Curso Propedéutico
Álgebra y Cálculo
Diplomado en Administración de Riesgos
Expositor: Juan Francisco Islas
Monterrey, N.L. Julio 2013
Reglas algebráicas para los números reales
a
b
b
a
+
=
+
ba
ab
=
(
b
c
) (
a
b
)
c
a
+
+
=
+
+
( ) ( )
bc
ab
c
a
=
(
b
c
)
ab
ac
a
+
=
+
(
b
c
)
ab
ac
a
−
=
−
(
a
+
b
)
c
=
ac
+
bc
(
a
−
b
)
c
=
ac
−
bc
a
a
+
0
=
0
0
=
⋅
a
a
a
⋅
1
=
( )
−
=
0
+
a
a
( )
−
a
=
a
−
( )
−
1
a
=
−
a
( )
b
a
b
a
−
=
+
−
( )
b
a
b
a
−
−
=
+
1 1 = a a b a b a 1 ⋅ =( )
−
a
b
=
−
( ) ( )
ab
=
a
−
b
( )( )
−
a
−
b
=
ab
b
a
b
a
=
−
−
b
a
b
a
b
a
−
=
−
=
−
c
b
a
c
b
c
a
+
=
+
c
b
a
c
b
c
a
−
=
−
bd
ac
d
c
b
a
=
⋅
bc
ad
d
c
b
a
=
÷
bc
ac
b
a
=
(
c ≠ 0)
Exponentes Radicales
(
0
)
1
0=
a
≠
a
(
0
)
1
≠
=
−a
a
a
n n n m n ma
a
a
=
+( )
a
m n=
a
mn( )
ab
n=
a
nb
n n n nb
a
b
a
=
n m n ma
a
a
=
− n na
a
1=
( )
na
n=
a
(
a
>
0
)
a
a
n n=
( )
n m m na
=
a
n m na
m=
a
n n nab
=
a
b
n n nb
a
b
a
=
mn m na
=
a
Productos especiales
(
y
z
)
xy
xz
x
+
=
+
(
x
+
a
)(
x
+
b
)
=
x
2+
(
a
+
b
)
x
+
ab
(
ax
+
c
)(
bx
+
d
)
=
abx
2+
(
ad
+
cb
)
x
+
cd
(
x
+
a
)
2=
x
2+
2
ax
+
a
2(
x
−
a
)
2=
x
2−
2
ax
+
a
2(
x
+
a
)(
x
−
a
)
=
x
2−
a
2(
x
+
a
)
3=
x
3+
3
ax
2+
3
a
2x
+
a
3(
x
−
a
)
3=
x
3−
3
ax
2+
3
a
2x
−
a
3 Propiedad distributivaBinomio suma al cuadrado Binomio diferencia al cuadrado Producto de suma y diferencia Binomio suma al cubo Binomio diferencia al cubo
Factorización
Factor común
Trinomio cuadrado perfecto
Diferencia de cuadrados Suma de cubos Diferencia de cubos Trinomio cuadrado perfecto
(
y
z
)
x
xz
xy
+
=
+
(
a
b
)
x
ab
(
x
a
)(
x
b
)
x
2+
+
+
=
+
+
(
ad
cb
)
x
cd
(
ax
c
)(
bx
d
)
abx
2+
+
+
=
+
+
(
)
2 2 22
ax
a
x
a
x
+
+
=
+
(
)
2 2 22
ax
a
x
a
x
−
+
=
−
(
x
a
)(
x
a
)
a
x
2−
2=
+
−
(
)
(
2 2)
3 3a
x
a
x
ax
a
x
+
=
+
−
+
(
)
(
2 2)
3 3a
x
a
x
ax
a
x
−
=
−
+
+
Fórmula cuadrática Si
0
2
+
bx
+
c
=
ax
donde0
≠
a
entoncesa
ac
b
b
x
2
4
2−
±
−
=
Ecuación de la recta
b
mx
y
=
+
1
2
1
2
x
x
y
y
m
−
−
=
(
1
)
1
m
x
x
y
y
−
=
−
(
1
)
1
2
1
2
1
x
x
x
x
y
y
y
y
−
−
−
=
−
( )
0,bDesigualdades
Si
a
<
b
entonces
a
+
c
<
b
+
c
0
>
c
bc
ac
<
( ) ( )
c
b
c
a
−
>
−
Si
entonces
b
a
<
y
0
>
c
Si
entonces
b
a
<
y
•
•
•
Logaritmos
y
x
b=
log
x
=
b
y( )
mn
bm
bn
blog
log
log
=
+
n
m
n
m
b b blog
log
log
=
−
m
r
m
r b blog
log
=
0
1
log
b=
1
log
bb
=
r
b
r
b
=
log
m
b
log
bm
=
b
m
m
a
a
b
log
log
log
=
si y sólo si
