Plan de actividades docentes: Mecánica del Continuo

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Plan de actividades docentes:

Mec´

anica del Continuo

Javier A. Diez

1. Descripci´

on de la asignatura

Esta asignatura corresponde al último año de la Licenciatura en F´ısica, y le brinda al alumno una visión clásica de la materia, entendida ésta como un medio continuo, sin estructura atómica o molecular. Dado que contiene los elementos introductorios de la Teor´ıa de la Elasticidad y la Mecánica de los Fluidos, presupone conocimientos básicos previos de estos temas, como los que aparecen en los contenidos m´ınimos de la asignatura F´ısica II en dicha carrera. También son necesarios conocimientos firmes de cálculo vectorial y análisis complejo (el curso incluye una breve introducción al cálculo tensorial).

1.1. Contenidos m´ınimos (Plan de Estudios de Licenciatura en F´ısica)

Descripción de la deformación y las fuerzas en medios cont´ınuos. Cinemática de los cuerpos defor-mables. Termodinámica de las deformaciones. Teor´ıa de la elasticidad. Dinámica de fluidos. Relaciones constitutivas. Fluido newtoniano. Sólido de Hooke.

Modalidad: Te´orico y Pr´actico.

Duración: Cuatrimestral. Total horas semanales: 10 (4 Teor´ıa / 4 Práctica + 2 Consultas) Fecha de iniciación: 1er cuatrimestre - 5to año

2. Objetivos generales

Los objetivos que se buscan lograr mediante el dictado de esta asignatura son que el alumno: 1. Sea capaz de comprender los alcances y las limitaciones que conlleva asumir la descripci´on de la

materia bajo la hip´otesis del continuo.

2. Maneje los conceptos y herramientas de cálculo necesarias para llevar adelante el estudio de un problema de deformación de un sólido o flujo de un fluido.

3. Posea los conocimientos suficientes para continuar con el estudio de propagación de ondas mecáni-cas en medios elásticos y en fluidos.

3. Estructura de la asignatura

La asignatura comienza con la descripción de los esfuerzos que pueden ocurrir en el seno de un medio continuo, sin precisar si se trata de un sólido o un fluido (en la concepción intuitiva de estas fases de la materia). La noción de deformación y de tasa de deformación es lo que permitirá realizar una distinción más clara y cualitativa entre sólido y fluido [1, 2]. De esa manera, se define al sólido simple como aquel medio continuo cuya deformación tiende a cero cuando los esfuerzos tienden a cero.

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Medio continuo (Caps. 1 y 2) 1 2 3 4 Elasticidad (Caps. 3 y 4) Fluidos (Caps. 5 − 9) Ondas en fluidos Ondas en solidos´ 0

Figura 1: Esquema representativo de la estructura de la asignatura.

Análogamente, se define el fluido simple como el medio continuo que no puede evitar la deformación, pero cuya tasa de deformación tiende a cero cuando los esfuerzos se vuelven muy pequeños.

Por estas razones, la asignatura se construye con un tronco inicial donde se definen y describen los esfuerzos, desplazamientos y deformaciones en un medio continuo genérico (ver flecha del punto 0 al punto 1 en la Fig. 1). En esta parte inicial (básicamente los dos primeros cap´ıtulos del programa) se define el esfuerzo y el estado de tensión en un medio continuo a través del tensor de los esfuerzos. Las propiedades del tensor, tales como su relación con la resultante sobre un elemento material finito y su simetr´ıa, se deducen a partir del requerimiento f´ısico de que cantidades como la aceleración lineal y angular deben ser finitas y estar bien definidas en el l´ımite de elementos materiales infinitesimales. Además se demuestra, entre otras cosas, el teorema de Helmholtz según el cual el estado de defor-mación puede descomponerse en la suma de una defordefor-mación isótropa (asociada a las compresiones o expansiones), una parte anisótropa (asociada con las deformaciones sin cambio de volumen), y una rotación r´ıgida [1, 2].

Luego, el programa continúa con la descripción del estado de deformación de un sólido simple, o sólido de Hooke [3], dado que se emplea una relación constitutiva lineal entre el tensor de los esfuerzos y el tensor de las deformaciones (simétrico) (ver flecha del punto 1 al punto 2 en la Fig. 1). Una vez obtenidas las ecuaciones de equilibrio, se estudian algunos casos t´ıpicos como lo son las deformaciones transversales y longitudinales de placas, como as´ı también las deformaciones de flexión y torsión de varillas. Se hace especial hincapié en las aproximaciones que se realizan en cada caso, y su interpretación f´ısica [3, 4]. Además, se pone de manifiesto cómo la consideración de grandes deformaciones introducen términos no lineales en las ecuaciones diferenciales para los desplazamientos [3].

