B4 PROBLEMAS Geometría Ex 

1

Curso 15-16

1.-Dado el punto P(-3,1,6) y la recta

𝒓 ≡ {

𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟓 = 𝟎

𝒚 − 𝒛 + 𝟐 = 𝟎

. Se pide:

a)

(3p)

Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto P y es perpendicular a la

recta r.

b)

(4p)

Hallar el punto simétrico del punto P respecto de la recta r.

c)

(3p)

Determinar la ecuación del plano que contiene al punto P y a la recta r.

2.-Dadas las rectas definidas por

𝒓 ≡ {

𝒙 = 𝟏

𝒚 = 𝟏

𝒛 = −𝟐 + 𝝀

y

𝒔 ≡ {

𝒙 − 𝒚 = 𝟏

𝒛 = −𝟏

. Se pide:

a)

(2p)

Comprobar que las rectas r y s se cruzan.

b)

(6p)

Calcular la ecuación de la recta perpendicular común a las rectas r y s.

c)

(2p)

Calcular el ángulo que forman las rectas r y s.

3.- Dados los puntos P (1, 2,-1), Q(2,-1, 1) y R(3, 1, 2).

a)

(7p)

Encontrar las coordenadas del punto S para que P, Q, R y S sean los vértices de un

paralelogramo.

b)

(3p)

Hallar el área del paralelogramo.

4.-Dado el plano:

  x+ay+3z=2, donde a

y

𝒓 ≡ {

𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒛 + 𝟏 = 𝟎

𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟎

. Se pide:

a)

(5p)

Hallar el valor de a para que



y r se corten perpendicularmente. Calcular el punto

de corte de la recta r y el plano π.

b)

(5p)

Hallar el valor de a para que



y r sean paralelos. Calcular la distancia entre la recta

r y el plano π.

5.- Sean los puntos A (1, 2, -3) y O, el origen de coordenadas.

a)

(5 p.)

Hallar la ecuación del plano π

1

que pase por A y por O y sea perpendicular al plano

de ecuación π

2

3x-5y+2z=11.

2

6.- Se pide:

a)

(5 p.)

Dados los puntos P(1,0,-1) y Q(-1,2,3), encontrar un punto R de la recta

𝑟 ≡

𝒙+𝟑

𝟐

=

𝒚+𝟒

𝟑

=

𝒛−𝟑

−𝟏

para que se cumpla que el triángulo PQR sea isósceles en el que

𝑷𝑹 y 𝑸𝑹

sean los lados iguales.

b)

(5 p.)

Calcular el valor de m para que la recta

𝒓 ≡

𝒙

𝟐

= 𝒚 = 𝒛

y el plano

  x-y+mz-4=0

formen un ángulo de 30°.

7.- Se pide:

a)

(5 p.)

Dados el punto A (3,5,1), la recta

r

≡

𝒙−𝟏

𝟐

= 𝒚 + 𝟐 = 𝒛 + 𝟏

y el plano π

≡

3x-2y+z+5=0, determinar el punto B perteneciente al plano π, tal que la recta formada

por los puntos A y B sea paralela a la recta r.

b)

(5p)

Encontrar el valor de a≠0 para que las rectas:

𝒓 ≡ {

𝒙 + 𝒚 − 𝟓𝒛 + 𝟑 = 𝟎

−𝟐𝒙 + 𝒛 − 𝟏 = 𝟎

y

𝒔 ≡ 𝒙 + 𝟏 =

𝒚−𝟑

𝒂

=

𝒛

𝟐

sean paralelas.

8.- a)

(5 p.)

Sea la recta

𝒓 ≡ {

𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎

𝒙 = 𝟏

y el punto P(1, 0, 5).Calcular la distancia de P a la

recta r y el punto simétrico de P respecto a r.

b)

(5 p.)