Alfabeto griego alfa beta gamma delta épsilon zeta nu xi ómicron pi ro sigma tau ípsilon fi ji psi omega eta theta iota kappa lambda mu α Α β Β
γ
Γ δ ∆ ε Εη
Η θ Θ ι Ι κ Κ λ Λ µ Μ ζ Ζξ
Ξ ν Ν ο Ο π Π ρ Ρ σ Στ
Τ
υ
Υϕ
φ
,
Φ
χ Χ ψ Ψω
ΩConjuntos de números reales
es
irracional
racionales
reales
naturales)
positivos(
cero
negativos
enteros
K
,
3
,
2
,
1
−
−
−
0
K
,
3
,
2
,
1
0
1 − 2 − 3 −1
2
3
2 2 − e e −π
− − 12 12π
π
2 2 12
− 84 7 5 2 6 − − Cociente de enterosq
p
0 ≠ q Para practicar: Problemas 0.1 pares, página 3 de Haeussler, et. al.Aplicación de las propiedades de los números reales
(
y z w) (
y z w)
x x −3 + 2 = −3 + 2 Propiedad conmutativa Propiedad asociativa ( ) ( )4 5 3 4 5 3 ⋅ = ⋅ 2 2 2 2− = − + Propiedad conmutativa (8+ x)− y = 8+(x− y) Propiedad asociativa (4 2 8) 12 6 24 3 x+ y + = x+ y + Propiedad distributiva = c b a c ab Propiedad asociativa c b c a c b a + = + Propiedad distributivaEl mínimo común denominador es 15
3 2 1 3 2 5 5 3 2 5 3 5 2 15 10 15 4 6 15 4 1 2 3 15 4 5 2 = × = × = × × = = + = × + × = + 24 1 24 1 24 10 9 24 5 2 3 3 12 5 8 3 − = − = − = × − × =
− El mínimo común denominador es 24 Realizar las siguientes operaciones con fracciones: Para practicar:
Problemas 0.2 pares, páginas 8 y 9 de Haeussler, et. al. (2008)
Exponentes y radicales 16 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 4 4 = = × × × = 243 1 3 3 3 3 3 1 3 1 3 5 5 = × × × × = = − 243 3 3 1 5 5 = = − 20 = 1 1 0 = π
( )
− 5 0 =1 x x1 = x6x8 = x14 a3b2a5b = a8b3 6 5 11x x x − = 2 3 2 1 2 2 1 1 2 1x
x
x
xx
=
=
=
+ + z z z z z z z = = = = = + + 1 5 5 5 3 2 5 3 5 2 5 3 5 2 8 1 4 2 1 4 4 1 4 4 1 4 1 4 1 4 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 = × = = × = = = ( ) 81 16 3 2 27 8 3 2 27 8 3 2 27 8 27 8 27 8 27 8 27 8 27 8 27 8 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 3 4 = − − = − − = − − = − − = − − = − = −(
)
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 3 64 4 4 4 4 16 64a = a = a = a = a × = a = a 5 5 2 5 5 5 2 5 2 = ⋅ =( )
( )
x x x x x x x x x x x 3 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 6 5 6 5 6 1 6 5 6 1 6 5 6 5 6 1 6 5 6 1 6 1 5 6 1 6 1 5 6 5 = = = = ⋅ = ⋅ =Exponentes y radicales 2 2 3 2 3 2 x z y z y x = − −
Eliminar exponentes negativos
Simplificar x y x y x x y y y x y x 2 2 3 5 7 2 3 5 7 5 3 7 2 = = = −− −−
( )
