ESCUELA DE GRADUADOS
APLICACIÓN DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL A LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS NO-LINEALES DE OPTI- MIZACIÓN EN SISTEMAS DE POTENCIA.
TESIS
presentada como requisito parcial para optar al grado académico de
MAESTRO EN CIENCIAS Especialidad en Potencia.
por
Fernando Gómez Gómez
1970
El autor agradece l a magnífica asesoría y valiosa cooperación del Dr. Mayer Sasson en l a realización de este trabajo. Igualmente a l Departamento de Ingeniería Industrial y a l Centro Electrónico de Cálculo del I T E S M por l a prestación de sus servicios. A l a señorita Amanda Seceñas por su ex celente trabajo de mecanografía.
Económico de Potencia Real" y "Despacho Económico de Potencia Real y Reac-
t i v a " , propuesto originalmente por G. Dauphin, D. Feingold y G. Sphon
(Ref. 5, Cap. I ) . El método consiste en un proceso iterativo en e l que l a aproximación a l a solución se hace por l a minimización de una función l i - neal en cada paso, sujeta a restricciones lineales y no lineales. Se pre- sentan los conceptos matemáticos generales y su aplicación al problema en cuestión. Se escribieron programas para computadora de carácter experi- mental. Las pruebas realizadas sobre ejemplos específicos dieron resulta- dos satisfactorios. Las características de convergencia del método son ha- lagadoras y l o hacen comparable con otros métodos suficientemente experi- mentados. Con los procedimientos computacionales empleados se requiere
gran capacidad de memoria, por lo tanto se recomienda e l uso de procesos de
cálculo optimizados para uso eficiente de l a computadora.
Resumen v
Lista de Símbolos v i i i
I. INTRODUCCIÓN 1
I I . MATEMÁTICA DEL PROBLEMA
2.1 Problema Simplificado 3
2.1.1 Linealización 4
2.1.2 Problema Lineal 5
2.1.3 Solución Conjunta 5
2.2 Problema General 6
2.2.1 Linealización 7
2.2.2 Problema Lineal 8
2.2.3 Solución Conjunta 9
III. ECUACIONES DEL SISTEMA
3.1 Ecuaciones Fundamentales 10
3.2 Estudio de Flujos 11
3.3 Características de l a Matriz Jacobiana 12
3.3.1 Relación de Compatibilidad 13
IV. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
4.1 Despacho de Potencia Real 14
4.2 Despacho de Potencia Real y Reactiva 15
4.3 Interpretación de los Planteamientos Teórico y Práctico 15 V. MÉTODO DE SOLUCIÓN
5.1, Problema Simplificado 17
5.1.1 Fundamento Matemático 17
5.1.2 Algoritmo de Solución 19
5.2 Problema General 22
5.2.1 Relación de Compatibilidad 22
5.2.2 Fundamento Matemático 25
5.2.3 Aleoritmo de Solución 27
6.1.1 Información 31
6.1.2 Matriz Y-Bus 31
6.1.3 Estudio de Flujos 31
6.1.4 Vector Característico 32
6.1.5 Programación Lineal 32
6.2 Diagramas de Flujo 33
6.3 Variables del Programa 33
VII. APLICACIÓN Y RESULTADOS
Ejemplo 1. 35
Prueba de Optimalidad 37
Ejemplo 2. 40
Ejemplo 3. 42
VIII. CONCLUISIONES Y RECOMENDACIONES
8.1 Características de Convergencia 44
8.2 Selección de Variables para e l Programa de Programación Lineal 44
8.3 Detección de Incompatibilidades 45
8.4 Nodo "Slack" 45
8.5 Otras Aplicaciones 46
APENDICES
I. LA MATRIZ JACOB LANA ES SINGULAR 47
II. ÁLGEBRA LINEAL 48
III. PROGRAMACIÓN LINEAL 51
111.1 Programación Lineal 51
111.1.1 Planteamiento del Problema 51
111.1.2 Propiedades de Una Solución a l Problema General de
Programación Lineal 52
111.1.3 Procedimiento Simplex 53
111.1.4 Procedimiento Computacional 55
111.1.5 Desigualdades 56
111.1.6 No Restricción de No Negatividad 56
111.1.7 Bases Artificiales 57
111.2 Normalización del Problema 58
111.2.1 Función Objetivo 58
111.2.2 Restricciones 59
111.2.3 Coeficientes de l a Función Objetivo 60 111.2.4 Vector de Términos Independientes 62
XV DIAGRAMAS DE FLUJO Y PROGRAMA 63
a costo de carga ligera b costo diferencial C costo total
E voltaje
EMAX límites superior de voltaje EMIN límite inferior de voltaje F función de costo
6 conjunto de nodos generadores
R conjunto de nodos con restricción de voltaje, factor de corrección n,N número total de nodos del sistema
N6 número de nodos generadores
NK número de nodos con restricción de voltaje P potencia real calculada
PG potencia real generada PL potencia real de carga
PMAX límite superior de potencia real PMIN límite inferior de potencia real.
PH = PG-PL potencia real neta
Q potencia reactiva calculada QG potencia reactiva generada QL potencia reactiva de carga
QMAX límite superior de potencia reactiva QMIN límite inferior de potencia reactiva QN = QG-QL potencia reactiva neta
Y admitancia δ ángulo del voltaje
θ ángulo de l a admitancia.
El incremento actual en e l tamaño de los sistemas eléctricos de potencia - generación, transmisión y consumo - acentúa l a necesidad de o- perarlos en condiciones óptimas de calidad con e l menor costo posible. Los métodos de cálculo tradicionales que utilizan fórmulas aproximadas1 ya no son adecuados y es evidente l a necesidad de emplear técnicas más precisas.
En éste sentido, y gracias a l advenimiento de l a computadora digital, se ha intensificado l a investigación de métodos de solución a l problema, re-
curriendo a las técnicas matemáticas antiguas y modernas en e l campo dé l a optimización a,a, 4.
En e l año de 1967 G. Dauphin, D. Feingold y G. Sphon5 presenta- ron un escrito titulado "Methods of Optimizing the Production of Generating Stations of a Power Network" en e l cual se expone una teoría sobre l a solu- ción de problemas en sistemas de potencia basada en procedimientos de opti- mización de problemas lineales. Desde e l punto de vista teórico e l método es atractivo, sin embargo, no se tenía conocimiento de su comportamiento real.
El objeto principal de este trabajo es e l de investigar e l método mencionado y probar su aplicación a los problemas de "Despacho Económico de Potencia Real" y "Despacho Económico de Potencia Real y Reactiva", para ad- quirir experiencia en su uso y establecer bases de comparación con otros mé- todos. En e l capitulo I I se plantea e l problema en términos matemáticos ge- nerales y se dan las bases para l a solución. En e l capitulo I I I se presenta un resumen de las ecuaciones del comportamiento eléctrico de una red.
Las teorías y procedimiento del capitulo I I se desarrollan en términos del problema real en los capítulos IV y V y se exponen las ca- racterísticas particulares del mismo. Una descripción sintetizada de los programas para computadora utilizados en l a investigación se da en e l ca- pítulo VI. En e l capítulo VII se reporta un extracto representativo de los resultados obtenidos. Las conclusiones y recomendaciones derivadas del trabajo se presentan en e l capítulo VIII. En e l apéndice I se hace la demostración de una característica importante de las ecuaciones del sistema. Finalmente los apéndices I I y III incluyen algunos conceptos básicos de álgebra matricial y programación lineal. E l último es parti- cularmente importante porque en él se muestra l a adaptación del problema lineal que se presenta en e l curso de l a solución,a l a forma típica de ur problema de programación lineal.
