DOCUMENTO N° 2. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.

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(1)1. INSTITUCION EDUCATIVA INTEGRADO CARRASQUILLA DUSTRIAL AREA: MATEMATICAS GRADO: 8. ASIGANTURA: ALGEBRA. GRUPO: _______. JORNADA: MAÑANA. DOCENTE: RAFAEL SANABRIA TAPIAS ALUMNO: _____________________________________________________ DOCUMENTO Nº2. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL EN DATOS AGRUPADOS. son llamadas medidas de tendencia central porque generalmente se encuentran ubicadas en el centro de la información, son muy importantes en el manejo de las técnicas estadísticas, sin embargo, su estudio debe ir ligado a las medidas de dispersión ya que estas nos indican que tan concentrada o dispersa esta la información. Las principales medidas de tendencia central son: 1. Media Aritmética 2. Mediana 3. Moda. MEDIA ARITMETICA: Matemáticamente conocida como promedio o sea la suma de todas las observaciones dividida entre el número de observaciones, se representa con el símbolo:𝑋̅ y para su cálculo utilizamos la fórmula: 𝑋̅ =. 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + ⋯ + 𝑋𝑛 ∑𝑛1 𝑋𝑖 = 𝑛 𝑛. ✓ 𝑋̅ = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑥 ✓ 𝑋𝑖 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑒𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑋 ✓ 𝑛 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 ✓ ∑ = 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑟. Ejemplo 1: calificaciones obtenidas por 7 alumnos en Matemáticas en el primer periodo: 4.8; 4.0; 5.0; 4.5; 5.0; 4.7; 4.3. Solución: ̅= 𝑿. 𝟒. 𝟖 + 𝟒. 𝟎 + 𝟓. 𝟎 + 𝟒. 𝟓 + 𝟓. 𝟎 + 𝟒. 𝟕 + 𝟒. 𝟑 𝟑𝟐. 𝟑 = = 𝟒. 𝟔𝟏𝟒 ≅ 𝟒. 𝟔 𝟕 𝟕. Ejemplo 2: En el primer período, un estudiante de octavo obtuvo en matemáticas las siguientes notas:.

(2) 2. 0,0 5,0 4,0 3,0 3,5 4,5 4,5 5,0 Cuál es su promedio definitivo en la materia? Se calcula el promedio o media aritmética, sumando las 8 notas y dividiendo entre 8:. X=. 0,0 + 5,0 + 4,0 + 3,0 + 3,5 + 4,5 + 4,5 + 5,0 29.5 = = 3,6875  3,7 8 8. La calificación definitiva del estudiante en el período es 3,7 NOTA: si la variable esta agrupada en una distribución de frecuencias por 𝑚. ∑ 𝑥𝑓 𝑥 𝑓 +𝑥 𝑓 +𝑥 𝑓 +⋯.+𝑥𝑚 𝑓𝑚 intervalos utilizamos la siguiente formula: 𝑋̅ = 1 1 2 2 𝑛3 3 = 1 𝑛𝑖 𝑖. Para hallar la media aritmética, a partir de una tabla de frecuencias, se agrega una columna a la tabla, en la cual se halla el producto de cada valor de la variable por su frecuencia absoluta (Xi.fi); esta columna se suma y el total se divide entre el número de datos. Ejemplo 3: La tabla representa las edades de 20 estudiantes de un curso, calcule la edad promedio. Edad (Xi) f 13 14 15 16 Total. Xi.fi 3 12 4 1 20. 39 168 60 16 283. 𝑥̅ =. ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝑛. Como ya se ha hecho la suma en la tabla, se puede calcular la media con sólo hacer la división. La edad promedio de los estudiantes en este curso es de 14 años. Ejemplo 4: Si se tiene la siguiente distribución de frecuencias de los salarios de los empleados de una empresa (en miles de pesos):.

