Act NºREALES 11

Representación y comparación de números:

1.

Ordenar de menor a mayor los siguientes números, pasándolos previamente a común denominador:

a)

6 5 4 3 2

1 _b)

15 7 5 3 2

1 _c)

1 3 2 9 6 5

5 4 7 8 5 6

−

2.

a) Representar en la recta real los siguientes números racionales:

2 7 16 5 18 5 9

3

3 6 3 7 5 4 2

− − −

b) A la vista de lo anterior, ordenarlos de menor a mayor. c) Utilizar la calculadora para comprobar el resultado anterior.

3.

Construir 2, 3 , 5 , 6 , 7 , 8 y 10sobre la recta real, utilizando regla y compás, y aplicando el teorema de Pitágoras (se recomienda utilizar, también, papel milimetrado), y comprobar el resultado con la calculadora.

Ejercicios libro Ed. Editex: pág. 10: 6; pág. 22: 36 (representar raíces)

4.

Hallar una fracción comprendida entre las dos siguientes. Comprobar el resultado con la calculadora:

a)

3 2 y 5 4

b)

3 5 y 2 3

c)

3 4 y 4 5

d)

4

3

3

2

y e)

4 7 y 3 5

Fracción generatriz:

Ejercicios libro Ed. Editex: pág. 8: 1; pág. 22: 27 (expresar fracciones como decimales y clasificarlos) CURIOSIDAD MATEMÁTICA: Ejemplos de números de período muy largo

número nº cifras periódicas

6

6

6

16

22

RECORDAR: _{REGLA PRÁCTICA PARA AVERIGUAR SI UNA FRACCIÓN IRREDUCIBLE}

CONDUCE A UN DECIMAL EXACTO O PERIÓDICO (sin necesidad de efectuar

la división): "Si los únicos divisores primos del denominador de una fracción

irreducible de nos enteros son el 2 y/o el 5, entonces su expresión decimal será necesariamente exacta; en caso contrario, será periódica"

1/23=0,0434782608695652173913

5.

Utilizando la regla anterior, indicar si las siguientes fracciones conducen a un decimal exacto o periódico. Comprobar el resultado haciendo la división directamente (¡sin usar la calculadora!):

a) 9 16 35 7 18 1 18 23 12 3 21 1 7 1 12 23 50 7 20 3 2 1

(Soluc: E, E, E, P, P, P, E, P, P, E, P)

b) 6 7 21 132 9 23 7 3 3 2 25 13 20 23 5 7 4 3

(Soluc: E, E, E, E, P, P, P, P, P)

6.

Hallar la fracción generatriz de los siguientes números decimales. Comprobar el resultado con la calculadora:

a) 0,25 (Soluc: 1/4)

b) 0,6⌢ (Soluc: 2/3)

c) 0,23⌢ (Soluc: 7/30)

d) 0,12 (Soluc: 3/25)

e) 0,12⌢ (Soluc: 11/90)

f)

∩

35

0,12 (Soluc: 1223/9900)

g) 1,125 (Soluc: 9/8)

h) 0

,

126

∩

(Soluc: 14/111)

i) 0,345⌢ (Soluc: 311/900)

j) 1,18⌢ (Soluc: 107/90)

k) 1,23⌢ (Soluc: 37/30)

l) 25,372 (Soluc: 6343/250)

m)

∩

20

12, (Soluc: 1208/99)

n)

5,13

5

⌢

(Soluc: 2311/450)

o) (Soluc: 120127/9900)

p)

24,12

1

⌢

(Soluc: 21709/900)

Ejercicios libro Ed. Editex: pág. 8: 2; pág. 22: 28 (hallar la fracción generatriz)

7.

Razonar por qué no cabe considerar el período 9, es decir, no tiene sentido indicar

0,

9

⌢

o

0,0

9

⌢

8.

Razonar, sabiendo que , cómo es 43/7 (No vale efectuar la división). (Sol: sumando 6 unid.)

9.

Realizar las siguientes operaciones de dos formas distintas, y comprobar que se obtiene idéntico resultado:

1º Operando directamente en forma decimal (a partir de la 2ª columna, utilizar la calculadora)

2º Pasando previamente a fracción generatriz y operando a continuación las fracciones resultantes.

a) 0,3⌢ +0,6⌢ = (Soluc: 1)

b) (Soluc: 49/330=0,148

∩

)

c) 3,41⌢+2,378⌢ = (Soluc: 5,79)

d) 0,4⌢⋅0,1= (Soluc: 2/45=0,04⌢)

e) 3,1⌢+2,03⌢= (Soluc: 463/90=5,14⌢)

f) 0,3⌢ +0,16⌢ =

(Soluc: 1/2=0,5)

g) 4·2,5⌢ = (Soluc: 92/9=10,2⌢)

h) (Soluc: 10/9= 11,⌢)

i) 8−2,7⌢ = (Soluc: 47/9=5,2⌢)

j) 4,5 0,02· ⌢+0, 4⌢ = (Soluc: 49/90=0,54⌢)

k)

(

1 , 1 + 1 , 0 8 · 2 , 2 =⌢ ⌢

)

(Soluc: 121/25=4,84)

l) 1, 2⌢ +1,1 7⌢ +1, 6= (Soluc: 4)

m) 0,6⌢ 0:::: ,05⌢ +0,25 = (Soluc: 43/4=12,25)

n) 1,13 0,2 1,3⌢ · + ⌢ (Soluc: 39/25=1,56)

o) 3,5 1,3 1,16+ ⌢· ⌢ = (Soluc: 91/18=5,05 )⌢

p) 1,25−1,16⌢+1,1⌢= (Soluc: 43/36=1,194⌢)

q) 2,∩7·1,8+2,26

∩

:0,113

∩

= (Soluc: 25)

r)

1,9

2

⌢

+

0,25

(0,2

5

⌢

+

0,

5

⌢

)

=

(Soluc: 17/8=2,125) = ∩ − ∩ 78 3, 89 4,

=

∩

−

0,

15

0,3

∩

40 12,13

s) 2,7⌢ = (Soluc: 5/3= 61,⌢)

t) 1, 2 5+ 0, 8 7∩ + 0, 8 7 1 2= (Soluc: 3)

u) 0,83⌢−0,8:0,6⌢= (Soluc: -11/30=

-

0,36⌢)

v) 4,083⌢·11,1⌢−0,15⌢:0,3= (Soluc: 1211/27= )

w) 0,6⌢+1,38⌢·0,72= (Soluc: 5/3= 61,⌢)

x) 0,5⌢−0,15+1,23⌢ (Soluc: 59/36=1,638⌢)

y) 1,2 1,17 0,1⌢+ ⌢· (Soluc: 67/50=1,34)

Ejercicios libro Ed. Editex: pág. 22: 32

Clasificación de

_R

:

10.

Separar los siguientes números en racionales o irracionales, indicando, de la forma más conveniente en cada caso, el porqué: (Soluc: ℚ; I; I; ℚ; ℚ; ℚ; ℚ; I; ℚ; ℚ; ℚ; I; ℚ )

1 π 25

5 2,6 0 3 13 0,1 6,4 534 1,010110111... 1,010110111

8 3 3

− − ⌢

11.

Indicar cuál es el menor conjunto numérico al que pertenecen los siguientes números (

N

,

Z

,

ℚ

o

I

); en caso de ser

ℚ

o

I

_,

_{razonar el porqué:} (Soluc: I; I; N; ℚ; Z; ℚ; ℚ; I)

2... 2,02002000

3 2, 6 5 10 0,0015 4 3 2

∩ π

12.

Señalar cuáles de los siguientes números son racionales o irracionales, indicando el porqué:

a) 3,629629629....

b) 0,128129130...

c) 5,216968888...

d) 0,123456789...

e) 7,129292929...

f) 4,101001000...

g) 0,130129128...

(Soluc: ℚ; I; ℚ; I; ℚ; I; I)

Ejercicios libro Ed. Editex: pág. 9: 5; pág. 22: 33

13.

¿Verdadero o falso? Razonar la respuesta: (Soluc: F; V; V; V; F; V; V; V; F)

a) Todo número real es racional. b) Todo número natural es entero. c) Todo número entero es racional.

d) Siempre que multiplicamos dos números racionales obtenemos otro racional. e) Siempre que multiplicamos dos números irracionales obtenemos otro irracional.

f) Entre dos números racionales existe siempre un racional. ←

ℚ

es denso

g) " " " reales " " " racional.

h) " " " reales " " " real. ←

R

es denso

i) Dado un número real, podemos establecer su siguiente.

Intervalos:

14.

Rellenar la siguiente tabla (véase el primer ejemplo):

REPRES. GRÁFICA INTERVALO DEF. MATEMÁTICA

1 [-1,3] {x∈IR/ -1≤x≤3}

2

∩

851 44,

-1 3

Ejercicios libro Ed. Editex: pág. 11: 7 y 8; pág. 22: 38, 39, 40 (se da la def. matemática); 43 (se da la repres. gráfica); 44 (se da el intervalo)

3

4 [-2,1)

5 {x∈IR/ 1<x≤5}

6

7 {x∈IR/ x<2}

8 (0,∞)

9

10 (-1,5)

11 {x∈R/ x≤0}

12 [2/3,∞)

13 {x∈IR/ -2<x≤2}

14 {x∈IR/ |x|<3}

15 {x∈IR/ |x|≥3}

16

17 [-1,1]

18 {x∈IR/ x<-1}

19

20 (-∞,-2)U(2,∞)

21 (-∞,2)U(2,∞)

22 {x∈IR/ |x|≤5}

23 [-2,2]

24

-1 ∞

-2 4

-∞ 3

∞ 2

-4 4

15.

