunto de los números racionales está el de los números enteros,
y dentro del conjunto de los números enteros está el conjunto de los números naturales
Se expresa simbólicamente así: N Z Q y se lee “N está incluido en Z y Z está incluido en Q” Para expresar que un número pertenece a un conjunto determinado usamos el símbolo , que significa “pertenece a”. Por ejemplo, π I.
--- Página 4 --- E n t e r o s p o s i t i v o s o n ú m e r o s n a t u r a l e s ( ). E n t e r o s n e g a t i v o s . E j e m p l o : - 7 N Ejemplo : 2 El número 0 . Ejemplo : 2,75 . Ej Números enteros (Z) Decimales exactos Periódicos puros Decimales periódicos Racionales (Q) Números reales (R) emplo : 5,333... 5, 3 . Ejemplo : 7, 4666... 7, 4 6 . Ejemplo : 3,1010010001.... (I) Periódicos mixtos
Irracionales (decimales no periódicos)
ACTIVIDADES
1 Indica qué tipo de número es cada uno de los siguientes (natural, entero negativo, decimal exacto, decimal periódico puro, decimal periódico mixto o irracional). Para los que sean racionales halla la fracción generatriz irreducible:
a) 2,3555…. b) – 5 c) 3,030030003... d) 2
e) 162 f) 12g) 1,34555…. h) 9 i) 2 j) 1,25 k) 2,454545…..
2
2.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y ORDENACIÓN DE NÚMEROS
2.1.- Representación de números en la recta
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Números decimales: Para representar números decimales se divide el segmento correspondiente en 10 partes iguales
Ejemplos:
Fracciones:
- Las fracciones propias positivas propias (numerador < denominador) se representan entre 0 y 1 Por ejemplo, 3
5 :
- Las fracciones positivas impropias (numerador > denominador) se expresan primero en forma mixta Para poner una fracción impropia a
b en forma mixta procedemos así:
a b a bc r a r a bc r c b b b b b r c Ejemplo: 31 6 31 6 31 6.5 1 31 1 31 6.5 1 5 1 5 6 6 6 6 6
Se puede poner en forma mixta una fracción impropia directamente usando la tecla ab/c de la calculadora científica CASIO. El proceso es: numerador ab/c denominador
Ejemplo: 31
6 : 31 ab/c 6 Obtendrás 5 ┘ 1 ┘6 , que significa 1 5
6
Para representar una fracción negativa el proceso es el mismo salvo que se hace desde 0 hacía la izquierda
Números irracionales: Algunas raíces cuadradas se pueden representar de forma exacta en la recta numérica usando métodos geométricos:
- Usando el teorema de la altura. Teorema de la altura :
2
h = m n
Ejemplo: Vamos a representar 21 . Como 21 3.7 , tomamos 3 unidades a la izquierda de 0 y 7
a la derecha y trazamos un semicírculo como indica la figura:
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- Usando el teorema de Pitágoras. Sólo se puede en algunos casos: cuando el radicando es suma de dos cuadrados.
Ejemplo: Vamos a representar el número 5 :
Expresamos 5 como suma de dos cuadrados: 5 = 22 + 12.
Dibujamos un rectángulo de lados 2 y 1. Por el teorema de Pitágoras la diagonal d2 = 22 + 12 , siendo d la diagonal del rectángulo. Luego, d 5
Usando el compás
Como puedes observar por este mismo procedimiento se puede representar su opuesta 5 También por un proceso de reiteración se pueden representar 2, 3 , etc, etc
Dados dos números racionales cualesquiera, siempre se puedan encontrar infinitos números racionales comprendidos entre ambos: se dice que Q es un conjunto denso.
Dados dos números reales cualesquiera, siempre se puedan encontrar infinitos números reales comprendidos entre ambos: se dice que R es un conjunto denso.