Una desarrollo completo de la Teor´ıa de la Elasticidad indica que deber´ıa continuarse con el estudio de las ondas en medios sólidos [3]. Sin embargo, por razones de tiempo, y dado que los contenidos m´ınimos de esta asignatura exigen también el tratamiento de temas de la Mecánica de Fluidos, se inicia en este punto el estudio de esta disciplina. Se retoma, entonces, el punto 1 de la Fig. 1 (coincidente con el punto 3) y se comienza con el estudio de la Hidrostática [1, 2], dejando la temática de ondas en sólidos para un curso superior. En este primer cap´ıtulo, además de la ecuación general de equilibrio y del principio de Arqu´ımedes, se estudia también la estabilidad de atmósferas estratificadas. Se trata el

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tema de la tensión superficial, y se introduce el concepto de mojabilidad no sólo a través del equilibrrio de fuerzas que definen un ángulo de contacto estático (ley de Young), sino también por inspección de las energ´ıas de superficie de las fases involucradas (parámetro de derrame, S_{). Se relacionan también}

estas energ´ıas superficiales con la polarizabilidad de los medios [5].

En los cap´ıtulos siguientes se derivan las ecuaciones de conservación de la masa, cantidad de movimiento y energ´ıa, tanto desde el punto de vista euleriano como lagrangiano [2]. Se establece la forma más simple de la relación constitutiva del fluido (tensor de los esfuerzos versus tensor tasa de deformación), y se define as´ı al fluido newtoniano (Cap. 6). También, se describe brevemente las clasificación clásica de los fluidos no-newtonianos (seudoplásticos, dilantes, de Bingham, tixotrópicos y reopépticos), y se introduce el concepto de viscoelasticidad [6]. El objetivo es presentar al alumno las curiosidades y complejidades propias de reolog´ıas más complejas que la del fluido simple. Sólo para este último tipo de fluido se desarrollan las ecuaciones de equilibrio para llegar, de esta manera, a la ecuación de Navier Stokes.

Una vez obtenidas las ecuaciones básicas para el fluido viscoso simple, se procede a estudiar casos más sencillos, como lo es el fluido ideal inv´ıscido (ecuación de Euler). En este contexto [1, 2, 7], se estudian la ecuaciones de evolución de la vorticidad (ecuación de Helmholtz y teorema de Kelvin). También se remarcan los efectos que produce la consideración de la viscosidad en estas ecuaciones (Cap. 7).

Con el objetivo de estudiar propiedades fundamentales de los flujos, se estudian en el Cap´ıtulo 8 los casos irrotacionales e incompresibles [1, 2, 7]. En particular, cuando el problema bajo estudio posee una coordenada ignorable, el estudio del flujo plano resultante permite hacer uso de la teor´ıa de potencial y las herramientas del análisis complejo. En este cap´ıtulo se introducen los conceptos del efecto Magnus y de fuerza de sustentación, fundamentales para comprender los principios básicos de la aerodinámica.

El estudio de flujos viscosos se desarrolla en el Cap´ıtulo 9 [1, 2, 7, 8]. Comenzando con los flujos unidireccionales estacionarios y no estacionarios, se llega al concepto de generación de vorticidad y su importancia para definir las regiones del flujo afectadas por la viscosidad. Se introduce el concepto del número de Reynolds para definir tanto la semejanza dinámica como la estabilidad de los flujos laminares. De esta manera, se llega naturalmente a la teor´ıa de capa l´ımite de Prandtl, la que se deriva en detalle para la placa plana en un flujo uniforme [9].

Análogamente al caso de la rama del curso correspondiente a la elasticidad, la rama de la Mecánica de Fluidos deber´ıa prolongarse en el estudio de ondas en fluidos. Por ejemplo, el análisis de los efectos compresivos en los flujos, tales como las ondas sonoras para pequeñas perturbaciones, y ondas de choque y rarefacción para perturbaciones de gran amplitud, o los efectos de fuerzas restitutivas en las interfases (ondas superficiales de gravedad y/o capilares). Sin embargo, estos temas son muy extensos y la cantidad de horas del curso no alcanzan para cubrirlos. En cambio, la experiencia ha mostrado que resulta muy útil para la formación de los alumnos presentar el tema del Análisis Dimensional (Cap. 10), aunque sea de manera breve. La utilidad de los conceptos de este tema van más allá que su aplicación a los problemas de Elasticidad y Mecánica de Fluidos que se desarrollaron en el resto del curso, ya que permite comprender (por simple revisión) varios de los temas anteriores como as´ı también tratar muchos otros problemas de la F´ısica. De esta manera, este último tema constituye un cierre conceptual apropiado para el programa de la asignatura.