x5 y8 5 = x5×5y8×5 = x25 y40 24 10 6 4 2 5 3 18 4 9 18 5 18 3 4 9 5 y x y x y x y x = = = × × × × 2 6 5 5 2 5 5 6 5 5 1 5 5 2 5 6 5 1 z xy z y x z y x = = × × × 3 3 3 6 2 5 3 6 2 5 2 6 5 3 5 6 2 3 5 6 2 3 x y x y x x y y y x y x y x y x y x y x = = = = = ÷ −− −− xy x y y x y x−1 + −1 = 1 + 1 = + ( ) ( )2 2 2 2 2 2 49 1 7 7 1 1 7 7 7 x x x x x x− + − = + = +Exponentes y radicales
Eliminar exponentes negativos
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 y xy x y x x y y x xy x y y x y x y x + − = − = − = − = − = − − − − − Simplificar(
1)
1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 3 − = − = − = − = − x x + x x x x x x x x x 5 8 2 1 5 2 5 6 5 2 2 1 5 2 5 6 5 2 2 1 5 2 5 6 2 1 5 2 2 2 2 2x x y x x x y x x y x y x = + = + = + + +Exponentes y radicales Para practicar: Problemas 0.3 pares, página 14 de Haeussler, et. al. (2008) Simplificar 4 4 4 4 4 4 48 = 16×3 = 2 3 = 2 3 2 + 5x =
(
2 + 5x)
21(
)
6 6 2 6 6 2 6 6 2 6 6 6 2 6 2 6 2 15 1 10 3 15 10 15 3 3 2 5 1 3 2 3 2 3 1 5 1 3 1 5 1 3 5 × = = = ⋅ = = 4 2 5 5 4 5 5 4 5 20 = = = × = 3 2 3 1 2 3 1 3 3 3 6 3 4 3 6 3 x6 y4 = x y = x y + = x yy = x y y 7 14 7 7 7 2 7 2 7 2 = = ⋅ = 2 10 10 5 2 15 2 5 10 5 2 15 2 25 10 25 2 15 50 250 − + = × − × + = − + = +
<
−
≥
=
0
si
0
si
2x
x
x
x
x
3 32 = ( )−3 2 = −3 9 = ±3Operaciones con expresiones algebráicas Suma
(
3x2 y − 2x +1) (
+ 4x2 y + 6x − 3)
2 4 7 3 1 6 2 4 3 3 6 4 1 2 3 2 2 2 2 2 − + = − + + − + = − + + + − = x y x x x y x y x x y x x y x 4 8 3 1 6 2 4 3 3 6 4 1 2 3 2 2 2 2 2 + − − = + + − − − = + − − + − = x y x x x y x y x x y x x y x Resta(
3x2y −2x+1) (
− 4x2y +6x−3)
Eliminación de símbolos de agrupación
[
]
[
(
)
]
{
2x 2x 3 5 4x 3 4x}
3 + + 2 − −{
[
]
[
]
}
{
}
45 78 72 60 45 60 18 12 20 15 20 6 4 3 4 3 4 5 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 − + = + − + + = + − + + = + − + + = x x x x x x x x x x x x x xOperaciones con expresiones algebráicas Productos
(
x + 2)(
x − 5) (
= x x − 5) (
+ 2 x − 5)
= x2 − 5x + 2x −10 = x2 − 3x −10(
3z +5)(
7z + 4)
= 3z(
7z + 4) (
+5 7z + 4)
= 21z2 +12z + 35z + 20 = 21z2 + 47z + 20(
x − 4)
2 = x2 − 2x( )
4 +16 = x2 −8x +16(
y2 +1 + 3)(
y2 +1 −3) (
= y2 +1)
2 −( )
3 2 = y2 +1−9 = y2 −8(
3x + 2) ( )
3 = 3x 3 + 3( ) ( ) ( )( ) ( )
3x 2 2 + 3 3x 2 2 + 2 3 = 27x3 + 54x2 + 36x + 8 Binomio de Newton(
)
n(
)
n i i i nb
a
i
i
n
n
b
a
− =∑
−
=
+
0!
!
!