REFERENCIAS
1. L.K. Kirchmayer, Economic Operation of Power Systems. New York, J . Wiley, 1958.
2. J.F. Dopazo, O.A. K l i t i n , G.W. Stagg, M. Watson, "An Optimization Technique for Real and Reactive Power Allocation," PROC. IEEE, Vol.
55, pp. 1877 - 1885, Nov. 1967.
3. H.W. Dommel, W.F. Tinney, "Optimal Power Flow Solutions," TRANS.
IEEE, Vol. PAS-87, pp. 1866-1876, Oct. 1968.
4. A.M. Sasson, "Nonlinear programming solutions for the load flow, minimum loss, and economic dispatching problems," Ibid, Vol. PAS-88,
pp. 399-409, 1969.
5. G. Dauphin, D. Feingold, G. Sphon,"Methods of optimizing the produc- tion of generating stations of a power network," PROC. PICA, Conf.
Ree, Pittsburgh, Pa. pp. 133-140, May. 1967.
II. MATEMATICA PEL PROBLEMA
Las ecuaciones que rigen e l comportamiento eléctrico de un siste- ma de potencia son del tipo no lineal. El método de optimización que se describe alterna l a solución de estas ecuaciones con l a minimización de una función lineal. En e l problema lineal, sin embargo, se involucra el efecto de l a no linealidad por medio de las llamadas en e l texto relaciones de com- patibilidad. En este capítulo se presenta l a formulación y solución en tér- minos matemáticos generales. En e l capítulo IV se formulan los problemas en
la terminología normalmente utilizada en Ingeniería Eléctrica. Allá se dan las explicaciones adicionales sobre la correspondencia e interpretación de los planteamientos teórico y práctico. El "Despacho de Potencia Real" y el
"Despacho de Potencia Real y Reactiva" se tratan por separado con los nom- bres de "Problema simplificado" y "Problema general". En los capítulos s i - guientes se aplican los conceptos y procedimientos aquí expresados a los problemas de optimización en sistemas de potencia.
2.1 Problema Simplificado
Consiste en minimizar l a función de las variables x¿ :
(2.1)
sujeto a las restricciones lineales:
y satisfaciendo las ecuaciones no lineales:
(2.2) donde
2 " »za» • • •» zn>
Y - (ya, ya, ym)
C — (*x » "a» • • • » ^n» wx * wa» • • • » wm^
j "1» •••» n+m
Además se tiene que no todas las ecuaciones (2.2) son independientes, es de- c i r , no se puede asignar valor arbitrario a todas las Cj.
2.1.1 Linealización
Si se mantienen constantes las i - 1 , m, y se linealizan las primeras n restricciones (2.2) alrededor de un punto de operación se tiene e l siguiente conjunto de ecuaciones lineales.
j , 1-1, n
La matriz de coeficientes (Jacobiano) de éste sistema de ecuacio- nes es singular. Como se explica en e l apéndice I I , para que un sistema tal tenga solución se debe cumplir l a relación de compatibilidad:
(2.3)
Las \¿ son las componentes del vector característico asociado con l a raíz cero del Jacobiano transpuesto.
Con 'variaciones £ x¿ dadas, l a función f varía en
(2.4)
Restando (2.3) de (2.4) se obtiene
(2.5)
Por l a minimizaciÓn de £f puede llegar a encontarse un nuevo valor de £ menor que e l anterior. Has adelante se presenta e l algoritmo de solución.
2.1.2 Problema lineal
El problema lineal consiste entonces en minimizar
sujeto a y
2.1.3 Solución conjunta
El procedimiento iterativo se puede sintetizar en las siguientes etapas t
1) Asignar valores arbitrarios a C j , j " l , ..., n+m, j j * l . Hacer K»l y calcular £.
2) Resolver las ecuaciones gj (Y»Z) " C j , j"2 n+m y evaluar q - *L - gx Of,Z)
3) Evaluar l a matriz Jacoblana y e l vector característico.
4) Resolver e l problema de programación lineal para obtener 1-1, ..., n
5) Calcular los nuevos valores
c i nuevo " * i nuevo " x i viejo + KAxi » 1 - 2» •••» n
e (una tolerancia), i-1, ..., n, solución óptima 6) Resolver las ecuaciones gj(Y,Z) • Cy j"2, n+m y evaluar
°x nuevo " *x n u e v o " % (Y,Z)
7) Bvaluaf fn u e v < ). S i £n u e v 0 > £v l e j 0, hacer K - K/2 y volver a l paso 5). S i ¿nuevo< fviejo» regresar a l a etapa 3)
Explicación. con las etapas 1) y 2) se obtiene una solución i n i c i a l . La solución del problema de programación lineal de l a etapa 4) suministra un conjunto de correcciones A x ¿ . No se puede aplicar todas por l a no inde- pendencia de las ecuaciones g¿. La A * i no se tiene en cuenta. En l a e- tapa 6) se calcula e l valor de n u e v o* Si debido a l a no linealidad re- sulta que f n u e vo > ¿viejo» 8 6 reduce e l valor de K y se repite e l proceso desde l a etapa 5). Cuando para cualquier valor de K se llega a que
..., n, l a solución nueva coincide con l a anterior y ya no es posible reducir más f, luego esta es l a sblución óptima.
2.2 Problema general
Minimizar
con las restricciones lineales
j"*l» . • • » n*hn j " l i • • • t m
y las restricciones no lineales
gj Or.z) - Cj , j—1, • • •, n+m
2.2.1 Lineallzación
Linealizando alrededor del punto de operación resulta e l siguien- te sistema de ecuaciones lineales,
<2.6)
El Jacobiano es matriz singular, por lo tanto debe cumplirse l a relación de compatibilidad
(2.7)
donde (X,u) es e l vector característico (n+m componentes) de raíz cero del Jacobiano transpuesto. En e l problema simplificado las y¿ permanecieron
constantes pero- ahora van a ajustarse dentro de ciertos límites. Como se verá más adelante, de l a solución del problema lineal se obtiene AYp»
p-1, m. Con A y ^ dado, l a correspondiente ecuación en (2.6) se puede eliminar» resultando e l siguiente sistema lineal.
j " l , ..., n+m, j^n+k
1*1, ..., n p»l, ..., m, P1*k
El superíndice (k) significa que e l Jacobiano original se ha reducido en e l renglón y columna (n+k). La nueva matriz sigue siendo singular, así que l a relación de compatibilidad exige que
(2.8)
donde es e l vector característico (n+m-1 componentes) de raíz cero del Jacobiano reducido transpuesto.
Para cada k-1 m habrá una relación de compatibilidad diferente, además de l a expresada por (2.7).
Sumando l a ecuación (2.7) con las m ecuaciones (2.8) se tiene
Con variaciones dadas ^w, ^ y , l a variación en f se puede expresar como
2.2.2 Problema lineal
.El problema lineal en este caso consiste en minimizar A f " (ec. 2.9)
Sujeto a l a restricción (2.7) y las m restricciones (2.8) Además de las restricciones de desigualdad
j "1, •.., n+m i " l , ..., m
Es' importante observar que en l a expresión para £f, las A S son funciones lineales de las
2.2.3 Solución conjunta
A continuación se indica sintéticamente e l procedimiento a seguir en l a solución del problema general,
1) Asignar valores arbitrarios a Cj, j«l, ..., n+m, j j * l , n+1 y a y^, i-1, ..., m. Hacer K-l y calcular £
2) Resolver las ecuaciones gj(Y,Z) • C j , j»l, n+m, j j * l , n+1 y evaluar Cx - * « gx (Y,Z); C n 4 l - *k - gn 4 i (Y,Z)
3) Evaluar l a matriz Jacobiana y los m+1 vectores característicos.
