INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CENTRO DE INNOVACIÓN Y DESARROLLO
TECNOLÓGICO EN CÓMPUTO
CONTROL DE VELOCIDAD ANGULAR DE MOTORES DE
CORRIENTE DIRECTA
MEDIANTE TÉCNICAS DE CONTROL AUTOMÁTICO
T
E
S
I
S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:
MAESTRÍA EN TECNOLOGÍA DE CÓMPUTO
P R E S E N T A:
ING.
JOSÉ
JESÚS
TAFOYA
SÁNCHEZ
DIRECTOR DE TESIS:
Dr. Ramón Silva Ortigoza
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
SECRETARÍA DE INVESTIGACIÓN Y POSGRADO
CARTA CESIÓN DE DERECHOS
En la Ciudad de México el día 24 del mes Noviembre del año 2010 , el que
suscribe José Jesús Tafoya Sánchez alumno del Programa de
Maestría en Tecnología de Cómputo con número de registro B081084 , adscrito a Centro de Innovación y Desarrollo Tecnológico en Cómputo, manifiesta que es autor intelectual del presente trabajo de Tesis bajo la dirección del Dr. Ramón Silva Ortigoza
y cede los derechos del trabajo intitulado
Control de velocidad de motores de corriente directa mediante técnicas de control
automático, al Instituto Politécnico Nacional para
su difusión, con fines académicos y de investigación.
Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, gráficas o datos del trabajo sin el permiso expreso del autor y/o director del trabajo. Este puede ser obtenido escribiendo a la siguiente dirección [email protected] . Si el permiso se otorga, el usuario deberá dar el agradecimiento correspondiente y citar la fuente del mismo.
Resumen
En el presente trabajo se lleva a cabo el desarrollo e implementación de tres contro-ladores a saber,PID (Proporcional Integral Derivativo), planitud diferencial y GPI (de las siglas en inglés Generalized Proportional Integral) para implementar el control de seguimiento de trayectoria de velocidad en un motor de CD (Corriente Directa) de imán permanente.
Este trabajo inicia con una introducción al motor de CD y una clasificación que se hace del mismo. Se presenta una investigación del estado del arte para conocer los diferen-tes tipos de controladores asociados al control de posición, velocidad y posición/velocidad inherentes al control sin el uso de sensores electromecánicos. Una vez que se realizó lo anterior, se definió con claridad los objetivos del presente trabajo y la metodología que se siguió para lograrlo. Posteriormente y tomando como referencia lo antes dicho, se procedió a caracterizar el motor mediante la realización de una serie de experimen-tos que permitieron determinar los parámetros reales del motor usado en el prototipo, tales parámetros fueron necesarios para realizar las simulaciones y formar la ley de con-trol asociada a los concon-troladores por planitud diferencial y GPI. A partir del modelo matemático del motor de CD se desarrollaron los controladores ya mencionados y como se dijo, con los parámetros del motor conocidos se realizaron simulaciones para probar el desempeño y robustez de tales controladores. Así también, se presenta una descripción de los componentes mecánicos, electromecánicos y electrónicos que forman parte de la construcción del prototipo. Para probar la utilidad del prototipo y la eficacia de los con-troladores propuestos en el seguimiento de trayectoria de velocidad, se implementaron las leyes de control en tiempo real y se verificaron mediante la graficación de los estados de velocidad, error de velocidad y corriente además de la entrada de voltaje del motor. Finalmente, se presentan las conclusiones y perspectivas futuras de este trabajo.
Abstract
At present work is carried out the development and implementation of three con-trollers, PID (Proportional Integral Derivative), differential flatness and GPI (Generali-zed Proportional Integral) to implement tracking trajectory speed control in a permanent magnet DC (Direct Current) motor.
This work starts with an introduction to DC motor and a classification of the same. An investigation of the State of the art is presented to understand the different types of controllers associated with the control of position, speed and position/speed inherent control without the use of electromechanical sensors. Once that was done the above, the objectives of this study and the methodology followed to achieve this was defined clearly. Subsequently, and taking as reference the above, we proceeded to characterize the motor through a series of experiments which made it possible to determine the actual para-meters of the motor used in the prototype, these parapara-meters were required to perform simulations and to form the control law associated with the controllers by differential flatness and GPI. From the mathematical model of DC motor the controllers were de-veloped and as it was said above, with the motor parameters known, simulations were performed to test the performance and robustness of these controllers. It also provides a description of mechanical, electromechanical and electronic components that are part of the construction of the prototype. To test the prototype utility and effectiveness of proposed in the tracking trajectory speed controllers, control laws were implemented in real time and checked using the charting of speed, speed error and current states also the voltage motor input. Finally, the conclusions and future perspectives of this work are presented.
Agradecimientos
Al CNAD, DGETI y COSDAC por haberme apoyado para dedicarme de tiempo completo a realizar los estudios de esta maestría. Al CNAD, su personal administrativo y su director Ing. Jimmy de la Hoz Cortés por el apoyo recibido de su parte en todo momento.
A mi asesor de tesis, el Dr. Ramón Silva Ortigoza, por confiar en mis capacidades y permitirme trabajar con él. Le agradezco la oportunidad que me brindó para crecer profesionalmente a través de sus valiosas enseñanzas, sugerencias y aportaciones en el desarrollo de este trabajo y durante mi estancia en el CIDETEC.
A mis revisores, la Dra. Magdalena Marciano Melchor, el M. en C. Juan Carlos Herrera Lozada, el M. en C. Israel Rivera Zárate, el M. en C. Juan Carlos González Robles y la Dra. Hind Taud. A todos ellos por tomarse el tiempo de seguir este proceso y los comentarios, sugerencias y apoyo que me proporcionaron para mejorar la calidad de este documento.
Al CIDETEC-IPN por brindarme la oportunidad de realizar mis estudios de maestría y a sus docentes que aportaron y compartieron sus experiencias y conocimientos que ayudaron en mi formación académica y profesional. Al director Dr. V. Manuel Silva García por su apoyo recibido en todo momento.
A mis amigos y compañeros del CIDETEC, Rodolfo, Toño, Martín, los dos Héc-tor, Edgar, Polo y en especial a Juan Carlos Rivera Díaz por su valioso apoyo en la manufactura del prototipo.
Dedicatoria
A Dios por colmarme de tantas bendiciones y por haberme dado las fuerzas para superar en todo momento cada obstáculo que se me presentó.
A mi familia porque fueron la fuerza y la razón para culminar este trabajo, porque con su comprensión y paciencia siempre fueron el apoyo para dedicarme en todo momento a realizar este trabajo. A mi esposa Martha, hijos Pepe, Faby y Sandy les dedico este trabajo para que lo hagan suyo y que en un futuro, también realicen sus dedicatorias.
A mi madre y padre† por ser siempre un ejemplo de lucha, entereza y fortaleza, en
los que me inspiro para seguir siempre adelante.
A mis hermanos Carlos, Alberto, M. Ángel que siempre han sido un apoyo en mi vida.