2.2.- Ordenación de números
Números enteros: Dados dos números enteros, es menor el que está más a la izquierda en la recta numérica. Ejemplos: –3 < 0, 4 > 0, –5 < –2, –7 < 4
Fracciones: Si las fracciones tienen el mismo denominador, es menor la que tiene menor numerador. Por ejemplo, 1 3
4 4 porque 1 < 3.
Si las fracciones tienen distinto denominador, se pueden comparar reduciéndolas a común denominador. Ejemplo: 3 3 2 .(24 : 4) .(24 : 8) .(24 : 6) .(24 : 3) 5 1 11 2 , , , (4,8, 6, 3) (2 , 2 , 2.3, 3) 2 .3 24 4 8 6 3 5 30 1 3 11 44 2 16 , , , 4 24 8 24 6 24 3 24 mcm mcm
Decimales: Dados dos números decimales, es mayor el que tenga mayor parte entera. Por ejemplo, 234,65 > 136,76
Si tienen la misma parte entera, se compara la primera cifra decimal distinta. Ejemplo: 146,82 > 146,74 357,56 > 357,53 634,128 > 634,125
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ACTIVIDADES
1 Representa en la recta de forma exacta (cada uno en una recta diferente) y ordena de mayor a menor: A = 8,27 B = 58 7 C = 29 D = – 0,6 E = – 0,84 F = 10 G = 34 H = 5 6 I = 0,2 J = – 2 K = 0,1666… L = 2,3333…. M = 0, 2 6 N = 9 Ñ =17 5 O = – 0,666…. 2 3 3.- INTERVALOS Y ENTORNOS
3.1.- Intervalos de la recta real
Un intervalo de la recta es un segmento o una semirrecta.
Los segmentos corresponden a los números reales comprendidos entre otros dos. Las semirrectas son todos los números reales mayores o menores que un número dado. Hay ocho tipos de intervalos:
Los signos ≤ y ≥ nos indican que el extremo está incluido (intervalo cerrado) y los signos < y > nos indican que no está incluido (intervalo abierto)
Los signos corchetes nos indican que el extremo está incluido (intervalo cerrado) y los paréntesis nos indican que no está incluido (intervalo abierto)
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3.2.- Operaciones con intervalos
Unión de intervalos: Es el conjunto formado por todos los puntos de ambos intervalos. La unión de dos intervalos A y B se representa por A U B y se lee “A unión con B”
Ejemplo: Si A = [–5 , –1 ] , B = [–3 , 2 )
A U B = [–5 , 2 )
Intersección de intervalos: Es el conjunto formado por los puntos comunes a los intervalos. La intersección de dos intervalos A y B se representa por A ∩ B y se lee “A intersección con B”
Ejemplo: Si C = ( – , 1 ], D = (0 , ) C ∩ D = ( 0 , 1 ]
Intervalos en forma de valor absoluto: Empecemos con un ejemplo: ¿Cuáles son los números reales cuyo valor absoluto es menor que 5?
Observamos que son todos los números comprendidos entre – 5 y 5: x 5 5 x 5 ( 5, 5) En general, x a a x a ( a, a)
Veamos ahora: ¿cuáles son los números reales cuyo valor absoluto es mayor que 5?