Dadas las rectas:

𝑠 ≡ {

𝒙 = 𝟏 + 𝟐𝝀

𝒚 = 𝟏 − 𝝀

𝒛 = 𝟏

y 𝒕 ≡ {

𝒙 + 𝟐𝒚 = −𝟏

𝒛 = −𝟏

. Comprobar que ambas

3

Curso 14-15

1.-Sean los vectores

𝒖

⃗⃗ = (𝟏, −𝟏, 𝟎), 𝒗

⃗⃗ = (𝟎, 𝟏, 𝟐) 𝒚 𝒘

⃗⃗⃗ = (𝟏 + 𝜶, 𝟐𝜶, 𝟐 − 𝟑𝜶). Hallar los

valores de α en cada caso:

a)

(3 p.) Para que

𝒖

⃗⃗ , 𝒗

⃗⃗ 𝑦 𝒘

⃗⃗⃗

estén en el mismo plano.

b)

(4 p.) Para que

𝒘

⃗⃗⃗

sea perpendicular a

𝒖

⃗⃗ 𝑦 𝑎 𝒗

⃗⃗

.

c)

(3 p.) El volumen del tetraedro que tiene por aristas a los vectores

𝒖

⃗⃗ , 𝒗

⃗⃗ 𝑦 𝒘

⃗⃗⃗

es 1/6 u

3

_.

2.-Dados los planos π

1

3x+y-2z+5=0 y π

2

x+y+2z-3=0.

a)

(2 p.) Comprobar que los planos son perpendiculares.

b)

(4 p.) Encontrar la ecuación de otro plano perpendicular a π

1

y π

2

y que pase por el

punto P(1,3,2).

c)

(4 p.) Hallar el punto simétrico de P respecto de la recta intersección de los planos π

1

y

π

2

.

3.-Sean el plano π

 2x-y=2 y la recta 𝒓 ≡ {

_{𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟐}

𝒙 = 𝟏

.

a)

(3 p.) Estudiar la posición relativa de la recta r y el plano



.

b)

(3 p.) Ecuación del plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano



.

c)

(4 p.) Ecuación de la recta que pasa por el punto A(-2,1,0), corta a la recta r y es

paralela al plano



.

4.-Sean la recta

r

≡

𝒙−𝟐

𝟑

=

𝒚+𝟒

−𝟒

=

𝒛+𝟏

𝟎

y el plano

 7x-y=8.

a)

(6 p.) Comprobar que se cortan, calculando su punto de corte y el ángulo que forman.

b)

(2 p.) Distancia del punto P(2,-4,-1) al plano



.

c)

(2 p.) Ecuación del plano paralelo al plano



y que pase por el punto simétrico al punto

Q(2,0,-2) respecto al punto P(2,-4,-1).

5.-Sean el plano

x+y-z=0 y la recta 𝒓 ≡ {

_{𝒚 − 𝒛 = 𝟎}

𝒙 = 𝟎

. Se pide:

a)

(3p)

Estudiar la posición relativa del plano y la recta.

b)

(4p)

Hallar la recta perpendicular a ambos (plano y recta).

c)

(3p)

Distancia mínima entre el plano y la recta.

6.-Sean las rectas

𝑟 ≡ {

𝒙 = 𝟏 + 𝝀

𝒚 = 𝟏 + 𝝀

𝒛 = 𝝀

𝒚

s

≡

𝒙−𝟏 −𝟐

=

𝒚 𝟏

=

𝒛−𝟏

−𝟐

. Se pide:

4

7.-Sean los puntos A(1,1,2), B(1,-1,-2) y la recta

𝑟 ≡ {

𝒙 = 𝟏 + 𝟐𝝀

𝒚 = 𝝀

𝒛 = 𝟏

. Se pide:

a)

(4 p.)

Hallar la ecuación general del plano paralelo a la recta r y es paralelo a la recta que

pasa por los puntos A y B.

b)

(6 p.)

Hallar el punto P perteneciente a la recta r que está a la mínima distancia de los

puntos A y B.

8.-Sea la recta

𝑟 ≡

𝑥−1

1

=

𝑦−1

2

=

𝑧+1

1

. Dado el punto P(1,2,1), obtener su punto simétrico

respecto de la recta r. Obtener la distancia de P a la recta r.

9.-Hallar una recta paralela a la recta

𝑠 ≡ {

5𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 1

𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = −4

que pase por el punto Q(0,2,-4).

5

Curso 13-14

1.-Los puntos A(1,3,1) y B(2,1,3) son vértices consecutivos de un cuadrado. Los otros dos

vértices pertenecen a una recta r que pasa por el punto P(2,7,0).

a)

(3p)

Hallar la ecuación de la recta r.

b)

(3p)

Hallar la ecuación del plano



que contiene al cuadrado.

c)

(4p)

Hallar los otros dos vértices.