4. Programa

1. Fuerzas en el interior de un medio continuo: Distinción cualitativa entre l´ıquidos, gases y sólidos. Hipótesis del continuo. Fuerzas de volumen y de superficie. Esfuerzos y tensor de los esfuerzos, propiedades de simetr´ıa. Diagonalización. Parte isótropa y no isótropa del tensor de los esfuerzos. Esfuerzo normal promedio.

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2. Deformación de un medio continuo: Análisis del desplazamiento relativo en el entorno de un punto: Teorema de Helmholtz. Tensor de 1as derivadas del desplazamiento, parte simétrica y antisimétrica. Deformaciones y rotaciones. El tensor de deformación. Ejes principales de deforma-ción. Compresiones, expansiones y deformaciones con y sin cambio de volumen. Consideraciones para un fluido (campo de velocidad) y para un sólido (campo de desplazamiento).

3. Ecuaciones básicas de la Elasticidad: La termodinámica de la deformación. Ley de Hooke. De-formaciones homogéneas: extensión y compresión simple. DeDe-formaciones con cambio de tempe-ratura. Las ecuaciones de equilibrio para cuerpos isótropos.

4. El equilibrio de varillas y placas: Energ´ıa de una placa flexionada. Ecuación de equilibrio para una placa. Deformaciones longitudinales. Grandes deflexiones de placas. Torsión de varillas. Flexión de varillas. La energ´ıa de una varilla deformada. Las ecuaciones de equilibrio de una varilla. Pequeñas deflexiones de varillas. Estabilidad de sistemas elásticos.

5. Hidrostática: El tensor de los esfuerzos para fluidos en reposo: presión. La presión en los gases perfectos. Fuerza de empuje. Atmósfera isotérmica, atmósfera adiabática. Estabilidad del equi-librio, gradiente adiabático. Interfase entre dos fluidos. Tensor de los esfuerzos en la interfase: tensión superficial y su interpretación f´ısica. Equilibrio de fluidos en contacto: gotas y burbujas. Contactos triples, capilaridad.

6. Ecuaciones básicas de la Mecánica de Fluidos: Descripción lagrangiana y euleriana. Campo de velocidad. Integrales materiales y sus derivadas. Divergencia de la velocidad y tasa de expan-sión. Ecuación de la conservación de la materia. Ecuación de movimiento: formas diferenciales e integrales lagrangianas y eulerianas. Expresiones del tensor de los esfuerzos: relaciones entre el tensor de los esfuerzos y el tensor tasa de deformación. Fuerzas viscosas. Ecuaciones de Navier-Stokes, formas simplificadas. Ecuación de la energ´ıa: cambios reversibles y cambios irreversibles. Fluidos inv´ıscidos: la ecuación de Euler.

7. Propiedades generales de los flujos no viscosos: Formas particulares de la ecuación de Euler. Flujo incompresible, caso general y caso estacionario. Flujo compresible, caso estacionario y caso homoentrópico, forma integral para flujos sin vorticidad. Ecuación de la vorticidad y ecua-ción de Helmholtz, variaecua-ción de la vorticidad por deformaecua-ción. Forma integral: ley de Kelvn. Congelamiento de la vorticidad.

8. Flujos irrotacionales e incompresibles: Potencial de velocidad. Condiciones para determinar el campo de velocidad en espacios simplemente conexos. Flujos alrededor de regiones singulares: fuentes y sumideros puntuales y lineales, vórtices. Flujos potenciales incompresibles estacionarios y planos, la función corriente. Condiciones para la determinación del flujo: regiones de conexión simple y múltiple, constantes c´ıclicas. Tratamiento en el plano complejo, el potencias complejo. Flujos particulares. Teorema del c´ırculo. El problema del arrastre: teorema de Blasius. Arrastres sobre un cilindro con y sin circulación: efecto Magnus.

9. Propiedades generales de flujos viscosos: La presión modificada. La ecuación para la vorticidad. Solución de las ecuaciones de Navier-Stokes en flujos planos sin vorticosidad. Flujos viscosos sin vorticosidad inicial; condiciones de contorno en interfases fluido-sólido. Generación de la vortico-sidad: capa vorticosa y su difusión. Número de Reynolds, interpretación. Similaridad dinámica, aplicación al problema del arrastre de esferas. El arrastre de Stokes, rango de aplicación. Com-portamiento cualitativo para altos números de Reynolds. Flujos entre planos y conductos de sección circular. Campo de velocidad, fuerza sobre las paredes. Impedancia de conductos. Capa l´ımite laminar. Capa l´ımite elemental. Ecuaciones de movimiento: Teor´ıa. de Prandtl. Campo de velocidad exterior uniforme, autosimilaridad. Estabilidad de la capa limite: despegue.