Lógicamente, serían los que no están entre – 5 y 5. Es decir, los mayores que 5 o menores que – 5 x 5 x 5 ó ( , 5) (5, ) x 5 ∪ . En general, ∪ x a x a ó ( , a) (a, ) x a
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3.3.- Entornos de un punto
Distancia entre dos números: La distancia entre dos números a y b, que se escribe d(a, b), se define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números: d(a, b) = |a − b|
Ejemplo: La distancia entre −5 y 4 es d(−5, 4) = |−5 − 4| = |−9| = 9 unidades Entornos: Sea un intervalo (a , b) , m a b su punto medio
2 y r d(a,b) b a su radio 2 2
Se llama entorno de centro m y radio r y se representa por E(m, r) al intervalo (m – r, m + r)
Ejemplo: E(1, 2) = (1 – 2, 1 + 2) = (– 1, 3)
ACTIVIDADES
1 Dados los intervalos: A = { x R / | x | 5 } B = { x R / 3 x < 7 } C: (– , 1 ] D = { x R / x > 0 }
a) Represéntalos en la recta numérica y exprésalos de todas las formas posibles b) Determina A U B y C ∩ D
2 Expresa en forma de unión de intervalos { x R / |x| > 4 }
3
4 Escribe en forma de entorno los siguientes intervalos: a) (2,75 ; 7,25) b) (–4 , 9) 4.- OPERACIONES CON NÚMEROS
4.1.- Operaciones básicas
NÚMEROS ENTEROS:
Suma: Si tienen igual signo se deja el signo y se suman los valores absolutos. Por ejemplo, –3 + (–2) = – (3 + 2) = –5
Si tienen distinto signo se deja el signo del número con mayor valor absoluto y se restan los valores absolutos. Ejemplos: –6 + 5 = –1 –4 + 6 = 2 3 + (–9) = –6
Resta: Para restar dos números enteros se le suma al primero el opuesto del segundo. Ejemplos: 5 – 6 = 5 + (–6) = –1 –6 – 3 = –6 + (–3) =– 9
Para restar un número negativo se pueden usar las reglas de los signos:
Ejemplos: –3 – (–1) = –3 + 1 = –2 –4 – (–7) = –4 + 7 = 3 9 – (–5) = 9 + 5 = 14 Sumas y restas. Ejemplo: 3 – (+5) + (–6) – (–4) + (–2) = 3 – 5 – 6 + 4 – 2
Agrupando : (3 4) (5 6 2) 7 13 6
De izquierda a derecha : 3 5 6 4 2 2 6 4 2 8 4 2 4 2 6
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Producto: Se multiplican por un lado los signos y por otro los valores sin signo. Ejemplos: (–7).(–8) = 56 2.(–9) = –18
División: Se dividen los signos y después se dividen los valores sin signo. Se pueden usar las reglas de los signos: : : : : Ejemplos: (–24) : (–6) = 4 72 : (–9) = –8 FRACCIONES: Suma y resta: a + c = a + c b b b
a c = a c b b b Ejemplos: 74 7 411 5 5 5 5 7 5 7 5 12 4 3 3 3 3
- Si las fracciones tienen distinto denominador, se reducen a común denominador y se aplica la regla anterior. Ejemplo: 3 3 2 5 1 11 2 (4,8, 6, 3) (2 , 2 , 2.3, 3) 2 .3 24 4 8 6 3 30 3 44 16 5 24 24 24 24 24 mcm mcm Producto:
a . c
a c. =
b d
b . d
Ejemplo: 6 10 60 5 . 4 9 36 3 División: Ejemplo: 3 : 5 3.7 21 2 7 2.510 4.2.- PotenciasPotencias de exponente natural: n
n veces a a...a
n n
si n es par, ( a) a . Ejemplo: (–3)4 = 34, si n es impar, ( a) n an . Ejemplo: (–2)5 = –25
n n n a a b b Ejemplos: 3 3 3 2 2 8 5 5 125 3 3 3 2 2 8 5 5 125 ( )
Cualquier potencia se puede hallar con la calculadora científica CASIO.