(3) 3. SALARIOS 450 650 850 1.050 1.250 1.450 1.650 1.850 2.050 2.250 2.450. -650 -850 -1.050 -1.250 -1.450 -1.650 -1.850 -2.050 -2.250 -2.450 -2.650. Xi 550 750 950 1.150 1.350 1.550 1.750 1.950 2.150 2.350 2.550 Totales. f. Xifi 1 3 4 6 8 10 7 5 3 2 1 50. 550 2.250 3.800 6.900 10.800 15.500 12.250 9.750 6.450 4.700 2.550 75.500. NOTA: para evitar el doble conteo se trabaja con intervalos cerrados a la izquierda y abiertos a la derecha así: a ≤ X < b A la tabla de frecuencias se le ha agregado la nueva columna 𝑥𝑖 𝑓𝑖 con el fin de usarla para el cálculo de la media aritmética o promedio de los salarios, así: 75.500 X= = 1.510 Lo que indica que el salario promedio de los empleados de la 50 empresa es de un millón quinientos diez mil pesos ($1´510.000). Ejemplo 5: Determinar la media aritmética para el siguiente ejercicio: Peso en gramos de 100 BOROJOS en la huerta EMI en Quibdó – Choco. INTERVA 𝑋̅ = 𝑋𝑖 LOS 300-430 365. 𝑓𝑖. 𝑋𝑖 𝑓𝑖 4. 1460. 6. 2970. 430-560. 495. 560-690. 625. 17 10625. 690-820. 755. 37 27935. 820-950. 885. 19 16815. 950-1080. 1015. 10 10150. 10801210 Total. 1145. 7. 8015. 100 77970.

(4) 4 𝑚. ∑ 𝑥𝑓 𝑥 +𝑥 𝑓 +𝑥 𝑓 +⋯.+𝑥𝑚 𝑓𝑚 𝑋̅ = 1 2 2 3𝑛3 = 1 𝑛𝑖 𝑖 1460+2970+10625+27935+16815+10150+8015 77970 𝑋̅ = = 100 = 779,7 ≅ 780gm 100. 𝑅/𝑋̅ = 780𝑔𝑚 Nota: como la información está en una tabla de frecuencias por intervalos tomamos el punto medio del intervalo como valor de la variable LA MEDIANA: es una medida de tendencia central generalmente utilizada en estadística no paramétrica, no se basa en la magnitud de los datos como la media aritmética sino en la posición central que ocupa en el orden de su magnitud, dividiendo la información en dos partes iguales, dejando igual números de datos por encima que por debajo de ella. Mediana para datos no agrupados en intervalos: lo primero que debemos hacer es organizarlos en forma ascendente o descendentemente. 1. Mediana para datos impares: tomamos el del centro:𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 𝑀𝑒 = 𝑋𝑛+1 2. 2. Mediana par datos pares: tomamos el promedio de la suma de los dos del centro. 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 𝑀𝑒 =. 𝑋 𝑛 +𝑋 𝑛 ( ) ( +1) 2. 2. 2. Caso 1. Los datos no están agrupados en intervalos y el número total de datos es impar. En este caso, la mediana coincide con el valor central de los datos ordenados en forma ascendente o descendente Ejemplo 1. calificaciones obtenidas por 7 alumnos en Matemáticas en el primer periodo: 4.8; 4.0; 5.0; 4.5; 5.0; 4.7; 4.3. Solución 𝑋1 = 4.0; 𝑋2 = 4.3 ; 𝑋3 = 4.5 ; 𝑋4 = 4.7 ,𝑋5 = 4.8 ; 𝑋6 = 5.0 ;𝑋7 = 5.0 como n es impar entonces nos queda: 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 𝑀𝑒 = 𝑋𝑛+1 = 𝑋7+1 = 𝑋8 = 𝑋4 = 4.7 2. 2. 2. 𝑅/𝑀𝑒 = 4.7 Ejemplo 2: Los integrantes de la banda de música del colegio tienen las siguientes edades, en años cumplidos: 12, 15, 16, 11, 13, 16, 12, 14, 15, halle el valor central o mediana de estas edades. Primero ordenamos: 11. 12. 12. 13. 14. 15. 15. 16. 16.

