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C u r s o :
Matemática
Módulo Nº 03-T
ÁLGEBRA Y ECUACIONES
Verdadero o falso
1. _____ 2n + 2y = 4(n + y), para todo n, y número real. 2. _____ 144x + 5 = 0 es una ecuación de primer grado. 3. _____ a · a · a · a = 4a
4. _____ a3 · a3 = 2a3
5. _____ 3x + 5y – 2x – 6y = x – y, para todo x, y número real. 6. _____ 5xy2 – 2xy + 3xy2 = 6xy, para todo x, y número real. 7. _____ Las ecuaciones 3x + 6 = 0 y x = -2 son equivalentes.
8. _____ El conjunto solución de la ecuación 4 · x 4 = 0 es {-2, 2} 9. _____ 2xy + 3xy2 = 5xy2, para todo x, y número real.
10._____ 9az – 5za = 4az
11._____ 2pm + 5pm – 6mp = pm
12._____ 3x + 5y = 21 , si x = 2 e y = 3 13._____ Si x = -1, entonces 3x2 + 5 = 2. 14._____ La raíz de la ecuación 3x + 5 = 0 es 0.
15._____ Dada la ecuación 2x + 5y = 3, si x = 4, entonces y = -1. 16._____ Si x = 2, y = 3, entonces xy – yx = -1.
17._____ Si a b = a – b, entonces 5 3 = 2. 18._____ Si a b = ab – 4, entonces (-1) 4 = 1.
19._____ Dada la expresión a b = a2 + 2ab + b2, entonces a b = (a + b)2. 20._____ Si a b = a2 + 2ab + b2 con a = 5 y b = -3, entonces 5(a b) = 25.
Lenguaje algebraico
Álgebra Ecuaciones Lineales
Expresión algebraica
Operaciones
Suma, resta
multiplicación, división
Productos notables
Factorización
Término algebraico
Expresión algebraica
Elementos de los términos algebraicos
Lenguaje algebraico
Términos semejantes
Ecuación de primer grado
Ecuaciones literales
Ecuaciones fraccionarias
Valor absoluto
Desigualdades
Inecuaciones
COMPLETE
1. Un __________ es una expresión algebraica que consta de un solo término. 2. La expresión algebraica que consta de ____ términos se llama binomio. 3. La expresión algebraica que tiene muchos términos se denomina _________. 4. La expresión algebraica 2x2 + 5x es un polinomio de ___________ grado.
5. La expresión algebraica 5x – 4 es un polinomio de segundo grado. 6. Dos ecuaciones que tienen el mismo conjunto solución son ___________ 7. El enunciado “el doble de la ____ de dos números se expresa 2(a + b). 8. La diferencia respectiva entre dos números a y b se expresa como ______. 9. La semisuma de dos números __ y __ se expresa como p + q
2 . 10. El semiproducto de m y n se expresa como
2 . 11. x + y
2 es la __________ de los números x e y. 12. 2x + 3x = __x
13. 5w – 3y + 2w + 3x = __w + __x – __y 14. 3xy2 – 2x2y + 2xy2 = __xy2 – __x2y 15. 5x + 5 __ = 5(x + y)
16. 2xy + 3x – 7x2y = x(2_ + 3_ – 7__) 17. 6x(y + a – 3y) = 6_ _ + _ x _ – __xy 18. 2a(__ + __) = 2a2 + 6ab
19. (m + n)(x + y) = m_ + _y + _x + n_ 20. ax + ay + bx + by = (a + _ )( _ + y)
LENGUAJE COMÚN Expresión
El doble de un número aumentado en tres. 2x + 3
1. El quíntuplo de un número, disminuido en seis. 2. El cubo de un número, aumentado en tres.
3. El cuadrado, del triple de un número aumentado en siete. 4. El cuadrado del triple de un número, aumentado en siete. 5. El cuadrado de la diferencia entre un número a y un número b. 6. La semidiferencia de los cuadrados de p y q.