Índice general
1. Introducción 1
1.1. Antecedentes de los motores eléctricos . . . 2
1.2. Control de motores eléctricos . . . 4
1.3. Estado del arte: controladores de motores eléctricos . . . 5
1.3.1. Control de posición . . . 5
1.3.2. Control de velocidad . . . 6
1.3.3. Control de posición-velocidad . . . 7
1.4. Planteamiento del problema . . . 8
1.5. Objetivo . . . 9
1.6. Recursos . . . 10
1.7. Estructura del trabajo . . . 11
2. Motor de CD 13 2.1. Modelo matemático de un motor de CD . . . 13
2.1.1. Modelo del subsistema eléctrico . . . 15
2.1.2. Modelo del subsistema mecánico . . . 15
2.1.3. Modelo del motor de CD . . . 16
2.1.4. Relación entre km y ke . . . 17
2.2. Caracterización del motor de CD a emplear . . . 18
2.2.1. Resistencia de armadura R . . . . 18
2.2.2. Constante de par km . . . 20
2.2.3. Constante de fuerza contra-electromotriz ke . . . 21
2.2.4. Constante de fricción viscosa bm . . . 22
2.2.5. Inercia del rotor del motor Jm . . . 23
2.2.6. Inductancia del motor L . . . . 24
2.2.7. Resumen de los parámetros del motor a usar . . . 24
3. Controladores y simulaciones 27 3.1. Controlador PID . . . 27
3.1.1. Parámetros del controlador Kp, Ki, Kd . . . 28
3.2. Controlador por planitud diferencial . . . 31
3.3. Controlador GPI . . . 34
3.4. Simulaciones . . . 36
3.4.1. Trayectorias deseadas . . . 37
3.4.2. Simulación del controlador PID . . . 39
3.4.2.1. Resultados de la simulación . . . 39
3.4.3. Simulación del controlador por planitud diferencial . . . 41
3.4.3.1. Resultados de la simulación . . . 43
3.4.4. Simulación del controlador por GPI . . . 43
3.4.4.1. Resultados de la simulación . . . 46
4. Diseño del prototipo 49 4.1. Descripción general de funcionamiento . . . 49
4.1.1. Etapa 1: Subsistemas . . . 50
4.1.2. Etapa 2: Potencia . . . 51
4.1.3. Etapa 3: Adquisición de datos y control . . . 51
4.2. Etapa 1: Subsistemas . . . 51
4.2.1. Subsistema a: Motor y sensores . . . . 52
4.2.1.1. Motor de CD . . . 52
4.2.1.2. Sensores . . . 52
4.2.2. Subsistema b: Diseño mecánico . . . . 56
4.2.2.1. Base del sistema . . . 58
4.2.2.2. Poleas . . . 58
4.2.2.3. Soporte de rodamientos y ejes . . . 58
4.2.2.4. Soporte de encoder . . . 60
4.2.2.5. Bridas del motor . . . 61
4.3. Etapa 2: Potencia . . . 62
4.3.1. Fuente de alimentación . . . 63
4.3.2. Circuito de potencia y encoder . . . 64
4.3.3. Circuito de optoacoplamiento. . . 65
4.3.4. Circuito del clutch. . . 66
4.4. Etapa 3: Adquisición de datos y control . . . 66
4.4.1. Circuito de distribución-amplificación . . . 67
4.4.2. Tarjeta de control DS1104 . . . 67
4.5. Prototipo terminado . . . 70
5. Instrumentación en tiempo real 71 5.1. Tiempo real . . . 71
5.2. Descripción funcional del prototipo . . . 72
5.3. Adecuación de programas para tiempo real . . . 74
5.4. Implementación del controlador PID . . . 76
5.5. Implementación del controlador por planitud diferencial . . . 77
5.6. Implementación del controlador por GPI . . . 77
5.7. Trayectoria escalonada de velocidad . . . 78
ÍNDICE GENERAL xvii
Referencias 95
A. Hojas de datos del Motor y encoder 99
A.1. Motor . . . 100
A.2. Encoder . . . 103
B. Planos del diseño mecánico del prototipo 107 C. Hojas de datos de componentes electrónicos 119 C.1. Puente H LMD18200 . . . 120
C.2. Optoacoplador 6N137 . . . 125
D. Conectores del módulo CP1104 de dSPACEr 127 D.1. Distribución de conectores del módulo CP1104. . . 129
D.2. Conectores BNC (CP1,...,CP16). . . 130
D.3. Conector digital I/O (CP17) . . . 131
D.4. Conector Slave I/O PWM (CP18). . . 132
D.5. Conectores de interfaz para el encoder (CP19,CP20). . . 133
Índice de figuras
1.1. Prototipo manufacturado. . . 3
2.1. Motor de CD. . . 14
2.2. Modelo motor-caja de engranes-carga. . . 15
2.3. Experimento para para determinar R y Km. . . 19
2.4. Comportamiento u vs i en la armadura del motor a rotor bloqueado. . . 19
2.5. Característica τ vs i del motor. . . . 20
2.6. Ajuste de la constante ke. . . 22
2.7. Ajuste de la constante bm. . . 23
3.1. Controlador PID - Motor CD. . . 28
3.2. Controlador PID. . . 40
3.3. Gráficas de simulación al aplicar el controlador PID. . . 41
3.4. Controlador por planitud diferencial. . . 42
3.5. Gráficas de simulación al aplicar el controlador por planitud diferencial. . 44
3.6. Controlador GPI. . . 45
3.7. Gráficas de simulación al aplicar el controlador por GPI. . . 47
4.1. Diagrama a bloques general del prototipo módulo de motor de CD. . . . 50
4.2. Motor de CD GNM5440E. . . 53
4.3. Encoder incremental. . . 55
4.4. Encoder omron E6B2-CWZ6C. . . 56
4.5. Diseño del prototipo del módulo de motor de CD. . . 57
4.6. Base del prototipo del motor de CD. . . 58
4.7. Diseño en SolidWorksr de ejes, poleas y banda. . . . 59
4.8. Polea. . . 59
4.9. Base para poleas y ejes. . . 59
4.10. Soporte para rodamiento y ajuste de banda. . . 60
4.11. Eje de la polea motriz. . . 60
4.12. Eje de la polea conducida. . . 60
4.13. Mecanismo real de ejes, poleas y banda. . . 61
4.14. Soporte para encoder. . . 61
4.15. Brida superior. . . 62
4.16. Brida inferior. . . 62
4.17. Diagrama a bloques de la etapa de potencia de la plataforma para motores
de CD. . . 63
4.18. Fuente conmutada. . . 64
4.19. Circuito de potencia y encoder. . . 64
4.20. Circuito de optoacoplamiento. . . 65
4.21. Circuito para el control del clutch. . . 66
4.22. Circuito de distribución-amplificación. . . 67
4.23. Diagrama a bloques de la tarjeta DS1104 dSPACEr. . . . 68
4.24. Prototipo terminado. . . 70
5.1. Tiempo de muestreo. . . 72
5.2. Diagrama a bloques del funcionamiento del prototipo. . . 73
5.3. Estados a tratar en tiempo real con la tarjeta DS1104. . . 75
5.4. Controlador PID para tiempo real. . . 80
5.5. Gráficas en tiempo real al aplicar un controlador por PID al seguimiento de una trayectoria suave por polinomio de Bézier. . . 81
5.6. Controlador por planitud diferencial para tiempo real. . . 82
5.7. Gráficas en tiempo real al aplicar un controlador por planitud diferencial al seguimiento de una trayectoria suave por polinomio de Bézier. . . 83
5.8. Controlador GPI para tiempo real. . . 84
5.9. Gráficas en tiempo real al aplicar un controlador por GPI al seguimiento de una trayectoria suave por polinomio de Bézier. . . 85
5.10. Gráficas obtenidas para una trayectoria escalonada aplicada al motor sin controlador. . . 86
5.11. Gráficas en tiempo real al aplicar un controlador por PID al seguimiento de una trayectoria escalonada. . . 87
5.12. Gráficas en tiempo real al aplicar un controlador por planitud diferencial al seguimiento de una trayectoria escalonada. . . 88
5.13. Gráficas en tiempo real al aplicar un controlador por GPI al seguimiento de una trayectoria escalonada. . . 89
Índice de tablas
2.1. Mediciones de u vs i en la armadura del motor a rotor bloqueado. . . . . 19
2.2. Cálculo de la constante ke. . . 21
2.3. Parámetros obtenidos experimentalmente. . . 24
2.4. Parámetros obtenidos de la hoja del fabricante. . . 25
4.1. Relación de señales entre la tarjeta de distribución-amplificación y el mó-dulo CP1104 dSPACEr. . . . 69
Capítulo 1
Introducción
A través de la historia el avance y el desarrollo de los procesos industriales, así como las facilidades de comodidad en la vida cotidiana del ser humano en gran medida se han debido al uso extensivo de los motores. Si se revisa en una casa, oficina, industria o cualquier lugar donde se desempeña el ser humano, se observará que los motores los hay de diversos tipos y tamaños, lo mismo los encontramos desde los más pequeños como en un reloj, pasando por los juguetes, hasta encontrarlos en electrodomésticos, máquinas herramientas y vehículos automotores. Al mencionar la tecnificación y grado de automatización de un país se considera el número de robots que tiene éste, sin embargo, para conocer el índice de comodidad de vida que se tiene en un hogar se puede determinar por el número de motores que en él existen, es decir no podemos concebir la vida moderna sin motores.
