Distribuciones de probabilidad discretas

(1)

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral (conjunto de todos los posibles resultados). Se dice que X es aleatoria porque involucra la probabilidad de los resultados del espacio muestral, y se define X como una función porque transforma todos los posibles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas reales de un experimento aleatorio. Ellas se denotan con una letra mayúscula, tal como X.

Se dice que una variable aleatoria X es discreta si el número de valores que puede tomar es finito (o infinito contable). La distribución de probabilidad de una variable aleatoria X es una descripción del conjunto de posibles valores de X, junto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valores. Esta distribución bien puede ser una gráfica, una tabla o una ecuación que da la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria y se considera como el resumen más útil de un experimento aleatorio.

Toda distribución de probabilidad debe satisfacer cada uno de los dos requisitos siguientes: 



P(X x)1

 0P(X  x)1

Se dice que una variable aleatoria X es continua si el número de valores que puede tomar están contenidos en un intervalo (finito o infinito) de números reales.

La función de densidad de probabilidad f(x) de una variable aleatoria continua, se define como tal si para cualquier intervalo de números reales [a,b] se cumple que:

 f(x)0





( ) 1 

 

dx x f

   



b

a

dx x f b X a

(2)

Distribuciones de probabilidad discretas

Distribución de

probabilidad Características

La variable X

representa Función de probabilidad

Valores que toma X

Valor esperado y varianza

Binomial

Experimento aleatorio con solo 2 posibles resultados: éxito o fracaso. Probabilidad

de éxito (p) es conocida. Probabilidad de fracaso (q)

donde q= 1-p Se hacen n repeticiones

independientes

X = número de éxitos en n repeticiones

f(x) = ( ) p x . q n-x

( ) símbolo de combinatoria

X = 0, 1,….,n

E(X)= n.p V(x) = npq

Binomial negativa

donde q= 1-p Se conoce el número de

éxitos: k.

X= número de repeticiones para

obtener k éxitos

f (x) = ( ) p

k _{. q}x-k

X = k, k+1, k+2….∞

E(X) =

V(X) =

Geométrica

donde q= 1-p

Caso especial de la binomial negativa donde k =1, es decir

el primer ensayo

X= El número de repeticiones para obtener un (1) éxito

o el primer éxito.

( )

X = 1, 2, 3,…∞ E(X) =

(3)

Distribución de

probabilidad Características

La variable X

representa Función de probabilidad

Valores que toma X

Valor esperado y varianza

Poisson

Experimento aleatorio que recibe el nombre de proceso Poisson en donde se conoce

la tasa de ocurrencia λ es decir el número promedio de

eventos que ocurren en el intervalo de números reales

donde este se define.

X= número de eventos independientes que

ocurren en un intervalo de tiempo

(o espacio) determinado.

( )

X = 0, 1, 2, 3, ….∞

E (X) =

V( X ) =

Hipergeométrica

Experimento aleatorio donde se tiene una población finita

con N elementos, de los cuales K tienen una determinada característica. Se selecciona una muestra

de tamaño n

X = número de elementos de K que se seleccionan

en una muestra aleatoria de tamaño

n

( )

( ) ( ) ( )

X = 0, 1, 2,…min K o x

E(X) =

V(X) =

Ejemplos

Distribución Binomial

La probabilidad de que un futbolista profesional haga gol de tiro libre es del 70%. En un entrenamiento, este futbolista hace 14 tiros libres. Calcule a) la probabilidad de que éste haga 5 goles, b) la probabilidad de que falle entre 3 y 6 inclusive. c) cual es la cantidad de goles que se espera que pueda hacer el futbolista

a) n = 14 p = 0.70 q = 0.30

(4)

b) n = 14 p = 0.30 q = 0.70 ( ) ( ) ( ) ( )

P x = 3) = ( ) 0,30 3 . 0,70 11 = 0,1943 P (x = 4) = ( ) 0,30 4 . 0,70 10 = 0,2290

P (x = 5) = ( ) 0,30 5 . 0,70 9 = 0,1963 0,1943 + 0,2290 + 0,1963 = 0,6196

c) E(X) = 0.70 * 14 = 9,8 aproximadamente 10 goles

Distribución Binomial Negativa

La probabilidad de que un futbolista profesional haga gol de tiro libre es del 70%. En un entrenamiento, este futbolista hace 14 tiros libres. ¿Cuál es la probabilidad de que el sexto tiro que lanza sea precisamente su tercer gol?

k = 3 p = 0.70 q = 0.30 P (x = 6)

P (x = 6) = ( ) 0,70 3 . 0,30 3 = 0.09261

Distribución Geométrica

Suponga que cada una de las llamadas que hace una persona a una estación de radio muy popular tiene una probabilidad de 2% de que la línea no esté ocupada. Suponga que las llamadas son independientes. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera llamada que entre sea de la décima persona que la realizó? b.- ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario llamar máximo tres veces para que entre la llamada?

a.- p = 0.02 q = 0.98

(5)

b.- p = 0.02 q = 0.98 ( ) ( ) ( ) + p (x = 3) ( ) 0,0200

( ) 0,0196

( ) 0,0192 0,0200 + 0,0196 + 0,0192 = 0,0588

c.- ( )

Distribución Poisson

El número promedio de urgencias que llega a un hospital en una hora es de 12. a.- Cuál es la probabilidad de que en un la próxima hora lleguen entre 7 urgencias? b.- Cual es la probabilidad de que en quince minutos lleguen por lo menos 2 urgencias? c.- Cual es el número de urgencias esperado por minuto?

= 12 (hora) P ( X = 7)

( )

= 0,0437

12 urgencias en 60 minutos (con una regla de tres, determinas cuantas en 15 minutos 3 urgencias en 15 minutos

= 3 (15 minutos) P (X 2) = 1 – [ P (X=0) + P (X = 1) + P (X = 2) ]

( )

(6)

( )

= 0,1494

( ) = 0,2240 1 – [ 0,0498 + 0,1491 + 0,2240 ] = 1 - 0,4229 = 0,5771

Distribución Hipergeométrica

Un lote de 75 quesos contiene cinco en los que la variabilidad de su peso es inaceptable. Se toma una muestra al azar de 10 quesos, sin reemplazo.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los quesos inaceptables se encuentren en la muestra?

4786 , 0 10 75 10 70 0 5 ) 0 (                      X P

b. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los quesos inaceptables se encuentre en la muestra?

8709 , 0 3923 , 0 4786 , 0 10 75 9 70 1 5 10 75 10 70 0 5 ) 1 ( ) 0 ( ) 1 (                                           

 F F

X P

c. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de los quesos inaceptables se encuentre en la muestra?

(7)

10.- BIBLIOGRAFÍA

MARTÍNEZ BENCARDINO, Ciro (2003). Estadística y Muestreo. Santafé de Bogotá: ECOE Ediciones. https://wwwyyy.files.wordpress.com/2016/06/estadc3adstica-y-muestreo-de-ciro-martc3adnez-b.pdf

WEBSTER A. (2000) Estadística aplicada a los negocios y la economía. Mc Graw Hill. http://matematicaeducativa.com/libros/estadistica_negocios.pdf

MENDENHALL, Introducción a la probabilidad y estadística .Editorial Cengate

http://investigadores.cide.edu/aparicio/data/refs/Mendenhall_Prob_Estadistica_13.pdf