Hallar la U e ∩ de los siguientes intervalos, dibujándolos previamente:

a) A=[-2,5)

B=(1,7)

b) C=(-1,3]

D=(1,6]

c) E=(0,3]

F=(2,∞)

d) G=(-∞,0] H=(-3,∞)

e) I=[-5,-1)

J=(2,7/2]

f) K=(-∞,0) L=[0,∞)

g) M=(2,5)

N=[5,9]

h) O=[-3,-1)

P=(2,7]

i) Q=(-3,7)

R=(2,4]

j) S=[-3,2)

T=(0,∞) U=[1,4]

¿Serías capaz de hacer la U e ∩ sin dibujar previamente los intervalos?

16.

¿Qué otro nombre recibe el intervalo [0,_∞)? ¿Y (-_∞,0]?

17.

¿A qué equivale

R

+ U

R

-? ¿Y

R

+ _∩

R

-?

Errores:

18.

Un solar, cuya fachada sabemos que es de exactamente 34,5 m, se mide, arrojando un resultado aproximado de 34,53 m. Hallar el error absoluto y el error relativo cometido.

19.

Hallar el error absoluto y relativo que se comete al aproximar

π

a 22/7.

20.

Supongamos que un coche se desplaza a 120 km/h de marcador. Si sabemos, mediante un GPS, que su velocidad real es 115 km/h, se pide: a)

ε

_a b)

ε

_r.

21.

El velocímetro de los coches suele tener un error por exceso de alrededor de un 5%. Si sabemos que en autovía multan a partir de 127 km/h, ¿a qué velocidad de marcador podremos circular, como máximo, sin problemas?

22.

Completar la siguiente tabla (Sígase el primer ejemplo). ¿Cuál es, de todas ellas, la mejor aproximación de

π

?

Aproximación de π

Aproximación decimal (a la cienmillonésima)

Error absoluto

ε

a

Error relativo

ε

r

Antiguo Egipto (>>>>1800 a.C.)

4

3 4_

    

3,16049383 0,018901… 0,006016…

Babilonia (≅ 2000 a.C.)

25

8

G

R

EC

IA Arquímedes

(s. III a.C.)

223

71 Ptolomeo

(s. II d.C.) 120 377

C

H

IN

A

Zhang Heng (78-139)

736

232 o 10

Wang-Fang (217-257)

142

45 Zu Chong Zhi

(429-500) 113 355

IN

D

IA

Bhashkara II (1114-1185)

3917

1250

S. Ramanujan (1887-1920)

2 2 4

19 9

22

¿Algún día se podrá encontrar una fracción de enteros exactamente igual a

π

?

Ejercicios libro Ed. Editex: pág. 17: 21 y 22; pág. 24: 57, 58 y 59

23.

Como muy bien sabemos, los números

π

o √3 son irracionales, es decir, no pueden ser expresados de manera exacta como un cociente de números enteros; ahora bien, los matemáticos babilonios, egipcios y griegos manejaban aproximaciones bastante precisas, como por ejemplo:

) Ptolomeo (

120

377

120

17

3

+

=

≅

π

) o desconocid (

3

2

+

≅

π

) Arquímedes (

: mejor y

780 1351 3 3 ,

153 265 3

3≅ + ≅ +

Comprobar la precisión de dichas aproximaciones e indicar el error cometido.

24.

El sabio griego Eratóstenes (siglo III a.C.) fue capaz de obtener un valor del radio de la Tierra de 6548 km. Hallar el error cometido, teniendo en cuenta que el valor real es 6378 km. (Soluc: ≅ 2,67 %)

25.

CURIOSIDAD MATEMÁTICA: Comprobar, con la calculadora, la validez de las siguiente series, debidas a los

insignes matemáticos que se reseñan:

... 7 1 5 1 3 1 1

4= − + − +

π

Leibniz (alemán, s. XVII-XVIII)

2 2 2 2

2

2 2 2 _{2 2 2 2 2 2 2}

π =

+ _{+ + + + +}

· · · · ... Viéte (francés, s. XVI)

4 3·3·5·5·7·7···

2· 4· 4·6· 6·8·8···

=

π John Wallis (inglés, s. XVII)

26.

CURIOSIDAD MATEMÁTICA: Comprobar las siguiente fórmulas, que utilizan el llamado “Método de la

fracción continua infinita”, y que se atribuyen a varios matemáticos: los italianos Bombelli (s. XVI) y Cataldi (s. XVI-XVII), los ingleses Brook Taylor (s. XVIII) y Lord William Brouncker (s. XVII), etc.:

4 1 1

4 3

9 5

16 7

25 9

36 11

49 13 π =

+ +

+ +

+ +

+ 1

2 2 2

2 2

1 1

2

Ejercicios libro Ed. Editex: pág. 22: 34, 35, 37 y 42 (teoría)

4

1 1

9 2

25 2

49 2

π = +

+ +

+

1 3

9 6

25 6

49 6

81 6

121 6

π = + +

+ +