Complemento Segunda Ley de la Termodinámica

(1)

Termodinámica I

Capítulo 5. Segunda Ley de la Termodinámica

Desigualdad de Clausius

Es una consecuencia de la Segunda Ley de la Termodinámica aplicada a un ciclo:

0 Q

T



_





:





Integral cíclica (Durante un ciclo)

0 Q

T



_





(Para procesos reversibles)

0 Q

T



_





(Para procesos irreversibles)

Esta integral cíclica puede considerarse como la suma de todas las cantidades diferenciales de transferencia de calor dividida entre la temperatura en la frontera.

La cantidad

Q

T







no depende de la trayectoria seguida por un proceso, sino de los estados inicial y final, por lo tanto representa una propiedad termodinámica, definida como ENTROPÍA.

La entropía está dada por:

rev

Q

dS

T







 

_



_

kJ K

     

El subíndice rev indica que la interacción de calor debe calcularse para un proceso reversible.

(2)

2

2 1

1 rev

Q

S

T







 



_{ }

_







kJ

K

     

Principio de incremento de entropía

El cambio de entropía puede evaluarse partiendo de este principio que se expresa como:

Q

dS

T





Donde:

rev

Q

dS

T







 

_



_

(Para procesos reversibles)

irrev

Q

dS

T







 







(Para procesos irreversibles)

Entonces, para un sistema cerrado:



2 1



2

1 sis

Q

S

m s

s

T













La entropía generada durante un proceso se llama generación de entropía

 

S_gen , entonces:

2

2 1

1

sis gen

Q

S

T













gen

S se debe a las irreversibilidades del sistema y depende del proceso (no es una propiedad del sistema). Para un sistema aislado (adiabático):

sis gen S S

 

(3)

Lo anterior expresa que la entropía de un sistema aislado durante un proceso siempre se incrementa, o en el caso límite de un proceso reversible, permanece constante, o sea que nunca disminuye. Esto se conoce como el principio de incremento de entropía.

Este principio puede resumirse como:

> 0 (Proceso irreversible) gen

S = 0 (Proceso reversible) < 0 (Proceso imposible)

Además:

0 gen total sis alred S  S  S  S 

Ejemplo:

Una fuente de calor a 800 K pierde 2000 kJ de calor hacia un sumidero a:

a. 500 K b. 750 K

(4)

a) 2000 2,5 800 2000 4 500 fuente fuente fuente sum sum sum

Q kJ kJ

S

T K K

Q kJ kJ

S

T K K



    

   



2,5 4



1,5

gen total fuente sum

gen

kJ

S

K

kJ

S

K

 

 

 





b)





2000 2,5 800 2000 2, 67 700

2,5 2, 67

0,17 fuente fuente fuente sum sum sum

gen total fuente sum

gen

Q kJ kJ

S

T K K

Q kJ kJ

S

T K K

kJ

S S S S

K kJ S K                    

El proceso en b) genera menos entropía que el proceso en a), por lo tanto el proceso en a) es más irreversible (hay más pérdida de energía) ya que este proceso involucra una diferencia de temperaturas mayor que el proceso en b).

Cambio de entropía en sustancias puras

- Zona de líquido comprimido:

@ 1 1 1 1 T f

P

s

T









- Zona de mezcla: 2 2 2 2

f fg

P

s

x s

x







(5)

- Zona de vapor sobrecalentado: 3 ₃ 3

P

S

T







s:

kJ

kg K







_







,

   

S

m s



2



s

1



: kJ

K

     

Ejemplo:

Un recipiente rígido contiene inicialmente 5 kg de refrigerante 134a a 20⁰C y 140 kPa, la sustancia se enfría mientras es agitada hasta que su presión disminuye a 100 kPa. Determinar el cambio de entropía del refrigerante durante este proceso.

Estado 1:

1 1

140

20

o

P

kPa

T

C



1

3 1

1, 0624

0,16544 kJ s

kg K

m kg

 

 

(Tabla A-13)

Estado 2:

2

2 1

100 P

kPa





3

0, 0007259

0,19254

f

g

m

kg

m

kg





(Tabla A-12)

2

f g

  

2 2

0,16544

0, 0007259

0,859

0,19254

0, 0007259

f

fg

x

 







(6)

Entonces:













2 2

2

2 1

0, 07188 0,859 0,87995

0,8278

5 0,8278 1, 0624

1,173

f fg

kJ

s

x s

kg K

kJ

s

kg K

kJ

S

m s

s

kg

kg K

kJ

S

K









_





_







 









  

Procesos isentrópicos

Es un proceso en el que la entropía se mantiene constante. Esto gracias a que es adiabático y reversible.

