1. Polígonos
Al unir sucesivamente varios segmentos se forma una línea a la que se llama poligonal y que puede ser abierta o cerrada.
La zona interior que delimita una línea poligonal cerrada se llama polígono.
12 Figuras planas
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Suma de los ángulos de un polígono
Si en un triángulo cualquiera marcamos sus ángulos interiores, los recortamos y los colocamos de for- ma consecutiva, observaremos que forman un ángulo llano.
La suma de los ángulos de un polígono convexo de n lados es:
180° · (n −2)
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Polígonos regulares
Un polígono con los lados y los ángulos interiores iguales se llama polígono regular. Tiene los siguientes elementos:
• Centro: punto que equidista de los vértices.
• Radio: cualquier segmento que une el centro con un vértice.
• Apotema: cualquier segmento que une el centro con el pun- to medio de un lado.
• Ángulo central: cualquier ángulo determinado por dos ra- dios.
En todo polígono regular podemos dibujar su circunferencia circunscrita, cuyo centro es el centro del polígono y que pasa por los vértices. En este caso, el polígono se llama polígono inscrito.
Ten en cuenta
!
Según sus ángulos, los polígonos se pueden clasificar en:
• Convexos: todos sus ángulos interiores son convexos.
• Cóncavos: algún ángulo interior es cóncavo.
Ángulo central Radio
Apotema
Centro
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Clasificación de los triángulos
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Clasificación de los cuadriláteros
Según el paralelismo de los lados, la clasificación es la siguiente.
2. Triángulos y cuadriláteros
Según sus ángulos
Rectángulo Acutángulo Obtusángulo
90º
1 ángulo recto 3 ángulos agudos 1 ángulo obtuso
Según sus lados
Equilátero Isósceles Escaleno
3 lados iguales 2 lados iguales Ningún lado igual
Ten en cuenta
!
En un triángulo rectángulo, los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el lado opuesto, hipotenusa.
90º Hipotenusa
Cateto
Cateto
Trapezoides
Ningún par de lados paralelos
Trapecios 1 par de lados paralelos
Isósceles Rectángulo Escaleno
90º
Paralelogramos 2 pares de lados paralelos
Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide
4 lados iguales 4 ángulos rectos
4 ángulos rectos 4 lados iguales Lados no paralelos distintos Ningún ángulo recto
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Conocido el radio de la circunferencia circunscrita
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Conocido el lado del polígono 3. Construcción de polígonos regulares
Construimos de forma aproximada un hexágono re- gular donde el radio de la circunferencia circunscrita mide 1,5 centímetros.
1.º Dibujamos la circunferencia de 1,5 centímetros de radio y trazamos un diámetro AB. Como que- remos construir un hexágono, dividimos AB en 6 partes iguales.
2.º Desde los extremos de AB y con su medida tra- zamos dos arcos que se corten en un punto C.
3.º Unimos el punto C con la segunda división y pro- longamos la recta hasta cortar la circunferen- cia en P. El segmento AP es la medida del lado del hexágono.
4.º Trazamos arcos consecutivos desde A y obte- nemos los vértices del hexágono.
A P
A
B
C P
C A
B A
B
Construimos de forma aproximada un heptágono regular cuyo lado mide 3 centímetros.
1.º Dibujamos el lado de 3 centímetros y trazamos su mediatriz. Trazamos un arco con centro en A y radio AB, que corta a la mediatriz en O.
2.º Dibujamos la circunferencia con centro en O y que pasa por A y B, y dividimos el segmento OM en seis partes iguales.
3.º Tomamos la medida de una parte y la trasla- damos sobre la mediatriz tantas veces como sea necesario para obtener tantas partes como lados tiene el polígono que queremos construir.
4.º Trazamos la circunferencia cuyo centro es el pun- to 7, y sobre ella llevamos la medida del lado.
7 O
7
A M B
O
A M B
O A
O
B
!
Solo se pueden construir triángulos conocidos los lados si la longitud de cada uno de ellos es menor que la suma de las longitudes de los otros dos.
Ten en cuenta
B
C
A C
r t s
Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales y los tres ángulos iguales.
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Criterio 1
Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales.
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Criterio 2
Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
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Criterio 3
Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y los ángulos contiguos.
4. Criterios de igualdad de triángulos
Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de cada uno de sus lados.
Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que se llama circuncentro.
Como todos los puntos de la mediatriz de un segmento están a la misma distancia de los extremos del mismo, entonces el circuncentro está a la misma distancia de los vértices del triángulo.
El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
5. Mediatrices de un triángulo
Ten en cuenta
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Por el criterio 2:
Dos triángulos rectángulos son iguales si son iguales sus catetos.
2 cm 90⬚
2 cm 4 cm 4 cm
90⬚
r
s
t
C
B I
A
B
A C
O
B
r
s t
A C
G
Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan por un vértice y el punto medio del lado opuesto.
Las medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro.
La distancia del baricentro al vértice es el doble que su distancia al punto medio del lado opuesto.
Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares trazadas desde cada vértice al lado opues- to o a su prolongación.
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto que se llama ortocentro.
Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de cada uno de sus ángulos interiores.
Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto que se llama incentro.
Como todos los puntos de la bisectriz de un ángulo están a la misma distancia de los lados del mis- mo, entonces el incentro está a la misma distancia de los tres lados.
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.
