Sea f: D n, una función con dominio D. La gráfica de f, es el conjunto: G(f) = { (x 1, x 2,, x n, z)/ z = f(x 1, x 2,, x n ), (x 1, x 2,, x n ) D)}

Texto completo

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10 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

La explicación ó descripción del mundo real y social han planteado, la necesidad de considerar funciones de más de una sola variable. Por ejemplo, considere la temperatura T en un punto de la superficie de la tierra depende en todo momento de la longitud xy la latitud ydel punto. Podemos pensar en T como una función de dos variables x e y ó como una función del par (x,y). Esta dependencia funcional lo representaremos por T= f(x,y).

Una función f de n variablesf: D n, es una regla que asigna a cada

elemento (x1, x2,, xn) de D un único número real f(x1, x2,, xn).

Al conjunto D se conoce como dominiode f.

A menudo escribimos z = f(x1, x2,, xn) para hacer explícito el valor que toma f en el punto general (x1, x2,, xn). Las variables x1, x2,, xn son las variables independientesy zes la variable dependiente.

11 • El rangode f, denotado por Rg(f), es el conjunto de valores que toma f, es decir:

Rg(f) ={ f(x1, x2,, xn)/ (x1, x2,, xn) D}

Ejemplo: Determinar el dominio, rango de la función f(x,y) = 4x2y2

• Sea f: D n , una función con dominio D. La gráficadef, es el conjunto: G(f) = { (x1, x2,, xn, z)/ z = f(x1, x2,, xn), (x1, x2,, xn)D)}

(x,y) (x,y,z)

Observación: i) Si f: D , su gráfica se encuentra en 2

ii) Si f: D 2, su gráfica se encuentra en 3

Ejemplo: Obtener la gráfica de la función f , definida por: f(x,y) = 4

CONJUNTO DE NIVEL

Sea f: D n, una función y k. Entonces el conjunto de nivel de valor k, se

define como: { xD/ f(x, y) = k } n

Si: n = 2, el conjunto de nivel será una curva de nivel (de valor k) Si: n = 3, el conjunto de nivel será una superficie de nivel (de valor k)

NOTA. Las curvas de nivel se usan frecuentemente en la elaboración de mapas hidrográficos, meteorológicos, etc.

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14 Ejemplo: Determine las curvas de nivel de: z = x2+ y2

-2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 0 2 4 6 8 15

OPERACIONES CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Sean f, g: D n , funciones de n variables con dominios Df y Dg

f, respectivamente, entonces f + g, f - g, f . g, f / g, se definen como:

i) (f + g )(x) = f(x) + g(x), Df+g= DfDg ii) (f - g )(x) = f(x) - g(x), Df-g= DfDg iii) (f . g )(x) = f(x) g(x), Df.g= DfDg

Ejercicio. Determinar el dominio de la función: f(x,y) =

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES

(a, b) (x, y) Lámina de metal Temperatura L x y f(x, y) 0

Si la temperatura f(x,y) se acerca a un valor fijo L, cuando (x,y) se aproxima cada vez más a un punto fijo (a,b), entonces esto se denotará como:

(x,y)lim f(x,y) = L(a,b) y puede leerse: el límite de f(x,y) cuando (x,y) tiende a (a,b) es L

(3)

18 Ejercicio 1. Analizar si  2 2 (x,y) (0,0) xy lim =0 x y Ejercicio 2. Analizar si  3 4 4 4 (x,y) (0,0) x y lim =0 x y Ejercicio 3. Analizar si  2 2 2 2 (x,y) (0,0) 7x y lim =0 2x y 19 CALCULO DE LIMITES MEDIANTE OPERACIONES ALGEBRAICAS

Ejemplo: Calcular los siguientes límites:

   (x,y) (1,5) 2 1. lim x y x    2 2 (x,y) (0,0) 2. lim x y x y      3 4 2 (x,y)(1,2) ( 1)( 16) 3. lim ( 1)( 4) x y x y      2 2 2 2 (x,y) (0,0) 4. lim 4 2 x y x y

TEOREMA DEL ENCAJE

Dadas las funciones f, h, g tal que f(x) h(x) g(x), xDn.