n
∀
natural Para practicar: Problemas 0.4 pares, páginas 18-19 de Haeussler, et. al. (2008)Factorización Para practicar: Problemas 0.5 pares, página 21 de Haeussler, et. al (2008)
(
x
k
)
x
k
x
k
x
k
9
3
3
3
2 2+
3=
2+
(
3
)(
2
)
6
2−
x
−
=
x
−
x
+
x
(
4
)(
3
)
12
7
2−
x
+
=
x
−
x
−
x
(
)
(
)(
)
(
)
2 21
3
1
1
3
1
2
3
+
=
+
+
=
+
+
=
x
x
x
x
x
3
6
3
x
2+
x
+
Fracciones Para practicar: Problemas 0.6 pares, página 26 de Haeussler, et. al (2008) Simplificar
(
)(
)
(
)(
)
4 2 3 4 2 3 12 7 6 2 2 − + = − − + − = + − − − x x x x x x x x x x(
)
(
2 6)(
2 6)
6 2 6 2 6 2 6 2 1 6 2 6 2 − + + = + + ⋅ − = ⋅ − = − x x x x(
)
(
)
34 2 6 34 2 6 36 2 6 2 x x x x = − + − + = − + =Racionalización de denominador y binomio conjugado
Demuestre que
(
x h)
x h x h x + − = − + 1 1 1 parah
≠
0
Sistema de coordenadas cartesianas
+
+
y
x
−
+
y
x
+
−
y
x
−
−
y
x
I
II
III
IV
Pendiente de la recta
1
3
−
=
x
y
3 1 3 1 2 2 5 1 2 1 2 = = − − = − − = x x y y m( )
2,5( )
1,2(
0,−1)
(
x2, y2)
(
x1, y1)
b
mx
y
=
+
3
1 2−
=
=
∆
y
y
y
1 1 2 − = = ∆x x xPendiente de la recta
6
2
+
−
=
x
y
y
=
mx
+
b
2
1 2−
=
=
∆
y
y
y
1
1 2−
=
=
∆
x
x
( )
2,2x
(
x2, y2)
(
x1, y1)
( )
1,4( )
0,6 2 1 2 2 1 2 4 1 2 1 2 = − − = − − = − − = ∆ ∆ = x x y y x y mPendiente de la recta
4
=
y
b
mx
y
=
+
0
1 2−
=
=
∆
y
y
y
2
1 2−
=
=
∆
x
x
x
( )
3
,
4
(
x
2,
y
2)
(
x
1,
y
1)
( )
1
,
4
( )
0
,
4
0
2
0
1
3
4
4
1 2 1 2=
=
−
−
=
−
−
=
∆
∆
=
x
x
y
y
x
y
m
Pendiente de la recta
2
2
1
+
−
=
x
y
b
mx
y
=
+
1
1 2−
=
=
∆
y
y
y
2
1 2−
=
−
=
∆
x
x
x
( )
0,2(
x2, y2)
(
x1, y1)
( )
2,12
1
2
1
2
0
1
2
1 2 1 2=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
∆
∆
=
x
x
y
y
x
y
m
Solución de ecuaciones lineales simultáneas Resolver : 2x + y =10 8 2 3x − y = y = 10 − 2x 4 2 3 − = x y Despejando :
y
) 1 ...( ) 2 ...( ...(1a) ) 2 ...( a Igualando y(1a) (2a) = − 2x 10 4 2 3 − x x x 2 2 3 4 10+ = + x 2 7 14 = x = × 7 2 14 4 = ∴ x Resolviendo para x( )
4 10 8 2 2 10 2 10 − = − = − = = x y 2 = ∴ y Sustituyendo enx = 4 (1a)•
( ) ( )
x, y = 4,2Solución de una ecuación cuadrática* Resolver :
x
2+
12
x
+
35
=
0
* o de segundo grado
•
por factorización(
x
+
7
)(
x
+
5
)
=
0
esto implica que0
7
=
+
x
x
+
5
=
0
7
1=
−
x
x
2=
−
5
•
por fórmula general35
,
12
,
1
=
=
=
b
c
a
a
ac
b
b
x
2
4
2 2 , 1−
±
−
=
( )( )
( )
2
6
1
2
12
2
4
12
1
2
35
1
4
12
12
2 2 , 1=
−
±
±
−
=
±
−
=
−
±
−
=
x
7
2=
−
x
5
1=
−
x
Curso Propedéutico
Álgebra y Cálculo
Diplomado en Administración de Riesgos
Expositor: Juan Francisco Islas
Monterrey, N.L. Julio 2013
La función y sus variables
variable
dependiente
( )
x
f
y
=
variable
independiente
función
Función, variables, dominio y rango
Variable dependiente : variable cuyo valor
depende de una variable más.
Variable independiente : variable que se
considera dada en una función, relación o en
un modelo.
Función : Regla que asigna a cada valor de
una variable , uno y sólo un valor .
x
f
( )
x
Dominio : Conjunto de posibles valores que
puede tomar la variable independiente.
Rango : Conjunto de posibles valores que
resultan para la variable dependiente.