Por ejemplo, 215 se calcula así: 2 15 . El resultado es 32 768 Propiedades de las potencias:
m n m n a a a . Por ejemplo, 3 3.37 4 312 m m n m n n a a : a a a . Por ejemplo, 7 6 2 2 2 0 a 1 a1 a . Por ejemplo, 70 = 1 ó 51 = 5
m n mna a . Por ejemplo,
27 3 221 a bm m (ab)m . Por ejemplo, 2 57 7 107
ab m a bm m . Por ejemplo, (2.3)4 2 34 4 m m m a a b b . Por ejemplo, 9 9 9 20 10 2
--- Página 11 --- Potencias de exponente entero negativo:
m m 1 a a Por ejemplo, 2 5 15 1 32 2 1 1 1 1 7 Inverso de 7 7 7 . En general, a 1 1 inverso de a a 1 1 1 1 2 2 2 3 2 inverso de 1 3 3 2 3 3 . 1 a b a En general, inverso de b a b 2 2 1 2 2 2 3 3 5 5 25 5 5 3 3 9 . m m a b En general, b a
Transformación de una fracción en un producto. Fíjate : 5 5 . 1 5. 2 1
2 2 .la regla es A AB 1 B Ejemplos: 3 3
x
xy
y
2 23a
3ab
5
5b
Jerarquía de operaciones con números: Para realizar operaciones combinadas debemos tener en cuenta que primero se calculan las potencias, luego las multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha) y al final las sumas y restas (también de izquierda a derecha).
Las operaciones que hay dentro de los paréntesis o corchetes se hacen en primer lugar. Si hay decimales conviene pasarlos primero a fracción irreducible
Ejemplos: 21 7 0,5 0,333... 5 : 0,1 6 1,3 6 4 35 = 1 1 21 7 1 41 1 1 1 7 1 41 1 1 6 41 1 5 : : 2 3 4 35 6 30 2 3 4 35 6 30 2 12 5 30 4 2 2 3 5 ( 2) 1 3.( 2) : = 2 5 2 ( 2) ( 2) 1 3 25 3 25 8 3 25 14 7 1 3. 1 1 8 : 8 4 : 8 8 8 8 8 8 4 ACTIVIDADES
1 Realiza las siguientes operaciones combinadas dejando el resultado como fracción irreducible: a) 3 4 . 3 , 2 : 3 1 2 4 2 3 2 3 ⌢ b) 3 1 2 2 3 1 2 3 1,3: 1,5. . 4 ⌢ 2
3 Usando propiedades de las potencias, reduce las siguientes expresiones: a) 7 5 3 1 2 3 3 .(3 ) 3 .(3 ) b)
3 2 2 4 2 3 10 x y x y y --- Página 12 --- 4.3.- Notación científica Potencias de base 10: m m ceros 10 10...0 . Ejemplo: 108 = 100 000 000 m m ceros 10 0,...01 . Ejemplo: 10–7 = 0,000 0001
Producto de un número por una potencia de base 10: Se desplaza la coma tantos lugares como indica el exponente (hacía delante si es positivo y hacía atrás si es negativo)
Ejemplos: 3,25. 103 = 3250 3,25. 10–3 = 0,00325
Notación científica: Un número está escrito en notación científica si es de la forma A . 10n, siendo A un número con una cifra entera no nula, llamado coeficiente y el exponente n un número entero, llamado orden de magnitud. Ejemplos: 2,5 . 107 y 1,75 . 10–6.
Cualquier número se puede expresar en notación científica. Ejemplos:
11 cifras Notación científica 11 378 500 000 000 3,785.10 Orden de magnitud: 11 12 ceros Notación científica 12 0,000 000 000 00706 7,06.10 Orden de magnitud: 12
Dados dos números, es mayor el que tenga mayor orden de magnitud
Ejemplos: 3,5 . 1015 > 8,7 . 1012, 1,35 . 10–6 > 4 . 10–7. Si tienen el mismo orden de magnitud, es mayor el que tenga mayor coeficiente
Ejemplos: 3,75.107 > 2,25.107 , 9,45.10–4 > 7,2.10–4.
Las expresiones de un número por una potencia de 10 se pueden introducir en la calculadora científica CASIO usando la tecla EXP.