Si ,entonces ,

0 0

x

lim f(x)= lim g(x)

x x x

,

000

x

lim h(x)= lim f(x)= lim g(x)

x x x x x

0

xlim f(x)=0x

0

x

lim f(x)g(x)=0

x

TEOREMA DE LA ACOTACIÓN

Si f es una función tal que ; g(x) una función acotada (es decir existe una constante k>0 de modo que: -kg(x) k ) , entonces,

Este teorema nos indica que si una función tiene límite cero en un punto, y otra función está acotada en los alrededores del punto, entonces, su producto también tiene límite cero en dicho punto.

Ejemplo: Calcular: i) ii)

 2 2 (x,y) (0,0)

1

lim (x + y )cos

xy

 3 2 2 (x,y) (0,0)

x

lim

x + y

(4)

22 Ejemplo Analizar si el punto (0,0) es un punto de acumulación de

S= {(x,y) 2/ x > 0, y > 0}

Se dice que p0es un punto de acumulaciónde un conjunto Dn, si toda bola

abierta reducida B’(p0,r):=B(p0,r) – { p0} contiene infinitos puntos de D, es decir: B’(p0,r) D  .

PUNTO DE ACUMULACIÓN

REGLA DE LA TRAYECTORIA

Sea S1y S2 conjuntos de nque tienen al punto p

0como un punto de acumulación. Si

entonces, , no existe. 0 0 1 2 x p x p x S x S      lim f(x) lim f(x) 0 x

lim f(x)

p 23

Ejemplo. Calcular: i) , si existe. ii)

2 2 ( , )x y (0,0) x y x y   lim ( , ) (2,2) 2 3 x y x y x xy   lim iii) si existe 4 3 2 2 4 2 2 ( , , )x y z (0,0,0) x y x z x x y z     lim

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Sea f es una función de n variables y sea p un punto en n

Se dice que f es continua en el puntop si se cumplen la tres condiciones:

i) f (p)esta definida ii) existe iii) xp

lim f(x)

xp lim f(x) = f(p)

Sea f una función de n variables, definida en el conjunto abierto D de n. Se

dice que f es continua en el conjuntoD (o simplemente que f es continua) si f es continua en cada uno de los puntos xoD.

Propiedad

Sean f, g: D nfunciones definidas en el conjunto abierto D de n. Si f y g son funciones continua en el punto xo, entonces

1. la función f+ g: D n, (f + g)(x)= f(x)+g(x), es continua en x o 2. la función fg: D n, (f g)(x)= f(x) g(x), es continua en x o 3. la función f/ g: D n, (f /g)(x)= f(x) /g(x), es continua en x o, siempre que g(xo) 0

Nota. Cualquier función polinómica f: nes continua en n.

Ejemplo: Analizar si la función f(x,y,z)= , es continua en todo su dominio 2 2 4 2 7 x xy y x y    

(5)

26 Ejercicios

En cada caso, analizar si f es continua en (0,0), si i) ii) iii) 2

(

) /(

),

( , )

(0,0)

( , )

0,

( , )

(0,0)

x

y

x

y si x y

f x y

si x y

 

2 2

/(

),

( , )

(0,0)

( , )

0,

( , )

(0,0)

xy x

y

si x y

f x y

si x y

 

2 2

(

) /(

),

( , )

(0,0)

( , )

0,

( , )

(0,0)

x

y

x

y

si x y

f x y

si x y

 

 

27 Propiedad

Si f: D nes un función continua xo y g es una función continua en f(xo) , entonces, la función compuesta definida por (gof)(x)=g(f(x)) es continua en xo, es decir:

0 0

lim ( ( ))

(lim( ( ))

xx

g f x

g

xx

f x

Figure

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