2.-Sean los puntos P(1,4,-1), Q(0,3,-2) y la recta

𝒓 ≡ {

𝒙 = 𝟏

𝒚 − 𝒛 = 𝟒

. Se pide:

a)

(7p)

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P, por un punto R de la recta r y

es perpendicular a la recta determinada por Q y R.

b)

(3p)

Hallar el ángulo que forman la recta r y el plano

x-y-3=0.

3.-Sea el punto P(-1,0,2) y las rectas

𝒓 ≡ {

_{𝒚 − 𝒛 = −𝟏}

𝒙 − 𝒛 = 𝟏

𝑦 𝒔 ≡ {

𝒙 = 𝟏 + 𝝀

𝒚 = 𝝀

𝒛 = 𝟑

. Se pide:

a)

(3p)

Determinar la posición relativa de r y s.

b)

(3p)

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P y corta alas rectas r y s.

c)

(4p)

Determinar la ecuación de la recta perpendicular común a las rectas r y s.

4.-Sean el plano

x+y+z=0, la recta rx=y=z y el punto A(3,2,1). Se pide:

a)

(5p)

Ecuación de la recta s que pasa por el punto A, es paralela al plano



y corta a la recta

r.

b)

(5p)

Hallar los puntos de la recta r que equidistan del punto A y del plano



.

5.-Dados los puntos P(1,0,-1) y Q(-1,2,3), encontrar un punto R de la recta

𝑟 ≡

𝒙+𝟑

𝟐

=

𝒚+𝟒

𝟑

=

𝒛−𝟑

−𝟏

para que se cumpla que el triángulo PQR sea isósceles en el que

𝑷𝑹 y 𝑸𝑹

sean los lados

iguales.

6.-a)

(5p)

Encontrar el valor de a≠0 para que las rectas:

𝒓 ≡ {

𝒙 + 𝒚 − 𝟓𝒛 + 𝟑 = 𝟎

−𝟐𝒙 + 𝒛 − 𝟏 = 𝟎

y 𝒔 ≡ 𝒙 + 𝟏 =

𝒚−𝟑

𝒂

=

𝒛

𝟐

sean paralelas.

b)

(5p)

Para el valor de a encontrado, calcular la ecuación del plano



que contiene a ambas

rectas.

7.-Calcular el valor de m para que la recta

𝑟 ≡

𝑥

2

= 𝑦 = 𝑧

y el plano



x-y+mz-4=0 formen un

6

8.-Determinar el punto de la recta

𝑟 ≡

𝑥−1

3

=

𝑦

2

= 𝑧 + 1

que equidista de los planos

1

x-y+3z+2=0 y

𝜋

₂

≡ {

𝑥 = −4 + 𝜆 − 3𝜇

𝑦 = 1 + 𝜆

𝑧 = 𝜇

.

9.-Sean los puntos A(1,2,1), B(-1,0,2) y C(3,2,0) y el plano



determinado por ellos. Se pide:

c)

(7p)

Hallar la ecuación de la recta r contenida en



y tal que A y B son simétricos

respecto de la recta r

d)

(3p)

Hallar la distancia del punto A a la recta r.

10.-Sean el plano



x+y-z=0 y la recta

𝑟 ≡ {

𝑥 = 0

𝑦 − 𝑧 = 0

. Se pide:

d)

(3p)

Estudiar la posición relativa del plano y la recta.

e)

(4p)

Hallar la recta perpendicular a ambos (plano y recta).

f)

(3p)

Distancia mínima entre el plano y la recta.

11.-Se pide:

a)

(5p)

Hallar el punto de corte del plano



1

6x-y+3z+2=0 y la recta r que pasa por el punto

P(1,2,0) y que es perpendicular al plano 

2

2x+3y-z-8=0.

b)

(5p)

Hallar el punto común a los planos siguientes:



3

5x+2y+7z-4=0, 

4

x+2y-3z-10=0 y

el plano



5

definido por las rectas

𝒓

𝟏

≡

𝒙+𝟑

𝟐

=

𝒚+𝟑

𝟑

= 𝒛 + 𝟑, 𝒓

𝟐

≡ 𝒙 + 𝟐 = 𝒚 =

𝒛+𝟕

𝟐

12.-Dados el plano

x+y-z-1=0 y la recta 𝒓 ≡ {

𝟑𝒙 + 𝒚 + 𝒛 − 𝟔 = 𝟎

𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟐 = 𝟎

. Se pide:

a)

(4p)

Estudiar la posición relativa del plano



y la recta r.

b)

(3p)

Distancia del plano



a la recta r.

c)

(3p)

Calcular la ecuación del plano

’ que contiene a la recta r y es perpendicular al

plano



.