0 S

 

,

S

₂



S

₁

Ejemplo:

En una turbina adiabática entra vapor de agua a 5 MPa y 450⁰C y sale a una presión de 1,4 MPa. Determinar el trabajo de salida de la turbina por unidad de masa de vapor si el proceso es reversible.

Adiabático

Isentrópico Reversible





1 1 2 2

1 2

en sal

sal

E

m h

W

m h

W

m h

h











(7)

Estado 1:

1 1

5 M

450

o

P

Pa

T

C



1 1

6,821

3317, 2 kJ s

kg K kJ h

kg



 

(Tabla A-6)

Estado 2:

2

2 1

1, 4 M

P

Pa

s



2

2967, 4

kJ

h

kg



De la Tabla A–5: 2

2788, 9 g

g

kJ h

kg

h h

 

Entonces:





1 2 3317, 2 2967, 4 349,8

sal

kJ

w h h

kg

kJ w

kg

   



Otros diagramas que relacionan las propiedades termodinámicas de las sustancias

Diagrama T-s

1 

2 :

Proceso reversible

En un proceso isentrópico:   S 0 Q0

rev

Q

TdS





(Trabajo reversible) 2

1 rev

Q





TdS

[kJ] ó

2 1 rev

(8)

2 1

Area





TdS



Q

(Esta área no tiene ningún significado para procesos irreversibles)

Diagrama de Mollier (Diagrama h-s): (Figura A-10)

En dispositivos de flujo adiabático estacionario, la distancia vertical



h

es una medida de trabajo y la distancia horizontal



s

es una medida de las irreversibilidades.

Cambio de entropía en procesos reversibles

Ciclo de Carnot: se compone de:

- Dos procesos isotérmicos reversibles - Dos procesos adiabáticos reversibles

Q

MT

dS

T



(9)

1 

2 :

Adición de calor isotérmica reversible

2 2

1 1

2

2 1

1 1 2

2 1

1 Q

dS

T

S

Q

T

Q

S

T

















Por lo tanto:

S

2



S

1

Cuando T= cte, S aumenta con la adición de Q





1 2 2 1

Q

_



T S



S

(Área bajo la curva)

2 

3 :

Expansión adiabática reversible

Q

dS

T





, con Q0, entonces

dS



0

,

S



cte



S

₂



S

₃ (Proceso isentrópico)

3 

4 :

Rechazo de calor isotérmico reversible

4 4

3 3

3 4

4 3

Q dS

T

Q S S

T







 



Ya que existe un rechazo de calor,

Q

_{3 4}_ debe ser negativo, por lo tanto:

S

₄



S

₃

Cuando el calor se rechaza, la entropía disminuye

4 

1:

Compresión adiabática reversible

(10)

En resumen, para el ciclo de Carnot:

H L neto neto

Q



Q



Q



W

(Primera Ley de la Termodinámica)

1

neto H L

H H

L L

H H

W

Q

T

Q

T







 

(Porque se trata de un ciclo de Carnot)

Relación entre propiedades termodinámicas (Relaciones Tds):

Primera Ley:QUW

Segunda Ley: QTdS

Además:



W



Pd



Combinando las anteriores ecuaciones resulta:

TdS



dU



Pd



[kJ],

Tds



du



Pd



kJ

kg













Por otra parte:

H

  

U

P

, entonces:

dH



dU



Pd

  

dP

dH



TdS

 

dP

TdS



dH

 

dP

[kJ],

(11)

Cambio de entropía en procesos irreversibles:

Q

dS

T

reversible

irreversible









Trabajo perdido



W_perd



: trabajo que se deja de realizar debido a las irreversibilidades.

perd

Q W

S

T

 

  

Para un proceso adiabático Q0, por lo tanto

dS



0

Si es adiabático reversible

dS



0

(Scte)

2 1 2

1

W





Pd



(Proceso cuasiequilibrio)

2 1 2

1

Q





TdS

(Proceso reversible cuasiequilibrio)

Cambio de entropía de gases ideales:

v

p

du

d

dT

d

ds

P

ds

C

R

T

dh

dP

dT

dP

ds

C

R

T

P























Donde:

v

du

C

dT



C

_p

dh

dT



R

P

T



(12)

Entonces:

 

2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 v p dT

s s C T RLn

T

dT P

s s C T RLn

T P        _ _        _ _  



Considerando calores específicos constantes, las anteriores ecuaciones quedan:

2 2 2 1 1 1 prom v T

s s C Ln RLn

T

 

   