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10. An´alisis dimensional: Teorema Π de Buckingham. Diversos ejemplos en la F´ısica.

Clase Cap. Tema

1 1 Esfuerzos: Distinción cualitativa entre l´ıquidos, gases y sólidos. Hipótesis del con-tinuo. Fuerzas de volumen y de superficie. Esfuerzos.

2 1 Tensor de los esfuerzos, propiedades de simetr´ıa. Parte isótropa y no isótropa del tensor de los esfuerzos. Diagonalización. Esfuerzo normal promedio.

3 2 Deformación: Análisis del desplazamiento relativo en el entorno de un punto: Teo-rema de Helmholtz. Tensor de las derivadas del desplazamiento, parte simétrica y antsimétrica. Deformaciones y rotaciones.

4 2 El tensor de deformación. Ejes principales de deformación. Compresiones, expan-siones y deformaciones con y sin cambio de volumen. Consideraciones para un fluido (campo de velocidad) y para un sólido (campo de desplazamiento).

5 3 Elasticidad: Termodinámica de la deformación. Ley de Hooke. Deformaciones ho-mogéneas: extensión y compresión simple.

6 3 Deformaciones con cambio de temperatura. Las ecuaciones de equilibrio para cuer-pos is´otrocuer-pos.

7 4 Equilibrio de placas y varillas: Energ´ıa de una placa flexionada. Ecuaci´on de equi-librio para una placa.

8 4 Deformaciones longitudinales. Grandes deflexiones de placas. 9 4 Torsi´on de varillas.

10 4 Flexi´on de varillas. La energ´ıa de una varilla deformada.

11 4 Las ecuaciones de equilibrio de una varilla. Peque˜na deflexiones de varillas. Esta-bilidad de sistemas el´asticos.

Primer Parcial

Cuadro 1: Cronograma para la primera parte de la asignatura.

5. Metodolog´ıa de la ense˜

nanza

La metodolog´ıa didáctica consiste en clases teóricas de disertación con exposición dialogada. Además de la bibliograf´ıa citada en Referencias, los alumnos disponen de las notas en formato digital que pueden obtenerse de la página web de la cátedra: www.exa.unicen.edu.ar/∼jdiez/mec cont.php. En general, se hace uso de los elementos clásicos como tiza y pizarrón, si bien a veces también se emplea un equipo de proyección. Paralelamente, se desarrollan las clases prácticas para resolución de problemas a cargo de un Jefe de Trabajos Prácticos. Los trabajos prácticos también están disponibles en la página web de la cátedra.

La duración del curso es de 15 semanas, y la carga horaria semanal es de 2 clases teóricas de 2 horas cada una, y 2 clases de trabajos prácticos de 3 horas cada una. Si hay tiempo disponible, los alumnos realizan también algunas experiencias de laboratorio para ilustrar los temas estudiados en el aula. Una de esta experiencias suele ser, por ejemplo, la medición de viscosidad de algunas sustancias como aceites, shampoo o mayonesa usando un viscos´ımetro de rotación para verificar el comportamiento no-newtoniano de algunas sustancias.

Los cronogramas previstos para la primer y segunda parte de la asignatura se presentan en los Cuadros 1 y 2, respectivamente. Se estiman un total de 23 clases teóricas porque se consideran los horarios de clases perdidos por los exámenes parciales y sus eventuales recuperatorios, d´ıas feriados, fechas especiales de exámenes en semana de mayo, etc. La experiencia muestra que no es posible prever un mayor número de clases.

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Clase Cap. Tema

12 5 Hidrostática: El tensor de los esfuerzos para fluidos en reposo: presión. Fuerza de empuje. Atmósfera isotérmica, atmósfera adiabática. Estabilidad del equilibrio, gradiente adiabático.

13 5 Interfase entre dos fluidos. Tensor de los esfuerzos en la interfase; tensi´on superfi-cial y su interpretaci´on f´ısica. Equilibrio de fluidos en contacto; gotas y burbujas. Contactos triples. Mojabilidad.

14 6 Hidrodinámica: Descripción lagrangiana y euleriana. Campo de velocidad. Integra-les materiaIntegra-les y sus derivadas. Divergencia de la velocidad y tasa de expansión. Ecuación de la conservación de la materia. Ecuación de movimiento: formas dife-renciales e integrales lagrangianas y eulerianas.