3
Tabla 1 Tabla 2
Término Signo Coeficiente Literal Grado Expresión Términos
5x2 + 5 X2 2 5x2 -3x 5x2, -3x
-3x – 3 X 1 12x + 5y
1. 5y x + y – 4z
2. 2m m – n
3. 17(-p)3 (4x)5 – 2z
4. (2x)4 (3z)4 – (w)2
5. (-3x)2 (a + b)2
6. y5 (a + b)(a2 – ab + b2)
Tabla 3 Tabla 4
Evalúe la expresión Para x = 3 e y = -2 evalúe
x y 3x2 + 5y = 5x2 + 3y = 5(3)2+3(-2)=5·9–6=39
2 1 3(2)2 + 5(1) = 12 + 5 = 17 5x + 3y2 = 5(3) + 3(-2)2 = 15 + 3 · 4 = 27
1. -2 3 1. 2x – y2 =
2. 2
3 -5 2.
2x + 4y
3 =
3. -2
3 2 3. 33x + y34 =
4. -4 -4
5 4. x2 – y2 =
5. a -6 5. (x + y)2 =
6. a b 6. (x+2)(y+3)=
Tabla 5 (Evalúe)
x y x
y
2
y 1
x
x y2
xy
1. 1 1
2. 2 -1
3. -3 4
4. 3
5
2 3
Cuadrado de binomio
Ejemplo resuelto
1. (5x + y)2 = 2. (t – c)2 = 3. (-t + c)2 = 4. (3m – 5t)2 = 5. (5t – 3m)2 = 6. t 2n 2
2
7. (4 3 2) 2 = 8. (5k – 5-k)2 =
Suma por su diferencia
Ejemplo resuelto
1. (k + p)(k – p) = 2. (x – y)(x + y) = 3. (2t + 3k)(2t – 3k) = 4. (3t2 + 5)(3t2 – 5) = 5. (1 – z2)(z2 + 1) = 6. 3r t t + 3r
2 2
=
7. (-2 + x)(x + 2) = 8. (-k3 + n2)(n2 + k3) =
Binomio con término común
Ejemplo resuelto
1. (x + 5)(x + 2) = 2. (t + 2)(t + 3) = 3. (k + 3)(k – 4) = 4. (m – 1)(m + 6) = 5. (2x – 5)(2x + 3) = 6. (3t2 + 2)(3t2 – 1) = 7. x + 4 x 6
4 4
=
Cubo de binomio
Ejemplo resuelto
1. (t + 1)3 = 2. (3x2 + 2)3 = 3. (y – 2)3 = 4. (5 – 6k2)3 = 5. (x-2 + y-3)3 =
6. 1 k 3 2
=
(a b)2 = a2 2ab + b2
(3t–u)2=(3t)2–2(3t)·(u)+(u)2
= 9t2 – 6tu + u2
(a + b)(a – b) = a2 –b2
1t k 1t + k
2 2
=
2
1t 2
– (k)
2
= 1 4t
2 – k2
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(x + 8)(x – 3) = x2 + (8 + (-3))x + 8 · (-3)
= x2 + 5x – 24 (2x – 5y)
3 =
= (2x)3 – 3(2x)2 · (5y) + 3(2x)(5y)2 – (5y)3
= 8x3 – 3(4x2) · (5y) + 3(2x)(25y2) – 125y3
= 8x3 – 60x2y + 150y2 – 125y3
5 Factor Común
Ejercicio resuelto
1. t2 + tk = 2. r – r2 = 3. 4x – 12xy =
4. m2n2 + mn – m3n3 =
5. 2 2 3 3 2 2
2 3
x y x y x y
+
a a a =
6. 6(a + 1) + 3(a + 1)2 = 7. m(b + 3) + b + 3 = 8. t(k – 1) + 1 – k =
9. a(x – 10) + b(x – 10) – c(x – 10) =
Diferencia de cuadrados
Ejercicio resuelto
1. y2 – x2 = 2. x2 – 16y2 = 3. 25a2 – 4b2 = 4. 0,01a2 – b2 = 5. t2q4 – r2 = 6. 1 – 4x2 = 7. a4 – b4 = 8. 0,4 – x2 = 9. a2x – b2y =
10.(1 – q)2 – (p + q)2 = Diferencia de cubos
Ejemplo resuelto
1. z3 – w3 = 2. 8 – x3 = 3. 8y3 – 27x3 = 4. m3– 1 = 5. 0,001 – k3 = 6.
3
1
y – 64x 3 =
7. b6 – a6 =
Suma de cubos
Ejemplo resuelto
1. x3 + y3 = 2. a3 + 8 =
3. 27x3 + 125y3 = 4. 64x3 + y6 = 5. k3 + 1 = 6.
3
1 x + y
3 =
7. a6 + b6 = ab ac = a(b c)
3a–18ab2=(3a·1–3·6ab2)=3a(1–6b2)
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
m2n2 – t4 = (mn)2 – (t2)2
= (mn + t2)(mn – t2)
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
27x3 – 125y3 = (3x)3 – (5y)3
=(3x–5y)((3x)2+(3x·5y)+(5y)2)
= (3x – 5y)(9x2 + 15xy + 25y2)
27x3 + 125y3 = (3x)3 + (5y)3
=(3x+5y)((3x)2–(3x·5y)+(5y)2)
Trinomio cuadrado perfecto (Caso 1)
Ejemplo Resuelto:
1. a2 + 16a + 64 = ( ) 2. x2 – 10x + 25 = ( ) 3. q2 + 14q + 49 = ( ) 4. 16x2 + 40xy + 25y2 = ( ) 5. 9x2 + 1 – 6x = ( )
6. 12a + 4a2 + 9 = ( ) 7. t4 + 2t2 + 1 = ( )
Trinomio de la forma (Caso 2)
con p = a + b , q = ab Ejemplo resuelto:
1. x2 + 8x + 7 = ( )( ) 2. a2 + 14a + 40 = ( )( ) 3. x2 – x – 30 = ( )( ) 4. a2 – 3a – 40 = ( )( ) 5. x2 + x – 6 = ( )( ) 6. -36 – 5a + a2 = ( )( ) 7. -12 + t4 – t2 = ( )( )
Trinomio de la forma (Caso 3)
,con p + q = b q · p = a · c Ejemplo resuelto:
1. 2x2 + 5x + 2 = ( )( ) = = ( )( )
( )
2. 8x2 – 2x – 1 = ( )( ) = = ( )( ) ( )
3. 6x2 + 13x + 6 = ( )( ) = = ( )( ) ( )
4. 25x2 – 15x + 2 = ( )( ) = = ( )( )
( )
Factorización por agrupación
Ejemplo resuelto:
Factorizar completamente
1. -1 + pq – p + q =
2. r + tq + rp – tp – rq – t = a2 2ab + b2 = (a b)2 x2 + px + q = (x + a)(x + b)
Buscamos dos números que:
La suma sea -5 y el producto sea 6
x2 – 5x + 6 = (x – 2) (x – 3)
Estos números son (-2) y (-3)
ax2 + bx + c =
ax + p ax + q
a
Se buscan dos números que:
su producto sea -30 = 2 ∙ (-15) y su suma sea 7.
2 (2x 3)(2x + 10)
2x + 7x 15 =
2
(2x 3) · 2(x + 5)
= = (2x 3)(x + 5) 2
a2 + b2 – 4c2 – 2ab =
a2 – 2ab + b2 – 4c2 =
(a – b)2 – (2c)2 =
(a – b + 2c) · (a – b – 2c) 49x2 – 28xy + 4y2
(7x)2 – 2(7x – 2y) + (2y)2 = (7x – 2y)2
El cuadrado
de 7x producto de El doble 7x por 2y
de 7x
7
Simplificación de monomios
Ejemplo resuelto:
Simplificar las siguientes fracciones algebraicas
1. 4m n5 6 = 12mn
2. 5
3
36(a b) = 81(a b)
3. 7 8 9
4 3 7
35a b c = 45a b c
4. 7 8
4 -5
-32x y = 72x y
5. -9 -5 7 4
8 5 4 4
125a b c d = -250a b c d
Simplificarlasfraccionesalgebraicas(Caso1)
Ejemplo resuelto:
1. 8p 4q = 4q 8p
2. 7a + 14b = a + 2b 3. m n =
2n 2m
4. 3
2
x + x = 3x + x
5. 2 2
2
5a b 5ab = 4a 4ab
6. k + 3 k
k + 1
2 2 = 2
Simplificarlasfraccionesalgebraicas(Caso2)
Ejemplo resuelto:
1. 2 2
2 2
5p 5q = p + 2pq + q
2. 2 2
2 2
x y + xy = x + 2xy + y
3. 3 3
2 2
a b = a + ab + b
4. 6 6
2 2
a b = a + ab + b
5. 2
2
x 5x + 6 = x 4
Multiplicación y división de fracciones algebraicas
Ejemplo resuelto:
1. 6 7 3 4
7 6 4 7
3m n 35m n
- · =
25m n 18m n
2. 1 : 1 =
2a b b 2a 3. 2
2
x 6x + 5 x + 5
· =
x 1 x 25
4. 2
2
a 7a + 10 a 2
: =
a 5 a 4a + 4
5. 2 2 1 1 : =
m 36 m 12m + 36
2 2 2 2
3 2 3 2
9a b c 9 a b c 1 1 1
= · · · = · a · ·
27 a 3 b c
27ab c b c
1 a =
3 bc
a) Determinar factor común en el numerador y/o denominador. b) Simplificar para obtener la fracción
irreductible. 2
3 2 x (x 4)
x 4x = x 4
x 4
2 = x
Factorizar y simplificar numeradores y/o denominadores.
Obtener la fracción irreductible
2 (x + 5)
x 25 = x + 5
(x 5)
x + 5
= x 5
a) 3 4 4 5 2 4
2
3a b 2ab 6a b 1
· = = a b
2a 9ab 18a b 3
b)
2
2
(4a 1)(4a +1) 16a 1 2a
· = 4a +1 a 2 a 2 a · 4a +1 2(4a 1)
= a
Mínimo común múltiplo (m.c.m) de dos o más expresiones algebraicas
Determinar el m.c.m de las siguientes expresiones
Tabla 1
Expresiones algebraicas m.c.m
(3a + 3b)
3(a + b) (a
2 – b2)
(a+b)(a–b) 3(a+b)(a–b)
1. x2–2xy+y2 2x – 2y
2. 3a – 3b 4a – 4b
3. m2 – 9 m2 + 3m – 4
4. a2–2ab+b2 a2 – b2
5. m3 – 8 m2 – 5m + 6
Adición y Sustracción de fracciones
algebraicas de igual denominador (Caso 1)
Ejemplos resueltos:
Sumar o restar las fracciones algebraicas y obtener la fracción irreductible.
1. m 2 + 4m 3 =
5m 5m
2.
2 2
a 1 = a 1 a 1
3. 4x + 3y + 3x y 5x + y = 2x + y 2x + y 2x + y
4. 2
2 2 2
p 6p + 9 = p 9 p 9 p 9
Adición y sustracción de fracciones
algebraicas de distinto denominador (Caso 2)
Ejemplo resuelto:
Sumar o restar las fracciones algebraicas
1. 3x 5 + 2x 14 x 3 2x 6
=
2. 3 + 4 + 5 6m 3m 2m = 3.
2 2
2a 3b
a + b a + 2ab + b = 4.
2
p + 1 p 1 + p 5 p + 5 p + 3 p + 8p + 15
=
Fracciones algebraicas con operaciones
combinadas (Caso 3)
Ejemplo resuelto:
Realizar las operaciones indicadas
1. 2
2
2x · x - 4 : x + 2
x + 2 6x 3x
=
2. 3a a · a + 4a + 42
a + 2 a + 2 a
=
3. p + pq2 : 1 + 1
p p
=
4.
a + b + a + b
a a
1 a
=
a) x + 8 + x + 6 = x + 8 + x + 6 = 2x + 14
3 3 3 3
2x + 3x = 5x x + 5 x + 5 x + 5 b)
2 2 2 2 2 2
2(a b)
2a 2b =2a 2b=
a b a b a b
(a + b)(a b)
2 =
a + b
2
2 2 2 2
2
a + b a + b (a + b)(a b) (a + b) =
a + b a b (a + b)(a b)
a ab + ab b a 2ab b =
(a + b)(a b) -2b (a + b) -2ab 2b
= =
(a + b)(a b)
(a + b)(a b) -2b
=(a b)
2 2 2 2
x + 3 x + 3
3x + 6x · = 3x(x + 3) + 6x ·
3x 3x
x 3 x 9 x 9
3x +15x x + 3 = ·
3x x 9
3x =
(x + 5) (x + 3)
x + 3 · (x 3) 3x
x + 5 =
x 3
9
PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTO
Ejemplo resuelto:
Resolver los siguientes problemas:
1. El triple, de un número aumentado en dos es igual al cuádruplo del número, disminuido en cuatro, ¿cuál es el número?
2. La suma de tres números enteros consecutivos es 126. Determinar el sucesor del número mayor.
3. Carlos, Juan y Andrés se reparten un premio. Carlos recibe la mitad del total, Juan se queda con un tercio del resto y Andrés con lo que queda del premio, que corresponden a $ 200.000. ¿Cuánto es el premio inicial?
4. ¿Cuánto hay que restar a (12a – b) para obtener (5a – 8)?
5. La capacidad de un estanque es de (5L + 8) litros y contiene (3L – 4) litros,
entonces ¿cuántos litros faltan para llenarlo?
PROBLEMAS DE EDADES
Ejemplo resuelto:
Resolver los siguientes problemas
1. La edad de Nicolás duplica la edad de Pablo y hace cinco años la edad de Pablo era un tercio la edad de Nicolás, ¿qué edad tendrá Nicolás en 10 años?
2. Hace 12 años la edad de Constanza era el doble de la edad de Agustín. En 10 años más la edad de Agustín será la edad de Constanza menos 8 años. ¿Cuál es la edad actual de Agustín? Si el doble del antecesor de un número es
igual al número aumentado en dos unidades, ¿cuál es número?
Solución:
Número desconocido __________ x Antecesor del número __________ x – 1 Número aumentado en 2 __________ x + 2 Ecuación: 2(x – 1) = x + 2
2x – 2 = x + 2 2x – x = 2 + 2 x = 4 Respuesta: El número es el 4
Hace 10 años la edad de Rodrigo era el triple de la edad de Camila y dentro de 5 años será el doble de la edad de Camila menos 10 años. ¿Cuáles son las edades actuales de Rodrigo (R) y Camila (C)?
Hace 10
años Actual Edad En 5 años más
R 3x 3x + 10 3x + 15
C x x + 10 x + 15
Ecuaciones
3x + 15 = 2(x + 15) – 10 3x + 15 = 2x + 30 – 10 3x + 15 = 2x + 20 x = 15 Sus edades actuales son:
Reconocer el grado de la ecuación
Dado el polinomio 2x2y + 4xy = 12.
Para determinar el grado de la ecuación se observa el monomio que tiene mayor grado
Monomio 2x2y1 4x1y1 12 grado 2 + 1 = 3 1 + 1 = 2 0 Tabla 1
Ecuación Monomios Grado
x2 + 5y = 2 x2 ; 5y; -2 2
1. x + 2y + 3 = 0
2. xy = 4
3. x(x + y) = 3 + x 4. x2 + x(x + y) = 4 5. xy2 – x2y = 2xy
Conjunto solución
Dada la ecuación 3x + 4 = 16 – 3x la solución de la ecuación para x = 2 se verifica sustituyendo la solución en paréntesis
3 ∙ (2) + 4 = 16 – 3 ∙ (2) 10 = 10
Verdadero o falso
Tabla 2
Resolución de una ecuación de primer grado
Tabla 3 Tabla 4
Ecuación de primer grado Solución 4x – 5 = 2x + 3
4x – 2x = 3 + 5 2x = 8 x = 4
x = 4
1. 4x + 3 = 0
2. 3x + 2 = 2(x + 4) + x – 6
3. 4x + 7 = 3(x + 4)
4. 4(x + 2) = 3(x + 4)
5. 2(x + 1) = (x + 3) + x
Ecuación literal Solución
ax – 1 = bx + 1 ax – bx = 1 + 1 (a – b)x = 2
Para x = 2
a b a b 1. 4ax – a = a + 4x Para x =
2. y(x – 2) = y(y–2) + x Para x =
3. v = d t
Para d =
4. v = d t
Para t =
5. 1 = + 2 b
R b a
Para R =
V o F Solución Ecuación
11
Ecuaciones con coeficiente fraccionario (Tabla 1)
Ecuación Sol.
x = 5 1
3 2 4 / 12 · (mcm) 4x – 30 = 3 / + 30
4x = 33 x = 33
4
33 4
1. 4x + 3 = + 1 x
5 4 2
2. 3x + 2 x + 4 =
2 3
3. 2 : 3 – 2x : 3 = -1
4. 4x + 7 : 3 = 3(x + 4) : 2 + 2
Ecuaciones fraccionarias (Tabla 2)
Ecuación Sol.
2 = 3
6 x + 3 / · 6(x + 3) 2 · (x + 3) = 6 · 3
2x + 6 = 18 2x = 12 x = 6
6
1. 4 + 3 = 0 5 3x + 1
2. 2 = 3
x + 2 x + 4
3. x + 3 = 4 x + 7 x + 7
4. 1+3:(x–2)=(x+1):(x–2)
Verdadero o Falso
1. ___ Si a > b, entonces a + 6 > b + 6 2. ___ a + c > b + d, solo si a > b 3. ___ a ∙ c ≥ b ∙ d si a ≥ b y c ≥ d 4. ___ a-1 > b-1 si a > b > 0
5. ___ a-1 > b-1 si a > 0 y b < 0
6. ___ Si a > b con a y b números reales y c un número negativo, entonces ac < bc. 7. ___ La suma de dos números negativos es negativa.
8. ___ La diferencia de un número positivo con su inverso aditivo es cero.
PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE (FUENTE DEMRE)
1. Para a y b números distintos de cero y a b, se define la operación ab =
a b
b a
a b ab
,
entonces el valor de 1
2 13 es
A) 5 6 B) 6 C) 0 D) 1
6 E) 1
5
2. Si x es un número entero positivo tal que x2 < 9. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) El máximo valor que podría tener x es 4. II) El mínimo valor que podría tener x es 1. III) Un valor posible de x es 3.
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III
3. ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera con respecto al conjunto solución de la ecuación 3x – 2 = 1?
A) Tiene dos soluciones reales positivas y distintas. B) Tiene una solución real positiva y la otra real negativa. C) Tiene solo una solución real positiva.
D) Tiene solo una solución real negativa. E) No tiene solución en los números reales.
4. ¿Cuál debe ser el valor de x para que la expresión 9 3
2 x sea igual al inverso aditivo de -3?
A) 2 B) 6
15 C) - 6
15 D) 1
13 5. Si a = 1
2x, b = 14x y c = 16x, entonces x – (a + b + c) es
A) 12x 1112 B) 12 x
C)
2
12x 11 12x
D) x 1112x
E) ninguna de las expresiones anteriores.
6. Si m3 – n3 = a y m – n = b, entonces el valor de a b es
A) m2 + mn + n2 B) m2
– n2 C) m2 – mn + n2 D) m2 + n2
E) m2 + 2mn + n2
7. Si a · b = 10 y a2 + b2 = 29, entonces el valor de (a – b)2 es
A) 9 B) 19 C) 29 D) 49
RESPUESTAS
Página 1
Verdadero o Falso
Página 2
Complete
1. monomio 6. equivalente 11. semisuma 16. y; 1; xy
2. dos 7. suma 12. 5 17. xy; 6a; 18
3. polinomio 8. a – b 13. 7; 3; -3 18. a; 3b 4. segundo 9. p y q 14. 5; 2 19. x; m; n; y
5. 2 10. m · n 15. y 20. b; x
Lenguaje Común
1. 5x – 6 7. (3x + 3)2 2. x3 + 3 8. x2 – y2 3. (3x + 7)2
9. x2 + y 3 4. (3x)2 + 7 10. p2 · q 5. (a – b)2
11. x4 x
6.
2 2
p q 2
---
15 Página 3
Página 4
Cuadrado de binomio
1. 25x + 10xy + y2 2 2. t 2tc + c2 2
3. t 2tc + c2 2
4. 9m 30mt + 25t2 2
5. 9m 30mt + 25t2 2
6. t2 2tn + 4n2
4
7. 34 24 2 8. 25 2 + 25k -k
Suma por su diferencia
1. k2 – p2 2. x2 – y2 3. 4t2 – 9k2 4. 9t4 – 25 5. 1 – z4
6. 9r2 – t2 4 7. x2 – 4 8. n4 – k6 Tabla 1
1. + 5 y 1
2. + 2 m 1
3. – 17 p3 3
4. + 16 x4 4
5. + 9 x2 2
6. + 1 y5 5
Tabla 2 1. 12x, 5y 2. x, y, -4z 3. m, -n 4. (4x)5, -2z 5. (3z)4, -(w)2 6. a2, 2ab, b2 7. a3, b3
Tabla 3 1. 27 2. -71
3 3. 34
3 4. 44 5. 3a2 – 30 6. 3a2 + 5b
Tabla 4 1. 2 2. -6 3. 3 3
2
4. 5 5. 1 6. 5
Tabla 5 (Evalúe)
1. 1 0 0
2. - 2 12 -12
3. 19
3
19 12 4. 3 15
10
7 27
7 18
5. 2 6 3
5 8
Binomio con término común
1. x2 + 7x + 10 2. t2 + 5t + 6 3. k2 – k – 12 4. m2 + 5m – 6 5. 4x2 – 4x – 15 6. 9t4 + 3t2 – 2 7. x2 24x
16 2
Cubo de binomio
1. t3 + 3t2 + 3t + 1 2. 27x6 + 54x4 + 36x2 + 8 3. y3 – 6y2 + 12y – 8
4. 125 – 450k2 + 540k4 – 216k6 5. x-6 + 3x-4y-3 + 3x-2y-6 + y-9 6. 1 k + k k3 3 2 3
8 4 2
Página 5
Factor común
1. t(t + k) 2. r(1 – r) 3. 4x(1 – 3y)
4. mn(mn + 1 – 1m2n2) 5. 2 2
2
x y 1 xy + 1
a a a
6. 3(a + 1)(3 + a) 7. (b + 3)(m + 1) 8. (k – 1)(t – 1) 9. (x – 10)(a + b – c)
Diferencia de cuadrados
1. (y + x)(y – x) 2. (x + 4y)(x – 4y) 3. (5a + 2b)(5a – 2b) 4. a + b a b
10 10
5. (tq2 + r)(tq2 – r) 6. (1 + 2x)(1 – 2x) 7. (a2 + b2)(a2 – b2) 8. 2 + x 2 x
3 3
9. (ax + by)(ax – by) 10.(1 + p)(1 – 2q – p)
Diferencia de cubos