4) Resolver e l problema de programación lineal para encontrar,
5) Aplicar correcciones solamente a aquellos términos "C" y "y1' 1u e 1* *n~ dependencia de las ecuaciones no lineales permita.
cj nuevo " C J viejo
6) Resolver las ecuaciones independientes del conjunto gj y evaluar e l res- to de las variables "C" y "y". S i hay violación de restricciones de de- sigualdad en "C" o "y"• reducir K y volver a l a etapa 5). Repetir hasta que no haya violaciones.
7) Evaluar f nuevo. S i f nuevo>f viejo, reducir K y regresar a 5). S i f nuevo < f viejo, regresar a l a etapa 3). E l proceso termina cuando
..., m son más pequeños que una tolerancia establecida.
III. Kr.1UnT0NBS DEL SISTEMA 3.1. Ecuaciones Fundamentales
Las ecuaciones que rigen e l comportamiento eléctrico de un sistema de potencia son l a conocidas como "Leyes de Kirchoff", que en forma matricial se expresan como:
I - Y E (3.1)
donde,
I es e l vector de corrientes impresas en cada uno de los nodos.
Y es l a matriz nodal de. admitancias, "Y-Bus".
V es e l vector de voltajes de cada uno de los nodos, con respecto a tierra.
La expresión (3,1) representa un sistema de ecuaciones, cada una de las cuales es*:
(3.2)
La potencia compleja en e l nodo i es:
Sustituyendo (3.2) en (3.3):
(3.3)
(3.4) En coordenadas polares.:
Reemplazando en (3.4):
*Lossímbolos con barra horizontal encima indican cantidades complejas.
Apllcando l a identidad e^d - eos d + j sen d, las componentes real e imagi- narla de l a potencia son:
(3.5)
Las potencias activa y reactiva en e l nodo i son, pues, funciones de los voltajes y ángulos de todos los nodos del sistema. Representando estas funciones por P¿ (E, .6) y Qi(E, 6) respectivamente, e l balance de potencias en cada uno de loa nodos se puede establecer como sigue:
PNi - Pi(E,6) (3.6a)
QNi - Qi(E,6) i - 1, n (3.6b)
Es claro que las n ecuaciones (3.6a), a l igual que las (3.6b) no son independientes, puesto que, e l asignar potencias netas a todos los nodos, supone conocer de antemano las pérdidas del sistema. Usualmente se plantean n-1 ecuaciones, siendo l a n - ésima l a correspondiente a l nodo de holgura.
3.2 Estudio de Fluloa
Cada nodo está caracterizado por cuatro variables, PNi, QNi, E i , 6 i , dos de las cuales son especificadas y las otras dos deben ser encontradas.
Generalmente, para estudios de flujos, los nodos se clasifican en los s i * guientes tres tipos:
1) Nodo de holgura, con E, 6 especificados y PN, QN desconocidos. Usual- mente 6 slack *> 0, como referencia.
2) Nodos Generadores, con PN, E especificados y QN, 6 desconocidos.
3) Nodos de Carga, con FN, QN especificados y E, 6 desconocidos.
En estas condiciones, para e l estudio de flujos por e l método de New- ton, en forma polar, es necesario únicamente plantear las siguientes ecua- ciones :
Ecuación (3.6a) para nodos generadores.
Ecuaciones (3.6a) y (3.6b) para nodos de carga.
Si N es e l número total de nodos del sistema y NC e l número de nodos de carga, e l número de ecuaciones necesarias para resolver e l estudio de - flujos es: N + NC - 1.
3.3. Características de l a matriz Jacobiana
La matriz Jacobiana del conjunto de ecuaciones (3.6) es una matriz - cuadrada de orden 2n X 2n, que se puede escribir como:
J -
donde P'6, P'E, Q'6, Q'E son matrices de orden nXn cuyos elementos son:
(p'ehj -
(P'E)^ - ( Q ^ -
(Q'E>tj - i , j " 1, ..., n
En e l Apéndice I se demuestra que l a matriz J es singular, l o cual es consecuente con l a no independencia del conjunto de ecuaciones (3.6)
3.3.1 Relación de Compatibilidad
Si se hacen pequeflas variaciones de potencia neta AP» A Q » *a s varia- ciones en E y 6, A.E, A5, necesarias para mantener las igualdades (3.6), - vienen dadas por l a siguiente ecuación matricial, que se deduce por l a ex- pansión en serie de Taylor de las funciones Pi(E,6), Qi(E,6), despreciando términos de orden superiort
w
Como se demuestra en e l apéndice I I , para que un sistema de ecuaciones l i - neales Ax - b, siendo A matriz singular, sea compatible, una condición nece- saria y suficientes es que:
T
[v] . [bj - 0 (3.8)
donde £VJ es e l vector caracteritico asociado con l a raiz característica - T
de valor cero de l a matriz A . En nuestro caso, l a relación de compatibili- dad (3.8) puede escribir como:
es e l vector característico de raíz cero del Jacobia- (3.7)
donde,
no transpuesto.
IV. PLAW1EAMIENI9 PRh PROBLEMA
La técnica de optimización objeto del presente trabajo se va a a- pllcar a los problemas de "Despacho de Potencia Real" y "Despacho - de Potencia Real y Reactiva".
4.1 Despacho de Potencia Real
Dado un sistema de potencia, con especificaciones de:
a) Cargas
b) Límites superior e inferior para las generaciones activas.
c) Voltajes en los nodos generadores.
d) Costos de carga liviana y costos diferenciales.
determinar las condiciones de operación tales que l a producción de energía activa tenga e l más bajo costo, satisfaciendo las ecuaciones eléctricas del sistema.
Matemáticamente:
Minimizar (4.1)
sujeto a
(4.2) El =• constante i c G (4.3) y
Ci(PGi) - a¿ + bt PGi Recuérdese que
PNi - PGi - PLi QNi - QGi - QLi
Ci(PGi) es l a función de costo del generador equivalente conectado ál nodo i . C es e l costo total de producciónde potencia real. Las cargas FLi y - QLi se consideran constantes.
4.2 Despacho de Potencia Real y Reactiva
Dado un sistema de potencia con especificaciones de:
a) Cargas
b) Limites superior e inferior para las generaciones activas c) Limites superior e inferior para las generaciones reactivas
d) Límites superior e inferior para los voltajes en todos los nodos e) Costos de carga liviana y costos diferenciales
determinar las condiciones de operación tales que l a producción de energía activa tenga e l más bajo costo, satisfaciendo las ecuaciones eláctricas del sistema. Matemáticamente,
Minimisar
sujeto a
PMINi < PGi < PMAXi ieG QMINi < QGi QKAXi ieG
EMINi ^ E i ^ EMAXi i - 1, ... n PNi - Pi(E,6) i - 1, .... n
QNi - Qi(E,6) i - 1 n
Las cargas se consideran constantes y también se asume que e l costo de producción de energía reactiva es cero.
4.3. Interpretación de los planteamientos teórico y práctico.
La correspondencia con e l planteamiento de los problemas en términos
generales del capítulo I I es ahora evidente. Las restricciones no lineales gj(Y,Z) - Cj están representadas por las ecuaciones de potencia
Pj(E»6) " PNj, Qj(E,6) - QNj, donde los voltajes E y ángulos 6 corresponden a las variables Y,Z respectivamente. Hacer un "Estudio de Flujos" equivale a resolver estas ecuaciones.
Como se explicó en l a sección (3.2), asociados con cada nodo del sistema hay cuatro cantidades, dos especificadas y dos desconocidas y en base a ésto se hizo l a clasificación de los nodos en tres tipos. Cuando las cantidades desconocidas son PN (x) y/o QN (w) , l a correspondiente e- cuación es dependiente y a las variables asociadas 6 (Z) y/o E (Y) se las puede asignar un valor arbitrario. En caso contrario, 6 y/o E desconocidos, los respectivos PN y/o QN son especificados y l a ecuación es independiente.