15 6 Expresiones del tensor de los esfuerzos: relaciones entre el tensor de los esfuerzos y el tensor tasa de deformación. Fuerzas viscosas. Ecuaciones de Navier-Stokes, formas simplificadas. Ecuación de la energ´ıa: cambios reversibles y cambios irre-versibles. Fluidos inv´ıscidos: la ecuación de Euler.

16 7 Flujos no viscosos: Formas particulares de la ecuaci´on de Euler. Flujo incompre-sible, caso general y caso estacionario. Flujo compreincompre-sible, caso estacionario y caso homoentr´opico, forma integral para flujos sin vorticidad.

17 7 Ecuación de la vorticidad y ecuación de Helmholtz; variación de la vorticidad por deformación. Forma integral: ley de Kelvin. Congelamiento de la vorticidad. 18 8 Flujos irrotacionales e incompresibles: Potencial de la velocidad. Condiciones para

determinar el campo de velocidad en espacios simplemente conexos. Flujos alre-dedor de regiones singulares: fuentes y sumideros puntuales y lineales, vórtices. Flujos potenciales incompresibles estacionarios y planos, la función corriente. 19 8 Regiones de conexión simple y múltiple, constantes c´ıclicas. Tratamiento en el

plano complejo, el potencial complejo. Flujos particulares. Teorema del c´ırculo. El problema del arrastre: teorema de Blasius. Arrastres sobre un cilindro con y sin circulaci´on: efecto Magnus.

20 9 Flujos viscosos: La ecuación para la vorticidad. Solución de las ecuaciones de Navier-Stokes en flujo planos sin vorticidad. Flujos viscosos sin vorticidad inicial; condiciones de contorno en interfases fluido-sólido. Generación de la vorticidad; capa vorticosa y su difusión.

21 9 Número de Reynolds, interpretación. Similaridad dinámica; aplicación al problema del arrastre de esferas. El arrastre de Stokes, rango de aplicación. Comportamiento cualitativo para altos números de Reynolds. Flujos entre planos y conductos de sección circular. Campo de velocidad, fuerza sobre las paredes. Impedancia de conductos.

22 9 Capa l´ımite laminar. Capa l´ımite elemental. Ecuaciones de movimiento: Teor´ıa de Prandtl. Campo de velocidad exterior uniforme, autosimilaridad. Estabilidad de la capa limite: despegue.

23 10 An´alisis dimensional: Teorema Π de Buckingham. Diversos ejemplos en la F´ısica. Segundo Parcial

Cuadro 2: Cronograma para la segunda parte de la asignatura.

6. Forma de evaluaci´

on

A mitad del cuatrimestre se toma un ex´amen parcial (con su correspondiente recuperatorio, en los casos necesarios) sobre los Cap´ıtulos 1 a 4, es decir sobre los temas de la teor´ıa del continuo y de la

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elasticidad. Al final del cuatrimestre se toma un segundo parcial (y recuperatorio) sobre los contenidos en los Cap´ıtulos 5 a 10, es decir incluyendo todos los temas de Mec´anica de Fluidos del programa.

La aprobación de ambos parciales (o sus correspondientes recuperatorios) es condición necesaria para estar en condiciones de rendir el exámen final en los llamados que efectúa la Facultad.

Referencias

[1] G.K. Batchelor. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press, Cambridge, 1967.

[2] J. Grattton, R. Gratton, and J. Diez. Notas de Introducci´on a la Mec´anica de Fluidos. www.exa.unicen.edu.ar/∼jdiez/mec cont.php, 2004.

[3] L. D. Landau and E. M. Lifshitz. Theory of Elasticity. Permagon Press, Oxford, 1986. [4] S. Timoshenko and J. N. Goodier. Teor´ıa de la Elasticidad. Ed. Urmo, Bilbao, 1975.

[5] P. G. de Gennes, F. Brochard-Wyart, and D. Qu´er´e.Capillarity and Wetting Phenomena. Springer, New York, 2004.

[6] H. A. Barnes, J. F. Hutton, and K. Walters F.R.S. An Introduction to Rheology. Elsevier, Ams-terdam, 1989.

[7] L. D. Landau and E. M. Lifshitz. Fluid Mechanics. Permagon Press, Oxford, 1987. [8] D. J. Acheson. Elementary Fluid Dynamics. Clarendon Press, Oxford, 1990.

[9] J. P. Hulin and L. Petit. Hydrodynamique Physique. InterEditions (Editions du CNRS), Paris, 1991.

Las referencias [1, 2, 3, 7] corresponden a material que deben consultar los alumnos de manera excluyente.