Tarea 1
i) Defina el concepto de relación.
ii) Establezca la diferencia entre el concepto
de relación y el de función.
iii) Muestre con un ejemplo gráfico la diferencia
entre relación y función.
Identificación de funciones a partir de gráficas Sí es función No es función No es función No es función Sí es función Sí es función
Identificación analítica de funciones (a partir de ecuaciones)
¿
Cuáles de las siguientes ecuaciones son funciones y por qué?
7 2 + − = x y y2 = x 2 x y = 15 6 2 + + − = x x y x2 + y2 = 64 4 = x No es función No es función No es función Sí es función Sí es función Sí es función
Valuación de funciones
6
=
x
•
ii) en
( )
6
=
10
∴
f
Valuar la función
•
i) en
x
=
4
( )
10
2
20
2
7
2
6
1
1
7
2
6
7
2
6
6
=
+
=
+
=
×
+
×
=
=
f
( )
7
2
7
9
2
4
4
=
+
=
+
=
f
∴
f
( )
4
=
9
( )
7
2
+
=
x
x
f
Tipos de funciones
•
Función lineal
•
Función cuadrática
•
Función polinomial de grado
•
Función racional
•
Función potencia
( )
x
mx
b
f
=
+
( )
x
=
ax
2+
bx
+
c
a
≠
0
f
n
( )
x
=
a
nx
n+
a
n−1x
n−1+
+
a
0a
n≠
0
f
L
( )
x
=
ax
n
∈
ℜ
f
n( ) ( )
=
( )
h
( )
x
≠
0
x
h
x
g
x
f
Gráficas de funciones
x
x
f
(
)
=
1)
(
x
=
x
−f
3
)
(
x
=
x
2−
f
1 2 5 4 ) ( 2 2 + + = x x x flineal
cuadrática
racional
potencia
Tipos de funciones. Caracterización de dominio
•
El
dominio
de las funciones
lineales
,
cuadráticas
y
polinomiales
es el conjunto de
los números reales.
x
•
El
dominio
de las funciones
racionales
y
potenciales
excluye cualquier valor de
que implique una operación indefinida.
( )
x = 7x −4 f f( )
x = 5x2 +8x − 2f
( )
x
=
4
x
3+
2
x
2−
9
x
+
5
( )
4
4
9
2−
≠
+
−
=
x
x
x
x
f
( )
20
1≥
=
=
x
x
x
x
g
( )
=
4
−3=
4
3x
≠
0
x
x
x
h
Ejemplos de identificación de dominio
19
7
4
2+
−
=
x
x
y
{
∈
ℜ
}
=
x
x
D
|
(
−
∞
,
∞
)
∞
<
<
∞
−
x
∞
−
0
∞
El
dominio
de
esta función
cuadrática
es el conjunto
de los
números
reales.
Función cuadráticax
x
Ejemplos de identificación de dominio
5
−
=
t
y
( )
2 Función potencia 15
−
=
t
El dominio de esta función potencia excluye a todo que implica una operación indefinida: la raíz cuadrada no está definida para los números negativos.5
<
t
{
|
∈
ℜ
,
≥
5
}
=
t
t
t
D
)
[
5
,
∞
∞
<
≤
t
5
∞
−
0 5t
∞
[
t
5Ejemplos de identificación de dominio
(
9)
6 + = x x yFunción racional conformada por una función lineal entre una función cuadrática.
El dominio de esta función racional excluye a y que implican una operación indefinida: la división entre cero no está definida.