1. (z w)(z + zw + w ) 2 2
2. (2 x)(4 + 2x + x ) 2
3. (2y 3x)(4y + 6xy + 9x ) 2 2
4. (m 1)(m + m + 1) 2
5. 1 k 1 + k + k2
10 100 10
6. 2
2
1 4x 1 + 4x + 16x
y y y
7. (b a )(b + a b + a )2 2 4 2 2 4
Suma de cubos
1. (x + y)(x xy + y )2 2
2. (a + 2)(a 2a + 4)2
3. (3x + 5y)(9x 15xy + 25y )2 2
4. (4x + y )(16x 4xy + y )2 2 2 4
5. (k + 1)(k k + 1)2
6. 2
2
1 + y 1 + yy
x x x
17 Página 6
Trinomio cuadrado perfecto (caso 1)
1. (a + 8)2 2. (x – 5)2 3. (q + 7)2 4. (4x + 5y)2 5. (3x – 1)2 6. (2a + 3)2 7. (t2 + 1)2
Trinomio (caso 2)
1.(x + 7)(x + 1) 2.(a + 10)(a + 4) 3.(x – 6)(x + 5) 4.(a + 5)(a – 8) 5.(x + 3)(x – 2) 6.(a + 4)(a – 9) 7.(t2 + 3)(t2 – 4)
Trinomio (caso 3)
1. (x + 2)(2x + 1) 2. (2x – 1)(4x + 1) 3. (2x + 3)(3x + 2) 4. (5x – 1)(5x – 2)
Factorización por agrupación
1. (q – 1)(p + 1) 2. (1 + p – q)(r – t)
Página 7
Simplificar
Página 8
Mínimo Común Múltiplo Monomios
1. 1 3 m
4n5 2. 4
9(a – b) 2 3. 7
9a
3b5c2 4. - 4
9 x 3y13
5. 3
17 10
-1 c 2 a b
Caso 1 1. -1 2. 7 3. -1 2 4. x + 12
3x + 1 5. 5
4b 6. 7
2
Caso 2
1. 5(p q) (p + q)
2. xy (x + y) 3. (a – b)
4.(a – b)(a3 + b3) 5. x 3
x + 2
Multiplicación y división
1.
2 2
-7 30m n 2. -1 3. 1 4. (a – 2)2 5. m 6
m + 6
Tabla 1 1. 2(x – y)2
2. 12(a – b)
3. (m – 3)(m + 3)(m + 4)(m – 1) 4. (a – b)2(a + b)
5. (m – 2)(m – 3)(m2 + 2m + 4)
Caso 1
1. m 1 m
2. 1
a + 1
3. 1 4. (p + 3)(p 3)
Caso 2 1. 4
2. m 3
13
3. 2
2
2a 3ab 3b (a + b)
4. 1 p + 5 Caso 3
1. x 2 x + 2
2. 2( a + 2)
3. p(p + q)
Página 9
Problemas de
Página 10
Página 11
Página 12
1. A 5. C 2. B 6. A 3. A 7. A 4. A ----
DMCAMA-M03T Edades
1. 30 años 2. 20 años. Planteamiento
1. 10 4. 7a – b + 8 2. 44 5. 2L + 12 3. $ 600.000
Tabla 1
1. x; 2y; 3 1
2. xy; -4 2
3. x2; xy; -x; -3 2 4. 2x2; xy; -4 2 5. xy2; x2y; -2xy 3
Tabla 2 1. V 4. F 2. F 5. F 3. V 6. V Tabla 3 1. x = 3
-4 4. x = 4 2. lR 5. 3. x = 5
Tabla 4 1. x = a
2(a 1) a 1 2. x = y2
y 1 y 1 3. d = vt
4. t = d
v v 0 5. R =
2
ab 2a + b b
2 -2a
Verdadero o Falso 1. V 3. F 5. V 7. V 9. V 2. F 4. F 6. V 8. F 10. F Tabla 1
1. -55
6 3. 5 2 2. 2
7 4.
34 15
Tabla2
1. -19
12 3. 1
2. 2 4. lR – {2}