13.- a)

(5p)

Calcular la ecuación de la recta r que pase por el punto P(1,-1,0), sea paralela a los

planos



1

x+y-2=0 y 

2

x-y+z-1=0.

7

Curso 12-13

1.-Sea la recta

𝒓 ≡ {

𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 − 𝟏 = 𝟎

𝒙 + 𝒚 − 𝟏 = 𝟎

. Se pide:

a)

(4 p.)

Determinar la ecuación de la recta s que corta perpendicularmente a la recta r y

que pase por el punto P(0,2,2).

b)

(2 p.)

Hallar el punto Q intersección de las rectas r y s.

c)

(2 p.)

Calcula la ecuación del plano π que contiene a las recta r y s.

d)

(2 p.)

Hallar la ecuación de la recta t, que es perpendicular al plano π y que pasa por el

punto Q.

2.-Dados los puntos P

1

(1,3,-1), P

2

(a,2,0), P

3

(1,5,4) y P

4

(2,0,2). Se pide:

a)

(3 p.)

Hallar el valor de a para que los cuatro puntos estén en el mismo plano.

b)

(3 p.)

Hallar los valores de a para que el tetraedro con vértices P

1

, P

2

, P

3

y P

4

tenga un

volumen igual a 7.

c)

(4 p.)

Hallar la ecuación del plano cuyos puntos equidistan de P

1

y P

3

.

3.-Dado el plano π

 x-2y+3z+6=0. Se pide:

a)

(3 p.)

Calcular el área del triángulo de vértices de los puntos de corte del plano π con los

ejes de coordenadas.

b)

(3 p.)

Calcular la ecuación del plano π’ que es perpendicular al plano π y es paralelo a la

recta que pasa por los puntos B (0,3,0) y C (0,0,-2) y pasa por el origen de

coordenadas.

c)

(4 p.)

Calcula el punto O’ simétrico del origen de coordenadas respecto al plano π.

4.-Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos P (2,1,3) y Q (1,3,1); los otros

dos vértices están sobre una recta r que pasa por el punto R (-4,7,-6). Se pide:

a)

(3 p.)

Calcular la ecuación de la recta r.

b)

(3 p.)

Hallar la ecuación del plano π que contiene al cuadrado.

c)

(4 p.)

Calcular las coordenadas de uno de los otros dos vértices.

5.-Dados el plano π≡y-z=3 y la recta

𝒓 ≡ {

𝒙 = 𝟐𝝀

𝒚 = 𝟏 + 𝝀

𝒛 = −𝟏 + 𝝀

. Se pide:

a)

(5 p.)

Estudiar la posición relativa de π y r.

b)

(5 p.)

Ecuación de la recta s que sea paralela al plano π y que corta a la recta r

perpendicularmente en el punto P(0,1,-1).

6.-Dados el punto P (1,0,0) y la recta

𝒓 ≡ {

𝒙 = 𝟐𝝀

𝒚 = 𝟑 + 𝝀

𝒛 = −𝟏

. Se pide:

8

7.-Dado el origen de coordenadas, O, buscar un punto P tal que la recta que pasa por O y P

sea perpendicular al plano π≡x+y+z=3 y la distancia de O a π y la de P a π coincidan.

8.-Dadas las rectas

𝒓 ≡ {

𝟒𝒙 + 𝒚 = −𝟏

𝟑𝒙 − 𝟐𝒛 = −𝟏

; 𝒔 ≡ {

𝟓𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = 𝟐

−𝟓𝒛 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟎

. Obtener la ecuación de la

recta t que pasa por el punto de intersección de las rectas dadas r y s y es perpendicular a

ambas.

9.-Considera el punto P(1,0,4) y el plano π≡ 2x-y+3z=0. Se pide:

a)

Calcula la ecuación de la recta r perpendicular al plano π y que pasa por P.

b)

Hallar el punto Q que es simétrico del punto P respecto al plano π.

c)

Calcular la distancia del punto Q al plano π.