  _ _ _ _

    [1]

kJ

kg K







_







2 2 2 1 1 1 prom p

T

P

s

C

Ln

RLn

T

P









 

_

_



_

_









[2]

kJ

kg K







_







Procesos isentrópicos de gases ideales:

Considerando calores específicos constantes e igualando a cero las ecuaciones [1] y [2], se tiene:

2 2 2 1

1 1 1 2

v R C

v

T

R

T

Ln

T

C

T



 





 





 





 





 





 





 





1 2 1 1 2 k S cte T T             

    [3]

Donde:

p v

p

v

R

C

k

C





(13)

2 2 2 2

1 1 1 1

p R C

p

T

R

P

T

P

Ln

T

C

P

T

P

 





 











 





 





 





 





1

2 2

1 1

k k

S cte

T

P

T

P































[4]

Sustituyendo [4] en [3]: 1

1

2 1

1 2

k

k k

P



 _



























2 1

1 2

k

S cte P P

 



   



   

    [5]

Resumiendo:

Relaciones isentrópicas para gases ideales:

1 1 k

k k

k

T

cte

TP

cte

P

cte







Con k para Tprom

Estas ecuaciones son válidas para:

- Gas ideal

- Proceso isentrópico

- Calores específicos constantes

Ejemplo:

(14)

Helio: gas ideal, k = 1,667 1 k

k TP cte





1 1

1 1 2 2

k k

T P

 



1

2 1 2 1

1 2 1 2

1,667

1 _0,667

2

2 1

1

2

780

14

510 40,5

k k

P

T

P

T

P

T

P

T

R

P

psia

T

R

P

psia





































_

_



_

_



_

_











Eficiencia isentrópica de turbinas

1 

2 :

s

Proceso isentrópico

1 

2 :

a

Proceso real tur

a tur

s

Trabajo real de la turbina Trabajo isentrópico de la turbin

w w

a



  

1 2

a tur

s h h h h

  

 (Eficiencia isentrópica de la turbina)

(15)



sal en



sal en

Q W

m h

h

w

h







 





_

1 2

w

 

h

Ejemplo:

A una turbina adiabática entra vapor de agua de forma estacionaria a 3 MPa y 400⁰C y sale a 50 kPa y 100⁰C. Si la potencia de salida de la turbina es de 2 MW, determinar:

a. La eficiencia isentrópica de la turbina

b. El flujo másico del vapor que circula a través de la turbina.

a. Estado 1:

P1= 3 MPa h1= 3231,7 kJ/kg (Tabla A-6) T1= 400⁰C s1= 6,9235 kJ/kg-K

Estado 2a:

P2a= 50 kPa h2a= 2682,4 kJ/kg T2a= 100⁰C (Tabla A-6)

Estado 2s:

P2s= 50 kPa sf= 1,0912 kJ/kg-K s2s= s1 = 6,9235 kJ/kg-K sg= 7,5931 kJ/kg-K

(Tabla A-5) Se observa que: sf < s2s< sg

2 2 2

6, 9235 1, 0912

7,5931 1, 0912

0,897

s f s

fg

s

x

s

x





(16)

hfg= 2304,7 kJ/kg





2 2

340,54 0,897 2304, 7

2407, 9

s f s fg

s

h h x h

kJ h

kg

kJ h

kg

 

_  _



Entonces:

1 2

3231, 7 2682, 4

0, 667 3231, 7 2407, 9

66, 7 % a tur

s

tur

h h h h



 

  

 



b. Haciendo balance de energía:









1 , 2

, 1 2

,

1 2

1000 2

1

3231, 7 2682, 4

3, 64 en sal

a sal a

a sal

a

E E

mh W mh

W m h h

kJ s MW

W _MW

m

kJ h h

kg

kg m

s



 

 



 

 _



 



 

 _

 



Eficiencia isentrópica de compresores y bombas

1 

2 :

s

Proceso isentrópico

(17)

isentrópico compresor compresor com

s com

a

Trabajo del Trabajo real del w

w



  

2 1

s com

a h h h h

  

 (Eficiencia isentrópica del compresor)

s bom

a w w

 



2 1



2 1

bom

a

P

h









(Eficiencia isentrópica de la bomba)

Ejemplo:

Mediante un compresor adiabático se comprime aire a 100 kPa y 12⁰C hasta una presión de 800 kPa a una tasa de 0,2 kg/s. Si la eficiencia isentrópica del compresor es 80%, determinar:

a. La temperatura de salida del aire

b. La potencia de entrada requerida en el compresor. Tener en cuenta la variación de los calores específicos.