Así desde el comienzo de la aparición de estos actuadores eléctricos, se ha necesitado controlar su posición, velocidad y aceleración para generar movimientos en mecanismos de manera controlada. No se puede hablar de la mecatrónica sin mencionar los actuadores y en especial los motores eléctricos. El uso de estos ha motivado que se empleen y desarrollen esquemas de control desde los más simples encendido/apagado, hasta los que consideran técnicas de control modernas mediante el uso de sensores electromecánicos y sin ellos para la realimentación de mediciones de variables (salidas) y, posiblemente, a todas las variables asociadas al sistema (estado).
Actualmente, el control de actuadores, dedicado al estudio de motores, es una de las especialidades de mayor auge y dinamismo. Constantemente están desarrollándose nuevas topologías y métodos de control para los motores mejorando sus prestaciones.
Un problema reciente e interesante, con respecto a los sistemas electromecánicos, consiste en el seguimiento robusto de trayectorias de referencia sin emplear mediciones físicas de las variables mecánicas de salida, como serán la posición o velocidad. Mediante esta forma de control se consigue un ahorro en el número de instrumentos de medición como potenciómetros, encoders, tacómetros, acelerómetros, resolvers, etc., y por lo tanto una simplificación en los esquemas de control.
1.1.
Antecedentes de los motores eléctricos
Se puede decir que el principio de los motores eléctricos nace con el descubrimiento de Michael Faraday en el siglo XIX, cuando observó que existía una corriente inducida en un conductor cuando se movía dentro de un campo magnético. Esto propició que en 1831 Michael Faraday construyera el primer motor eléctrico. A Joseph Henry y Michael Faraday se les acredita la construcción del primer motor experimental [1]. Un resumen importante del desarrollo de los motores se presenta en [2], en 1887, Nicola Tesla intro-dujo el motor de corriente alterna (CA). Sin embargo en 1889 Dolivo von Dobrovski en Alemania construye el primer motor de inducción jaula de ardilla trifásico. Más adelante en 1919, en Gran Bretaña se inventó la estructura del motor a pasos, no obstante hasta 1957 fue usado comercialmente en máquinas de control numérico en Estados Unidos de América (USA). Otro tipo de motor que se inventó en 1966 en USA fue el motor de cir-cuito impreso. En 1982 Toshiiku Sashida en Japón inventó el motor de onda ultrasónica. Si bien puede haber otros hechos asociados a los motores, aquí se han mencionado los más relevantes.
Los motores se pueden clasificar en tres grandes categorías [2], las cuales son: Mo-tores asíncronos de CA (Corriente Alterna) o de inducción, MoMo-tores convencionales de corriente directa (CD) o corriente continua y Motores de precisión controlados electróni-camente.
1) Motores asíncronos de CA o de inducción
En esta categoría los motores son manejados a una y tres fases con una red comercial de 50 Hz ó 60 Hz. La diferencia del motor asíncrono con el resto de los motores eléctricos radica en el hecho de que no existe corriente conducida o alimentación directa a uno de sus devanados (normalmente al rotor). La denominación de motores asíncronos obedece a que la velocidad de giro del motor no es la de sincronismo, impuesta por la frecuencia de la red. La corriente que circula por el devanado del rotor se debe a la fuerza electromotriz inducida en él por el campo giratorio; por esta razón, a este tipo de motores se les designa también como motores de inducción. Por su robustez, por la simplicidad de su estructura, por su peso y su tamaño, la máquina de inducción ofrece perspectivas tecnológicas en numerosas aplicaciones industriales, donde se le aprecia principalmente por su costo y el escaso mantenimiento que requiere. En efecto, entre los diferentes tipos de máquinas de corriente alterna de campos giratorios, la máquina de inducción (también llamada asíncrona) de jaula de ardilla es la que exige los sistemas de control más delicados para implementar un control efectivo de su par en régimen variable. El hecho de que su flujo sea inducido y deba ser controlado, introduce una complicación suplementaria y la necesidad de acceder directamente (o indirectamente) a esta variable. Sin embargo, sus cualidades intrínsecas son:
¦ Su construcción clásica no exige materiales magnéticos especiales.
¦ Robustez debida a su rotor de jaula.
1.1. ANTECEDENTES DE LOS MOTORES ELÉCTRICOS 3
¦ Su gran potencia.
2) Motores convencionales de corriente directa (CD) o corriente continua (CC)
Los motores de CD a menudo son operados con una fuente de CD convertida de una red de CA. Una característica estructural de este motor es que tiene un colector de cobre y unas escobillas de metal o carbón. Un motor de corriente directa tal como se aprecia en la Figura 1.1, basa su funcionamiento en la fuerza producida en un conductor a causa de la presencia de un campo magnético sobre una intensidad de corriente eléctrica. El colector es básicamente un conmutador sincronizado con el rotor, que conmuta sus bobinas provocando que el ángulo relativo entre el campo del rotor y el del estator se mantenga, al margen de si el rotor gira o no, permitiendo de esta forma que el par motor sea independiente de la velocidad de giro de la máquina.
Figura 1.1: Prototipo manufacturado.
La gran variedad de la velocidad, junto con su fácil control y la gran flexibilidad de las características par-velocidad del motor de corriente continua, han hecho que en los últimos años se emplee éste cada vez más con máquinas de velocidad variable en las que se necesite amplio margen de velocidad y control fino de las mismas.
3) Motores de precisión controlados electrónicamente
Los motores más representativos de esta categoría son los motores de CD sin escobi-llas y los motores de paso a paso. Los motores de CD sin escobiescobi-llas difieren de los men-cionados en la categoría 2, en que emplean conmutación eléctrica (en lugar de mecánica) de la corriente de armadura. La configuración del motor de CD sin escobillas más común-mente empleado –especialcomún-mente para aplicaciones de movimiento incremental– consta de imanes y un soporte de hierro para el rotor, en el que las bobinas conmutadas están
localizadas en forma externa a las partes giratorias. Los motores de CD sin escobillas se pueden usar cuando se requiere un momento de inercia bajo, como en el manejo del eje de unidades de disco de alto desempeño empleado en computadoras.
El motor de paso a paso es un dispositivo electromecánico que convierte una serie de impulsos eléctricos en desplazamientos angulares discretos, lo que significa que es capaz de avanzar una serie de grados (paso) dependiendo de sus entradas de control. Este motor presenta las ventajas de tener alta precisión y repetibilidad en cuanto al posicionamiento.
De estas tres categorías de motores, en la que se enfoca este trabajo es en los de la categoría 2, es decir, en los motores de CD de imán permanente con escobillas.
1.2.
Control de motores eléctricos
Los motores de CD son relativamente caros, pero su sistema de control es simple, en cambio los motores de CA son baratos pero su control es complejo y caro. Ante la constante evolución de los equipos electrónicos de almacenamiento y tratamiento de información modernos, en lo referente a la constante miniaturización y concentración de funciones, el conseguir características similares en el control de los motores ha convertido a éstos en una parte muy importante de cualquier sistema mecatrónico, e impone retos desafiantes a los diseñadores de controles basados en la teoría de control.
Tradicionalmente los motores fueron controlados manualmente [3]; mediante resisten-cias se controlaban los motores de CD y con variacs los motores de CA. El control
electrónico comenzó con la invención de los tubos de gas como fueron los thyratrons1
e ignitrons2 en los años de 1930. El control moderno llegó con los semiconductores de
potencia en los años de 1950. Subsecuentes progresos en electrónica de potencia y micro-electrónica permitieron que se desarrollaran mejores manejadores con alto desempeño y más económicos. En la actualidad se han desarrollado nuevos dispositivos de electrónica de potencia, microprocesadores, microcontroladores y procesadores de señales digitales (del inglés Digital Signal Processors (DSP)), los cuales han permitido desarrollar con-troles más sofisticados y más económicos. No obstante en el desarrollo de la electrónica, el control de los motores es una tarea a perfeccionar, los motores de CD siguen siendo los más simples de controlar, mientras que los motores de CA requieren algoritmos de control más complejos.