(5) 5. Son 9 datos, por lo tanto, el 14 ocupa el valor central pues quedan 4 datos a su izquierda y 4 a su derecha. La mediana o valor central de las edades es 14 años. Caso 2. Los datos no están agrupados en intervalos y el número total de datos es par. En este caso, se escogen los dos valores centrales y se promedian. Ejemplo: En el ejemplo anterior, si a la banda se suma un nuevo estudiante de 11 años de edad, la mediana se calcula así: Ordenando: 11 11 12 12 13 14 15 15 16 16 Como son 10 datos, el número de datos es par, tomamos los dos que ocupan las posiciones centrales: el 5º y el 6º que son: 14 y 15 y hallamos la media de esos dos: Si n es impar Me = x n+1     2 . x n  + x n Me =. Me =. Si n es par.   +1  2 .   2. 2. 14 + 15 29 = = 14,5 2 2. La mediana es de 14,5 años. Ejemplo 3. Cantidad de caimitos consumidos por 8 personas en una semana:9, 6, 8, 11, 7, 11, 11, 12, Solución: Primero organizamos: 𝑋1 = 6, 𝑋2 = 7, 𝑋3 = 8, 𝑋4 = 9, 𝑋5 = 11, 𝑋6 = 11, 𝑋7 = 11, 𝑥8 = 12 Reemplazamos y nos queda: 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 𝑀𝑒 =. 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 𝑀𝑒 =. 𝑋(8) + 𝑋(8+1) 2. 2. 2. =. 𝑋 𝑛 +𝑋 𝑛 ( ) ( +1) 2 2 2. 𝑋4 + 𝑥4+1 𝑋4 + 𝑋5 9 + 11 20 = = = = 10 2 2 2 2. 𝑹 = 𝟏𝟎 𝐜𝐚𝐢𝐦𝐢𝐭𝐨𝐬 𝑴𝒆 Caso 3. Los datos están agrupados en intervalos. En este caso la variable esta agrupada en una distribución de frecuencias por 𝑛. intervalos utilizamos la siguiente formula: 𝑀𝑒 = 𝐿𝐼 + 2 1. 𝑀𝑒 = 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎. −𝑓𝑎(𝑖−1) 𝑓𝑖. 𝐴 para todo:.

(6) 6. 2. 3. 4. 5. 6.. 𝐿𝐼 = 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎(𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜) 𝑛 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑓𝑎(𝑖−1) = 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑓𝑖 = 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜 𝐴 = 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜. Ejemplo 1. Determinar la media aritmética para el siguiente ejercicio: Peso en gramos de 100 BOROJOS en la huerta EMI en Quibdó – Choco. 𝑋̅. 𝑓𝑖. 𝑓𝑎. INTERVA LOS 300-430. 365. 4. 4. 430-560. 495. 6. 10. 560-690. 625. 17. 27. 690-820. 755. 37. 64. 820-950. 885. 19. 83. 950-1080. 1015. 10. 93. 1080-1210. 1145. 7. 100. Total. Intervalo mediano. 100. Solución: 1. 2. 3. 4. 5. 6.. 𝑀𝑒 =? 𝐿𝐼 = 690 𝑛 = 100 𝑓𝑎(𝑖−1) = 27 𝑓𝑖 = 37 𝐴 = 130 𝑛. 7. 𝑀𝑒 = 𝐿𝐼 + 2. −𝑓𝑎(𝑖−1) 𝑓𝑖. 𝐴. 8. Reemplazando tenemos: 𝑀𝑒 = 690 +. 50−27 37. (130) = 690 +. 23(130) 37. = 690 +. 2990 37. = 690 + 80,81 =. 770,81𝑔𝑚 𝐑/𝐌𝐞 = 𝟕𝟕𝟎, 𝟖𝟏𝐠𝐦 LA MODA: como su nombre lo indica es el valor más común, el de mayor frecuencia en una distribución. Una información pude tener:.

(7) 7. ✓ 𝐮𝐧𝐚 𝐦𝐨𝐝𝐚 = 𝐔𝐧𝐢𝐦𝐨𝐝𝐚𝐥 ✓ 𝟐 𝐦𝐨𝐝𝐚𝐬 = 𝐁𝐢𝐦𝐨𝐝𝐚𝐥 ✓ 𝐕𝐚𝐫𝐢𝐚𝐬 𝐌𝐨𝐝𝐚𝐬 = 𝐌𝐮𝐥𝐭𝐢𝐦𝐨𝐝𝐚𝐥 Ejemplo 1. calificaciones obtenidas por 7 alumnos en Matemáticas en el primer periodo: 4.8; 4.0; 5.0; 4.5; 5.0; 4.7; 4.3. SOLUCION: organizamos la información en una tabla de frecuencias cantidad frecuencias 4.0. 1. 4.3. 1. 4.5. 1. 4.7. 1. 4.8. 1. 5.0. Es una información Unimodal 𝑀𝑜 = 5.0. 2 → 𝑈𝑛𝑖𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙. Ejemplo 2. Cantidad de ADMIRAJO consumidos por 8 personas en una semana:9, 6, 8, 11, 7, 9, 11, 12, SOLUCION: organizamos la información en una tabla de frecuencias Cantidad (Admirajo). frecuencias. 6. 1. 7. 1. 8. 1. 9. 2. 11. 2. 12. 1. Es una información Bimodal: 𝑀𝑜1 = 9 𝑀𝑜2 = 11. NOTA: si la información esta agrupada en intervalos de igual tamaño la MODA la podemos calcular con la siguiente formula: 𝑀𝑜 = 𝐿𝐼 + 2𝑓. 𝑓𝑚 −𝑓(𝑚−1). 𝑚 −𝑓(𝑚−1) −𝑓(𝑚+1). 𝐴 para todo:.