Por ejemplo, la forma de introducir 2,756.10–12 es: 2.756 EXP ( ) 12 . Aparecerá en la pantalla x10 12 2.756 que significa 2,756. 10–12. Operaciones: A.10m ± B.10m = (A ± B).10m Ejemplo: 2,5.10– 4 – 2. 10– 4 + 0,25. 10– 4 = (2,5 – 2 + 0,25) . 10– 4 = 0,75 . 10– 4
Si no aparece la misma potencia de 10, los transformamos y luego usamos la regla anterior
Ejemplo: 7 7 7 7 4 5 4 5 4 7 5 7 7 7 7 7 7 .10 .10 .10.10 0,87.10 0,000000042.10 52,3. 0,87. 10 0,000000042. 10 52,3. (0,87.10 .10 0,000000042.10 .10 52,3).10 (8 10 1 70 42000 52,3).10 42817,7.10 0
(A.10m).(B.10n) = (A.B).10m+n Ejemplo: (32,5.10–7) (8,5.104) = (32,5 . 8,5) . 10–7 + 4 = 276,25.10– 3
m m n n A . 1 0 = ( A : B) . 1 0 B . 1 0 Ejemplo:
6 6 6 ( 2) 4 2 20,5.10
0,5
10
.
(0,5 : 0,125).10
4.10
0,125.10
0,125 10
m n n mn (A.10 ) A .10 Ejemplo: (0,25.10 ) 3 2 0,25 .(10 )2 3 2 16.106
--- Página 13 ---
ACTIVIDADES
4 Realiza las siguientes operaciones: . 0, . )
-2 -3 -1
-7 -6
30000.(5.10 30, 25 10 2 10
(4.10 ) : (5.10 )
5
6 Un gusano pesa aproximadamente 0,002 kg y la ballena azul unos 137000 kg. a) Expresa cada cantidad en notación científica e indica su orden de magnitud
b) Calcula cuántos gusanos son necesarios para igualar el peso de la ballena usando la notación científica y clasifica el número obtenido
7 En nuestro sistema solar recientemente se ha descubierto un sistema de planetas semejante al nuestro, a una distancia de 39 años-luz (1 año-luz = 9,46.1012 km), y la comunidad científica se pregunta si sería viable plantearse un viaje a este sistema de planetas con una nave tripulada que pueda alcanzar los 30 000 km/h. ¿Cuánto tiempo se tardaría?
4.4.- Radicales
Concepto de radical. Elementos: 5 40 es el número que elevado a la quinta da 400 y se llama radical (5 es el índice y 40 es el radicando).
En general, na con n 2 es el número que elevado a n da a y se llama radical o raíz de índice “n” y radicando “a”. El índice, n, es un número natural mayor que 1.
Si el índice es 2, se llama raíz cuadrada y se expresa de forma simplificada así: a Los radicales se pueden hallar con la calculadora científica (CASIO).
El proceso es: índice SHIFT radicando
Ejemplo: 3100 3 SHIFT 100 Nos da 4.641588834….., que es un número irracional.
Número de soluciones de un radical: Dependiendo del índice (si es par o impar) y del radicando (si es positivo o negativo), un radical puede tener 2, 1 o ninguna solución:
Índice par Índice impar Radicando positivo 2 soluciones opuestas.
Por ejemplo, 4 81 3
1 solución positiva. Por ejemplo, 3125
5
Radicando negativo Ninguna solución.Por ejemplo, 4
1 solución negativa. Por ejemplo, 3 8 2
--- Página 14 --- Relación entre las potencias y radicales:
m n m n a a Ejemplos: 5 32 325 x7 x72 m n m n a a Ejemplo: 325 5 32 n
n
n
n
1
n
a
a
a
a n a
a
Ejemplos: 6 26 2 852 85 Más ejemplos: 3 218 2183 26 64 5 x40 x405 x8 Simplificación de radicales: n ma n:dam:d Ejemplo:
3 125
8 12 4:5
8 4:5
2 325
Reducción de radicales a común índice: Se toma como índice común el mcm de los índices. El común índice se divide entre cada índice y el resultado se multiplica por el exponente del radicando.