En aplicaciones de alto desempeño, por ejemplo, en las áreas de robótica, máquinas herramientas, entre otras, requieren manejadores de motores que puedan proveer una respuesta dinámica y recuperación rápida, debido a caídas de velocidad por el impacto de las cargas en los motores. Los controladores convencionales PI (Proporcional Inte-gral) y PID (Proporcional Integral Derivativo) no pueden ejecutar estos requerimientos simultáneamente. En los últimos años la investigación se ha enfocado en el uso de técnicas
1Thyratron: es un tipo de tubo llenado de gas, usado como un interruptor eléctrico de alta energía
y rectificador controlado.
1.3. ESTADO DEL ARTE: CONTROLADORES DE MOTORES ELÉCTRICOS 5
de control moderno para el manejo de los motores. Estas técnicas que consideran el mo-delo, van desde pasividad, planitud diferencial, control por modos deslizantes, controles adaptivos, hasta controladores difusos, con la finalidad de cumplir con las necesidades de manejadores de motores de alto desempeño. El control de la velocidad de los motores de CD se puede dar de dos formas: una en lazo abierto y la otra en lazo cerrado. Para controlar la velocidad de un motor de manera precisa, en este trabajo se utilizará el control en lazo cerrado, también llamado retroalimentado. Para realizar el control por retroalimentación se puede dar en dos formas: una es utilizando algún tipo de sensor de posición o velocidad, que se pueda montar en la flecha del motor y permita medir la variable a controlar y la otra forma es por medio de algún esquema de control sin sensores electromecánicos.
1.3.
Estado del arte: controladores de motores
eléctri-cos
En el control de motores de CD se han desarrollado diferentes técnicas de control mediante el uso de sensores y sin ellos. En el caso del uso de sensores se desarrollaron considerando la retroalimentación de la variable de salida a controlar, posición y/o ve-locidad mediante el uso de sensores electromecánicos tales como encoders, resolvers, tacogeneradores, etc. En el caso del no empleo de sensores se han desarrollado técnicas que permiten realizar el control de posición y/o velocidad mediante la estimación o re-construcción de estados a partir de la medición de variables como corriente y voltaje. Es necesario mencionar que el estado del arte ha sido ampliamente desarrollado en el tema que se aborda en este trabajo, sin embargo, las referencias que se citan a continuación sobre el control de motores de CD de imán permanente con/sin escobillas y de inducción son las más representativas.
1.3.1.
Control de posición
En [4] se propone resolver el control de la posición del motor de CD usando un con-trolador GPI (del inglés Generalized Proportional Integral), se muestra que el problema de medir la posición no es observable desde la corriente eléctrica, por lo que para resolver este problema se propuso agregar en la flecha del motor un resorte sujeto a la pared, con esta condición se muestra que la posición puede ser observable.
Por otra parte, en [5] se basa en las propiedades anisotrópicas del rotor de un mo-tor de inducción para el control de posición sin sensores mecánicos. Tales propiedades pueden explicarse como variaciones magnéticas periódicas y la construcción del espacio anisotrópico se determina inyectando ondas de flujo magnético en el estator a altas fre-cuencias. Así, la corriente armónica resultante contiene componentes de frecuencia que dependen de la posición del rotor. En este caso los experimentos se llevaron a cabo con un motor de inducción de una máquina herramienta. La estimación de la posición del rotor fué satisfactoria pero aún falta probar el control a lazo cerrado.
De manera más amplia en [6] y [7] se ha propuesto un nuevo enfoque para la síntesis de controladores tipo PID, basados en reconstructores integrales del estado (integrales iteradas) a partir de la información entrada-salida del sistema, con correctores del tipo integral, para la solución de problemas de regulación y seguimiento de trayectorias en sistemas mecánicos simples y actuados electromecánicamente por motores de CD. A este tipo de controladores se les ha denominado controladores PI generalizados (control GPI), por su gran semejanza con los controladores PID.
En [8] se presenta de manera importante el diseño e implementación experimental de sistemas electromecánicos en los que se usan motores de CD como actuadores. Sólo se usan mediciones de la corriente eléctrica y la posición es reconstruida integrando directamente las ecuaciones del modelo dinámico de la planta. En este trabajo se plantea el control de posición, estableciendo que la posición no es observable desde la corriente eléctrica, para hacerla observable se colocó un resorte entre la flecha del motor y un punto fijo en la “pared” para resolverlo usando control GPI. En el caso del control de posición y velocidad del motor de imán permanente, se realizó la medición de la corriente de armadura a partir de la medición de voltaje producido en una resistencia de potencia colocada en serie con el circuito de armadura. El controlador utilizado fue una computadora con una tarjeta de adquisición de datos PCL–711S.
1.3.2.
Control de velocidad
Otro esquema de control sin utilizar sensores se presentó en [9] y [10], el control de velocidad del motor de CD con escobillas, por medio de la medición del voltaje de la fuerza contra-electromotriz (fcem). El voltaje de la fcem es proporcional a la velocidad del motor. El voltaje debido a la fcem se mide entre los pulsos de la señal de Modulación por Ancho de Pulso (del inglés PWM), cuando uno de los lados del motor esta flotando y el otro está a tierra, en este instante de tiempo el motor actúa como generador y produce un voltaje debido a la fcem proporcional a la velocidad. El trabajo citado en [9] sólo llegó a la medición y simulación, mientras que en [10] sólo se comenta el método.
Por otro lado, en [11] se describe un método para estimar la velocidad de un motor de CD con escobillas, esto se logra mediante la medición de la corriente/voltaje de la armadura, eliminando dispositivos que midan la velocidad. Se emplea un observador de filtro de Kalman extendido para estimar en tiempo real la velocidad y temperatura de la armadura usando los modelos eléctricos, mecánicos y temperatura del motor. El observador se implementó usando un DSP TMS320C30. El motor que se empleó fue de 3 kW, pero el método puede ser aplicable a manejadores de CD de cualquier potencia.
Así, también en [12] se propone una solución para control de velocidad en motores de CD con escobillas sometidos a perturbaciones en el torque. Se presentan esquemas tipo observador para la estimación robusta de la velocidad, aceleración y torque a par-tir de mediciones del voltaje y la corriente. Se proponen tres esquemas de estimación para la velocidad del motor, aún con la presencia de perturbaciones en el torque, y se estudian los efectos de las variaciones en los parámetros del motor, seleccionando el es-quema de estimación robusta en estado estacionario. Los resultados obtenidos se ilustran
1.3. ESTADO DEL ARTE: CONTROLADORES DE MOTORES ELÉCTRICOS 7
únicamente con simulaciones y mediciones hechas a partir del uso de un manejador pa-ra un motor de CD excitado sepapa-radamente, alimentado por un convertidor de voltaje corriente-controlada.
Se propone en [13] un control de regulación de velocidad para un motor de CD de imán permanente con escobillas, el cual no usa un sensor de velocidad en su retroalimen-tación. El motor de CD es alimentado por un convertidor de corriente directa a corriente directa (CD/CD) de topología Buck. Se utiliza la técnica del circuito promedio para la sintonización del controlador PI. El convertidor de potencia del tipo Buck se diseña para proporcionar corriente continua en la armadura del motor bajo todas las condiciones de carga. Cuando se mide el voltaje de salida del convertidor, la corriente de armadura del motor y se tiene el conocimiento de los parámetros del motor, la velocidad de referencia se calcula y se utiliza para el control del amplificador de potencia, para contrarrestar la respuesta en velocidad angular ante una perturbación de carga mecánica en el eje del motor. En este caso la eficiencia del método se demostró a partir de simulaciones.
Recientemente, en [14] se presentó el control de la velocidad de motores de CD de imán permanente con escobillas. Se propone un esquema de control basado en planitud diferencial, con lo que se consigue que el controlador propuesto no necesite sensores de velocidad electromecánicos para medir las velocidades angulares de los motores. Se toma en cuenta el hecho de que la inductancia del motor es diferente de cero. El controlador se construye utilizando únicamente medidas de tensión y corriente de armadura. El comportamiento de la estrategia de control propuesta se verifica mediante simulaciones. En reciente trabajo [15] se presenta el diseño y la implementación de algoritmos pro-gramados en forma analógica para el control suave de velocidad de un motor de CD de imán permanente con escobillas accionados por convertidores de potencia CD/CD. Se estudian cuatro topologías: buck, boost, buck-boost y buck-buck. Mediante estos al-goritmos de control basados en el modelo promedio de los sistemas de acoplamiento convertidor-motor, se resuelve el problema de los transitorios abruptos en el circuito de armadura del motor. La implementación práctica de estas topologías se llevó a cabo mediante el uso de circuitos analógicos convencionales, tarjeta de adquisición de datos
y los algoritmos de control mediante la programación en Matlabr–Simulink°R.
1.3.3.
Control de posición-velocidad
En [16] se presentó un método para medir la posición y la velocidad de un motor de CD de imán permanente con escobillas mediante la medición de la corriente/voltaje en las líneas de alimentación del motor cuando se mueven las escobillas de una delga a otra en el conmutador. La frecuencia de variación de los pulsos producidos de voltaje en las líneas del motor es proporcional a la velocidad del motor, mientras que monitoreando los cambios de un segmento del conmutador a otro nos proporciona la posición del motor. Se probó de manera satisfactoria en un motor con una caja de reducción de 60/1, utilizando como controlador un microcontrolador.
En [17] se reporta un esquema de control de posición y velocidad de un motor de CD de imán permanente sin escobillas de 6 polos, sin utilizar sensores de posición y
velocidad. Se presentan dos enfoques: uno basado en el modelo del voltaje del motor y otro basado en el modelo de corriente. Uno de los enfoques de este algoritmo de control consiste en usar las diferencias entre el estado real detectado y el estado estimado, que se calcula de un modelo equivalente del motor. El procedimiento de arranque es un problema común en este enfoque, ya que el algoritmo de control utiliza la corriente y el voltaje del motor para la estimación de la posición del rotor, pero dicha información no se encuentra disponible cuando se inicia la operación del motor. La solución a este problema se plantea por medio del enfoque denominado máquina de polos proyectados, en el que dado que la inductancia está en función de la posición del rotor, entonces la posición en inactividad puede estimarse con una buena identificación de la inductancia. En este caso los esquemas de control se implementaron para un motor de CD de imán permanente de alta potencia (1.2 kW y 2.2 kW) sobre un DSP TMS320C25.
Por otro lado, en [18] y [19] realizan un estudio de los transitorios eléctricos que se producen en el circuito de armadura de las máquinas de corriente directa cuando se varía su velocidad en su eje. Los diseños de los controladores de velocidad, posición y par se calculan mediante funciones de transferencia y soluciones analíticas en el tiempo de los transitorios eléctricos. Ahora bien, el control de velocidad y par del motor se implementan en cascada, donde el lazo interno para el control del par y el lazo externo para el control de velocidad emplean el mismo tipo de compensador PI clásico. Las ganancias de los controladores se calculan con diversos métodos, característicos de los sistemas con retroalimentación lineal [20]. Para este caso, son adecuados los métodos de frecuencia de cruce y margen de fase.
Por otro lado, en [21] se aborda el problema teórico-práctico de la reconstrucción de estados para la solución de problemas de regulación de velocidad y el control de posición de motores de CD con escobillas, empleando controladores analógicos de simple imple-mentación con componentes electrónicos analógicos de uso convencional. Se demuestra la aplicación en tiempo real de los esquemas de control GPI para la regulación de velocidad o posición.
1.4.
Planteamiento del problema
Se ha realizado el estado del arte asociado a los problemas de control de posición, velocidad y posición/velocidad, con y sin el uso de sensores electromecánicos en motores de CD con escobillas de imán permanente. Respecto a esto, es conveniente mencionar que se han llevado a cabo diversas investigaciones cuyos resultados han permitido un avance significativo pero no total en estos tres aspectos, ya que la mayoría resuelve el problema a nivel de regulación y no a nivel de seguimiento de trayectoria.
En aplicaciones donde se controlan motores de CD, frecuentemente los circuitos que manejan la corriente y el mismo motor, sufren el problema de los transitorios abruptos de corriente que se generan en el circuito de armadura del motor, al regular su variable de velocidad angular en su eje cuando se pasa de un nivel de velocidad en equilibrio a otro. Así también, en el arranque del motor, casi siempre la amplitud de los transitorios de corriente en el circuito de armadura, la mayoría de las ocasiones sobrepasan los niveles
1.5. OBJETIVO 9
nominales eléctricos para el cual fue diseñado eléctricamente el motor, provocando con ésto, que los circuitos manejadores de corriente que controlan al motor puedan llegar a sufrir daños destructivos.
Para resolver estos abruptos de corriente, se puede resolver de dos maneras, por un lado se podrían implementar filtros a nivel de hardware mediante circuitos y por otro, en este trabajo se propone resolverlo mediante la implementación de controladores que permitan seguir una trayectoria de velocidad suave, con la cual se evita que se pase abruptamente de un nivel de velocidad a otro. Los controladores que se proponen son tres: PID, planitud diferencial y GPI, a los que se les impondrá seguir una trayectoria definida por un polinomio de Bézier.
1.5.
Objetivo
Una vez que se ha constituido el estado del arte sobre los esquemas de control y el planteamiento del problema de los motores de CD, es posible definir el objetivo del presente trabajo, el cual consiste en diseñar y construir un prototipo de un módulo de motor de CD de imán permanente, e implementar distintas técnicas de control au-tomático, que permitan realizar la tarea de seguimiento suave de trayectoria de velocidad angular. Dicho prototipo pretende emplearse con fines didácticos y en futuros proyectos de investigación. Para lograr este objetivo, se propone la siguiente metodología:
1. A partir del modelo de un motor de CD de imán permanente con escobillas llevar
a cabo la caracterización del motor de CD GNM5440E .
2. Diseñar el control asociado al motor de CD de imán permanente mediante
di-ferentes técnicas de control automático para realizar la tarea de seguimiento de trayectoria de velocidad.
3. Realizar las simulaciones pertinentes mediante Matlabr–Simulink°R de las leyes
de control desarrolladas en 2 para el problema de seguimiento de trayectoria de velocidad.
4. Diseñar las tarjetas electrónicas de potencia para el manejo del motor mediante el
software Altium Designer°R y realizar su fabricación.
5. Diseñar el prototipo del módulo de motor mediante el software SolidWorks°R para
su fabricación y ensamblado.
6. Llevar a cabo la integración de las partes de control, electrónica y mecánica del
prototipo del módulo de motor de CD.
7. Realizar la experimentación de los controladores para el seguimiento de trayectoria
de velocidad angular deseada en el prototipo, mediante el uso de la tarjeta de
1.6.
Recursos
Los recursos usados para realizar el diseño y construcción del prototipo se desglosan a continuación:
a) Materiales
¦ Aluminio.
¦ Acrílico.
¦ Motor de CD de imán permanente con escobillas.
¦ Fuente de voltaje de 24 VCD.
¦ Tarjeta de potencia para el motor.
¦ Cables y/o alambre.
¦ Dispositivos electrónicos diversos.
b) Medios
¦ Laboratorio (osciloscopio, multímetro, cautín, etc).
¦ Computadora.
¦ Software Matlabr–Simulink°R.
¦ Software para programar el DSP de la tarjeta DS1104 de dSPACE°R.
¦ Software SolidWorks°R.
¦ Software Altium Designer°R.
c) Recursos financieros
¦ El prototipo se financió en parte por la SIP-IPN a través del proyecto 20090133,
y recursos personales, con la intención de que el prototipo sirva como base para la investigación, prueba e implementación de leyes de control automático para el control de motores de CD de imán permanente con escobillas en el área de Mecatrónica del CIDETEC-IPN.
1.7. ESTRUCTURA DEL TRABAJO 11
1.7.
Estructura del trabajo
El presente trabajo está dividido en 6 capítulos y 4 apéndices según se indica a continuación:
En el Capítulo 1, se presenta un panorama acerca de lo que se ha realizado en el control de posición, velocidad y posición-velocidad de motores de CD.
El Capítulo 2 se centra en el desarrollo del modelo dinámico del motor de CD y la caracterización del mismo.
En el Capítulo 3 se aborda el desarrollo de tres controladores a saber, PID (cional Integral Derivativo), planitud diferencial y GPI (del inglés Generalized Propor-tional Integral) para llevar a cabo la tarea de seguimiento de trayectoria de velocidad angular en el motor de CD del prototipo y se presentan los resultados obtenidos a nivel de simulación.