10.-Sean el plano



y la recta r de ecuaciones:

x+y-2z=6 y 𝒓 ≡

𝒙−𝟏

𝟐

=

𝒚 𝟑

=

𝒛+𝟏

−𝟏

. Se pide:

a)

(4 p.)

Hallar el punto simétrico de M(1,1,1) respecto de la recta r.

b)

(3 p.)

Ecuación de la recta que pasa por M(1,1,1) y es perpendicular al plano



.

c)

(3 p.)

Hallar el ángulo que forma la recta r con el plano



.

11.-a)

(5 p.)

Hallar el punto de corte entre el plano



1

 6x-y+3z=-2 y la recta que pasa por el

punto P(1,2,0) y es perpendicular al plano



2

 2x+3y-z=8.

b)

(5 p.)

Calcular la ecuación del plano



3

que contiene a la recta

𝒓 ≡ {

𝒙 = 𝟏 + 𝝁

𝒚 = −𝟏 + 𝟐𝝁

𝒛 = 𝝁

y es

perpendicular al plano



4

 2x+y-z=2.

12.-Dados los puntos A(-1,1,1), B(1,-3,-1) y C(1,0,3), hallar las coordenadas de un punto D,

perteneciente a la recta

𝒓 ≡ 𝒙 − 𝟏 =

𝒚−𝟏

−𝟏

= 𝒛 − 𝟏

, de manera que el tetraedro ABCD tenga

9

Curso 11-12

1.-a) La recta

𝒓 ≡

𝒙+𝟑

𝟐

=

𝒚+𝟒

𝟐

=

𝒛−𝟑

𝟑 y la recta s que pasa por los puntos P(1,0,2) y Q(a,1,0) se cortan en un punto. Calcular el valor de a y el punto de corte.

b) Sean los planos



13x-y+z-4=0,



2x-2y+z-1=0 y



3x+z-4=0. Hallar la ecuación

de la recta que pasa por el punto P(3,1,-1), es paralela a



1y cortaa la recta intersección

de los planos

2

y



3.

2.-Sea la recta r que pasa por P(0,3,-1) y por Q (-2,4,-2).

a) Hallar razonadamente las distancia del punto A(0,1,0) a la recta r.

b) Calcular el ángulo que forma la recta que pasa por P y por A con la recta r en el punto P.

c) Si R es el punto de la recta r que corta al plano de ecuación  z=0, comprobar que el

triángulo APR tiene ángulos iguales en los vértices P y R.

3.-a) Hallar el volumen del tetraedro que tiene un vértice en el origen y los otros tres vértices en las intersecciones de las rectas 𝒓𝟏≡ 𝒙 = 𝒚 = 𝒛; 𝒓𝟐≡ {𝒚 = 𝟎_{𝒛 = 𝟎}; 𝒓𝟑≡ {𝒙 = 𝟎_{𝒛 = 𝟎} con el

plano

𝝅 ≡ 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟕𝒛 = 𝟐𝟒.

b) Dadas las rectas 𝒓 ≡ 𝒙 − 𝟐 =𝒚

𝟑= −𝒛 ; 𝒔 ≡ 𝒙 − 𝟏 = 𝒚 + 𝟐 = 𝒛−𝟑

−𝟏 . Hallar la recta perpendicular

común a ambas.

4.-Sea el punto P(2,3,-1) y la recta 𝒓 ≡ {_{𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎}𝒙 = 𝟏 . Se pide:

a) Hallar la ecuación del plano perpendicular a r y que pasa por P. b) Calcular la distancia del punto P a la recta r.

c) Calcular el simétrico de P respecto de r.

5.-Dados los puntos A(1,0,0), B(0,0,1) y P(1,-1,1), y la recta definida por𝑟 ≡ {𝑥 − 𝑦 = 2 𝑧 = 0

a) Hallar los puntos de la recta r cuya distancia al punto P es de 3 unidades. b) Calcula el área del triángulo ABP.

c) Calcular los ángulos del triángulo.

6.-Considera los puntos A(1,0,-1) y B(2,1,0), y la recta 𝒓 ≡ {𝒙 + 𝒚 = 𝟏 𝒙 + 𝒛 = 𝟐.

a) Determina la ecuación del plano que es paralelo a la recta r y pasa por A y B.

b) Determina si la recta que pasa por los puntos P(1,2,1) y Q(3,4,1) está contenida en el plano anterior.