Ejemplo: 63 y 8 7
5 ; mcm(6, 8) = 24 24 43 y 24 215
Comparación de radicales: Si tienen el mismo índice, es mayor el que tenga mayor radicando. Por ejemplo, 537 535. Cuando no tengan el mismo índice, se reducen a común índice y se aplica la regla anterior.
Producto y división de radicales:
n
a
n
b
n
ab
n
n na
b
a
b
. Ejemplos: 32 5
3
32.5
310
7
7
3
3
Cuando no tengan el mismo índice, se reduce a común índice y se aplican las reglas anteriores.Potencia de un radical:
n A m n Am . Por ejemplo,
5 2 3 5 23 . En particular,
nA n n An A
--- Página 15 --- Raíz de un producto y de un cociente: nABnA nB
n n n A A B B . Ejemplos: 32.5 = 32. 35 7 3 = 7 3
Introducción de factores en la raíz: A nBnAn nBnA Bn A nBnA Bn
Ejemplo: 2 3532 53 340
Extracción de factores de la raíz: nA Bn A nB Ejemplo: 34032 53 2 35
Otro ejemplo:
Suma y resta de radicales: M nAN nA (MN) An Por ejemplo, 5 73 37 2 7 (5 1 2) 7 3 3 6 73
--- Página 16 --- ACTIVIDADES 8 9 10
Racionalización de fracciones radicales: Consiste en transformar una fracción con alguna raíz en el denominador en otra fracción equivalente pero que NO tenga ninguna raíz en el denominador. Esto se consigue multiplicando los dos términos de la fracción por la expresión adecuada.
Ejemplos: Multiplico por b 2 5a 5a b 5a b 5a b . 3b 3 b 3 b b 3 b 7 6 7 6 7 6 7 Multiplico por 2 7 7 7 6 2 2 2 2 2 64 . 5.2 5 5 2 5 2 2 3 5 5 3 5 3 5 3 Multiplico por y 2 2 3 5 5 5 5 5 y 2x y 2x y 2x 2x . 3 y 3 y 3 y y 3 y
--- Página 17 --- 4 3 4 3 4 3 4 3 Multiplico por 3 4 7 4 7 4 3 4 4 1 1 3 3 3 . 3 3 3 3 3
Multiplico por 3 2 (expresión conjugada)
2 2 7 7 3 2 7(3 2) 7(3 2) . 3 2 7 3 2 3 2 3 2 3 ( 2)
Multiplico por 3 3 2 (expresión conjugada)
2 2 2 5 2 5 3 3 2 2 5(3 3 2) 6 15 2 10 . 25 3 3 2 3 3 2 3 3 2 (3 3) ( 2) Más ejemplos: ACTIVIDADES 11 12 5.- APROXIMACIONES DECIMALES
Concepto de aproximación: Una aproximación de un número es otro número que está relativamente próximo a él. Una aproximación es por defecto si el número aproximado es menor que el valor
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exacto. Si el número aproximado es mayor que el valor exacto diremos que es la aproximación es por exceso. Por ejemplo, en el número π = 3,1415….., las aproximaciones por defecto y por exceso son
a las unidades a las décimas a las centésimas a las milésimas etc
por defecto 3 3,1 3,14 3,141
por exceso 4 3,2 3,15 3,142
Aproximación por redondeo a una determinada cifra:
5 5 5 : 36, 52 3 6 , 5 2 37, 00 37 7,8324 7,83 2 4 7,8320 7,832 3164 3 1 6 4 3200
redondeo a las unidades
redondeo a las milésimas
redondeo a las centenas
Ejemplos
Para redondear con la calculadora científica, puedes usar la función Fix.
Pulsa MODE varias veces hasta que aparezca Fix, selecciona esta función pulsando 1.
Luego selecciona del 0 al 9 según el número de cifras decimales a las que quieras redondear, por ejemplo, si queremos todos los resultados redondeados con 2 cifras decimales teclearemos 2. Aproximación por truncamiento a una determinada cifra: Consiste en sustituir por ceros las cifras a partir de una dada.