En el Capítulo 4 se expone lo concerniente a la etapa de diseño mecánico del pro-totipo, así como la etapa de electrónica de potencia para el motor y de la tarjeta de control.
En el Capítulo 5 se presenta la instrumentación en tiempo real de los tres contro-ladores desarrollados en el capítulo 3 para realizar la tarea de seguimiento de trayectoria de velocidad en el motor del prototipo.
En el capítulo 6 se presentan las conclusiones y perspectivas futuras del trabajo. Finalmente, en el apéndice A se muestran las hojas técnicas del motor GNM5440 y encoder E6B2, utilizados en el prototipo. En el apéndice B se presenta el diseño del prototipo mediante los planos mecánicos. En el apéndice C se muestran las hojas técnicas de los componentes del puente H LMD18200 y optoacoplador 6N137 y por último, en el apéndice D se presentan una serie de tablas donde se muestra la distribución de las
Capítulo 2
Motor de CD
Dentro de los sistemas mecatrónicos, el motor de imán permanente de CD o PMDC (del inglés Permanent Magnet Direct Current) es de los más utilizados tal como ya se ha explicado en el capítulo 1, es por ello que resulta conveniente abordar en el presente capítulo el modelo matemático que se aproxime al motor de CD que se utilizará en el prototipo.
Como se sabe, los parámetros que ofrece el fabricante en las hojas técnicas, en este caso sobre el motor a utilizar, en general son un aproximado para la línea de motor que fabrican, pero no representan necesariamente los parámetros del motor en particular que se usa. Es por esto, que resulta conveniente que se realicen los experimentos para obtener los parámetros más aproximados del motor a utilizar, considerando que estos parámetros se utilizarán en el capítulo 3, donde formarán parte del diseño de los controladores PID, planitud diferencial y GPI, así como en la implementación de los mismos en el capítulo 5, de esta forma, en la sección 2.1 se describen las ecuaciones características del modelo, obtenidas a partir de las leyes de voltaje de Kirchhoff y Newton. En la sección 2.2 se describen los experimentos realizados para obtener los parámetros del motor, y para más detalles se puede consultar el apéndice C.1, donde se muestran las hojas técnicas del mismo.
2.1.
Modelo matemático de un motor de CD
En la Figura 2.1 se muestra un motor de CD que mueve a una carga a través de una caja de engranes. Esta carga bien puede ser la rueda de un robot móvil o cualquier otro mecanismo como la polea, husillo etc., de un sistema electromecánico o mecatrónico. La nomenclatura utilizada es la siguiente:
¦ u es el voltaje aplicado en las terminales de armadura del motor.
¦ i es la corriente eléctrica de armadura.
¦ Θ es la posición angular del rotor del motor.
a
Figura 2.1: Motor de CD.
¦ θ es la posición angular de la carga.
¦ ea = ke˙Θ es la fuerza contra-electromotriz, donde ke es la constante de fuerza
contra-electromotriz.
¦ T = kmi es el par electromagnético generado, donde km es la constante de par del
motor.
¦ Tc es el par equivalente de la carga reflejado sobre la flecha del motor. Este par se
opone al movimiento del motor (sentido contrario a Θ).
¦ TL es el par reflejado de la entrada de los engranes a la salida en la carga.
¦ Tp es un par de perturbación que se aplica desde el exterior. Se supone que este
par se opone al movimiento de la carga (sentido contrario a θ). Si no es así todo
es cuestión de considerar que Tp es negativo.
¦ Ta es el par aplicado en la carga.
¦ L es la inductancia de armadura.
¦ R es la resistencia de armadura.
¦ Jm es la inercia del rotor del motor.
¦ bm es la constante de fricción viscosa del motor.
¦ JL es la inercia de la carga.
¦ bL es la constante de fricción viscosa de la carga.
¦ n1 y n2 representan el número de dientes del engrane del eje del motor y del eje
2.1. MODELO MATEMÁTICO DE UN MOTOR DE CD 15
2.1.1.
Modelo del subsistema eléctrico
Aplicando la Ley de voltajes de Kirchhoff al circuito de armadura que se muestra en la Figura 2.1 se tiene:
voltaje aplicado = Xcaidas de voltaje en la malla
u = caida en la inductancia + caida en la resistencia +
+f uerza contraelectromotriz
u = L di
dt + R i + ea, ea= ke˙Θ, (2.1)
donde el punto “ ˙ ” representa la primera derivada respecto al tiempo.
2.1.2.
Modelo del subsistema mecánico
Un tren de engranes, o una banda sobre una polea son dispositivos mecánicos que transmiten energía desde una parte del sistema a otro, de tal forma que se alteran la velocidad, el desplazamiento, la fuerza y el par. Estos dispositivos también se pueden ver como dispositivos de acoplamiento empleados para lograr la máxima transferencia de potencia [22]. En la Figura 2.2 se presenta el motor acoplado con dos engranes a una polea. La inercia y la fricción de los engranes se desprecian en este caso ideal.
Eje del motor
Carga m b L T a T L J L b 1 n 2 n Jm T ò Ê Tc
Figura 2.2: Modelo motor-caja de engranes-carga.
Para realizar el análisis de transmisión del par aplicado (Ta), en una carga acoplada al
motor a través de una caja de engranes, se realizan las siguientes relaciones matemáticas,
entre el número de dientes n1 y n2, los ángulos de desplazamiento Θ y θ y los pares de
torsión transmitidos Tc y TL esto es:
Tc TL = n1 n2 −Θ θ = n2 n1 . (2.2)
Ahora realizando las ecuaciones correspondientes a los pares en cada lado de la caja de engranes tenemos: Jm d2Θ dt2 + bm dΘ dt + Tc= 0 (2.3) JL d2θ dt2 + bL dθ dt + TL = Ta. (2.4)
Considerando las ecuaciones de (2.2), despejando Tc y Θ se tiene:
Tc= TL n1 n2 y Θ = −θn2 n1 . (2.5)
Al substituir las ecuaciones (2.5) en (2.3), se tiene que,
TL= µ n2 n1 ¶2 Jm d2θ dt2 + µ n2 n1 ¶2 bm dθ dt. (2.6)
Ahora que se tiene (2.6) se substituye en (2.4) para obtener el par que se aplica en la carga, quedando en términos de θ.
JL d2θ dt2 + bL dθ dt + µ n2 n1 ¶2 Jm d2θ dt2 + µ n2 n1 ¶2 bm dθ dt = Ta. (2.7)
Reordenando (2.7) y considerando a n = n2/n1 se tiene la forma de obtener el par
aplicado en la carga: Ta= ¡ JL+ n2Jm ¢ d2θ dt2 + ¡ bL+ n2bm ¢ dθ dt. (2.8)
2.1.3.
Modelo del motor de CD
Si se hacen las siguientes equivalencias:
J = JL+ n2Jm
b = bL+ n2bm
Ta = nTm = nkmi
(2.9) se puede reescribir (2.8)como:
Jd 2θ dt2 + b
dθ
dt = nkmi. (2.10)
Finalmente, para completar el modelo del motor se considera el subsistema eléctrico, el cual quedo determinado por la ecuación (2.1) y considerando (2.5) pero sin el signo, dado que lo único que interesa son las revoluciones del motor debido a la relación de engranes en la caja de reducción del motor, se tiene,
u = Ldi dt + Ri + ea, ea= ke dΘ dt = nke dθ dt = nkeω . (2.11)
2.1. MODELO MATEMÁTICO DE UN MOTOR DE CD 17
De esta manera, expresando la ecuación (2.10) en términos de la velocidad angular,
ω = ˙θ y la ecuación asociada al subsistema eléctrico determinada por (2.1), finalmente el
modelo matemático asociado a un motor de CD que toma en cuenta la caja de engranes (2.9), queda determinado por,
Jdω
dt + bω = nkmi
Ldi
dt + Ri + nkeω = u.
(2.12) donde ω representa la velocidad del motor en la salida de la caja de engranes.
Estas ecuaciones (2.12) representan el modelo matemático del conjunto motor de CD-carga, porque si se conocen todas las constantes así como el voltaje de armadura aplicado, u(t), se pueden resolver las ecuaciones diferenciales para calcular la velocidad angular ω(t) y/o posición θ(t) de la carga, como una función del tiempo.
2.1.4.