0
=
x
{
|
∈
ℜ
,
≠
−
9
,
≠
0
}
=
x
x
x
x
D
(
−
∞
,
−
9
) (
∪
−
9
,
0
) ( )
∪
0
,
∞
∞ < < < < − − < < ∞ − x 9 y 9 x 0 y 0 x∞
−
0
∞
x
(
9
−
=
x
9
−
() )
9
−
0
x
Asíntota Asíntota x = 0 9 − = x Asíntota y = 0Ejemplos de identificación de dominio
x
y
=
5
Función función lineal entre una función potencia.racional conformada por unaEl dominio de esta función racional excluye a todo que implican una operación indefinida:
la división entre cero no está definida y la raíz cuadrada para números negativos no está definida. 0 ≤ x
{
|
∈
ℜ
,
>
0
}
=
x
x
x
D
( )
0
,
∞
∞
<
<
x
0
∞
−
0
∞
x
(
0
x
Tipos de funciones. Ejemplos
•
Funciones lineales
•
Funciones cuadráticas
•
Funciones polinomiales
•
Funciones racionales
•
Funciones potencia
( )
x
=
7
x
−
4
f
( )
x
=
5
x
2+
8
x
−
2
f
( )
x
=
4
x
3+
2
x
2−
9
x
+
5
f
( )
x
2
x
6f
=
( )
4
4
9
2−
≠
+
−
=
x
x
x
x
f
( )
x
x
g
=
−
3
h
( )
x
=
9
( )
x
x
x
g
=
2−
6
h
( )
x
=
6
x
2( )
x
=
2
x
5−
x
3+
7
g
( )
2
2
5
≠
−
=
x
x
x
x
g
( )
2 1x
x
g
=
h
( )
x
=
4
x
−3Ejemplos de identificación de dominio 36 2 − = x x y
(
)(
)
6 6 − + = x x x Función racionalconformada por una función lineal entre una función cuadrática.
El dominio de esta función
racional excluye a y que implican una operación indefinida: la división entre cero no está definida.
6 − = x x = 6
{
|
∈
ℜ
,
≠
−
6
,
≠
6
}
=
x
x
x
x
D
(
−
∞
,
−
6
) (
∪
−
6
,
6
) ( )
∪
6
,
∞
∞ < < < < − − < < ∞ − x 6 y 6 x 6 y 6 x∞
−
0
∞
x
6
−
6
(
()
)
6
−
6
x
Asíntota 6 − = x Asíntota x = 6Ejemplos de identificación de dominio
(
4)
7 − = x xy Función conformada por una racional función lineal entre una función cuadrática. El dominio de esta función racional excluye a y que implican una operación indefinida: la división entre cero no está definida. 0 = x x = 4
{
|
∈
ℜ
,
≠
0
,
≠
4
}
=
x
x
x
x
D
(
−∞,0) ( ) ( )
∪ 0,4 ∪ 4,∞∞
<
<
<
<
<
<
∞
−
x
0
y
0
x
4
y
4
x
(
() )
0 4
0 4
∞
−
x
∞
x
0 = x 4 = x Asíntota Asíntota Asíntota 0 = yEjemplos de identificación de dominio
x
x
y
−
=
8
3
Función función lineal entre una función potencia.racional conformada por unaEl dominio de esta función racional excluye a todo que implica una operación indefinida: la división entre cero no está definida y la raíz cuadrada para números negativos no está definida.
8
≥
x
{
|
∈
ℜ
,
<
8
}
=
x
x
x
D
(
−∞,8)
8
<
<
∞
−
x
∞
−
0
∞
x
8
)
x
8
Ejemplos de identificación de dominio
(
5)(
9)
6 − − = x x xy Función conformada por racional
una función
lineal entre una función cuadrática. El dominio de esta función racional excluye a y que implican una operación indefinida: la división entre cero no está definida. 5 = x x = 9
{
|
∈
ℜ
,
≠
5
,
≠
9
}
=
x
x
x
x
D
(
−
∞
,
5
) ( ) ( )
∪
5
,
9
∪
9
,
∞
∞
<
<
<
<
<
<
∞
−
x
5
y
5
x
9
y
9
x
∞
−
0
∞
x
(
() )
9
5
9
5
x
5 = x Asíntota 9 = x Asíntota 0 = y AsíntotaEjemplos de identificación de rango
x
y
=
2
{
∈
ℜ
}
=
y
y
R
|
(
−
∞
,
∞
)
∞
<
<
∞
−
y
∞
−
0
∞
y
El
rango
de
esta función
lineal
es el conjunto
de los
números
reales.
Función linealy
Ejemplos de identificación de rango 2
x
y
=
El
rango
de
esta función
cuadrática
es el conjunto
de los
números
reales no
negativos.
Función cuadrática{
|
∈
ℜ
,
≥
0
}
=
y
y
y
R
)
[
0
,
∞
∞
<
≤
y
0
∞
−
0
∞
y
[
0
y
Ejemplos de identificación de rango
x
y
=
−
5
{
∈
ℜ
}
=
y
y
R
|
(
−
∞
,
∞
)
∞
<
<
∞
−
y
∞
−
0
∞
y
El
rango
de
esta función
lineal
es el conjunto
de los
números
reales.
Función linealy
Ejemplos de identificación de rango (dominio acotado)
4
1
para
5
≤
≤
−
=
x
x
y
Función lineal con dominio acotado El rango de esta función lineal con dominio acotado es el conjunto cerrado que pertenece al conjunto de los números reales.
{
|
∈
ℜ
,
−
20
≤
≤
−
5
}
=
y
y
y
R
[
−
20
,
−
5
]
5
20
≤
≤
−
−
y
[
−
20
,
−
5
]
∞
−
0
∞
y
y
20 −[
−5]
20 − −5 d o m i n i o r a n g oEjemplos de identificación de rango
2
3
−
=
x
y
{
∈
ℜ
}
=
y
y
R
|
(
−
∞
,
∞
)
∞
<
<
∞
−
y
∞
−
0
∞
y
El
rango
de
esta función
lineal
es el conjunto
de los
números
reales.
Función linealy
Ejemplos de identificación de rango (dominio acotado)
2
2
para
2
3
−
−
≤
≤
=
x
x
y
Función lineal con dominio acotado El rango de esta función lineal con dominio acotado es el conjunto cerrado que pertenece al conjunto de los números reales.
{
|
∈
ℜ
,
−
8
≤
≤
4
}
=
y
y
y
R
[
−8,4]
4
8
≤
≤
−
y
[
−8,4]
∞
−
0
∞
y
y
8 − 4 8 − 4[
]
d o m i n i o r a n g oÁlgebra de funciones
(
)( )
( ) ( )
(
)( )
( ) ( )
(
)( )
( ) ( )
(
÷
)( )
=
( ) ( )
÷
( )
≠
0
⋅
=
⋅
−
=
−
+
=
+
x
g
x
g
x
f
x
g
f
x
g
x
f
x
g
f
x
g
x
f
x
g
f
x
g
x
f
x
g
f
adición
diferencia
producto
cociente
Álgebra de funciones. Ejemplos
(
)( )
( ) ( )
(
)( )
( ) ( )
(
)( )
( ) ( )
(
f
g
)( )
x
f
( ) ( )
x
g
x
x
g
x
f
x
g
f
x
g
x
f
x
g
f
x
g
x
f
x
g
f
÷
=
÷
⋅
=
⋅
−
=
−
+
=
+
Sean las funciones
entonces
f
(
x
)
=
5
x
+
3
y
g
(
x
)
=
4
x
−
8
(
5
+
3
) (
+
4
−
8
)
=
9
−
5
=
x
x
x
(
5
+
3
) (
−
4
−
8
)
=
+
11
=
x
x
x
(
5
+
3
) (
⋅
4
−
8
)
=
20
2−
28
−
24
=
x
x
x
x
2
8
4
3
5
≠
−
+
=
x
x
x
Tarea 2
i) Para cada una de las funciones mostradas en
la diapositiva 8, d
etermine el dominio, el rango y
elabore sus gráficas.
ii) Determine el rango para cada una de las
funciones mostradas en las diapositivas 9 a 16.
iii) Elabore, en forma analítica y con apoyo del
método de tabulación, las gráficas de las
funciones matemáticas de las diapositivas 9 a
22.
iv)Resuelva los ejercicios 3.7, 3.8, 3.9 y 3.10 de
Dowling (1992), páginas 71-74 .
Familias de Funciones Potencia
Potencias pares positivas
Potencias impares positivas 4
x
y
=
y
=
3
x
6 5x
y
=
y
=
4
x
7Familias de Funciones Potencia
Potencias pares negativas
Potencias impares negativas 2 −
=
x
y
43
−=
x
y
1 −=
x
y
y
=
4
x
−3Familias de Funciones Potencia
Potencias fraccionarias menores que 1
Potencias fraccionarias mayores que 1 2 1
x
y
=
3 1x
y
=
2 3x
y
=
3 5x
y
=
denominador par denominador impar
Desplazamientos rígidos
Si es una función y entonces para obtener la gráfica de
la gráfica se desplaza C unidades hacia .
( )
x
f
y
=
C
>
0
( )
x
C
f
y
=
+
( )
x
C
f
y
=
−
arriba
abajo
2x
y
=
y
=
x
2+
3
y
=
x
2−
3
Desplazamientos rígidos
Si es una función y entonces para obtener la gráfica de
la gráfica se desplaza C unidades a la .
( )
x
f
y
=
C
>
0
(
x
C
)
f
y
=
+
(
x
C
)
f
y
=
−
derecha
izquierda
2x
y
=
y
=
(
x
+
3
)
2y
=
(
x
−
3
)
2Si la gráfica de se estira verticalmente en un factor .C >1
( )
x
f
3x
y
=
y
=
2
x
3 32
1
x
y
=
Distorsiones( )
x
Cf
y
=
C
Si la gráfica de se comprime verticalmente en un factor . 1 0 < C <f
( )
x
C
Si la gráfica de se comprime horizontalmente C >1 en un factor .
f
( )
x
( )
32
x
y
=
22
1
=
x
y
Distorsiones( )
Cx
f
y
=
C 1 Si la gráfica de se estira horizontalmente 0 < C <1 en un factor .f
( )
x
C1 3x
y
=
Reflejos
La gráfica se invierte verticalmente
( )
x
f
y
=
−
arriba
abajo
arriba
abajo
de a .
Reflejo con respecto al eje
x
( )
x
f
y
=
1
3−
=
x
y
y
=
−
(
x
3−
1
)
Reflejos
Reflejo con respecto al eje
y
( )
x
f
y
=
1
3−
=
x
y
=
( )
−
3−
1
x
y
( )
x
f
y
=
−
La gráfica se invierte horizontalmente
derecha
izquierda
izquierda
Tarea 3
Para cada una de las funciones
mostradas en las diapositivas 2, 3 y 4
:
• Elabore las gráficas de .
• Elabore las gráficas de .
• Elabore las gráficas de .
• Elabore las gráficas de .
• Elabore las gráficas de .
• Elabore las gráficas de .
( )
x
f
y
=
( )
−
3
=
f
x
y
(
−
3
)
=
f
x
y
( )
x
f
y
3
1
=
( )
x
f
y
=
3
( )
x
f
y
=
−
( )
x
f
y
=
−
Funciones definidas en partes
La regla para una función definida por
partes o segmentada está dada por más de
una expresión.
El valor de la variable independiente
determinará cuál expresión debe aplicarse
para determinar el correspondiente valor de la
variable dependiente .
A continuación algunos ejemplos:
( )
x
f
x
y
Funciones definidas en partes
≤
<
≤
≤
−
<
≤
=
7
5
4
5
3
1
3
0
)
(
x
x
x
x
x
x
f
si
si
si
7
0
≤
x
≤
4
0
≤
y
≤
Dominio
Rango
d o m i n i o r a n g oFunciones definidas en partes
=
≠
−
+
−
=
3
2
3
3
3
4
)
(
2x
x
x
x
x
x
f
si
si
Dominio
Rango
Por factorización(
1
)(
3
)
3
4
2−
x
+
=
x
−
x
−
x
=
≠
−
=
3
2
3
1
)
(
x
x
x
x
f
si
si
(
−
∞
,
∞
)
(
−
∞
,
∞
)
Funciones definidas en partes
<
−
≥
=
0
1
0
1
)
(
x
x
x
f
si
si
Dominio
Rango
{
|
∈
ℜ
,
=
−
1
,
=
1
}
=
y
y
y
y
R
{
∈
ℜ
}
=
x
x
D
|
Funciones definidas en partes
≤
<
−
≤
≤
<
≤
−
=
8
2
3
2
1
0
1
1
1
)
(
x
x
x
x
x
f
si
si
si
Dominio
]
[
−
1
,
8
]
(
−
1
,
5
Rango
d o m i n i o r a n g oFunciones definidas en partes
≥
−
<
≤
<
=
10
10
0
0
2
)
(
2x
x
x
x
x
x
x
f
si
si
si
Dominio
)
(
−
Rango
∞
,
100
(
−
∞
,
∞
)
Función Valor Absoluto
<
−
≥
=
0
0
x
x
x
x
x
si
si
Dominio
)
[
0
,
∞
Rango
(
−
∞
,
∞
)
Composición de funciones
Si y son funciones, la
composición
de
con es la función definida por
donde el dominio de es el conjunto
de todas las en el dominio de , tales
que esté en el dominio de .
La composición es asociativa:
A continuación algunos ejemplos:
f g
f
g
(
f
o
g
)( )
x
=
f
(
g
( )
x
)
f
g
f
o
x
g
( )
x
g
g
f
o
(
f
o
g
)
o
h
=
f
o
(
g
o
h
)
Composición de funciones
Dadas las funciones
la función compuesta
se obtiene sustituyendo
para cada ocurrencia de en .
2