Ejemplos: 3,72634truncar a las centésimas 3,720003,72 2543truncar a las unidades de mil2000 Error absoluto en una aproximación: Es la diferencia (tomada en valor absoluto) entre el valor exacto o real (VR) y el valor aproximado (VA): E A = V R V A
El error absoluto se expresa en las mismas unidades que el valor exacto.
Si el error absoluto es muy pequeño significa que la aproximación es muy buena
Por ejemplo, si el valor exacto de un número es 2,3 y se toma como aproximación 2 el error absoluto es EA = | VR – VA | = | 2,3 – 2 | = 0,3.
Sin embargo, si se toma como aproximación 2,5 el error absoluto es EA = | 2,3 – 2,5 | = |– 0,2 | = 0,2. Observa que la 2ª aproximación es mejor que la 1ª porque da menor error absoluto
Error relativo en una aproximación: R R
E
E =
| V |
El error relativo no lleva unidades y se suele expresar en forma de porcentaje (llamado entonces “error porcentual”). Para ello se multiplica el valor obtenido por 100.
El error relativo se usa para comparar aproximaciones que tienen el mismo error absoluto y poder saber qué aproximación es la mejor o más precisa. Siempre es más precisa la aproximación que nos dé menor error relativo.
Ejemplo:
La fachada de la casa de Rosa mide exactamente 10 m pero Rosa al medirla obtiene 10,5 m La altura de una torre es exactamente 100 m pero Juan al medirla obtiene 99,5 m.
--- Página 19 --- 10 10,5 0, 5 : 0, 05 5% 10 10 R R E Rosa E V 100 99,5 0,5 : 0, 005 0,5% 100 100 R R E Juan E V R Ha sido más preciso Juan porque su medida da menor E
Precisión de una medida y cota de error absoluto
Si hemos realizado una medida obteniendo como valor aproximado VA y sabemos que la precisión de la medida es p entonces el valor real VR está entre VA – p y VA + p, VA – p < VR < VA + p Luego el error absoluto EA es menor que p.
Es decir, la precisión de la medida siempre es una cota del error absoluto
Si no conocemos el valor real del número por ejemplo, porque tenga infinitos decimales, en vez de tomar el error absoluto se suele tomar una cota de error absoluto que es el mayor error que se puede cometer cuando se aproxima el número a un cierto orden k
Una cota de error absoluto siempre es c = 0,5.10k.
El valor de k depende de la última cifra no nula que se deja al aproximar: Si es la de las unidades, k = 0 ; para las decenas, k = 1; centenas, k = 2, etc. Si es la de las décimas, k = –1 ; centésimas, k = –2 , etc.
Por ejemplo, al medir el ancho del cuaderno con una regla graduada se observa que es mayor que 21,3 cm y menor que 21,4 cm. Podemos decir que el ancho está comprendido entre 21,3 y 21,4 por lo que se habrá cometido un error absoluto menor que 0,1.
Una cota de EA es 0,1, pues EA < 0,1
ACTIVIDADES 1
2 He medido el largo de una mesa obteniendo 52 cm cuando en realidad mide 50 cm. Luego he medido el largo del aula obteniendo 498 cm cuando en realidad mide 500 cm. a) Halla el porcentaje de error relativo que se ha cometido en cada medida
b) A la vista de los resultados obtenidos, explica qué medida es la más precisa
3 Alicia es controladora aérea y trabaja en la torre de control de un aeropuerto. Hoy está
controlando el vuelo de un avión cuya velocidad es 240 5 km/h, aunque se decide aproximar esta cantidad por redondeo a las decenas, cometiendo un error relativo.
Calcula el porcentaje de error relativo con una precisión de centésimas.