7.-Considera el punto C(1,0,-2) y la recta 𝑟 ≡ { 2𝑥 − 𝑦 = 5 2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 7

a) Determinar la recta perpendicular a r que pasa por C.

b) Halla la distancia entre el punto C y su simétrico D respecto de la recta r.

8.-Sean los puntos A(1,0,2) y B(1,2,-1) a) Hallar un punto C de la recta 𝒓 ≡𝒙−𝟏

𝟑 = 𝒚

𝟐= 𝒛 que verifica que el triángulo ABC es

rectángulo en B.

b) Calcular el área del triángulo ABD, donde D es el punto de corte del plano  2x-y+3z=6 con el eje OX. A

9.-a) Determinar la posición relativa de la recta 𝑟 ≡ {𝑦 = 𝑥 + 1

10

b) Hallar el plano perpendicular a



que contiene a r. CL

10.-Sea la recta r que pasa por P(0,3,-1) y por Q (-2,4,-2).

a) Hallar razonadamente las distancia del punto A(0,1,0) a la recta r.

b) Calcular el ángulo que forma la reta que pasa por P y por A con la recta r en el punto P. c) Si R es el punto de la recta r que corta al plano de ecuación  z=0, comprobar que el triángulo APR tiene ángulos iguales en los vértices P y R.

11.-Sean los puntos A(1,0,2) y B(1,2,-1)

a) Hallar un punto C de la recta 𝒓 ≡𝒙−𝟏

𝟑 = 𝒚

𝟐= 𝒛 que verifica que el triángulo ABC es

rectángulo en B.

b) Calcular el área del triángulo ABD, donde D es el punto de corte del plano  2x-y+3z=6 con el eje OX. A

12.-a) Determinar la posición relativa de la recta 𝑟 ≡ {𝑦 = 𝑥 + 1

𝑧 = 2𝑥 y el plano



x-y=0.

b) Hallar el plano perpendicular a



que contiene a r. CL 13.-Sea la recta r que pasa por P(0,3,-1) y por Q (-2,4,-2).

a) Hallar razonadamente las distancia del punto A(0,1,0) a la recta r.

b) Calcular el ángulo que forma la reta que pasa por P y por A con la recta r en el punto P.

11

Curso 10-11

1.-Sea el punto P(1,1,-1), la recta

𝒓 ≡ 𝒙 =

𝒚+𝟔

𝟒

= 𝒛 − 𝟑

y el plano

𝝅 ≡ 𝒙 + 𝒛 − 𝟏𝟐 = 𝟎

.

Se pide:

a) Hallar el punto simétrico de P respecto del plano . b) Hallar la distancia del punto P a la recta r.

c) Hallar el/los punto/s Q pertenecientes a la recta r que distan 𝟏

√𝟐 u. del plano.

2.-Dadas las rectas

𝒓 ≡

𝒙 𝟐

=

𝒚−𝟏

𝟏

=

𝒛

−𝟏

; 𝒔 ≡ {

𝒙 − 𝒚 = 𝟎

𝒛 = 𝟎

. Se pide:

a) Hallar la ecuación de la recta t que es perpendicular a r y a s. b) Distancia mínima entre r y s.

3.-Dadas las rectas 𝒓 ≡ {𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = −𝟐_{𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟏} ; 𝒔 ≡ 𝒙 + 𝟏 = 𝒚

−𝟑= 𝒛−𝟏

𝟐 . Se pide:

a) Dados los puntos P(1,0,-1) y Q(a,3,-3), determinar el valor de a para que la recta t que pasa por los puntos P y Q, sea paralela a la recta s.

b) Hallar la ecuación del plano  que contiene a r y es paralelo a s. c) Ángulo que forman las rectas r y s.

4.-Sean los puntos A(1,1,1), B(1,0,0) y C(0,2,1). Se pide:

a) Determinar la relación que debe cumplir a y b para que la distancia del punto P(a,1,b) al plano 1 determinado por los puntos sea igual a 1.

b) Sea la recta r que pasa por A y B y sea el plano 2 que pasa por C y es perpendicular a

r. Calcular el punto Q en el que se cortan ry .

