MATE 3031
Dr. Pedro V·squez
UPRM
MATE 3031
Derivadas y razones de cambio
En esta secciÛn se discutir· como hallar la pendiente de una recta
tangente y la velocidad de un objeto usando lÌmites. Considere una curva C con ecuaciÛn y =f (x), el objetivo es hallar la ecuaciÛn de la recta tangente a C en el punto P(a, f (a)), para ello considere al punto Q(x, f (x)), donde x 6=a y calcule la pendiente a la recta secante PQ.!
DeÖniciÛnLa recta tangente a la curva y =f (x)en el punto P(a, f (a))
es la recta que pasa por P con pendiente:
(1) m= lim
x!a
si el lÌmite existe.
Nota: La pendiente de la recta secante PQ, se puede calcular!
considerando h =x$a, lo que implica x =a+h y la pendiente de la recta secante es:
mPQ = f(a+hh)$f(a)
Es importante que observe que cuando x se aproxima a a, h se aproxima a 0, y una expresiÛn equivalente para la pendiente de la recta tangente se tiene en la siguiente ecuaciÛn:
m= lim
h!0 (2)
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.
Ejemplo
1. 4 (p·g. 148) Halle la pendiente de la recta tangente a la par·bola y =x$x3 en el punto (1, 3):
a. usando la deÖniciÛn
b. usando la ecuaciÛn (1).
2. Halle la ecuaciÛn a la recta tangente a la curva y =px en el punto
(1, 1)
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3. Halle la ecuaciÛn a la recta tangente a la curva y = 2x+1
x+2 en el punto
Velocidad: En general suponga que un objeto se mueve a lo largo de una lÌnea recta de acuerdo a la ecuaciÛn del movimiento s =f (t), donde s es el desplazamiento (distancia dirigida) del objeto desde el origen en el tiempo t. La funciÛn f que describe el movimiento es llamada la funciÛn posiciÛn del objeto.
En el intervalo de tiempo de t :[a, a+h], el cambio de posiciÛn es: f (a+h)$f (a), la velocidad promedio sobre el intervalo de tiempo es:
velocidad promedio = desplazamiento
tiempo = f (a+h)$f (a) h x y a a+h h f (a+h)-f (a) P(a,f (a)) Q(a+h,f (a+h)) La velocidad promedio es la pendiente de la recta secante: ! PQ
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Si la velocidad promedio se calcula en periodos de tiempo m·s pequeÒos,
[a, a+h], es decir, h se aproxima a 0, entonces se tiene la velocidad (velocidad instant·nea) v(a)en el tiempo t =a y se calcula como el lÌmite de la velocidad promedio:
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DeÖniciÛnLa derivada de una funciÛn f en un n˙mero a, denotada por
f0(a), es: f0(a) = lim h!0 f (a+h)$f (a) h si el lÌmite existe.
Nota: Si x =a+h )h =x$a y se tiene: f0(a) = lim
x!a
f (x)$f (a)
x$a
Recta tangente:
La ecuaciÛn de la recta tangente a y =f (x)en (a, f (a)) es la recta que pasa por (a, f (a)) cuya pendiente es igual a f0(a), la derivada de f en a y es dada por:
Prob. 17 p·g. 149
Prob. 22 Si la recta tangente a y =f (x) en(4, 3)pasa por el punto
(0, 2), halle f (4) y f0(4)
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28. Si G(x) =x4$2, halle G0(a)y ˙selo para hallar las rectas tangentes a la curva y =x4$2 en los puntos (1,$1).
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36. Halle f0(a)si f (t) = p 4
34. El lÌmite lim
h!0
e$2+h$e$2
h representa la derivada de una funciÛn f en
alg˙n n˙mero a, halle f y a.
36. El lÌmite lim
x!p 6
sin x$ 12
x$p6 representa la derivada de una funciÛn f en alg˙n n˙mero a, halle f y a.
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Razones de cambio
Suponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. AsÌ, y es una funciÛn de x y se escribe: y =f(x). Si x cambia de x1 a x2,
entonces el cambio en x (tambiÈn llamado el incremento de x) es: Dx =x2$x1
y el cambio correspondiente en y es:
Dy =f (x2)$f (x1)
El cociente de las diferencias: Dy
Dx =
f (x2)$f (x1)
x2$x1
Similar a la velocidad, si se considera la razÛn de cambio promedio sobre intervalos cada vez m·s pequeÒos, haciendo que x2 se aproxime a x1 lo
que implica que Dx se aproxima a cero. El lÌmte de la razÛn de cambio promedio es llamado la razÛn de cambio (instant·nea) de y con respecto a x en x =x1, que se puede interpretar como la pediente de la
recta tangente a la curva y =f(x)en el punto (x1, f (x1))y se denota
por:
razÛn de cambio instant·nea = lim
Dx!0
Dy
Dx =Dxlim!0
f (x2)$f (x1)
x2$x1
La expresiÛn anterior no es otra cosa que la derivada de f en x1.
Ahora se puede dar una interpretaciÛn diferente a y =f0(a)que representa la pendiente de la recta tangente a la curva y =f(x)en x =a, como: La derivada f0(a)es la razÛn de cambio instant·nea de y =f(x)con respecto a x cuando x =a.
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54. El n˙mero de bacterias despuÈs de t horas en un laboratorio experimental es n=f(t):
a. øCu·l es el signiÖcado de f0(5)? øCu·les son sus unidades?
b. ...