4
--- Página 20 --- 6.- LOGARITMOS
6.1.- Concepto y cálculo de logaritmos
Concepto de logaritmo: La solución de la ecuación 2x = 6 es el número al que hay que elevar el “2” para obtener el “6”. Se llama el logaritmo en base 2 de 6 y se escribe así: log2 6.
En general, si a > 0 , a ≠ 1 , la solución de la ecuación ax = N es el número al que hay que elevar la base “a” para obtener “N”. Dicho número se llama logaritmo en base a de N y se escribe así: log
a N Usando la definición podemos ver que se cumple la regla: loga
N = x a
x= N
Si la base es 10, entonces log10 N se escribe simplemente como log N y se llama logaritmo decimal de N o de Briggs. Las tablas que tradicionalmente se han usado para calcular logaritmos, son tablas de logaritmos decimales.
Si la base es el número “e”, entonces loge N se escribe simplemente como ln N ó L n y se llama logaritmo neperiano o logaritmo natural de N .
El número e = 2,718281828…. es un número irracional y tiene gran importancia en las Matemáticas. Ejemplo:
Cálculo de logaritmos con la calculadora: La calculadora científica CASIO nos permite calcular tanto logaritmos decimales como neperianos usando las teclas log y ln , respectivamente.
Ejemplos:
log 3 log 3 . Nos da 0,477121254… ln 20 ln 20 . Nos da 2,995732274…
Está demostrado que todos los logaritmos que no den un resultado exacto (número entero o decimal exacto o periódico) son números irracionales.
ACTIVIDADES 1
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6.2.- Propiedades de los logaritmos
1) log aa = 1 Ejemplo: log 5 5 = 1 2) log a 1 = 0 Ejemplo: log 3 1 = 0 3) loga N, si N ≤ 0 Ejemplos: ∄ log 2 (−4) ∄ log6 0 4) log a (MN) = loga (M) + loga (N) Ejemplo: log 7 (3.12) = log7 3 + log7 12 5) a a a M
log log M log N
N
Ejemplo:
5
log log(5) log(2)
2 6) log a(M N) = N log a(M) Ejemplo: ln (53) = 3 . ln 5 7) log a a N = N a log M
a
M
Ejemplos: log4 49 = 9 3 log 7 3 7 8) n M a a l o g ( M ) l o g =n
Ejemplo: 3 2 10 2 log (10) log3
Ejemplos:Fórmula de cambio de base: Es una fórmula que nos permite calcular logaritmos transformándolos a otra base. La fórmula es a b
b log N log N
log A
En particular, si b = 10: log Na log N loga
, si b = e (número e): log Na ln N ln a
Cualquiera de estas dos últimas fórmulas nos permite hallar el logaritmo en base a de un número usando la calculadora científica.
Por ejemplo, aplicando la primera fórmula: log 72 log 7 2,807354922.... log2
Si aplicamos la segunda fórmula obtenemos el mismo resultado: log 72 ln 7 2,807354922.... ln 2
--- Página 22 --- ACTIVIDADES 3 4 5 6 7
Interés compuesto anual: Supongamos que colocamos un capital C en un Banco al r% de forma que los intereses que se producen cada año se acumulan al capital para producir nuevos intereses en el siguiente año. Si llamamos
100
r
i (o tanto por uno), el dinero que obteniendo después de t años es: t
f
C C(1 i)
Ejemplo: ¿Cuántos años estuvo impuesto un capital de 20000 € en un Banco si colocado al 0,5% de interés compuesto anual produjo unos intereses de 1553,65 €?
El capital final es Cf = 20000 + 1553,65 = 21553,65 € t f t f t f f Sustituyendo C C
C C(1 i) (1 i) log log(1 i) tlog(1 i)
C C
C 21553,65 21553,65
log log log
C 20000 20000
Luego, t 15 años
log(1 i) log(1 0,005) log(1,005)
ACTIVIDAD 8 Se invierten 4 500 € al 2,15% de interés compuesto anual.