La solución del problema lineal, tanto en e l caso simplificado como en e l general, proporciona correcciones AP>AQ ¿A? que son aplicables solo en e l evento de que PN, QN, o E estén dentro de las cantidades especi- ficábles en e l nodo correspondiente. E l resto de correcciones se encuentra por l a solución de las ecuaciones no lineales. Por ejemplo, l a corrección
A Ek se puede aplicar s i k es un nodo del tipo 1) o del tipo 2) pero debe ignorarse s i k es un nodo del tipo 3) en cuyo caso e l verdadero AE^ resul- ta en l a solución del sistema no lineal. En l a sección (5.2.3) se hace una clasificación de variables teniendo en cuenta estas características. En l a sección (8.2) se presenta una discusión sobre l a selección de las variables para e l problema lineal.
V. METODO DE SOLUCION
E l método de solución consiste en un proceso iterativo en que, pa- ra cada uno de los pasos, se minimiza una función lineal de varias variables, cada una de las cuales estando restringida a tomar valores dentro de ciertos límites. En virtud de que las restricciones son también del tipo l i n e a l , e l esquema se ajusta perfectamente para ser soluble por un método de programa"
ción l i n e a l . Se u t i l i z a e l algoritmo Simplex.
5.1 Problema Simplificado 5.1.1 Fundamento Matemático
E l problema consiste en minimizar l a suma de los costos totales de producción de energía activa,
minimizan C es equivalente a minimizar
Si las PG¿ se varían en una pequeña cantidad ^ P G ¿ , l a función de costo se - varía en:
Para e l problema simplificado se consideran constantes ios voltajes E¿, ieG, per l o tanto, del sistema de ecuaciones (3.7 ) se tiene que:
(5.4)
con l a relación de compatibilidad
(5.5) (5.1)
(5.2)
donde X es e l vector característico de raíz cero áe l a matriz singular Bs un vector rial que
(5.6)
(Nótese que A ? i m¿^PGí ai VL± es constante) Poniendo (5.5) en forma de sumatoria,
En los nodos de carga Aft>i - 0, por lo tanto (5.5) se convierte en
(5.7)
(5.8)
Es claro que cuando F es mínimo, 0 para cualquier vector£A,PG~J compa- tible con las restricciones. De (5.8) se puede . deducir las condiciones ne- cesarias para optimalidad, como sigue:
también lo es. En e l mínimo, siempre habrá una R t a l que
(5.9)
5.1.2 Algoritmo de Solución
Si se inicia a partir de una solución factible (aquella en l a cual se cumplen las restricciones), e l método encuentra otra solución factible de menor costo, s i existe. En realidad, e l proceso puede iniciarse a partir de una solución no factible. En este caso, e l primer paso lleva las variables a l a región permisible.
Se tiene entonces e l siguiente problema parcial:
Enoontrar las APGi tales que l a función,
(5.10) sea mínima baio las siguientes restricciones:
(5.11)
Es fácil plantear este problema en l a forma normal de un problema de programación lineal, donde las variables de l a función objetivo son las /SPCi y las restricciones lineales vienen dadas por (5.11). Es de advertir que en e l algoritmo simplex las variables no pueden ser negativas, sin em- bargo, en nuestro problema es permitido que las APGi tomen . valores negati- vos. En e l apéndice III' se muestra l a adaptación de nuestro problema par- cial a l a forma típica.de un problema de programación lineal.
La solución del problema de programación lineal suministra un con- junto de correcciones APGi que, aplicadas a las PGi anteriores, da un nuevo conjunto de potencias generadas PGi nuevas que resulta en un costo de produ-
ceion menor. Sin embargo, l a aplicación de todas las correcciones no resul- ta, en general, consecuente con las leyes eléctricas del sistema de potencia, porque ésto equivaldría a asignar un valor específico a las pérdidas del sis- tema, desconocidas bajo las nuevas condiciones de operación. Lo que se debe hacer es aplicar todas las correcciones menos una y resolver las ecuaciones
(3.6), (estudio de flujos) tomando e l nodo que no se corrigló como e l slack para, encontrar su verdadera APG.
Entonces, PGi(nueva) - PGi(vieja) + ¿gGt i¿ slack
En virtud de que las ecuaciones (3.6) son no lineales, puede suce- der, que e l nuevo valor de F sea mayor que e l anterior; lo que indica que l a corrección /\PGi es demasiado grande. Debe hacerse entonces,
PGi(nueva) - PGi(vieja) + K ApGi, K<1; i¿ slack y un nuevo estudio de flujos. Esto se repite con valores de K sucesivamente más pequeños hasta lograr un costo menor. En e l límite, cuando K=0, se ha
regresado a l estado original, indicando que ésta es l a solución más económi- ca. Cuando se encuentre un conjunto de K APGi tal que l a nueva solución tenga un costo menor que l a anterior, se comienza nuevamente e l proceso com- pleto a partir de l a última solución.
Por las razone8 expuestas* arriba se deduce que e l mínimo del pro- blema lineal y del problema no lineal no coinciden, razón por l a cual las condiciones (5.9) no se cumplen exactamente.
A continuación se describe sintéticamente los pasos a seguir para l a solución del problema.
1) Estudio de flujos Inicial, escogiendo PGI, ieG, i^slack, entre límites^
calcular F.
2) Para un nodo j cuya PG esté entre límites, escoger Xj - bj como l a j - ásima componente del vector [ XJ
3.) Resolver las ecuaciones (5.6) para las demás componentes \í, i - 1, ... n;
i * j
4) Resolver e l siguiente problema de programación lineal Minimizar
5) Calcular PGi(nueva) - PGi (viejo) + K¿^Gi i j* slack (Inicialmente K*l).
6) Estudio de flujos para encontrar PG del nodo slack.
7) Con las nuevas PGi calcular F nuevo. S i Fnuevo> Fviejo, hacer K » % y volver a l a etapa 5 ) . Este proceso se continua hasta encontrar que F nuevo<: Fviejo..
8) Regresar a l a etapa 2).
El proceso termina cuando, para I K APGi I ^ e, una tolerancia, no - se ha logrado que Fnuevo<Fviejo.
Explicación adicional. Para encontrar e l valor característico asociado a l a raíz cero de l a matriz singular [P'fi] T, hay que asignar un valor arbitrario a una de las n componentes \i, y a partir de asta, encontrar los demás valores.
Aqul, a l a componente j se le asigna e l valor b j , e l costo incrementa! del generador j . Así, e l término correspondiente de l a función objetivo se hace cero y e l ¿&Gj puede tomar cualquier valor, cumpliendo siempre con e l
principio de optimalldad. Sin embargo, dicha escogencia puede hacerse ar- bitrariamente por l o que se dice en e l párrafo anterior a (5.9)
5.2 Problema General
En e l despacho de potencia real y reactiva, las potencias PGi, QGi y los voltajes E l , ieG, van a ser los parámetros de control y su varia- ción está restringida dentro' de ciertos límites.
5.2.1 Relación de Compatibilidad
Las ecuaciones eléctricas del sistema de potencia son:
PNX - Pt (E,5) QNi - Qi (E,5)
La matrís Jacobiana del sistema (5.12) es:
(5.12)
(5.13) Si A Ek es una variación dada en l a magnitud del voltaje en e l nodo k, l a ecuación
( n + k) puede ser eliminada y e l arreglo (5.13) toma l a siguiente forma:
(5.14) Tenemos ahora un nuevo sistema de ecuaciones Ax • b, donde l a matriz A, de orden (2n-l) X
(2n-l), es singular, (note que las primeras n columnas son linealmente dependientes.