5.-Dada la recta 𝑟 ≡ { 𝑦 = 1 𝑥 − 𝑧 + 4 = 0

d) Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto Q(0,2,2,) y contiene a la recta r.

e) Calcular el área del triángulo que tiene por vértices los puntos de intersección del plano con los ejes de coordenadas.

6.-Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,1,1) y corta a las rectas 𝒓 ≡ {𝒙 + 𝒚 + 𝒛 ± 𝟏 = 𝟎

𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟎y 𝒔 ≡

𝒙

𝟐= 𝒚 − 𝟐 = 𝒛 + 𝟏.

7.-Considera el punto C(1,0,-2) y la recta 𝑟 ≡ { 2𝑥 − 𝑦 = 5 2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 7

c) Determinar la recta perpendicular a r que pasa por C.

d) Halla la distancia entre el punto C y su simétrico D respecto de la recta r.

8.-Determinarla relación que debe existir entre λ yμ para que la distancia del punto P(λ,1,μ) al plano determinado por los puntos A(1,1,1), B(1,0,0) y C(0,2,1) sea igual a 1.

9.- a) Determinar la posición relativa de la recta 𝑟 ≡ {𝑦 = 𝑥 + 1

𝑧 = 2𝑥 y el plano  x-y=0.

12

Curso 09-10

1.-Escribir la ecuación de la recta que es paralela a la recta de ecuación 𝑠 ≡ {𝒙 + 𝒚 = 𝟏 𝒛 = 𝟎 y

pasa por el punto P’, siendo P’ el punto simétrico a P(0,-2,0) respecto al plano

 x+3y+z=5.

2.-Sea la recta 𝑠 ≡ {𝑥 − 𝑧 = −1_{2𝑦 + 𝑧 = 3}

a)Hallar la ecuación del plano 1, que es paralelo a la recta s y contiene a la recta r de ecuación rx-1=-y+2=z-3.

b)Estudia la posición relativa de la recta s y el plano 2x+y=3 y deduce la distancia

entre ambos.

3.-Dado el punto A(1,-2,-3), la recta 𝒓 ≡ 𝒙 = 𝟏 − 𝒚 =𝒛

𝟎 y el plano  x-2y-3z=-1. Se pide:

a)Ecuación del plano que pasa por A, es paralelo a la recta r y perpendicular al plano . b)Ecuación de la recta que pasa por A, corta a r y es paralelo al plano .

4.-Considera las rectas:

𝒓 ≡ 𝒙 − 𝟑 = 𝒚 − 𝟒 =

𝒛−𝟓_𝟐

; 𝒔 ≡

𝒙−𝟓_−𝟐

=

𝒚−𝟒_−𝟏

=

𝒛−𝒎_𝟐 ,donde m.

a) Estudia, según los valores del parámetro m, las posiciones relativas de las dos rectas. En caso de que se corten las rectas r y s, calcula el punto de corte.

b) Cuando sean coplanarias, determina la ecuación general del plano que las contiene. c) Estudia la posición del plano del apartado anterior con el plano que pasa por los puntos

A(3,4,5), B(5,4,-3) y C(1,2,1).

5.-Sean las rectas: 𝑟 ≡ { 𝑥 = 1 𝑦 = 1 𝑧 = 𝛾 − 2

, 𝑠 ≡ { 𝑥 = 𝜇 𝑦 = 𝜇 − 1

𝑧 = −1

a) Determinar el plano perpendicular a r y que pasa por el punto P(1,1,1). b) Hallar la ecuación de la recta perpendicular t común a r y s.

c) Hallar la distancia entre ambas.

d) Hallar los puntos de la recta s cuya distancia al origen de coordenadas sea 4 unidades.

6.-Sean los puntos A(λ,2,λ), B(2,-λ,0) y C(λ,0,λ+2)

a) ¿Existe algún valor de λ para el que los puntos A, B y C estén alineados?

b) Comprobar que si A, B y C no están alineados, el triángulo que forman es isósceles. c) Calcular la ecuación del plano que contiene el triángulo ABC para el valor λ=0 y

halla la distancia de este plano al origen de coordenadas.

7.-Dadas las rectas 𝒓 ≡𝒙−𝟏

𝟐 = 𝒚−𝟐

𝟑 = 𝒛; 𝒔 ≡ 𝒙+𝟐

𝟐 = 𝒚 = 𝒛 − 𝟐.

a) Hallar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s. b) Determinar la distancia entre ambas rectas.

8.-Dados los puntos A (2,2,3) y B (0,-2,1), hallar el punto, o los puntos, de la recta 𝒕 ≡

𝒙−𝟐 𝟑 =

𝒚 −𝟏=

𝒛−𝟒

𝟐 que equidistan de A y B.

13

1.- Dados los puntos A(1,1,0) y B(0,0,2) y la recta



























1

1

1

z

y

x

r

, halla:

a) Un punto C  r de forma que el triángulo ABC sea rectángulo con el ángulo recto en C. b) El plano  que pasa por y B y es paralelo a r.

2.-En el espacio se consideran: la recta





















2

2

2

5

z

y

x

z

y

x

r

y la recta s que pasa por los

puntos P(3,10,5) y Q(5,12,6). Se pide:

a) Estudiar la posición de ambas rectas. Si se cortan halla el punto donde lo hacen.

b) Calcular los puntos M y N de la recta r para los que el área de cada uno de los triángulos de vértices PQM y PQN es 3 unidades de área.

3.-Dado un cubo de arista 1 unidad, se considera una de sus diagonales y la diagonal de una de sus caras de manera que no tengan (las diagonales) ningún punto en común. Calcula la distancia entre las diagonales.

Indicación: dibuja el cubo con un vértice en el origen de coordenada y los vértices contiguos sobre los ejes.

4.-Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,0,0) y corta a las rectas





































0

3

2

0

1

2

2

1

1

2

z

y

x

z

y

x

s

y

z

y

x

r

5.-Sea la recta rx=2y=3z, y el plano 2x+y-z=12

a) Calcular el punto Pr tal que su proyección ortogonal sobre el plano  es P’(8,13,17). b) Hallar el área del triángulo PQP’, donde Q y al eje OX.

6.-Los puntos A(-2; 3; 1), B(2;-1; 3) y C(0; 1;-2) son vértices consecutivos del paralelogramo ABCD.

(a4) Halla las coordenadas del vértice D.

(b4) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por B y es paralela a la diagonal AC. (c2) Halla la ecuación del plano que contiene a dicho paralelogramo.

7.-Sea la recta























m

z

y

x

mz

y

x

r

2

2

y el plano definido por x + my -z = 1

(a4) ¿Existe algún valor de m para el que y r son paralelos? (b4) ¿Para qué valor de m está la recta contenida en el plano?

(c2) ¿Cuál es la posición relativa de la recta y el plano cuando m = 0?

8.-Sea la recta















0

1

y

x

x

r

y sean los planos 1x + y + z = 0, y 2y + z = 0. Halla la

recta contenida en el plano 1, que es paralela al plano 2y que corta a la recta r.

9.- Se sabe que los planos de ecuaciones:

x + 2y + bz= 1, 2x + y + bz= 0, 3x + 3y -2z = 1 se cortan en una recta r.

(a5) Calcula el valor de b.

(b5) Halla las ecuaciones paramétricas de r.

14

y la recta s definida por

2

1

4

4

z

y

x









(a6) Halla el valor de m para el que r y s son perpendiculares.

(b4) Deduce razonadamente si existe algún valor de m para el que r y s son paralelas.

11.-Dado el plano x-y+z+D=0, donde D, y la recta

r



x





y



1





z

2

3

, se pide:

a) Demuestra que  D, la recta r es paralela al plano 

b) Determina el valor D de forma que la recta r esté contenida en el plano .

12.-Dado el punto P(2,2,1) y el plano



























t

z

s

t

y

s

t

x

1

1



, se pide:

a) Distancia desde el punto P al plano.

b) Ecuación de la recta que pasa por el punto P y es perpendicular al plano .

13.-Se consideran la recta y los planos siguientes:

0

2

2

2

3

;

0

2

3

2

;

4

2

1

3

2

2

1













































x

y

z

x

y

z

z

y

x

r











a) Determinar la posición relativa de la recta con respecto a cada uno de los planos. b) Determinar la posición relativa de los dos planos

c) Calcular la distancia de r a 2

14.-Dados el punto A(1,-2,-3), la recta

















0

0

1

z

y

x

r

y el plano x-2y-3z+1=0. Se

pide: