TEMA 1: FUNCIONES. 1ºBach.Ciencias Bloque III: FUNCIONES BLOQUE III :FUNCIONES

BLOQUE III :FUNCIONES

TEMA 1: FUNCIONES

Idea intuitiva de función. Dominios.

RECUERDA: Dominio de una función, f, es el conjunto de los valores reales que puede tomar la variable independiente, x , para que exista la función. (Para que la variable dependiente, y , tome un valor real).

Para calcular el dominio de una función, debes saber que operaciones no estan definidas: - la división por cero

- las raíces cuadradas de números negativos

- el logaritmo de cero y los logaritmos de números negativos 1.- Indica si las siguientes funciones son polinómicas, racionales, irracionales, logarítmicas o exponenciales y determina su Dominio:

a f x x b f x x c f x x x d f x x x e f x x f f x x x g f x x x x h f x x x x x i f x x j f x x k f x x x l f x x x ll f x x m f x x n f x ex o f x ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) log ) ( ) ) ( ) ) ( ) = = = + − = − = = + − = − − = + − = + = − = + − = − − = = = = 2 2 5 2 2 3 3 32 3 1 2 2 5 2 5 5 3 6 2 2 7 5 7 4 3 2 2 − +x2 36 2.-Dadas las siguientes funciones, efectúa las siguientes operaciones: f+g, f/g, f o g y g o f e indica su dominio:

a)f(x)=lnx y g(x)=x 2 b) f(x) = x y g(x) = x-8 c) f(x) = x2 +x y g(x) = x + 2

TEMA 2 LIMITE DE UNA FUNCIÓN

Idea intuitiva. Definición de límite de una función, f, en un punto, xo. Propiedades de los límites. Cálculo de límites de funciones polinómicas, racionales e irracionales. asíntotas horizontales y verticales.

Recuerda:

Definición: Una función, f(x), tiene por límite L en el punto xo, cuando para toda sucesión de valores de x que tenga por límite xo, la sucesión de los valores correspondientes de f(x) tiene por límite L. NOTACIÖN:

lim f x

L

x→x_o

( )

=

L

x

f

lim

x

f

lim

l

x

f

lim

o o o x x x x x x→

(

)

=

⇔

→ +

(

)

=

→ −

(

)

=

1.- Basándote en la definición de límite, construye una sucesión de valores de x, que verifique los siguientes límites:

a)lim x b) =3 c) x→2− − = 2 1 ( ) 3 lim ( ) x→2+ x −1 2 lim( ) x→∞ −x + = −∞ 2 2 d) lim x x x →∞ + − = − 3 2 3 e) lim x x x →−∞ + − = − 2 2 20 1 f) lim x→−+ x+ = +∞ 1 3 1 g) lim x→−1− x+ = −∞ 3 1 h) limx x x →−∞ + = 5 7 0 2 3

2.- Calcula los siguientes límites de funciones polinómicas: a) lim lim lim x x x →− →∞ →−∞ + − − + + − + + 1 3 2 2 3 3 2 7 4 30 7 1 ( ) ) ( ) ( ) x x d x x g x x 1) x 3 b x e x h x ) ( ) ) ( ) ) ( ) lim lim lim x x x →∞ →∞ →−∞ − + − + − 2 3 1 5 2 3 4 c x x f x i ) ( ) ) ( ) ) lim lim lim x x x →∞ →∞ →∞ − − − 2 3 3 5 7

3.- Calcula los siguientes límites de funciones racionales:

a) lim b) lim c) lim d) lim

x→ x→− x→ x→ + − + + − + − 2 3 2 2 2 2 2 5 1 6 9 7 2 2 4 x x x x x x x x −

e) lim f) lim g) lim h) lim

x→ x→ x→ x→− + − − − − − + − − + + + 1 2 3 3 2 2 2 2 3 2 5 6 1 27 3 3 2 2 4 6 12 x x x x x x x x x x x x 8

i) lim j) lim k) lim l) lim

x→ x→− x→−∞ x→−∞ + − − − − − + − + + + − 1 2 1 4 6 2 2 2 2 9 1 1 1 3 2 2 4 4 6 12 (x ) x x x x x x x x x x 8

m) lim n) lim ñ) lim o) lim

x→∞ x→−∞ x→−∞ x→∞ + − + + − + − − + ( ) ( ) 2 5 1 6 9 5 3 7 1 2 4 3 2 2 7 3 2 x x x x x x x x x

a lim x x b lim x x c lim x x x x d lim x x e lim x x f lim x x x x x x x x ) ) ) ) ) ) → →− → → →∞ →∞ − − − − + − + + − + + − − + − + − 2 2 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 2 3 5 2 2 3 4 3 5 1

5.- Calcula los siguientes límites:

a)

lim

x

x

x→−∞

+

(

3

2

)

2

3 2 3

b)

lim

x

x

x→

+ −

−

1

3

1

2

1

c)

lim

x

x

x

x→−

+

−

2 2 2

2

4

d)

lim

x

x

x→∞

(

9

+ −

7

3

)

e)

lim

x

x

x

x

x→

− −

−

−

2 2 2

2

3

5

2

f)

lim

x

x

x→

−

+

−

+

0

2

4

3

9

g)

lim

x

x

h)

x→−∞

(

−

+

)

2 3

lim

x

x

x→

+ −

−

2

1

3

2

i)

lim

x

x

x→∞

+

+

(

)

(

)

2

1

3

5

2 2

j)

lim

x

x

x

x

x→

+ −

−

+

2 2 2

6

4

4

k)

lim

x

x

x

x→

−

−

3 2 2

3

2

18

l)

lim

x→∞

(

x

+ −

x

)

2

7

m)

lim

x

x

x→

−

+

−

+

2

5

3

7

3

1

n)

lim

x

x

x

x

x→

−

+

−

+

3 2

3

2

8

15

3

o)

lim

x

x

x

x

x→−

+

+

+

+

1 3 2

3

3

3

3

1

6.- Determina las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones y estudia el acercamiento de la función a las mismas:

a) f x x ( )= − 6 1 b) f x x x ( )= + + 3 1 2 c) f x x x ( )= + + 2 1 5 d) f x x x x ( )= − − + 2 2 9 6 9 e) f x( )= x − 7 2 2 8 f) f x x x ( )= + − 4 3 6 12

7) Calcular los siguientes límites: a) n nlim _n 2 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞ → b) n nlim _n 3 3 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∞ → c) x x _x lim 2 3 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞ → d) x x _x x lim 2 5 1 5 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞ → e) n n _n n lim 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∞ → f) n n n _n n lim 1 2 2 1 2 + ∞ → ⎟_⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + g) x x _x x lim 2 5 2 5 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞ → h) 7 3 1 5 2 2 2 5 2 10 − + − ∞ → ⎟_⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + n n n n _n n lim i) n n _n n lim 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞ →

TEMA 3 : CONTINUIDAD

Idea intuitiva de continuidad. Definición de continuidad de una función en un punto. Estudio de la continuidad en funciones elementales y en funciones definidas a trozos. Tipos de discontinuidad.

RECUERDA:

Definición: _{Una función, f, es continua en un punto, xo, perteneciente al dominio de} la función, si el límite de la función en el punto, xo, existe y es igual al valor de la función en dicho punto. Es decir:

f es continua en un punto xo ∈D⇔ =

→

lim f x f x

x x_o ( ) ( o) Tipos de Discontinuidad en un punto:

Discontinuidad evitable : si _xlim f x_{x x}lim f x_x L f xo

o o

→ + ( ) = → − ( ) = ≠ ( ) ; L ∈R L : verdadero valor de la función en el punto xo. Discontinuidad inevitable: si _xlim f x_{x x}lim f x_x

o o

→ + ( )≠ → − ( )

inevitable de salto finito: si la diferencia entre los límites laterales es un . número real.

inevitable de salto infinito: si la diferencia entre los límites laterales es infinito

1.- Estudia la continuidad de las siguientes funciones, indicando los tipos de discontinuidad, si los hay:

a f x x si x x si x x si x ) ( ) = + < + = − > ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 2 1 5 0 1 0 0 ≤2 3 − − d f x x si x x si x si x ) ( )= − − < − − − ≤ > ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 7 5 3 1 3 3 4 2 b f x x si x x si x ) ( )= + < ≥ ⎧ ⎨ ⎩ 2 3 3 e f x x x si x x si x ) ( )= − + < − ≥ ⎧ ⎨ ⎩ 2 2 1 3 5 3 c f x x si x x si x ) ( )= − < − ≥ ⎧ ⎨ ⎩ 2 4 3 1 2 3 f f x x si x x si x ) ( )= + ≤ − > ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ 2 1 1 1 1 1

2.- Determina los valores de a y b para que las siguientes funciones sean continuas en los puntos indicados:

a f x ax si x si x b x si x ) ( )= + < = − > ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ 2 1 5 1 1 b f x x a si x bx si x x si x ) ( )= + < − + = − > ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ 2 2 5 2 1 2 − −

TEMA 4 : CÁLCULO DE DERIVADAS

TABLA DE DERIVADAS REGLAS DE DERIVACIÓN SUMA y = u + v − w y′ = u′ + ′ − ′v w PRODUCTO y = u ⋅ v y′ = u′ ⋅v + u ⋅ v′ y = k ⋅ u y′ = k ⋅ u′ COCIENTE y u v = y u v u v v = ′ ⋅ −₂ ⋅ ′

FUNCIONES DERIVADAS CASOS PARTICULARES y = k y′ = 0 y = x y′ = 1 y = un y′ = nun−1 ⋅ u′ y = xn → y′ = nxn−1 y = n u y u n un n ′ = ′₋ 1 y u y u u = → ′ = ′ 2 y = loga u y u u a e ′ = ′ log y x y x e = log → ′ = 1 log y = ln u y u u ′ = ′ y x y x = ln → ′ = 1 y = au y′ = u′ au ln a y a y a a y e y e x x x x = → ′ = = → ′ = ln y = uv y′ = v u′ v ln u + vun−1u′ --- y = sen u y′ = u′ cos u y = cos u y′ = − ′u sen u y = tg u y u u u u u tg ′ = ′ = ′ = ′ + cos2 sec ( ) 2 2 1 u Obsevaciones : u = u(x) v = v(x) w = w(x) n n a R a y a k R ∈ ≠ ∈ > ≠ ∈ Ν, , 0 0 1

CALCULA LAS DERIVADAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES: 1)y=(x3 +1)⋅(x3 −1) 2)y =x4⋅ex 3)y=x⋅lnx

4)y=e2x⋅senx 5) y=sen2x⋅cosx 6)

1 1 − = x y 7) 1 2 + − = x x y 8) 1 3 2 − = x y 9) 3 3 2 2 + − = x x y 10) x x y= ln 11) ₂ 2 1 1 ln x x y + − = 12)y=ln(2x+1) 13)y=ln 1−x 14)y =e4x 15) y=2x 16) x 17) 18) y cos 2 = y 2 x sen = y= cosx 19)y=5sen3(3x2 +1) 20) y=7ex2+3x 21) y= 3x2+1 22)y=

(

2x+1

)

3 23) y=x2lnx 24) x x y + − = 1 1 ln 25)y=sen5 x 26) y=exsen2 x 27) x y sen 1 = 28)y=ln(cos2x) 29) x y cos 1 = 30) x x y sen cos = 31)y=4x2 −7x+1 32)y= +4 ex 33) y=

(

3x− ⋅2

) (

2x+3

)

34) y=7x3−2x2 + −5 Lx 35)y=6x+ex+2 36)y= x 37) y=2x Lx⋅ 38) y=3x2 39)y x = 1₃ 40)y x = 1₂ 41) y x = 1 3 42) y x x = 2 3 43)y= x3 44)y=3 x3 − x 2 45) y=x x 46) y=π x−2x 47)y=xLx+x e2 x 48)y=3x−5Lx 49) y x Lx = 2 50) y=xarcsenx−2tgx 51)y x x = sen tg 52)y=x x− x x 2 2 sen cos 53) y= x x3 2 54) y x x x = −4 − + 3 2 2 tgx 55) y x x = + − 8 3 3 2 5 FUNCIONES COMPUESTAS

56)y=sen 3 x 57)y=4cos5x 58) y=sen 2x2 59) y=tgx3

60)y=tg3x 61) y=3 2x2− 3 62) y=6 2

(

2x+

)

sen 1 63) y=sen4

(

x−

)

5 2 64)y= 2x2+ 7 65)y= L

(

2x+3 66)

)

y=cos3 x 67) 5

(

)

y=cos3L 2x+3