Ver apéndice I ) , por lo tantot para que e l sistema sea compatible, se debe cumplir l a relación (3.8).
el vector característico (2n-l componentes) asociado con l a raíz cero de - la matriz reducida en e l renglón y columna (n+k). La relación de compa- tibilidad (3.8) en este caso es:
que es l o mismo que
donde,
vector de n componentes
vector de n-1 componentes. Se ha suprimí- do e l elemento k.
- 0
columna (n+k) del Jacobiano original sin e l elemento (n+k). S i hacemos,
l a relación de compatibilidad se expresa finalmente como:
(5.15)
Si las A p i i * l «*» A Q i ••• n» Ifti y A^k »• relacionan según
(5.15), e l sistema de ecuaciones (5.14) (incógnitas A6¿ i"l> ••• n; A E i i«l, ... n, i^k) tiene solución.
Más generalmente, s i K es e l conjunto de nodos con variación dada en magni- tud de voltaje y Ap» Aft *on variaciones de energía activa y reactiva, las condiciones necesarias y suficientes para que e l sistema de ecuaciones (5.13) tenga solución son:
(5.16)
(5.17)
*-7<it TW**™*^0 Matemático
Ahora se replantea e l problema, introduciendo los nuevos elementos.
Sumando l a ecuación (5.16) con las NK ecuaciones (5.17) y teniendo en cuen- ta que cuando i i G, A P i - A Q i - O
- 0 (5.18)
Al igual que antes, e l problema consiste en minimizar l a suma de los costos totales de producción de energía activa, o lo que es lo mismo, minimizar
S i se producen variaciones APGi, l a variación en F es:
(5.19)
Teniendo en cuenta además las variaciones en QGi, ieG y en E i , leK, l a va- riación en F correspondiente se puede obtener restando (5.18) de (5.19) -
(Note que APi "APGi, AQi " AQGi, con PLi • constante, QLi - constante).
(5.20)
Si F es mínimo, cualquier conjunto de variaciones APi» AQi i e G , AE* ieK, compatible con las restricciones, dará lugar a un A F ^ 0. De (5.20) pueden deducirse las condiciones necesarias para optimalidad, en l a misma - forma que se hizo con (5.9).
Iniciando de una solución factible se puede llegar a otra de menor costo por l a minimización de l a función £F. Repitiendo este procedimiento paso a paso, se llega finalmente a l a solución óptima. En cada iteración -
debe, entonces, resolverse el siguiente problema de programación lineal:
Minimizar A F - fXAPi.AQ1» A E i ) (-5.20) teniendo en cuenta las restricciones lineales
PMIN < (Pi + APi) < FMAXi ieG
QMIN< (Qi + A Q i X Q M A X i ieG (5.21) EMIN< (Ei + A E i X EMAXi ieK
y además, cumpliendo con las relaciones de compatibilidad (5.16) y (5.17).
En e l apéndice ( I I I ) se indica el planteamiento del problema en la forma típica de un problema de programación lineal.
La solución del problema de programación lineal suministra un con- junto de correccionesAp i> AQi ieG, A E i , ieK, que aplicadas a los valo- res anteriores, darían una solución de menor costo. Sin embargo, esta so- lución resultante de l a aplicación de todas las correcciones no es compati- ble oon las leyes eléctricas de l a red.
5 , 2«3 Asgortt"? gotortfo
Podemos clasificar las variables en dos tipos:
Y i , que representa a las P i , ieG, i?* slack, E i , ieK, ieG X i , que representa a las Qi, ieG; E i , ieK, i¿G; Pslack.
Obsérvese que s i ieG, 1 es un nodo del tipo 1) o del tipo 2) y s i itfG, i es un nodo del tipo 3).
Las correeciones¿Yi solución del problema de programación .lineal se aplican
<Ur«ctem«nte « sus respectivas variables,
Con estos nuevos datos se procede a hacer un estudio de flujos para encontrar e l verdadero valor de las Xi. La solución así obtenida - cumple con las leyes de Kirchoff, aunque no necesariamente es de menor - costo que l a anterior debido a l a no linealidad de las ecuaciones de l a red.
Otro evento que puede presentarse es que algunas o todas de las nuevas Xi violen las restricciones de desigualdad (5.21). Se sugiere en- tonces disminuir l a corrección y hacer
Yi nuevo - Y i anterior + KAYi K < 1
y un nuevo estudio de flujos. Esto se repite con valores de K sucesivamen- te más pequeffos hasta lograr que todas las nuevas variables.Xi estén dentro de l a región permisible. En e l límite, cuando K"0, se ha regresado a l es-—- tado original lo que indica que cualquier movimiento en e l sentido de mini- mizar F implica l a violación de alguna restricción. Por lo tanto, ésta es la solución óptima. Una discusión a l respecto se presenta en l a sección(8.1)
Una vez que se ha logrado e l cumplimiento de todas las restriccio- nes por medio del procedimiento anterior, puede suceder que e l nuevo valor - de F sea mayor que e l anterior. Esto indica que l a corrección es aún demasía' do grande. Se debe entonces seguir reduciendo (o comenzar a reducir, según el caso) K hasta que F nuevo<F viejo. De nuevo, en e l límite, cuando K-0, no se ha hecho ningún movimiento a partir de l a solución factible de l a eta- pa anterior, siendo, en consecuencia, ésta l a óptima.
Cuando se encuentre algún conjunto de K A Y i tal que l a nueva so- lución factible tenga menor costo que l a anterior, se procede a repetir %<?dp el procedimiento descrito, a partir de esta solución.
A continuación se describe sintéticamente los pasos a seguir en l a solución del problema.
1) Estudio de flujos i n i c i a l , asegurándose de que todas las variables Y i , X i , queden entre límites. Calcular F.
2) Calcular e l vector característico de raíz cero,
£x
> r.J,
de l a matrizcompleta •
3) Para cada keK, encontrar e l vector característico de raíz cero,
jx^, j|, de l a matriz reducida | " jkJ • Son en total NKvectores.
4) Para cooo KeK, calcular
5) Resolver e l siguiente problema de programación lineal:
Minimizar
Sujeto a
EMINi - E i < ^Ei<EMAXi - E i ieK PMINi - P61<^ J A P i < P M A X i " P G i i e G QMINi - QGis^ AQi<QMAXi - QGi ieG
6) Calcular Y i nuevo - Y i viejo + k A Y i (Inicialmente K-l)
7) Con Y i nuevos, hacer un estudio de flujos para encontrar los verdade- ros X i nuevos. S i algunas Xi violan restricciones, hacer K«=^ y vol- ver a l a etapa 6). Repetir hasta que todas las Xi cumplan las res-
tricciones o hasta cuando | K A Y i | ^ s, una tolerancia, en cuyo ca- so e l proceso termina.
8) Con todas las variables dentro de límites, calcular F nuevo. S i F nuevo> F viejo, hacer K-fc y volver a l a etapa 6), repitiendo hasta encontrar que F nuevo<F viejo. De l o contrario, regresar a l a eta- pa 2). S i cuano | K A Y i J <^ e aún no se ha logrado que F nuevo <
F viejo, l a solución óptima es l a obtenida en l a etapa 7).
VI PROGRAMA PARA COMPUTADORA
Para l a solución automática del problema se ha escrito programas para l a versión FORTRAN (3.2)/ MASTER de l a computadora CD-3300
6.1 Características del programa
A continuación se describen las características más importantes - del programa, incluyendo a l final una relación de las variables utilizadas.
6.1.1 . Información
Los datos necesarios son:
1) Número total de nodos y de nodos generadores.
2) Especificación del tipo de nodo.
3) Parámetros del sistema de transmisión.
4) Coeficientes de costo.
5) Límites superior e inferior de potencias activa y reactiva y de voltajes.
6) Consumo de potencia activa y reactiva en cada nodo.
6.1.2 Matriz Y-Bus
Con los datos de impedáñelas primitivas y susceptancias de las - líneas se forma l a matriz de admitancias de nodo Y-Bus haciendo uso de l a subrutina REPOL para hacer cambios de coordenadas rectangulares a coordena- das polares.
6.1.3. Estudio de flujos
Se u t i l i z a e l método de Newton con las cantidades expresadas en forma polar* La matriz Jacobiana completa se calcula y almacén» con e l -
nombre AT. Luego, por medio de l a subrutina REDUCE, se elimina los ren- glones y columnas que no se necesitan para e l estudio de flujos (Ver sección 3.2). La matriz resultante se almacena en l a variable AJ. Las - ecuaciones (3.6) se resuelven por inversión de l a matriz AJ, utilizando l a subrutina INVER. Las iteraciones del estudio de flujos terminan cuan- do las diferencias PE¿ - P¿ y QE¿ - Q¿ son todas más pequeñas que una to- lerancia dada.
6.1.4 Vector característico
a) Para e l problema de Despacho Real se necesita e l vector caract.
de raíz cero de l a matriz |^ P¿ J ^« Para esto se u t i l i z a l a sub- rutina CARACT, con argumentos AT, N.
b) En e l problema de Despacho Real y Reactivo hay que calcular tan- to vectores característicos como nodos con restricción de volta- je mas uno. En cada caso se u t i l i z a l a subrutina REDUCE para e- liminar e l renglón y columna correspondientes de l a matriz AT y - luego se usa l a subrutina CARACT con argumentos AT, 2N-1. En e l último caso los argumentos son AT y 2N.
6.1.5 Programación lineal.
Una vez formada l a función objetivo y l a matriz de restricciones (ver apéndice III.2) se u t i l i z a l a subrutina SIMPLEX para resolver e l pro- blema de programación lineal. Para entrar al Simplex, las variables hay que desdoblarlas en dos partes como se indica en e l apéndice citado. A l a salida se hace provisión para volverlas a integrar.
6.2 Diagramas de flujo
En e l apéndice IV se presentan los siguientes diagramas de flujo macroscópicos.
a) Diagrama de flujo general para los dos problemas tratados*
b) Estudio de flujos.
c) Cálculo de los vectores característicos para e l problema de Despacho Real y Reactivo.
6.3 Variables del programa
A continuación se definen las variables más importantes utilizadas en e l programa.
N: Numero total de nodos del sistema.
NEL: Número de elementos de l a red.
NG: Número de nodos generadores.
NSt Número del nodo slack.
TND: Especificación del tipo de nodo.
Rj Resistencia de las líneas.
X: Reactancia de las líneas.
GT: Conductancia equivalente entre los nodos y tierra.
BT: Susceptancia equivalente entre los nodos y tierra.
Y: Matrís de admitancias de nodo Y-Bus.
TH: Angulo de las admitancias.
PL: Potencia activa de carga.
QL: Potencia reactiva de carga.
PG: Potencia activa generada.
QG: Potencia reactiva generada.
PE: Potencia activa neta»
QB: Potencia reactiva neta.
P: Potencia activa calculada, función de voltajes y ángulos.
Q* Potencia reactiva calculada, función de voltajes y ángulos.
PMAX, PHINt Límites superior e inferior de potencia activa generada.
QMAX, QMIN: Límites superior e inferior de potencia reactiva generada.
EMAX, EMINi Límites superior e inferior de voltajes.
ANG: Angulo del voltaje.
B: Costo diferencial.
AI: Matriz Jacobiana completa.
AJ: Matriz reducida para estudios de flujo.
DPQj Diferencias AP y AQ.
DAE: Diferencias AE y A5»
BS: Tárminos independientes en e l problema de programación l i - neal.
VS: Variables del problema de programación real.
D: Matriz de restricciones.
DS: Solución del problema de programación lineal.
C: Coeficientes de l a función objetivo.
AL, T: Vectores característicos.
COSTO 1, COSTO 2, Costos antes y después de cada ciclo completo de optimi- zación.
VII APLICACION Y RESULTADOS
en este capítulo se muestra l a aplicación del método a un siste- ma de prueba de 5 nodos cuyo diagrama unifilar se muestra en l a Fig. 1.
Este 8Í8tema ha sido utilizado por otros autores1 para probar otros méto- dos de optimización.
En las tablas I y I I se dan los datos de impedanclas de las lí- neas y las cargas del sistema. En l a tabla III se dan los límites de o-
peraeion y coeficientes de costo
Fig. 1. Sistema de potencia de 5 nodos
T A B L A I
Impedancias en p.u. sobre l a base de 100 MVA
Especificación de Cargas
T A B L A I I I
Límites de operación y coeficientes de costo
T A B L A IV
Resultados del Flujo de Carga Inicial
El estudio de flujos inicial se hizo tomando como base las gene- raciones mínimas. E l nodo 5 se tomé como e l nodo slack. La tabla IV mues- tra los resultados obtenidos.
r
Bajo estas condiciones, e l costo de operación es 976.3397 pesos/
hora. Obsérvese que l a generación del nodo 5 ha sobrepasado e l límite má- ximo.
Se hizo e l despacho de potencia real por e l método descrito y se llegó a l a solución mínima en l a tercera iteración. En todas las iteracio- nes, e l costo siempre fue menor que en l a anterior, luego no hubo necesidad de modificar l a corrección (Ver Sec. 5.1.2). En l a tabla V se muestran los resultados en cada iteración. En este ejemplo, como en todos los que se ha tratado, se observa que en l a primera iteración se logre gran acercamiento hacia l a solución óptima. (Tabla V 2a. parte)
En l a tabla VI se muestran e l vector característico, y las corre- cciones de potencia activa generada y l a función objetivo solución del pro- blema de programación lineal, en cada iteración.
Prueba de Optimalidad
Con l a notación de l a sección (5.1.1), e l tos 1,4,5) es:
Si multiplicamos este vector por k
T A B L A V I
Resultados del problema de programación lineal
Función objetivo en cada iteración (A?)
S* tient ahora las siguientes relaciones.
Refiriéndonos a las condiciones de optimalidad (5.9), vemos que las relaciones a) y b) cumplen exactamente (con PG¿ » 0, X¿ puede tomar cualquier valor comparado con bj). La relación 3) no cumple l a condición de optimalidad. Sin embargo, s i se analiza e l curso de l a variación de
APG*» •• observa que está muy próxima a tomar valor positivo. Que esta- mos muy cerca del mínimo se puede comprobar ya que
esta es l a razón por l a cual, en l a solución final no se cumple que £¡J* 0.
Sin.embargo, e l valor final A ? es muy pequeño negativo. Obsérvese l a tra- yectoria de AP a través de las iteraciones. Para todos los fines prácti- cos se puede decir que l a solución final obtenida es l a óptima.
Ejemplo 2.
En e l siguiente ejemplo, a diferencia del anterior, en cada ite- ración (excepto l a primera) hubo necesidad de alterar l a corrección porque el costo resultó mayor que en l a iteración anterior. Se llegó a l mínimo en la quinta iteración. E l sistema es e l mismo que e l de l a Fig. 1, con los siguientes cambios en los datos (las cifras entre paréntesis corresponden a las del ejemplo anterior):
Ej- 1.049 (1.050), E4 - 0.985 (1.05), Qa - 17.0 (0.06), Qg - 11.0 (-10.44) El estudio de flujos inicial se hizo en base de las generaciones promedio entre e l límite superior y e l límite inferior. E l nodo 5 se tomó como e l slack. En l a tabla VII se muestran los resultados obtenidos, donde l a ite- ración 0 corresponde a i flujo de carga i n i c i a l .
RESULTADOS DEL DESPACHO REAL PARA EL EJEMPLO 2
Aquí nuevamente ae observa que en l a primera iteración se llega bastante cerca de l a solución óptima.
Referencing
1. J.F. Dopazo, O.A. K l i t i n , G.W. Stagg, y M. Watson, "An Optimization Tech- nique for Real and Reactive Power Allocation." Proc. IEEE, Vol. 55. pp.
1877*1885, Nov. 1967.
Ejemplo 3.
Se aplicó e l método descrito para resolver el problema de "Des- pacho de Potencia Real y Reactiva" utilizando e l mismo sistema de poten- cia con los datos de carga de l a tabla I I . En l a tabla VlII se muestran loe limites empleados.
T A B L A VIII Especificación de límites
El estudio de flujos i n i c i a l se hizo en base de las potencias generadas y voltajes en los nodos generadores en sus valores promedios. En l a tabla IX se indican los resultados.
T A B L A IX Flujo de Carga Básico
Bajo estas condiciones e l costo total que de 852.59 pesos/hora. Nótese que la generación reactiva del nodo 4 ha violado ligeramente su limite inferior.
Se llegó a l a solución mínima en l a segunda iteración. Los resultados para cada iteración se muestran en l a tabla X.
T A B L A X
Resultados de Despacho Real y Reactivo en cada iteración
Según l a notación de l a sección (5.2.3), las variables X¿ corresponden a , Q*, 0,, Eg, E3 y PB
La solución del problema de programación lineal en cada iteración dio para
•atas contidades los valores dados en l a tabla XI.
T A B L A XI
Solución del problema lineal
Una comparación de las tablas X y XI muestra cómo se van confundiendo las soluciones del problema lineal y del no lineal en las cercanías del mínimo.
VIII CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 8.1 Características de convergencia
Como se ha observado en el capítulo de resultados, el método avan- za rápidamente hacia l a solución óptima en l a primera iteración, indepen- dientemente del punto de operación i n i c i a l . Sin embargo, se ha impuesto l a condición de que l a solución inicial debe satisfacer todas las restriccio- nes. (En lo que sigue se hace referencia a la sección 5.2.3).
Aunque siempre es posible iniciar e l proceso con unNconjunto dado de variables Y¿ que estén dentro de sus límites, l a solución de las ecuacio- nes no lineales puede dar lugar a valores de las variables X¿ fuera de sus límites, siendo este e l caso más común.
Se eliminó l a prueba de restricciones de l a etapa 7) del algorit- mo y con esta modificación se trató un ejemplo en el que inicialmente había cuatro violaciones en las X¿. E l resultado fué que en l a solución mínima no hubo violaciones, dentro de cierto margen de tolerancia. Esta caracte- rística es muy importante pues hace al método más versátil, y es una conse- cuencia de l a inclusión de las variables X¿ en l a función objetivo del pro- blema de programación lineal, como se entiende de l a discusión que sigue.
8.2 Selección de variables para el problema de programación lineal.
La solución del problema de programación lineal suministra un con- junto de correcciones, no todas de las cuales se aplican para no interferir con las leyes eléctricas de la red. Sin embargo, l a inclusión de las varia- bles dependientes X¿ sirve de "ligazón" entre e l problema lineal y e l pro- blema no lineal, en e l sentido de que éstas ejercen influencia en l a sele-
cción de las variables independientes Y¿ de l a siguiente iteración, logran- do así soluciones más cerca de l a factibilidad. En caso contrario, (no in- clusión de las X¿ en l a función objetivo) las variables independientes Y¿
tendrían más "libertad de acción", "olvidándose" de las restricciones que pesan sobre e l resto de variables del problema.
8.3 Detección de Incompatibilidades
A primera vista y antes de cualquier estudio no se puede saber s i los límites de variación (generalmente impuestos por e l usuario) son compa- tibles. El método detecta esta eventualidad cuando l a solución del proble- ma lineal contiene variables artificiales con valor diferente de cero.
(La definición de este término se encuentra en e l apéndice I I I ) .
8.4 Nodo 'Slack"
En e l proceso de solución se calculan correcciones a las variables PG¿, todas las cuales se aplican menos una, l a correspondiente a l nodo Slack.
La escogencia óptima del nodo Slack para estudios de flujo de carga ha sido discutido en otros trabajos1. En e l problema que nos ocupa, e l criterio de selección del nodo Slack se basa, más que en consideraciones de convergencia de l a solución del flujo de carga, en relación con las restricciones de po- tencia. La escogencia debe ser t a l que ofrezca e l menor riesgo de violación del límite superior de potencia activa. Se desea que, después del estudio de flujos,
PG slack s^PMAX slack
se recomienda entonces, que se seleccione e l nodo slack del conjunto de no- dos para los cuales l a diferencia PMAX¿ - PG¿ sea mayor que las pérdidas to- tales de potencia activa del sistema.
8.5 Otras Aplicaciones.
El método se aplica para encontrar e l mínimo de l a función
Otro criterio de optimización en sistemas de potencia consiste en minimizar las pérdidas de potencia totales del sistema. Si éstas se representan por
donde representa l a demanda total de potencia activa. Si ésta es constante, minimizar Rj. equivale a minimizar,
Como puede observarse, este problema es una particularización del problema original s i se hace,
En este trabajo se ha operado con funciones de costo del tipo,
Basta, pues, poner todos los a¿ • 0 y todos los b¿ " 1 (en general, b¿ « k, con k e l mismo para todo i ) , para utilizar los mismos programas. Se hicie- ron pruebas en este estudio, llegando a resultados satisfactorios.
Referencias
1. L.L. Freris y A.M. Sasson, "Investigation of the Load-Flow problem,"
Proc. IEE, Vol. 115, pp. 1459-1470, 1968.
A P E N D I C E l LA MATRIZ JACOBIANA ES SINGULAR
Los elementos (P¿)ij» ij"l» ••• *»i del jacoblano se pueden dedu- c i r derivando (3.5a) respecto a 6.
(I.la)
(I.Ib) La suma de los n elementos del renglón 1 es:
según se deduce de (I.la) y (I.lb).
Análogamente se demuestra que:
í»l, ..., n
En consecuencia, las primeras n columnas del Jacobiano son linealmente de- pendientes, por lo tanto l a matriz completa es singular.
Es evidente que cualquier matriz obtenida del Jacobiano eliminan- do un renglón y columna de orden i , n«cl^2n, tiene l a misma propiedad y - también es singular.
A P E N D I C E I I
ALGEgRA mm
RESUMEN
Definición.- E l rango de una matriz cuadrada A de orden n, no nula, es i - gual a r, e l orden del mayor determinante en A diferente de cero. S i r<n, la matriz se llama singular y contiene r vectores linealmente independientes.
Sistema de Ecuaciones Lineales.- Considérese e l sistema de n ecuaciones l i - neales con n incógnitas,
AX » b ( H . l )
Teorema 1.
La condición necesaria y suficiente para que este sistema tenga solución es que l a matriz de coeficientes |^A~[ y l a ampliada con los térmi- nos independientes^ Ai b j tengan e l mismo rango.
El sistema homogéneo
AX - 0 (II.2)
cumple con esta condición.
Teorema 2.
La condición necesaria y suficiente para que e l sistema homogéneo (II.2) con n ecuaciones y n incógnitas tenga solución distinta de l a t r i v i a l es que r«cn. Esto implica que e l determinante de A debe ser cero.
Vector característico.- Considérese l a transformación lineal
AX - Y (II.3)
donde A es matriz cuadrada de orden n y X e Y son vectores.
Todo vector X t a l que
AX - XX (T T "
Se llama vector característico respecto de l a transformación (II.3).
Raíces características. De (II.A) se obtiene
AX - XX - (A - XI)X - 0 (II.5)
donde I es l a matriz indentidad de orden n.
Según e l teorema 2., para que (II.5) tenga solución se requiere - que
Det
El desarrollo de este determinante es un polinomio de grado n en X cuyas raíces se llaman valores característicos de l a matriz A. Las matrices A y A7 tienen las mismas raices características. Cada raíz característica
Xi tiene un vector característico X i asociado a e l l a , cuyas componentes son la solución de (II.4) con X - Xi.
Si e l rango de una matriz cuadrada A de orden n es r<n (A es.sin*
guiar), a l menos n-r de sus raíces características tienen valor cero.
Relación de Compatibilidad
Considérese e l sistema de ecuaciones (II.1) y sea VI e l vector ca- racterístico asociado con l a raíz característica Xi de A? Entonces, por (II.4)'.
AT V i - Xi V i i-1 n (II.6)
Las ecuaciones (II.1) pueden escribirse como
X A b (II. 7)
Premultiplicando (II.6) por XT y teniendo en cuenta (II.7), bT Vi - U XT V i
que también puede escribirse como
Xi V iT X - V iT b i - 1 , n (II.8) Si e l rango de A es r-n-1, (A y AT son singulares) AT tiene por lo menos una raíz característica de valor cero. Sea ésta XJ y Vj el correspondiente vec- tor característico.
Entonces, por (II.6),
AT VJ - 0 (II.9)
Po8t-multiplicando (II.7) por V j ,
XT AT Vj - bT Vj (11.10)
De (II.9) y (11.10) se deduce que e l vector de términos'Independientes" b de- be satisfacer l a relación
bT Vj - 0 (II. II)
Bajo estás condiciones, los dos lados de l a j-ésima ecuación (II.8) son cero, (note que, en general, VT b - bT V) lo que permite asignar un valor arbitra- rio a la incógnita Xj y e l resto de las variables pueden obtenerse de las n-1 ecuaciones restantes (II.8). E l cumplimiento de l a relación (11.11) asegura que el rango de l a matriz original y l a aumentada sea el mismo.
Referencias
1. F. Ayres, J r . , "Matrices," McGraw-Hill, 1969.
2. A.M. Sasson, "Optimización de Diseño y Operación de Sistemas de Potencia,"
Instituto Tecnológico de Monterrey, México, Reporte de Investigación 3, 1970.
A P E N D I C E I I I
M U PROGRAMAgyOy LINEAL
En este apéndice se va a dar un resumen de l a teoría básica de l a programación lineal y del procedimiento computacional simplex. Después se indica l a adaptación de nuestro problema a l a forma canónica.
I I I . l . l Planteamiento del Problema
El problema general de programación lineal consiste en encontrar un vector (Xy Xj, X j , x ^ que minimice l a función objetivo lineal
Cj xl + Ca Xg + ... + Cj Xj + ... + Cn x,^
Sujeto a l a restricciones lineales
Xj ^ 0 j-1, ..., n y
«xi * i+ «xa *a + •••+ * i j x j+ + xn " b i
«81 * l+ «38 ^ + - + «3J X j+ + "SI» % " B8 e »
o
aÜ * i+ ai a *a+ •••+ ai j x j + ••• + ai n *n " b i
« 0
% «i + % 3 ^ + •••+ am j x j + •••'+ *mn *n " bm
donde las a^j, b i y Cj son constantes dadas y m<n y todos los bi> 0.
Se u t i l i z a generalmente l a siguiente notación en forma matricial:
Minimizar
CX (III.1)
Sujeto a X^O (III.2)
y AX - b (III.3a)
o XxPi + XaPa + ... + xn?a - P0 (III.3b)
III.1.2 Propiedades de una solución a l problema de programación lineal
Se darán las definiciones y teoremas más importantes que caracte- rizan a una solución del problema general de programación lineal. La prue- ba de estos teoremas se encuentra en l a referencia1
Definición 1. Una solución factible es un vector X que satisface las con- diciones (III.2) y (III.3)
Definición 2. Una solución factible básica es una solución factible con no mas de m x¿ positivas.
Definición 3. Una solución factible básica no degenerada es una solución - factible básica con exactamente m x¿ positivas.
Definición 4. Una solución factible mínima es una solución factible que - también minimiza (III.1)
Teorema 1 E l conjunto de todas las soluciones factibles a un problema de programación lineal es un conjunto convexo.
Teorema 2 La función objetiva (III.1) asume su mínimo en un punto ex- tremo del conjunto convexo K generado por e l conjunto de so- luciones factibles a l problema de programación lineal. S i a?
sume su mínimo en más de un punto extremo, entonces toma e l mismo valor para toda combinación convexa de estos puntos -
particulares.
Teorema 3 Si un conjunto de k<m vectores Px , Pa, ... Pk puede ser encontrado que sea linealmente independiente y t a l que
* ip i + *a*a + ... + %Pk " po <po " b>
y todo x ^ O , entonces e l punto X • (XJ , XG , ..., x^, 0, ... 0) es un punto extremo del conjunto convexo de soluciones factibles. X es un vector n- dimensional cuyos últimos n-k elementos son cero.
Teorema 4 Si X - (x^, XG, ..., xR) es un punto extremo de K, entonces - los vectores asociados con x¿ positivos forman un conjunto linealmente inde- pendiente , Por lo tanto, cuando más m de las X¿ son positivas.
Del anterior teorema se desprende que asociado con cada punto extremo de K hay un conjunto de m vectores linealmente independientes del conjunto dado Pi» Pa , ..., Pn.
Teorema 5 E l vector X - (x¿ , XG, ..., x ^ es un punto extremo de K s i y únicamente s i las xj positivas son coeficientes de vectores linealmente i n - dependientes Pj en
III.1.3 Procedimiento Simplex
El procedimiento Simplex permite obtener una solución factible mí- nima en un número finitos de pasos. Los teoremas enunciados indican que las soluciones de punto extremo, incluyendo l a mínima, tienen m vectores lineal- mente independientes asociados con cada una. E l esquema Simplex partiendo - de una solución factible básica o de punto extremo, en cada paso encuentra una nueva solución factible cuyo correspondiente valor de l a función objeti- vo es menor que e l de l a solución anterior, generando en cada paso m vecto-
res linealmente independientes distintos.
Generación de Soluciones de punto extremo
Se tílene l a solución factible básica inicial
("lo' xao* ***' "mo» ®» •••» ®) Entonces
*io p i + x 3 oP a +••• + xm o P m- po
*lo q + X 30 Ca + ... + xm Q Cm - ZQ
donde todas las 0, Cx son los coeficientes de l a función objetivo y Z0 es e l valor de l a función objetivo para l a solución dada
Como los vectores Px, Pa, ... Pm son linealmente independientes, cualquier vector del conjunto Px, Pa, ... Pn se puede expresar en función - de P i , Pa, ... Pm, como:
XJJ Pj + xa j Pa + ... + xm j Pm - Pj j - 1 , n Se define ahora
* i j c i + *aj ca + •••+ V j Cm " z j J - l t ...f n (III.4) Teorema 6 S i para cualquier j f i j o se cumple l a condición Zj - Cj>0, entonces un conjunto de soluciones factibles puede ser construido t a l que Z<Z0 Pa r a cualquier miembro del conjunto, donde e l límite inferior de Z -
puede ser finito o infinito. (Z es e l valor de l a función objetivo para - cualquier miembro del conjunto de soluciones factibles.
Teorema 7 S i para cualquier solución factible básica X - ( x1 0, x3 o, ...,Xja0) se cumplen las condiciones Zj - Cj ^ 0 para todo j-1, n entonces X es una solución factible mínima.
