1
Física 3 – ECyT – UNSAM 2012
Corrientes de Desplazamiento – Ecuaciones de Maxwell-Ondas E&M
Docentes:
Gerardo García Bermúdez Salvador Gil
www.fisicarecreativa.com/unsam_f3
Clases 14
2
Algunas figuras fueron tomadas de la siguientes páginas:
Lectures M.D. Johnson - Gabriel Braunstein USA
Prof. Matteson- University of North Texas
M.D.Johnson - Gabriel Braunstein
Autores Mar Artigao Castillo, Manuel Sánchez Martínez
Dpto de Física Aplicada, Escuela Politécnica Superior de Albacete (UCLM)
Lectures of Prof. John G. Cramer, University of
Washington, Seattle USA, faculty.washington.edu/jcramer/
3
Leyes de Electromagnetismo )
( E v B q
F
r r
r
× +
=
/ ε
0q S d
S
E
E
= ⋅ =
Φ ∫∫ r r
= 0
⋅
=
Φ
B∫∫
SB r d S r
dt l d d
E Φ
−
=
= ∫ r . r
ε
¿?
. =
0⋅ +
∫ B r d l r µ i
Ley de Gauss - magnetismo Ley de Gauss - Electricidad
Ley de Faraday Ley de Ampere de la simetría ¿?
Teoremas de la Matemáticas
Teorema de Gauss-Ostrogradskyo teorema de la divergencia
Teorema de Stokes
4
∫∫∫
∫∫ ⋅ = ∇ ⋅ ⋅
=
Φ A S A r d S r V r A r dv
∫∫
∫ c A r . d l r = s ∇ r × A r . d S
5
Leyes de Maxwell en forma diferencial
/ ε
0q S d E
E
=
S⋅ =
Φ ∫∫ r r
= 0
⋅
=
Φ
B∫∫
SB d S r r
De manera análoga, la ley de Gauss - magnetismo
Ley de Gauss - Electricidad
∫∫∫
∫∫∫
∫∫
SE ⋅ d S =
V∇ ⋅ E ⋅ dv = 1
V( r ) ⋅ dv
0
ε ρ r
r r
r
0
) ( ε ρ r E =
⋅
∇ r r
= 0
⋅
∇ B r r
6
Leyes de Maxwell en forma diferencial II
De manera análoga, la ley de Ampere - magnetismo
Ley de Faraday
∫∫
∫∫
∫
cE r . d l r =
S∇ × E r ⋅ d S r = − ∂ ∂ t
SB r ⋅ d S r
t r E B
∂
− ∂
=
×
∇ r ( )
r r
)
0
J ( r B r r r × = µ
∇
dt l d d
E Φ
−
=
= ∫ r . r
ε
i l
d
B = ⋅
∫ r . r µ
07
Leyes del Electromagnetismo Leyes de Maxwell
) ( E v B q
F
r r
r
× +
=
/ ε
0q S d E
E
=
S⋅ =
Φ ∫∫ r r
= 0
⋅
=
Φ
B∫∫
SB r d S r
dt l d d
E Φ
−
=
= ∫ r . r
ε
i l
d
B = ⋅
∫ r . r µ
00
) ( ε ρ r E =
⋅
∇ r r
= 0
⋅
∇ B r r
)
0
J ( r B r r r × = µ
∇
t r E B
∂
− ∂
=
×
∇ r ( )
r r
Campos eléctricos inducidos
9
Campos eléctricos inducidos
Dos modos de producir un campo electrico:
(a) Campo eléctricocreado por una carga eléctrica (b) Campo eléctrico creado por uncampo magnético variable –
Ley de Faraday
Campos eléctricos inducidos Calculemos el trabajo para
mover una carga eléctrica a lo largo de una trayectoria cerrada c:
0
∫
∫
∫
⋅
=
⋅
=
⋅
=
l
l
l d E
l d E q l d F W
r r
r r r r
ε
dt l d d E
l
− Φ
=
∫
r⋅ r11
Campos Inducidos
dt B E d
E rot
r r r ≡ ∇ × = −
dt l d d
E Φ
−
=
∫ r ⋅ r
= 0
∫ E r ⋅ d l r
0 0
)
( E = ↔ ∇ × E = rot
r r
E De la electrostática:
Conclusiones
El campo eléctrico creado por cargas estáticas es conservativo: el trabajo a lo largo de una trayectoria cerrada es siempre nulo.
El campo eléctrico creado por un campo magnético variables (campo inducido) NO es Conservativo.
El trabajo a lo largo de un circuito cerrado NO es NULO
La Integral de lo largo de un circuito cerrado de E no es nulo
Las cargas se aceleran a lo largo de E.
≠0
− Φ
=
∫
E⋅dl ddtc
r r
=0
∫
⋅c
l d E
r r
13
Corriente de Desplazamiento
14
La primera unificación
James Clerk Maxwell(1831-1879)Físico
y matemático
(1861)Predicciones: ondas electromagnéticas
posibilidad de fabricarlas en el laboratorio velocidad de la luz
15
Ley de Ampere
int 0 I s
d
∫ B r ⋅ r = µ
16
Imaginemos un cable conectado a un capacitor. En este caso hay al menos dos superficies asociadas al mismo contorno C, las superficies A1 y la A2 .
0IA1
s d
∫
Br ⋅ r = µ
0
0 2
=
=
∫
Br ⋅
dsr µ
IAHay una
inconsistencia en la ecuación!!
17
Para mantener la consistencia de la Ley de Ampres debemos introducir una nueva corriente, asociada al campo Eléctrico variable (la corriente de desplazamiento) en la región entre las placas
dt I
dd Φ
E= ε
0dt d dt
I dq Φ
E=
= ε
00
0
.ε
ε σ
A E = = q
q A E . = ε
0q = ε
0⋅ Φ
E∫
E⋅
ds= ε Φ
E=
qε
0r r
018
corriente de desplazamiento
dt I d d Φ E
= ε 0
19
Ley de Ampere modificada y Ecuaciones de Maxwell Law)
desp
cond
I
I l
d
B = ⋅ + ⋅
∫ r . r µ
0µ
0I t l
d
B
cond E∂
⋅ ∂ +
⋅
∫ r . r = µ
0µ
0ε
0Φ
Corriente de conducción+ Corriente de desplazamiento Cables (conductores) Campos Eléctricos variables
en el tiempo
20
Leyes de Electromagnetismo Ecuaciones de Maxwell
) ( E v B q
F
r r
r
× +
=
/ ε
0q S d
S
E
E
= ⋅ =
Φ ∫∫ r r
= 0
⋅
=
Φ
B∫∫
SB r d S r
dt l d d
E
Φ
B−
=
= ∫ r . r
ε
) (
. d l
0i
0t B = ⋅ + ∂ Φ
E∂
∫ r r µ ε
Ley de Gauss - magnetismo Ley de Gauss - Electricidad
Ley de Faraday
Ley de Ampere- Maxwell
21
Leyes del Electromagnetismo Leyes de Maxwell
) ( E v B q
F
r r
r
× +
=
/ ε
0q S d
S
E
E
= ⋅ =
Φ ∫∫ r r
= 0
⋅
=
Φ
B∫∫
SB r d S r
dt l d d
E Φ
−
=
= ∫ r . r
ε
0
) ( ε ρ r E =
⋅
∇ r r
= 0
⋅
∇ B r r
t J E
B
∂
+ ∂
=
×
∇
r r r r
0 0
0
µ ε
µ t
r E B
∂
− ∂
=
×
∇ r ( )
r r
) (
. d l
0i
0t B = ⋅ + ∂ Φ
E∂
∫ r r µ ε
22 ondas de radio y TV
ondas de radio y TVondas de radio y TV ondas de radio y TV
microondas microondas microondas microondas
radiaci radiaci radiaci
radiacióóóón tn tn téééérmican trmicarmicarmica luzluzluzluz radiaci radiaciradiaci radiacióóóón ln ln ln lááááserserserser
rayos X rayos X rayos X rayos X
rayos gama rayos gama rayos gama rayos gama
¿Dónde se encuentran las o.e.m?
23
Física 3 - UNSAM
Muchas Gracias y Mucha suerte
24
ONDAS
ELECTROMAGNÉTICAS
25
Leyes del Electromagnetismo Leyes de Maxwell
) ( E v B q
F
r r
r
× +
=
/ ε
0q S d E
E
=
S⋅ =
Φ ∫∫ r r
= 0
⋅
=
Φ
B∫∫
SB r d S r
dt l d d
E Φ
−
=
= ∫ r . r
ε
0
) ( ε ρ r E =
⋅
∇ r r
= 0
⋅
∇ B r r
t J E
B
∂
+ ∂
=
×
∇
r r r r
0 0
0
µ ε
µ t
r E B
∂
− ∂
=
×
∇ r ( )
r r
) (
. d l
0i
0t B = ⋅ + ∂ Φ
E∂
∫ r r µ ε
LUZ
onda y partícula
La luz como onda
λ λλλλ: longitud de
onda
c : velocidad de la luz
c = 2,99792458 × 10-8m/s
υ : frecuencia
υ= c/ λλλλ Unidades
Descomposici Descomposici Descomposici
Descomposicióóóón de la luz Espectro de radiacin de la luz Espectro de radiacin de la luz Espectro de radiacin de la luz Espectro de radiacióóóón n n n electromagn
electromagn electromagn electromagnééééticoticoticotico
Espectros ópticos
Espectros de los elementos en Tierra.
Cada elemento tiene un Cada elemento tiene un Cada elemento tiene un Cada elemento tiene un espectro (
espectro ( espectro (
espectro (““““CCCCóóóódigo de digo de digo de digo de barras
barras barras
barras””””) que lo caracteriza) que lo caracteriza) que lo caracteriza) que lo caracteriza LLLLáááámpara incandescentempara incandescentempara incandescentempara incandescente
Espectro de gases Espectro de gasesEspectro de gases Espectro de gases
Descomposici Descomposici Descomposici
Descomposicióóóón de la luz Espectro de radiacin de la luz Espectro de radiacin de la luz Espectro de radiacin de la luz Espectro de radiacióóóón n n n electromagn
electromagn electromagn electromagnééééticoticoticotico
Podemos conocer los elementos presentas en las estrellas
Espéctros de los elementos en Tierra.
Espectro visible
Espectro de emisióndel átomo de hidrógeno en el visible
Espectro de absorción del átomo de hidrógeno en el visible
33
ONDAS (1dimensión)
Solución = onda hacia la derecha con velocidad v + onda hacia la izquierda con velocidad -v ξ(x,t)=f(x−vt) t=0
v.t t=t
ξ=ξ(x,t)=f(x-vt) ξ=ξ(x,0)=f(x)
34
Ondas Viajeras (1dimensión)
) ( ) ,
(xt =f x−vt ξ
t=0
v.t t=t
ξ=ξ(x,t)=f(x-vt) ξ=ξ(x,0)=f(x)
) ( ' ) ) (
,
( f x vt f x vt
dx d x
t
x = − = −
∂
∂ξ
) ( ' ) ) (
,
( f x vt v f x vt
dt d t
t
x = − =− ⋅ −
∂
∂ξ
) ( '' ) ( ) ' , (
2 2
vt x f vt x dxf
d x
t
x = − = −
∂
∂ξ
) ( '' ) ( ) ' ,
( 2
2 2
vt x f v vt x dtf d t
t
x = − = ⋅ −
∂
∂ξ 2
2 2 2
2 1 ( ,)
) ( ) '' , (
t t x vt v
x x f
t x
∂
= ∂
−
∂ =
∂ξ ξ
35
Ondas Viajeras (1dimensión)
Expresión matemática Función oscilante ξ(
ξ(ξ(
ξ(x,t))))que verifica una ecuación
Solución = onda hacia la derecha con velocidad v + onda hacia la izquierda con velocidad -v
2 2 2 2
2 ( , ) 1 ( ,)
t t x v x
t x
∂
= ∂
∂
∂ξ ξ
) ( ) ( ) ,
(xt =F1x−vt +F2x−vt ξ
36
Ondas Viajeras (3dimensión)
Expresión matemática Función oscilante ξ(
ξ(
ξ(
ξ(r,t))))que verifica una ecuación
Solución = onda hacia la derecha con velocidad v + onda hacia la izquierda con velocidad -v
2 2 2 2 2 2 2 2
2 ( ,) ( ,) ( , ) 1 ( ,)
t t r v z
t r y
t r x
t r
∂
= ∂
∂ +∂
∂ +∂
∂
∂ξ ξ ξ ξ
) ( ) ( ) ,
(rt =F1r−vt +F2r−vt ξ
2 2 2
2 1 ( , )
) ,
( t
t r t v
r ∂
= ∂
∇ ξ
ξ
37
Ondas Viajeras Solución general
Función oscilante
Longitud de onda λλλλ: distancia entre dos puntos consecutivos que vibran en fase.
Frecuencia ω=ω=ω=ω=k.v=2π.π.π.fπ. : nº veces que corta al eje.
PeriodoT=1/f tiempo en que la vibración se repite.
Frente de ondas: puntos alcanzados por la onda a un tiempo fijo.
[ ϕ ]
ξ
ξ ( x , t ) =
0sen k ( x − vt ) +
Amplitud Nº ondas velocidad onda Fase
38 t constante
x ξ
ξξξ(x,t) λλλλ ξ ξξ ξ0
X constante
t ξ
ξξξ(x,t) Τ ξ ξξ ξ0
λ π
=2 k
f T
kv π π
ω 2
2 =
=
=
ω π
=2 T
Velocidad de la onda
v f = λ ⋅
[
ϕ]
ξ
ξ(x,t)= 0senk(x−vt)+
39
Leyes del Electromagnetismo Leyes de Maxwell en vacío
) ( E v B q
F
r r
r
× +
=
= 0
⋅
=
Φ
E∫∫
SE r d S r
= 0
⋅
=
Φ
B∫∫
SB r d S r
dt l d d
E
Φ
B−
=
= ∫ r . r
ε
= 0
⋅
∇ E r r
= 0
⋅
∇ B r r
= 0
×
∇ B r r t
r E B
∂
− ∂
=
×
∇ r ( )
r r
t B E
∂ + ∂
=
×
∇ r r r
0
0 µ
0ε t
l d
B = ⋅ ∂ Φ
E∂
∫ r . r µ
0ε
040
Leyes del Electromagnetismo Leyes de Maxwell en vacío
= 0
⋅
∇ E r r
= 0
⋅
∇ B r r
t r E B
∂
−∂
=
×
∇ r( )
r r
E E
E
r r
r r
r
2) ( ∇ − ∇
∇
=
×
∇
×
∇
t r E B
∂
×
∇
−∂
=
×
∇
×
∇ r r( )
r r r
2 2 0 0
2 ( )
t E t
r E B
∂
− ∂
∂ =
×
∇
−∂
=
∇
−
r r
r r
ε µ
t B E
∂
= ∂
×
∇ r r r
0 0
ε µ
2 2 2 2 2 0 0
2 1
t E c t E E
∂
= ∂
∂
= ∂
∇
r r r
ε µ
0 2 0
1
=c ε
µ c 1 3.108m/s
0 0
=
= µε
La velocidad de propagación de la ondas electromagné ticas son igual a la de la LUZ
El término izquierdo de la ecuación (13), puede ser reordenado usando la siguiente identidad vectorial
A ) A
· (
A=∇∇ −∇2
×
∇
×
∇r r r r r r
Calculando el rotacional de la ley de Faraday t E B
∂
×∂
∇
−
=
×
∇
×
∇
r r r r r
Y usando la propiedad conmutativa en el término de la derecha, podemos escribir finalmente
t ) B E (
) E
·
( ∂
×
∇
−∂
=
∇
−
∇
∇
r r r
r
r 2
Combinando con:
Obtenemos
2 2 2
t E o o E
∂
= ∂
∇ µ ε
Operando de forma análoga para el campo magnético
2 2 2
t B o o B
∂
= ∂
∇ µ ε
t ) t , r ( ) E
t , r (
B o o
∂ ε ∂ µ
=
×
∇
r r r r
r
2 2 2
2 1
t E E c
∂
= ∂
∇
2 2 2
2 1
t B B c
∂
= ∂
∇ 0 0
1 ε
= µ c
usando
Obtenemos para la velocidad de fase un valor de c= 3·108m/s
Que coincide con la velocidad de la luz, c. Ergo la luz misma podría ser una onda electromagnética, y efectivamente lo es. La óptica se transforma así en una capítulo del electromagnetismo. Este es uno de los mayores triunfos de la física del siglo XIX.
Estas ecuaciones obedecen a una ecuación de ondas tridimensional para los campos y Bcon velocidad de fase
r E
r
m / F
· o=8.8910−12 ε
A / Tm o=4π·10−7 µ 0
0
1 ε
= µ c
43
Propagación de las ondas electromagnéticas
Los campos El Los campos ElLos campos El
Los campos Elééééctrico y Magnctrico y Magnctrico y Magnéééético oscilan localmentectrico y Magntico oscilan localmentetico oscilan localmentetico oscilan localmente Las direcciones locales del Campo El
Las direcciones locales del Campo El Las direcciones locales del Campo El
Las direcciones locales del Campo Elééééctrico y Magnctrico y Magnctrico y Magnéééético son ctrico y Magntico son tico son tico son mutuamente
mutuamente mutuamente
mutuamente perpendiculares
2 2 2
2 1
t E E c
∂
= ∂
Una soluci ∇
Una soluci Una soluci
Una solucióóóón de, onda plana es: n de, onda plana es: n de, onda plana es: n de, onda plana es:
[
( ( )]
)ˆE ) ,
(xt =E0j xpikx−ct +ϕ Er
λ 2π
= k
[
( ( )]
)ˆE ) ,
(xt =B0k xpikx−ct +ϕ
Br E0=c⋅B0
En Vac En Vac En Vac
En Vacíííío o o o
E r B r
⊥
44
Unificación de los fenómenos eléctricos y magnéticos en una sola teoría consistente:
La teoría electromagnética
James Clerk Maxwell(1831-1879)Físico
y matemático
(1861)Predicciones: ondas electromagnéticas
posibilidad de fabricarlas en el laboratorio velocidad de la luz
45
El
El espectro electromagnético
700 600 500 400
λ(nm)
espectro visible
100 102 104 106 108 1010 1012 1014 1016 1018 1020 1022 1024 108 106 104 102 100 10-2 10-4 10-6 10-8 10-10 10-12 10-14 10-16
Longitud de onda λ (m)
Frecuencia ν (Hz) ultravioleta ultravioleta ultravioleta
ultravioleta Rayos XRayos XRayos XRayos X Rayos gamaRayos gamaRayos gamaRayos gama infrarojo
infrarojo infrarojo infrarojo Ondas de radio Ondas de radioOndas de radio Ondas de radio Onda larga
λ⋅ν λ⋅ν λ⋅ν λ⋅ν= 3= 3····10= 3= 31010108888m/sm/sm/sm/s
104 105 106 107 108 109 1010 1011
Radio AM Radio FM Canales TVHorno microondas banda ciudadana
telefonía móvil Frecuencia ν (Hz)
46
Guglielmo Marconi
(1874-1937)Inventor. Nobel 1909
(1895) Primer transmisor de telegrafía sin hilos (2,4 km) (1901) 1ª señal telegráfica trasatlántica(1918) De Gales a Australia
Pittsburgh(1920) 1ª emisora comercial
Museo Marconi en New Hampshire (EEUU)
47
ENERGÍA DE UNA OEM
Densidad de energía eléctrica y magnética
Vacío - Medio
Densidad de energía de la OEM
o m
o e
u B E u
µ ε
2 2
2 1 2 1
=
=
µ ε
2 2
2 1 2 1 u B
E u
m e
=
=
0
0 cB
E =
ε µ
2 2
2 1 2
1 B
E u u
u= e+ m= +
µ ε µ
c B E E B
u
r r
= ⋅
=
=
2 2
La Onda Electromagnética Transmite Energía
La densidad de energía en el campo eléctrico es igual a la del campo magnético.
2
2
1 E
ue= εo 2
2 0
1 B um
= µ
0
0 c B
E = ⋅ m c oE ue
u = E2= 2=
2
0 2
1 2
1 ε
µ
En el vac En el vac En el vac
En el vacíííío el campo elo el campo elo el campo elo el campo elééééctrico lleva la misma ctrico lleva la misma ctrico lleva la misma ctrico lleva la misma cantidad de energ
cantidad de energ cantidad de energ
cantidad de energíííía que el campo magna que el campo magna que el campo magnéééético. La a que el campo magntico. La tico. La tico. La cantidad de energ
cantidad de energ cantidad de energ
cantidad de energíííía que lleva la onda por unidad de a que lleva la onda por unidad de a que lleva la onda por unidad de a que lleva la onda por unidad de áááárea y tiempo e la Intensidad de la Onda rea y tiempo e la Intensidad de la Onda rea y tiempo e la Intensidad de la Onda rea y tiempo e la Intensidad de la Onda I.I.I.I.
0 2
0 2
2c 1 E S
u c
I em o =
=
⋅
= ε
Onda Electromagnéticas Vector de Pointing S
La energía que incide sobre unidad de área en unidad de tiempo, o sea la Potencia /unidad área, se le llama la intensidad de la onda, El vector de PoyntingSrecoge este concepto y además nos da la dirección de propagación de la onda electromagnética.
La intensidad ( )es el valor promedio de la magnitud de I=S=Smedia.
Area Potencia Area
tiempo Energia B E S S
Imedia= media= = = / =
2 1 2 1
0 0 0
0 µ
0 0 0 2 0
0 2
1 2 1 2
1S c E EB
I
Smedia o
ε = µ
=
=
≡
Pointing de Vector 1
0
=
×
= E B
Sr r r
µ I S ≡
r
50
Espectro de ondas
electromagnéticas
Qué pasa Cuando la Onda Encuentra Otro Material? Una Interfase?
Como cualquier onda, parte de la onda es reflejada y parte entra al otro material pero su dirección es afectada.
Ley de Refracción (Snell)
Ejemplo – Reflección Especular (Superficie Suave) - Imagen
Ejemplo – Fibra Optica
Ejemplo – Fibra Optica
Radiación Solar
Temperatura del Sol T(k)=5000 Porcentaje UV=4.83
0,0E+00 1,0E-04 2,0E-04 3,0E-04 4,0E-04 5,0E-04 6,0E-04 7,0E-04
200 400 600 800 10001200140016001800200022002400260028003000 Lon.Onda (nm)
Abs. Coeff. (cm-1)
Radiat (w/m2/nm) Serie1 Serie2
Absorción de la luz solar en la atmosfera
Radiación Absorción de la Radiación E&M en Agua
Radiación Absorción de la
Radiación E&M en Agua
Radiación Absorción de la Radiación E&M en Agua
Absorci Absorci Absorci
Absorcióóóón en Airen en Airen en Airen en Aire
Radiación Absorción de la Radiación E&M en Agua
Temperatura del Sol T(k)=6000
1E-05 1E-04 1E-03 1E-02 1E-01 1E+00 1E+01 1E+02 1E+03 1E+04 1E+05 1E+06
1E+01 1E+02
1E+03 1E+04
1E+05 1E+06 Lambda (nm)
Abs. Coeff. (cm-1)
0.E+00 2.E-16 4.E-16 6.E-16 8.E-16 1.E-15 1.E-15 1.E-15 2.E-15 2.E-15
Solar Rad (w/m2.hz)
Abs_coef(cm-1) Abs_coef(cm-1) Radiat (w/m2)
Respuesta del Ojo
¿Por qué vemos en el visible?
Temperatura del Sol T(k)=5600 L_water(m)=4
- 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Lambda (nm) Abs. Coeff. (cm-1), Tansm %
0.E+00 2.E-16 4.E-16 6.E-16 8.E-16 1.E-15 1.E-15 1.E-15 2.E-15
Solar Rad (w/m2.hz)
Trans*Emis Eyes Response % Radiat (w/m2/hz)
La evoluci La evoluci La evoluci
La evolucióóóón de ojo se deba haber producido en el agua, no n de ojo se deba haber producido en el agua, no n de ojo se deba haber producido en el agua, no n de ojo se deba haber producido en el agua, no en el aire
en el aire en el aire en el aire
65 ondas de radio y TV
ondas de radio y TVondas de radio y TV ondas de radio y TV
microondas microondas microondas microondas
radiaci radiaci radiaci
radiacióóóón tn tn téééérmican trmicarmicarmica luzluzluzluz radiaci radiaciradiaci radiacióóóón ln ln ln lááááserserserser
rayos X rayos X rayos X rayos X
rayos gama rayos gama rayos gama rayos gama
¿Dónde se encuentran las o.e.m?
y Díos Dijo:
Y fue la Luz !!!
66 0
) ( ε ρ
r E=
⋅
∇ r r
= 0
⋅
∇ B r r
t r E B
∂
− ∂
=
×
∇ r ( )
r r
t J E
B
∂
+ ∂
=
×
∇
r r r r
0 0
0
µ ε
µ
67
Física 3 - UNSAM
Muchas Gracias y Mucha suerte
68