Relación entre k
my k
eLa constante de par km y la constante de fuerza contraelectromotriz keson dos
pará-metros separados para un motor dado, pero sus valores están estrechamente relacionados por la igualdad en su valor numérico. Esta igualdad se puede comprobar considerando la operación del motor en estado estacionario y el balance de potencia cuando se desprecia la resistencia del rotor [22]. Es decir, la potencia mecánica P de entrada desarrollada en la armadura está dada por:
P = ea(t)i(t), (2.13)
la potencia mecánica P entregada al eje es,
P = T (t)ω(t). (2.14)
En la condición de estado estacionario, la potencia de entrada es igual a la potencia
entregada al eje, de modo que podemos igualar (2.13) y (2.14), considerando que ea = keω
y T = kmi, tenemos que,
(keω)i = (kmi)ω
ke = km, (2.15)
donde, en las unidades del SI, T (t) está en N·m y ω(t) está en rad/s, obteniéndose que:
ke [V/(rad/s)] = km [N·m/A]. (2.16)
Ahora bien, para el caso del motor que se usa en el prototipo de este trabajo, éste cuenta con una caja de reducción de 14.5:1, lo que quiere decir que la velocidad en la salida de la caja es 14.5 veces más lenta que la velocidad del rotor, por lo que la ecuación (2.15) debe ser replanteada como sigue,
(keω)i = (kmri)
ω
14.5
14.5ke = kmr,
(2.17)
donde kmr representa la constante de par motor después de la caja de reducción. En la
Figura 2.5 se puede apreciar este comportamiento.
2.2.
Caracterización del motor de CD a emplear
Una vez que se conoce el modelo matemático del motor y los parámetros que
inter-vienen, como son: la resistencia R, la inductancia L, la fricción viscosa bm, la inercia
del rotor Jm, la relación de engranes n, la constante de fuerza contra-electromotriz ke,
la constante de par del motor km, se realizó una serie de experimentos que permitieron
determinar los valores de estos parámetros que caracterizan al motor GNM5440 del
fabricante MicroMor.
La identificación de los parámetros del motor, permiten por un lado, que se utilicen para recrear el motor en un ambiente de simulación, permitiendo probar las leyes de control que se diseñen para el control del motor, y por otro lado, los controladores que se diseñarán utilizan como parte de la ley de control los parámetros del mismo. Es por esto que la mayor aproximación que se logre en la identificación de los parámetros conllevará en un buen control del motor.
2.2.1.
Resistencia de armadura R
Se realizó un experimento donde además de permitir calcular la resistencia eléctrica del motor, también permitió calcular otros parámetros que se realizan más adelante. El experimento consistió en bloquear el rotor del motor para diferentes voltajes de ali-mentación, midiendo la corriente correspondiente. El bloqueo se llevó a cabo mediante la colocación de un brazo de 0.195 m en la flecha del motor, colocándole en el extremo una masa de cierto peso. Se ajusta el voltaje del motor hasta que el brazo queda coloca-do horizontalmente y sin rotación, es decir perpendicular a la dirección de la gravedad, tal como se aprecia en la Figura 2.3. Se mide la corriente y el voltaje resultante en la armadura del motor. Este experimento se repite usando masas de valor diferente. Los datos obtenidos se muestran en la Tabla 2.1. En la Figura 2.4 se grafican los valores correspondientes y la aproximación de los datos mediante una recta que los ajusta. Para obtener el valor de la resistencia basta con tomar un punto de las coordenadas de la gráfica y se calcula la resistencia como
R = u
I =
1.236
2.2. CARACTERIZACIÓN DEL MOTOR DE CD A EMPLEAR 19
Figura 2.3: Experimento para para determinar R y Km.
M [kg] 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 2.0
i [A] 0.37 0.46 0.6 0.73 0.81 0.92 1.02 1.13 1.16 1.28 2.46
u [V] 0.35 0.48 0.58 0.68 0.81 0.9 0.99 1.09 1.19 1.24 2.33 Tabla 2.1: Mediciones de u vs i en la armadura del motor a rotor bloqueado.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
i [A]
u
[V]
2.2.2.
Constante de par k
mLa constante de par del motor, permite saber o estimar el comportamiento de par que tendrá el motor en función de la corriente que demanda, como ya se había indicado
con anterioridad, la ecuación (2.17) establece que la constante de par kmr (constante par
después de la caja de reducción), es directamente proporcional a la relación de engranes
de la caja de reducción del motor y a la constante de fuerza contraelectromotriz ke. Para
saber o estimar esta constante se utilizan los valores de la tabla de datos del experimento de medición de la resistencia, considerando las ecuaciones (2.19), donde M es la masa
que se usa en la Tabla 2.1, F es la fuerza ejercida, Lb es la longitud del brazo y τ es el
par ejercido por el motor.
F = 9.81 ∗ M [N]
Lb = 0.195 [m]
τ = F ∗ Lb [N · m].
(2.19) Aplicando los datos de la Tabla 2.1 en (2.19), se obtiene la gráfica que se muestra en la Figura 2.5, donde se observa sobre un punto de la línea ajustada que,
kmr = 3.885 [N · m] 2.46 [A] = 1.58 N · m A . (2.20) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 i [A] τ [N−m]
Figura 2.5: Característica τ vs i del motor.
Este dato que se obtiene, representa la constante de par en la salida de la caja de
engranes del motor, por lo que numéricamente hablando es distinto a ke, si se desea
2.2. CARACTERIZACIÓN DEL MOTOR DE CD A EMPLEAR 21
la que se podría calcular ke = 1.58/14.5 = 0.108 V/(rad/s). Si se considera la constante
km en el rotor del motor, esta tendría un valor de km = 0.108 N·m/A. Para determinar
un valor más aproximado de km, se considerará que esta constante es igual a ke en
cuanto al valor numérico. Por lo tanto se tomará el valor que se obtenga del siguiente
experimento para conocer ke.
2.2.3.
Constante de fuerza contra-electromotriz k
eDe acuerdo al modelo matemático del motor de CD (2.12), cuando el motor se es-tabiliza, la corriente de armadura es constante, por lo que la constante de la fuerza contraelectromotriz se puede calcular como:
Ldi
dt + Ri + nkeω = u (2.21)
ke =
u − Ri
nω . (2.22)
Para obtener este parámetro, se observa que se necesita medir en el motor, el voltaje, la corriente, la velocidad angular y conocer la resistencia de armadura que se obtuvo del experimento anterior, así como tener presente que para el motor usado, la relación de engranes de la caja de reducción es n = 14.5. Para realizar este experimento, se aplicó un voltaje constante en la armadura del motor, se esperó un tiempo suficiente para que la corriente de armadura fuera constante. Se midieron: el voltaje aplicado, la corriente de armadura y la velocidad del motor resultantes. La resistencia se obtuvo del experimento anterior donde se calculó que es de R = 0.965 Ω.
(a) u 0.9 1.4 2 3.1 4.1 5 6 7.1 9 10.1 i 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21 0.22 ω 0.36 0.72 1.04 1.76 2.28 2.56 3.19 4 5.17 5.78 ke 0.1461 0.1211 0.123 0.1154 0.119 0.13 0.1257 0.1182 0.1173 0.118 (b) u 11.1 12.1 13 14 15 16 17.2 18 19 19.3 i 0.23 0.23 0.24 0.24 0.25 0.26 0.26 0.26 0.27 0.26 ω 6.42 6.94 7.52 8.07 8.74 9.28 9.96 10.49 11.05 11.19 ke 0.1168 0.118 0.117 0.1176 0.1164 0.117 0.1173 0.1166 0.1169 0.117
Tabla 2.2: Cálculo de la constante ke.
Estos datos que se muestran en las Tablas 2.2 se usan con la ecuación (2.22) para
calcular ke. Los datos calculados se grafican como se muestra en la Figura 2.6, ajustada
por el método de mínimos cuadrados, donde la recta horizontal representa el valor de
ke = 0.1201 V/(rad·s). (2.23) 0 5 10 15 20 25 0.115 0.12 0.125 0.13 0.135 0.14 0.145 0.15 0.155 Medición k e [V/(rad/s)]
Figura 2.6: Ajuste de la constante ke.
2.2.4.