(8) 8. 1. 2. 3. 4. 5. 6.. 𝑀𝑜 = 𝑀𝑜𝑑𝑎 𝐿𝐼 = 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 𝑓𝑚 = 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 𝑓(𝑚−1) = 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 𝑓(𝑚+1) = 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 𝐴 = 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜. Ejemplo 3. Determinar la Moda para el siguiente ejercicio: Peso en gramos de 100 BOROJOS en la huerta EMI en Quibdó – Choco. 𝑋̅. 𝑓𝑖. INTERVA LOS 300-430. 365. 4. 430-560. 495. 6. 560-690. 625. 17. Frecuencia premodal. 690-820. 755. 37. Frecuencia Modal. 820-950. 885. 19. Frecuencia posmodal. 950-1080. 1015. 10. 1080-1210. 1145. 7. Total. 100. Solución: 1. 2. 3. 4. 5. 6.. 𝑀𝑜 =? 𝐿𝐼 = 690 𝑓𝑚 = 37 𝑓(𝑚−1) = 17 𝑓(𝑚+1) = 19 𝐴 = 130. 7. 𝑀𝑜 = 𝐿𝐼 + 2𝑓. 𝑓𝑚 −𝑓(𝑚−1). 𝑚 −𝑓(𝑚−1) −𝑓(𝑚+1). 𝐴. 8. Reemplazando nos queda: 37 − 17 20 20 (130) = 690 + (130) = 690 + (130) 𝑀𝑜 = 690 + 2(37) − 17 − 19 74 − 36 38 2600 = 690 + = 690 + 68,42 = 758,42 ≅ 758 38.

(9) 9. 𝑅/𝑀𝑜 = 758 EJERCICIO PROPUESTO: hallar la media Aritmética, Mediana y Moda para los siguientes ejercicios. 1. Las edades de los trabajadores de una pequeña empresa son: 33, 26, 66, 45, 28, 59, 33, 36, 26, 45, 62 y 45 años 2. Tabla siguiente. Cantidad de chontaduros de 100 racimos producidos en la parcela don POMPILIO en Villaclaret – Lloro – Choco – Colombia. 31 45 27 34 42 56 64 30 26 19 51 42 54 45. 29. 35. 43. 65. 44. 41. 59. 62. 70. 40. 39. 60. 78. 47. 23. 46. 51. 49. 46. 41. 48. 35. 19. 26. 29. 43. 55. 61. 58. 45. 55. 52. 38. 43. 43. 45. 28. 68. 35. 40. 52. 71. 17. 62. 35. 54. 73. 57. 69. 49. 37. 56. 67. 40. 43. 70. 29. 38. 43. 70. 62. 42. 50. 46. 49. 23. 25. 45. 27. 56. 61. 37. 24. 26. 21. 52. 61. 43. 58. 61. 52. 34. 23. 65. 57. 70. 3 . E n un t e st re a lizado a u n g ru p o d e 4 2 p e rso na s se h an o b t en id o la s pu n tua cio n e s q ue m u e stra la t ab la . Puntuaciones. Xi. Fi. Xi Fi. Fa. 10 - 20. 15. 1. 15. 1. 20 - 30. 25. 8. 200. 9. 30 - 40. 35. 10. 350. 19. 40 - 50. 45. 9. 405. 28. 50 - 60. 55. 8. 440. 36. 60 - 70. 65. 4. 260. 40. 70 - 80. 75. 2. 150. 42. totales. 42. 1820.

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