Constante de fricción viscosa b
mConocido ya el modelo mecánico equivalente del motor con caja de engranes y
recor-dando que b = bL+ n2bm, se tiene que de (2.12),
Jdω
dt + bω = nkmi , (2.24)
cuando el motor alcanza el estado estable, la velocidad angular ω(t) del motor es cons-tante, y como además el motor opera sin carga, (2.24) se reduce a:
bm =
kmi(t)
nω(t). (2.25)
Utilizando los datos de las Tablas 2.2 y considerando que km = ke, km = 0.1201 N·m/A
en el rotor del motor, se pueden calcular los valores correspondientes para bm. Se
mues-tran en la Figura 2.7 los valores individuales obtenidos de bm y mediante el método de
mínimos cuadrados, se ajusta una línea recta horizontal que nos proporciona el valor de la constante de fricción viscosa.
2.2. CARACTERIZACIÓN DEL MOTOR DE CD A EMPLEAR 23 0 5 10 15 20 25 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3x 10 −3 Medición b m [N ⋅ m/(rad/s)]
Figura 2.7: Ajuste de la constante bm.
2.2.5.
Inercia del rotor del motor J
mEl motor utilizado es de reciente adquisición encontrándose herméticamente cerrado, por lo que se consideró no abrirlo. Por lo tanto, para estimar la inercia del rotor se decidió usar el procedimiento aproximado reportado en [23]. La carcasa del motor es cilíndrica por lo que una buena aproximación consiste en suponer que el rotor también lo es. La inercia de un cilindro que gira sobre su eje está dado como [24]:
Jm =
mr2
2 , (2.27)
donde m y r representan, respectivamente la masa y el radio del cilindro. Si se considera la presencia de imanes permanentes en el interior de la carcasa se asume que el diámetro del rotor es:
Φ = 0.05 m.
De acuerdo a las especificaciones del fabricante, el motor que se usa, modelo GNM5440, la masa del motor completo, es decir carcasa y rotor es de:
M = 2.8 kg.
Considerando la presencia de imanes permanentes dentro de la carcasa, se asume que una buena aproximación para la masa del rotor es:
De esta manera se calcula, que la inercia del motor es aproximadamente:
Jm =
mr2
2 = 56.25x10
−5kg·m2.
2.2.6.
Inductancia del motor L
Para obtener la inductancia se realizó un experimento. Se energizó el motor mediante una entrada escalón de 5 VCD, y mediante un osciloscopio con capacidad de memoria, se pudo observar que el tiempo en el cual el motor llega a tener el 63.2 % del voltaje de
entrada era de τe = 2.3 ms y con una resistencia de armadura del motor R=0.965 Ω.
Por lo que se tiene:
τe =
L
R (2.28)
L = τeR = 2.219 mH.
2.2.7.
Resumen de los parámetros del motor a usar
Después de haber concluido con los experimentos para obtener los parámetros del motor, se tiene en la Tabla 2.3 la concentración de estos resultados. Como referencia para comparación, también se muestran los datos del fabricante en la Tabla 2.4 y para más detalles se puede consultar el Apéndice A.
Parámetro Descripción Valor Unidad
Resistencia de armadura. 0.965
Inductancia de armadura. 0.002219 H Inercia del motor. 0.0005625 kg·m² Fricción viscosa. 0.000588 N·m/(rad/s) Constante de fcem. 0.1201 V/(rad/s) Constante de par. 0.1201 N·m/A
R Ò L Jm bm ke km
Tabla 2.3: Parámetros obtenidos experimentalmente.
De los parámetros obtenidos, cabe hacer notar que Jmy bm son parámetros del motor
y no representan la caja de reducción ni la carga del motor. Para obtener los datos aproximados con la caja de reducción y carga, deben tenerse presente las ecuaciones (2.9), donde se relaciona la caja de engranes con estos parámetros. Por otro lado, las
constantes ke y km, se encuentran relacionadas por su valor numérico, es decir, se pueden
2.2. CARACTERIZACIÓN DEL MOTOR DE CD A EMPLEAR 25
Parámetro Descripción Valor Unidad
Resistencia de armadura. 0.7
Inductancia de armadura. 0.0022 H Inercia del motor. 0.0001981 kg·m² Fricción viscosa. no informa N·m/(rad/s) Constante de fcem. 0.1178 V/(rad/s) Constante de par. 0.1169 N·m/A
R L Jm bm ke km Ò
Tabla 2.4: Parámetros obtenidos de la hoja del fabricante.
Unidades, por lo que podría bastar con la obtención de una de ellas para conocer la otra. Respecto a la constante de fricción viscosa, este parámetro no lo reporta el fabricante por lo que la obtención de éste era indispensable para ser usado dentro de la ley de control por planitud diferencial y por GPI. Finalmente cabe mencionar, que el parámetro de la resistencia no es conveniente obtenerlo sólo midiendo las terminales del motor, debe realizarse a través de mediciones de corriente y voltaje a rotor bloqueado, con lo que se obtendrá un valor más confiable.
Capítulo 3
Controladores y simulaciones
Una vez que se ha caracterizado el motor a usar en el prototipo y mediante el modelo del motor de CD, es posible llevar a cabo el desarrollo de los controladores tipo: PID, planitud diferencial y GPI, para realizar el control del seguimiento de trayectoria de velocidad del motor y llevar a cabo las simulaciones correspondientes a cada controlador. En la sección 3.1 se desarrolla la ley de control PID y se lleva a cabo el proceso de sintonización considerando el polinomio característico de la función de transferencia del error mediante el arreglo de Routh-Hurwitz. En la sección 3.2 se realiza a partir del modelo dinámico del motor, la deducción de la ley de control por planitud diferencial, quedando las variables de estado y la entrada en términos de la salida plana del motor. En la sección 3.3 se desarrolla la ley de control por GPI, la cual no requiere del uso de sensores electromecánicos para medir la variable de velocidad a controlar y sólo requiere del uso de la medición del voltaje de entrada al motor y la corriente de salida del mismo para reconstruir la variable de velocidad. Por último, en la sección 3.4 se presentan los
programas desarrollados en Simulinkr para cada controlador, así como los resultados
de la simulación para una trayectoria de velocidad basada en un polinomio de Bézier de sexto orden.
3.1.
Controlador PID
Considerando el control de velocidad del motor mediante un controlador PID como
se muestra en el esquema de la Figura 3.1, se desea que ω → ω∗ y por lo tanto que el
error de velocidad tienda asintóticamente a cero es decir e(t) → 0.
La función de transferencia entre la señal de error, e(s), y la entrada al sistema, u(s), está dada por
u(s) e(s) = µ Kp+ Ki s + Kds ¶ = 1 s ¡ Kds2+ Kps + Ki ¢ e(s). (3.1)
El error de seguimiento, e(s), satisface entonces que,
Î
Î
+ + + + -Kds Ki s1 Kp e(s) u(s) Motor CD !(s) !*ã (s) G(s) Gc(s) Controlador PID Planta ErrorReferencia Entrada Salida
Figura 3.1: Controlador PID - Motor CD.
e(s) = ω∗(s) − G(s)u(s) e(s) = ω∗(s) − G(s)1 s(Kds 2+ K ps + Ki) e(s). (3.2) Entonces, e(s) = sω ∗(s) s + G(s) (Kds2+ Kps + Ki) . (3.3)
Para señales de referencia ω∗(t) = ω
ref constantes, el error en estado estacionario,
ess, siempre es cero, irrespectivamente del tipo de sistema de que se trate. De acuerdo
con el teorema del valor final esta condición está dada por
ess= l´ım
t→∞e(t) = l´ıms→0sE(s). (3.4)
Así, para un sistema en lazo cerrado donde se encuentra en trayectoria directa el
controlador Gc(s) y la planta G(s), se tiene que el error en estado estable es
ess= l´ım s→0 · s 1 1 + G(s)Gc(s) ω∗ ¸ . (3.5)
Para el caso del controlador PID y motor de CD como el del esquema de la Figura 3.1 se tiene que ess = l´ım s→0 s e(s) = l´ıms→0 s2ω ref s + G(s) (Kds2+ Kps + Ki) = 0. (3.6)
3.1.1.
Parámetros del controlador K
p, K
i, K
dConsiderando el modelo comportamental del motor de CD, descrito por las ecuaciones de estado:
