UNIDAD
DIDÁCTICA
I:
CINEMÁTICA Y DINÁMICA DE LA
PARTÍCULA:
Caracterización de una partícula puntual respecto a un sistema de referencia inercial.1.- Un sistema formado por las partículas A, B, C y D se encuentran localizadas en los puntos (4,-3) m, (-6,-8) m, (7,10) m y (-5,9) m; respectivamente. Determine el vector de posición para cada partícula: en notación cartesiana (vectores unitarios) y notación polar. R:
2.- El vector de posición para un electrón es
ˆ ˆ ˆ
r 5 m i 3 m j 2 m k
r
.
Encuentre la magnitud y dirección de rry b) trace al vector sobre un sistema de referencia.R: | rr| = 38 m y ˆr 5 ˆi 3 ˆj 2 kˆ
38 38 38
.
3.- El vector de posición para un protón es inicialmente r = 5 i - 6 j + 2 kr ˆ ˆ ˆ y luego es
ˆ ˆ ˆ
r = -2 i + 6 j + 2 k r
,
todo en metros. a) ¿Cuál es el desplazamiento del protón? b) ¿A qué plano es paralelo el vector? R: r = -7 m i + 12 m jr ˆ ˆ4.- El minutero de un reloj de pared mide 11.13 cm del eje a la punta. ¿Cuál es el desplazamiento de la punta (a) desde un cuarto después de la hora hasta media hora después (b) en la siguiente media hora y (c) en la siguiente hora?
R: (a) rr = -22.26 cm iˆ (b) rr = 22.26 cm iˆ
y (c) rr = 0r.
5.- Una semilla de sandía tiene las siguientes coordenadas (-6,9,0) m. Encuentre su vector de posición. (a) En notación cartesiana (vectores unitarios) (b) ¿Qué magnitud tiene este vector? (c) ¿Cuál es el ángulo director, es decir, el ángulo medido desde el eje x positivo en sentido contrario a las manecillas del reloj? (d) Si la semilla se desplaza a las coordenadas xyz (3, 0, 0) m, ¿cuál es el desplazamiento en notación cartesiana (vectores unitarios) y en notación polar? y (e) Realice un gráfico del movimiento de la semilla colocando a los vectores correspondientes en la notación polar. R: a) F = 13 441 N, 180°. r , b) | rr| = 162 m , c) Ө = 123° 41´,
d) rr 9 m i 9 m jˆ ˆ
ó
rr 162 m, 315 ..
6.- Se conduce un automóvil al Este una distancia de 54 km, luego al Norte una distancia de 32 km y finalmente 27 km en la dirección 28° al Este del Norte. Trace un diagrama vectorial y determine el desplazamiento total del automóvil desde el punto de partida.
R: S = 87.13 km a 39°51’ al Norte del Este.
7.- Una estación de radar detecta un avión que se aproxima directamente desde el este. A la primera observación, la distancia al avión es 350 m a 50° sobre el horizonte. El avión es rastreado durante otros 125° en el plano vertical este-oeste, y la distancia de contacto final es de 890 m; como se muestra en la figura. Encuentre el desplazamiento del avión durante el periodo de observación. R: rr = -1 111.58 m i - 190.56 m jˆ ˆ
8.- Un cilindro con un radio de 45 cm rueda sobre el piso horizontal sin deslizarse como se aprecia en la figura, P es un punto pintado en el borde del cilindro. En t1, P se encuentra en el punto de contacto entre el cilindro y el piso. En el momento posterior t2, la rueda ha rodado media revolución. ¿Cuánto se desplaza P durante el intervalo? R: rr = 1.41 m i + 0.90 m j.ˆ ˆ
9.- Usted camina horizontalmente de la puerta de su casa de campo 60 m hacia el este, rumbo a un río, luego da vuelta y camina lentamente 40 m al oeste y se sienta en una banca para descansar. En el primer recorrido transcurren 28 s y en el segundo 36 s. Considerando el recorrido total, de la puerta a la banca, ¿cuáles son a) su velocidad media y b) su rapidez media?
R: a) v = 0.313 m/s al este, b) v = 1.56 m/s. 10.- El vector de posición inicial de un ion es:
ˆ ˆ ˆ
r = 5 i - 6 j + 2 k y el final r = -2 i +8 j - 2 k 10 sˆ ˆ ˆ más tarde, todo en metros ¿cuál es la velocidad media durante los 10 segundos?
R: v = - 7 m i +ˆ 7 m j -ˆ 2 m k.ˆ
10 s 5 5 s
r
s
11.- Un protón inicialmente tiene v = 4 i - 2 j + 3 kr ˆ ˆ ˆ y luego, 4 s después, v = -2 i - 2 j + 5 kr ˆ ˆ ˆ (en metros por segundo). Para esos 4 segundos. Determine:
a) La aceleración media del protón en notación de vector unitario.
b) Como una magnitud y una dirección. R: a) a = -3 m2 i +ˆ 1 m2 k.ˆ 2 s 2 s r b) a = 5 m2 3 2 ˆ 1 2 ˆ 2 s 2 5 i 2 5 j r . vectores unitarios notación polar
A ˆ ˆ r 4 m i 3 m j r A r 5 m, 323 07´ r B ˆ ˆ r 6 m i 8 m j r B r 10 m, 233 07´ r C ˆ ˆ r 7 m i 10 m j r C r 12.21 m, 55 r D ˆ ˆ r 5 m i 9 m j r D r 10.3m, 119 03´ r E 125° 890 m 50° O Antena de radar 350 m
P
En el tiempo t1P
En el tiempo t212.- Un tren se mueve a una rapidez constante de 60 km/h hacia el Este durante 40 minutos, luego en una dirección 50° al Este del Norte en 20 minutos y al final, al oeste durante 50 minutos. ¿Cuál es la velocidad media del tren durante este viaje? R: v = 7.58 km / h a 67 30´ al Norte del Este.
13.- Una embarcación de patines navega sobre la un lago congelado con aceleración constante debida al viento. En cierto instante la velocidad del bote es: (6.3 m/s i – 8.42 m/s j). Tres segundos después, cambia la dirección del viento y el bote se encuentra instantáneamente en reposo. ¿Cuál es su aceleración media para este intervalo de 3 s?R:
2 ˆ 2ˆ a = - 2.1 m/s i + 2.81 m/s j.r
14.- Un automóvil sube una colina a una rapidez constante de 40 km/h y en el viaje de regreso desciende a una rapidez constante de 60 km/h. Calcule la rapidez promedio del viaje redondo. R: v = 48 km/h.
Funciones vectoriales de posición, velocidad y aceleración en una, dos y tres dimensiones:
1.- La posición de una partícula en el plano xy está dada por: 3 3 ˆ 4 4 ˆ r = [(2 m/s ) t - (5 m/s) t] i + [(6 m) - (7 m/s ) t ] j r
.
Calcule: a) r r , b) vr y c) ar cuando t = 2s. R: a) r(2s) = 6 m i - 106 m jr ˆ ˆ b) v(2s) = 19 m/s i - 224 m/s jr ˆ ˆy c) a(2s) = 24 m/s i - 336 m/s jr 2 ˆ 2ˆ.
2.- La posición de un objeto que se desplaza en línea recta está dada por x = At + Bt2 + Ct3, donde A = 5.0 m/s, B = -8.0 m/s2 y C = 2.0 m/s3 (a) ¿Qué posición tiene el objeto en t = 0, 1, 2, 3 y 4 s? (b) ¿Cuál es su desplazamiento entre t = 0 y t = 2 s? ¿Entre 0 y 4 s? (c) ¿Cuál es la velocidad media en el intervalo entre t = 0 y t = 4 s? ¿Y entre t = 0 y t = 3s? R: (a) x(0) = 0, x(1s) = -1 m, x(2s) = -6 m, x(2s) = -3 m, x(4s) = 20 m (b) Δx = -6 m, Δx = 20 m (c) vx = 5 m/s, vx = -1 m/s.
3.- Una partícula se desplaza en el plano xy, de modo que sus coordenadas x y y varían con el tiempo según x(t) = At3 + Bt y y(t) = Ct2 + D, donde A =1.00 m/s3, B = -32.0 m/s, C = 5.0 m/s2 y D = 12 m.
a) Calcule su posición, velocidad y aceleración cuando t = 3 s.
b) Representa la trayectoria de la partícula en movimiento considerando a sus posiciones en t = 0, t = 1, t = 2, t = 3 y t = 4 s.
c) represente gráficamente a la velocidad y aceleración de la partícula en la posición t = 3 s. R: a) r = -69 m i + 57 m j,r ˆ ˆ v= -5 m/s i + 30 m/s jr ˆ ˆy
2 ˆ 2ˆ a = 18 m/s i + 20 m/s j.r
4.- Un ingeniero crea una animación en la que un punto en la pantalla de su computadora tiene posición
2 2 ˆ ˆ
r 6 cm (4.5 cm / s ) t i (10 cm / s) t j.
r
a) Determine la magnitud y dirección de la velocidad media del punto entre t = 0 y t = 4 s. b) Determine la magnitud y dirección de la velocidad instantánea en t = 0, en t = 3 s y t = 5 s. c) Dibuje la trayectoria del punto de t = 0 a t = 5 s y muestre las velocidades calculadas en el inciso (b). R: a) v = 20.59 cm/s a 29° b) v(0) = 10 cm/s a 90°, v(3s) = 28.73 cm/s a 20° 19’, v(5s) = 46.1 cm/s a 12° 31’.
5.- La velocidad de una partícula que se desplaza en el plano xy está dada por:
2 3 2 ˆ ˆ
vr(6 m / s ) t (4 m / s ) t i (8 m / s) j
.
Suponga que t>0.a) ¿Cuál es la aceleración cuando t = 3 s?
b) ¿Cuándo (si es que alguna vez) es cero la aceleración?
c) ¿Cuándo (si es que alguna vez) es cero la velocidad?
d) ¿Cuándo (si es que alguna vez) es la velocidad igual a 10 m/s en magnitud?
R: a) a(3s)r 18 m / s i2ˆ, b) t = 0.75 s, c) nunca y d) t = 2.2 s.
6.- La velocidad en metros por segundo de una partícula, en movimiento horizontal, viene dada por vx(t) = (7 m/s3) t2 – 5 m/s, donde t se expresa en segundos. Si la partícula parte del origen, x0 = 0 cuando t0 = 0, halla la función de la posición y aceleración general, es decir: x(t) y ax(t)
R: 3 3 7 m m x(t) ( ) t (5 ) t, 3s s x 3 m a (t) (14 ) t s
7.- Dos objetos A y B se conectan mediante una barra rígida que tiene una longitud L. los objetos se deslizan a lo largo de rieles guía perpendiculares como se muestra en la figura. Suponga que A se desliza hacia la izquierda con una rapidez constante v. Encuentre la velocidad de B cuando Ө = 60°. R: 0.577 v.
8.- Una langosta camina en línea recta sobre la arena en lo profundo del mar y que asignaremos como eje x con la dirección positiva hacia la derecha. La ecuación de la posición de la langosta en función del tiempo es:
x(t) = 80 cm + (5 cm/s)t –(0.075 cm/s2 )t2.
a) Determine la velocidad inicial, posición inicial y aceleración inicial de la langosta. b) ¿En qué instante t la langosta tiene velocidad cero? c) ¿Cuánto tiempo después de ponerse en marcha regresa la langosta al punto de partida? d) ¿En qué instantes t la langosta está a una distancia de 20 cm de su punto de partida? ¿Qué velocidad tiene la langosta en cada uno de esos instantes? e) Dibuje las gráficas: x-t, v-t y a-t para el intervalo de t =0 a t = 40 s. R: a) v0x = 5 cm/s b) x0 = 80 cm c) t = 66.67 s d) t1 = 4.27 s, vx1 = 4.36 m/s, t2 = 62.4 s, vx2 = -4.36 m/s y t3 = 70.47 s, vx3 = -5.57 m/s.
y
B
v
A
Ө
L
0
x
y
x
9.- La velocidad de una partícula viene dada por
2 ˆ
v(t) = (6 m/s ) t + 3 m/s ir . (a) Hacer un gráfico de v en función del tiempo y marcar el área limitada por la curva en el intervalo de t = 0 a t = 5 s. (b) Determine el área marcada en el inciso anterior tomando en cuenta las unidades y mediante ellas indique a qué cantidad física se refiere. c) Hallar la función de posición rr(t), evalúe t = 5 s y compare con el inciso anterior; que concluye. R: b) 90 m y c) r = (3 m/s ) t + (3 m/s) t i 2 2 ˆ
r
y r (5s) = 90 m ir ˆ
MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN (MRU):
1.- Un auto pasa por el punto A mientras otro auto pasa por el punto B en un mismo instante, los puntos están separados por una distancia de 160 km, si ambos autos van en línea recta, en sentido contrario y carriles diferentes con rapidez constante, ¿a qué distancia del punto A se encuentran? si el primero tiene una rapidez de 50 km/h y el segundo 30 km/h. R: x = d = 100 km. 2.- Un corredor pasa por el punto A, mientras otro pasa por el punto B situado a 30 metros adelante del punto A; si ambos corredores van en línea recta en el mismo sentido con rapidez constante, si y el primero se mueve a 8 m/s y el segundo con 5 m/s. ¿A qué distancia del punto A el primer corredor alcanza al segundo? R: x = d = 80 m.
3.- Dos ciclistas A y B se mueven en la misma dirección y sentido con rapidez constante. El ciclista A se mueve a 40 km/h y B a 30 km/h. Si están separados inicialmente por una distancia de 20 kilómetros y parten al mismo tiempo. Calcular: a) La distancia que tiene que recorrer A desde el punto de partida para alcanzar a B. R: d = 80 km. b) El tiempo necesario para alcanzarlo. R: t = 2 h. 4.- En un mismo instante, un auto pasa por un punto A y otro por un punto B, si el que pasa por el punto A tiene una rapidez de 30 m/s y el que pasa por B 20 m/s y la distancia de A hasta B es de 40 m. ¿A qué distancia del punto A alcanza el primer auto al segundo y cuánto tiempo transcurre? R: d = 120 m; t = 4 s.
5.- Dos corredores participaron en una carrera de 200 metros en línea recta; si el primero puede adquirir una rapidez máxima de 5 m/s y el segundo una rapidez máxima de 3 m/s, si llegan empatados. ¿Cuánto tiempo de ventaja dio el primer corredor al segundo? (suponer que los dos corredores no tienen aceleración a lo largo de la carrera). R: t = 26.67 s.
6.- Si en el problema anterior la ventaja se diera en distancia ¿cuál deberá ser dicha distancia para que lleguen empatados? R: x0B = d = 80 m.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO
UNIFORMEMENTE VARIADO
(MRUV)
1.- Para poder despegar un Boeing 747 tiene que alcanzar una rapidez de 360 km/h. Suponiendo que el recorrido de despegue es de 1.8 kilómetros y lo hace con aceleración constante. Determine (a) Su aceleración mínima si parte del reposo. (b) Tiempo en que logra el despegue.
R: (a) a = 36 000 k/h ir 2 ˆ, (b) t = 0.01 h.
2.- Un automóvil que se mueve a 25 m/s patina hasta que se detiene al cabo de 14 s. Encuentre la aceleración y la distancia que viaja hasta que llega a detenerse. R: ar 1.79 m/ s i, x d 175 m.2ˆ 3.- ¿Cuál es la velocidad final de una camioneta que recorre 10 km con una aceleración de 2 m/s2?
R: vr200 m / s iˆ
4.- ¿Qué aceleración se le aplicó a un autobús que viaja de 120 km/h a 75 km/h durante 1.5 h? R: ar 30 km / h i2ˆ
5.- Un carguero que inicialmente viaja a 20 m/s se desacelera a 1.5 m/s2. Encuéntrese el tiempo que tarda en detenerse y la distancia que se mueve en ese tiempo. R: t = 13.33 s, x = d =133.33 m. 6.- ¿En qué tiempo una avioneta recorre 900 km si su velocidad inicial es de 300 km/h y se le aplica una aceleración de 30 km/h2? R: t = 2.64 h
7.- Una bala se mueve horizontalmente con rapidez de 150 m/s, choca con un árbol y penetra 35 cm hasta que se detiene. Determine la magnitud de la aceleración y el tiempo en que se detiene, suponiendo que su rapidez disminuye constantemente y su trayectoria es recta.
R: a = 32 142.86 m/s2, t = 4.67 ms.
8.- Un motociclista viaja inicialmente en línea recta a razón de 30 m/s, se detiene constantemente a 3.8 m/s2. Determine: (a) El tiempo que tarda en detenerse (b) La distancia recorrida en ese tiempo. R: a) t = 7.89 s, b) d = 118.42 m.
9.- Un conductor va en línea recta a bordo de un automóvil con rapidez de 30 m/s, aplica los frenos constantemente hasta detenerse en 2 s y así evita pasar un alto. Determine: (a) La aceleración (b) La distancia que recorrió desde el instante en que aplica los frenos.
R: (a) a = -15 m/s ir 2 ˆy (b) d = 30 m.
10.- Se dispara un muón (una partícula elemental) con una rapidez inicial de 5.2 X106 m/s, hacia una región donde un campo eléctrico produce una aceleración de 1.30 X 1014 m/s2 en dirección contraria a la velocidad inicial. ¿Qué distancia recorrerá hasta el instante en que se detiene momentáneamente? R: d = 0.104 m.
11.- Un camión en una carretera recta está inicialmente en reposo y acelera a 2.0 m/s2 hasta alcanzar una rapidez de 20.0 m/s. El camión se desplaza durante 20 s a rapidez constante hasta que se aplican los frenos, deteniéndose con una aceleración uniforme en 5.0 s. Determine: a) ¿Cuánto tiempo está el camión en movimiento? b) ¿Cuál es la velocidad media del camión para el movimiento descrito?
R: (a) tt = 35 s y (b) v = 15.71 m/s ir ˆ
.
12.- Partiendo del reposo un tren acelera a una tasa constante de 1.4 m/s2 durante 20 s, continúa su movimiento ahora con rapidez constante en 65 s y luego frena uniformemente a 3.5 m/s2 hasta detenerse. Calcule la distancia total recorrida. R: d = 2212 m.
13.- Un tráiler acelera constantemente a 1.6 m/s2 partiendo del reposo en 12 s. A continuación se mueve con rapidez constante durante 20 s, después de los cuales disminuye su rapidez con una aceleración de -1.6 m/s2.
a) ¿Qué distancia total recorrió el tráiler? b) ¿Cuál fue su velocidad media? R: a) d = 614.4 m, b) vrmed13.96 m / s iˆ
14.- Una pelota se encuentra inicialmente en reposo, y adquiere una aceleración de 0.50 m/s2 al moverse en sentido descendente por un plano inclinado de 9.0 m de longitud. Cuando la pelota alcanza la parte inferior, ésta sube por otro plano y después de desplazarse 15.0 m, se detiene. Determine:
a) ¿Cuál es la rapidez de la pelota al llegar a la parte inferior del primer plano?
b) ¿Cuánto tarda en descender por el primer plano?
c) ¿Cuál es la aceleración a lo largo del segundo plano?
d) ¿Cuál es la rapidez de la pelota cuando ha recorrido 8.0 m por el segundo plano?
R: (a) v = 3 m/s, (b) t = 6 s, (c) a = -0.3 m/s ir 2 ˆy (d) v = 2.05 m/s.
15.- En el instante en que un semáforo se pone en luz verde, un auto que esperaba en el cruce arranca con aceleración constante de 3.5 m/s2. En el mismo instante, un camión que viaja con rapidez constante de 23 m/s alcanza pasa al auto.
a) ¿A qué distancia de su punto de partida el auto pasa al camión?
b) ¿Qué rapidez tiene el auto en ese momento? R: a) d = 302.28 m y b) v = 46 m/s
16.- Dos trenes se acercan uno al otro sobre vías adyacentes. Inicialmente están en reposo con una separación de 40 m. El tren de la izquierda acelera hacia la derecha a 1.0 m/s2. El tren de la derecha acelera hacia la izquierda a 1.3 m/s2.
a) ¿Qué distancia recorre el tren de la izquierda en el instante en que se encuentren?
b) Si los trenes tienen una longitud de 150 m, ¿cuál es el tiempo que tardan en cruzarse por completo? R: (a) d = 17.39 m y (b) t = 17.69 s.
17.- Un coche lleva una rapidez contante de 25 m/s en una zona escolar. Una patrulla que se encuentra estacionada arranca tras el infractor acelerando de manera constante a 5 m/s2 suponer que la patrulla avanza inicialmente a la par del auto. (a) ¿Cuánto tiempo tarda la patrulla en alcanzar al vehículo infractor?(b) ¿Qué velocidad lleva la patrulla cuando le alcanza?
R: (a) t = 10 s y (b) v = 50 m/s ir ˆ
.
18.- ¿Qué velocidad tendrá la patrulla, cuando se encuentra a 25 m por detrás del vehículo infractor? R: v = 5.64 m/s i y v = 44.4 m/s i.r ˆ r ˆ
19.- Un agente de tránsito está escondido en un cruce de calles y observa que un auto no respeta la señal de stop, el auto cruza la intersección y continúa con rapidez constante. El agente emprende su persecución 3 s después de que el coche sobrepasa la señal, acelera a 4.5 m/s2 y alcanza una rapidez de 120 km/h, continúa con esta rapidez hasta que alcanza al auto infractor. En ese instante, el coche se encuentra a 1.5 km del cruce. (a) ¿Qué tiempo desde que está en marcha el agente le lleva alcanzar al auto? (b) ¿Qué velocidad lleva el auto?
R: (a) t = 48.71 s, (b)
v
r
29 m / s i.
ˆ
CAÍDA LIBRE Y TIRO VERTICAL
1.- Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. ¿Cuánto tiempo está la pelota en el aire? (Despreciar la altura del punto de lanzamiento)
R: t = 4.08 s.
2.- Para intentar estudiar los efectos de la gravedad un estudiante lanza un pequeño proyectil verticalmente hacia arriba con velocidad 300 m/s. Despreciando el rozamiento con el aire, ¿cuál es la altura máxima alcanzada por el proyectil? R: hmax = 4591.84 m
3.- Para medir la profundidad a la que se encuentra el agua en un pozo se deja caer una piedra que tarda 3.2 segundos en llegar a ella. ¿Cuál es la profundidad del pozo? R: h = 50.18 m.
4.- Una piedra es lanzada en línea recta hacia arriba con una rapidez inicial de 80 pies/s. ¿Qué altura alcanza la piedra? Considérese g = 32.2 pies/s2. R: h = 99.38 pies.
5.- Un bombardero dispara verticalmente hacia arriba para derribar a un helicóptero que se mantiene suspendido en el aire a 45 metros de altura exactamente sobre el bombardero. (a) ¿Con qué rapidez debe lanzar el proyectil para dar en el blanco con una rapidez de 10 m/s (b) ¿Cuánto tiempo tarda el proyectil en dar en el blanco? R: a) v0 = 31.34 m/s y b) t = 2.18 s.
6.- Un submarino lanza un proyectil desde la superficie del mar hacia un helicóptero que se mantiene suspendido en el aire exactamente por encima de éste. Si el helicóptero se encuentra a una altura de 450 metros de la superficie del mar. (a) ¿Cuál es la rapidez del proyectil en el instante del impacto con el helicóptero, si es lanzado con una rapidez inicial de 200 m/s? (b) ¿Cuánto tiempo tarda el proyectil en dar en el blanco desde que fue lanzado? R: (a) v = 176.58 m/s y (b) t = 2.38 s. 7.- Un payaso se encuentra en la azotea de un edificio a 52 m de suelo, su colaborador, quien mide 1.80 m de estatura camina hacia el edificio con una rapidez constante de 1.3 m/s. Si el payaso deja caer un huevo con la intención de caiga en la cabeza de su colaborador, ¿en dónde deberá encontrarse el colaborador en el momento de soltar el huevo? R: a 4.48 m respecto la trayectoria vertical del huevo.
1.80 m
v = 1.80 m/s
8.- En el patio de la escuela los gemelos Pablo y Juan se encuentran jugando con una bola de goma. Si Pablo está en el barandal del primer piso, mientras que Juan en la planta baja del patio, y la altura entre niveles es de 2.5 m, determine: a) el tiempo que tarda la bola en llegar a las manos de Pablo, si Juan la lanza verticalmente hacia arriba con una rapidez de 12 m/s, b) el tiempo que tardará la bola en llegar a las manos de Juan si Pablo ahora la lanza verticalmente hacia arriba con la misma rapidez que Juan y c) La velocidad con que cada uno recibe la bola.
R: a) t1 = 2.22 s, t2 = 0.23 s, b) t = 2.64 s y c) Pablo la recibe: v1 9.75m ˆs j r
o
v29.75m ˆs j r,
mientras que Juan la recibe: v1 13.89m ˆs jr
9.- Una grúa levanta una carga de ladrillos a la velocidad constante de 5 m/s, cuando a 6 m del suelo se desprende un ladrillo de la carga. Determine
a) ¿Cuál es la altura máxima respecto al suelo que alcanza el ladrillo?
b) ¿Cuánto tarda en llegar al suelo?
c) ¿Cuál es su velocidad en el instante en que choca contra el suelo?
R: (a) hmax =7.28 m, (b) R: t = 1.73 s y (c) vr 11.94 m s j/ ˆ.
10.- Un tornillo se desprende del fondo exterior de un ascensor que se mueve hacia arriba a velocidad de 6 m/s. El tornillo alcanza en fondo del hueco del ascensor en un tiempo de 3 s. (a) ¿A qué altura estaba el ascensor cuando se desprendió el tornillo? (b) ¿Qué velocidad tiene el tornillo al chocar con el fondo del hueco de ascensor? R: a) h = 26.1 m, b) vr 23.4m s j/ ˆ
11.- Un objeto cae de una altura de 120 m. Determinar la distancia que recorre durante su último segundo en el aire. R: d = 43.6 m.
12.- un objeto cae de una altura h. Durante el segundo final de su caída recorre 38 m. ¿Cuál es el valor de h? R: h = 93.9 m.
13.- Un cohete se lanza verticalmente hacia arriba con una aceleración de 20 m/s2. Al cabo de 25 s el combustible se agota y el cohete continúa como una partícula libre, hasta que alcanza el suelo. Calcular:
a) el punto más alto que alcanza el cohete. b) el tiempo total que el cohete está en el aire. c) la velocidad del cohete justo antes de chocar con el suelo. R: a) y = 19 005.1 m, b) t = 138.3 s y c) vr 609.65m s j/ ˆ.
14.- Se deja caer una pelota desde una altura de 2.2 m y rebota a una altura de 1.9 m sobre el suelo. Suponga que estuvo en contacto con éste durante 96 ms y determine su aceleración promedio o media, durante el contacto con el suelo.
2 ˆ 130.31 /
ar m s j
15.- Dos bolas de billar se dejan caer desde un edificio de 60 m de altura. La segunda bola se deja caer 1.6 s después de la primera. ¿Qué distancia ha recorrido la segunda bola cuando la separación entre ambas es de 36 m? R: d = 10.97 m
16.- Un niño ve un balín de acero subir y bajar en una ventana de 1.2 m de altura. Si el balín permanece a la vista un total de 0.62 s, calcule la altura que alcanza por encima de la parte superior de la ventana? R: h = 0.28 m.
17.- Se dispara una bala desde un cañón directamente hacia arriba y de regreso cae con una rapidez de 260 ft/s, enterrándose 9 in. Calcule: a) La aceleración (supuestamente constante) necesaria para detener a la bala.
b) el tiempo que tarda el suelo en ponerla en reposo.
R: (a) a = 45 066.67 ft/s jr 2 ˆy (b) t = 5.77 X 10-3s 18.- Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba. En su ascenso cruza el punto A con una rapidez v, y el punto B, 3 m más alto que A, con una rapidez v/2. Calcule: a) la rapidez v, b) la altura máxima alcanzada por la piedra arriba del punto B.
R: (a) v = 8.85 m/s y (b) hmax = 0.99 m.
19.- Dos objetos inician la caída libre a partir del reposo desde la misma altura, si uno de ellos cae 1 s más tarde, en que tiempo después de que el primer objeto cae la distancia entre ellos será de 10 m. R: 1.52 s.
TIRO PARABÓLICO
1.- El portero de un equipo de fútbol realiza un despeje desde su portería. Si el balón sale disparado con un ángulo de 45° sobre la horizontal, y el tiempo que tarda en llegar a los pies de un jugador que se encuentra parado sobre el piso esperando el pase es de 1.8 s (sin considerar el efecto del balón y el rozamiento del aire). Determine: (a) La rapidez inicial del balón (b) ¿A qué distancia se encontraba el jugador que recibió el pase respecto a la posición inicial del balón? R: a) v0 = 12.47 m/s y b) d = 15.88 m.
2.- Un proyectil de juguete se lanza con una rapidez de 24 m/s con un ángulo de 53° sobre la horizontal. Determine:(a) La posición horizontal y vertical a 3 s después del disparo (b) Las componentes de la velocidad horizontal y vertical en dicho instante. R: (a) x= 43.33 m, y = 13.4 m y (b) vx = 14.44 m/s, vy = -10.23 m/s.
3.- Un cañón se ajusta con un ángulo de tiro de 45°. Dispara un bala con rapidez de 320 m/s. (a) ¿A qué altura llegará la bala? (b) ¿Cuánto tiempo estará en el aire? (c) ¿Cuál es el alcance horizontal? (d) ¿Qué velocidad tendrá un instante antes del impacto? R: (a) ymax = 2612.24 m (b) t = 46.18 s
(c) x = 18448.98 m (d)
v
r
320 m / s 315
.
4.- Un lanzador arroja una pelota a 140 km/h hacia la base de una cancha de béisbol que está a 16.90 m de distancia horizontal. Despreciando la resistencia del aire, determinar la altura a la que fue lanzada la pelota. R: h = 0.93 m.5.- Una pelota de béisbol abandona el bate formando un ángulo de 30° sobre la horizontal, la recibe un jugador situado a 120 m fuera del cuadro.
34
(a) ¿Cuál fue la rapidez inicial de la pelota? (b) ¿Aqué altura se elevó? (c) ¿Qué tiempo estuvo en el aire? R: a) v0 = 36.85 m/s, b) ymax = 17.32 m y c) t = 3.76 s.
6.- Una bola rueda sobre una mesa horizontal de 75 centímetros de altura y cae tocando el suelo en un punto situado a una distancia horizontal de 1.5 metros del borde de la mesa. ¿Cuál era la velocidad de la bola en el momento de abandonar la mesa? R: vr0 3.83 m / s iˆ
.
7.- Una canica se proyecta desde el descanso de una escalera a 2.5 m/s, si los escalones tienen una altura de 0.18 m y 0.30 m de ancho. ¿Con cuál escalón chocará primeramente la bola? R: 3 8.- Calcular la altura de una repisa, si al caer un cuerpo de ella llega al suelo con una velocidad vertical de 6.27 m/s ¿Cuánto tiempo tardara en caer? R: h = 2 m, t = 0.64 s
9.- Una piedra lanzada desde un puente 20 m arriba de un río tiene una velocidad inicial de 12 m/s dirigida a 45º sobre la horizontal. (a) ¿Qué distancia horizontal recorre la piedra al chocar con el agua? (b) ¿con qué velocidad llega la piedra al agua? R: d = 26 m y (b) vr23.11m s/ 291 32´
.
10.- El alcance de un proyectil disparado horizontalmente desde lo alto de un valle es igual a la altura desde donde fue lanzado. ¿Cuál es la dirección de la velocidad del proyectil un instante antes del impacto con el suelo? R: Ө = 296.5°. 11.- Se dispara un proyectil al aire desde la cima de una montaña a 200 m por encima de un valle. Su velocidad inicial es de 60 m/s a 60° respecto a la horizontal. Despreciando la resistencia del aire, ¿dónde caerá el proyectil directamente en el valle? R: x = 408.13 m.
12.- Un objeto es lanzado con un ángulo de 37° sobre la horizontal con una rapidez inicial de 20 m/s. A 32 m del punto de partida se encuentra un muro con el cual choca. ¿A qué altura del muro se produce el choque? R: 4.44 m.
13.- Calcular la velocidad inicial de una pelota de beisbol al ser golpeada por un bate, cuyo ángulo con respecto a la horizontal es de 60° y el tiempo que tarda en llegar a la altura máxima es de 2 s. R: v0 22.63 m/ s 60 .
r
14.- En una película un monstruo trepa a la azotea de un edificio de 30 m sobre el suelo y lanza un peñasco hacia abajo con una rapidez de 25 m/s y un ángulo de 45º por debajo de la horizontal. (a) ¿A qué distancia del edificio cae el peñasco? (b) ¿Con qué velocidad llega al suelo?
R: (a) 22.24 m y (b) vr34.85 m / s 300 29´
.
15.- Un acto circense consiste en lo siguiente: Una bella dama se mece en un trapecio, se proyecta con un ángulo de 53° y se supone que es atrapada por un trapecista cuyas manos están a 5.9 m arriba y 8.3 m adelante del punto de lanzamiento (ver figura) ignore la resistencia del aire. a) ¿Qué rapidez inicial debe tener la dama para ser atrapada por el trapecista? b) Para la rapidez alcanzada en el inciso a), ¿qué velocidad tendrá la bella dama al ser atrapada. c) La noche de debut, la bella dama no fue atrapada, ¿qué distancia horizontal recorrió ella desde su punto de lanzamiento al caer en la red que está a 8.5 m debajo de dicho punto? R: a) v0 = 13.5 m/s, b) v 8.16 m / s 5.5r y c) d = 22.87 m.16.- Un avión con rapidez de 300 km/h, vuela en picada a un ángulo de 40° debajo de la horizontal, de éste se suelta un paquete y la distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y aquel donde el paquete cae a tierra es de 600 m, (a) ¿cuánto tiempo está el paquete en el aire antes de impactarse con el suelo? (b) ¿a qué altura estaba el avión en el instante en que el piloto soltó el paquete? R: (a) t = 9.4 s y (b) y0 = 936.45 m. 17.- Un cañón de juguete dispara un proyectil con una velocidad inicial de 36 m/s, se desea que llegue a un blanco situado en una distancia horizontal de 100 metros del cañón y elevado a 3 metros por encima de éste. ¿Cuál es el ángulo mínimo de elevación del disparo? R: θ = 26.76° 18.- Un proyectil se dispara desde el suelo con un ángulo Φ0 sobre la horizontal. (a) Demuestre que el ángulo de elevación Ө visto desde el punto de lanzamiento al punto más alto se relaciona con Φ0 por tan Ө = ½ tan Φ0 (b) calcule Ө cuando Φ0 = 45°. R: (a) tan Ө = ½ tan Φ0 y b) Ө = 26.57°.
19.- Se deja caer una pelota desde una altura de 39 m. El viento sopla horizontalmente y le imparte una aceleración constante de 1.2 m/s2. a) Demuestre que la trayectoria de la pelota es una línea recta y encuentre los valores de R y Ө. b) ¿Cuánto tarda la pelota en llegar al suelo? c) ¿Con qué rapidez lo hace? R: a) R = 4.77 m, Ө = 83.02°, b) t =2.82 s y c) v = 27.85 m/s.
39 m
1.2 m/s
2Ө
R
Ө
Φ
0h
max8.3 m
5.9 m
53°
v
0200m
v
0= 60 m/s
60°
x
20.- Un portero puede hacer llegar un balón a una distancia máxima de 30 m en terreno plano, ¿con qué rapidez se separa la pelota del pie?
21.- Una persona sostiene un carro de supermercado que está situado en un plano inclinado que termina en un precipicio sobre un rio. El plano inclinado forma un ángulo de 40° por debajo de la horizontal. La persona se descuida y suelta el carro el cual desciende por el plano en línea recta desde la posición de equilibrio, con una aceleración constante de 3 m/s2, recorriendo una distancia de 30 m hasta el borde de un precipicio vertical. El precipicio se encuentra a 10 m por encima del agua. Hallar, (a) la magnitud de la velocidad del carro cuando alcanza el borde del precipicio y el tiempo que tarda en llegar allí (b) la rapidez del carro cuando choca con el agua (c) el tiempo total que el carro tarda desde el reposo hasta el contacto con el agua (d) la posición del carro sobre la superficie del agua respecto de la base del precipicio.
22.- Un leopardo ataca moviéndose en línea recta hacia un cazador con rapidez constante de 80 m/s. En ese instante el cazador está a 150 m de distancia y le dispara una flecha a 35º con respecto al suelo. ¿Cuál deberá ser la rapidez inicial de la flecha para que dé en el blanco? R: v0 = 14 m/s. 23.- Un cañón de juguete se coloca en una rampa que tiene una pendiente con un ángulo α. Si el proyectil se lanza por encima de la rampa con un ángulo Ө sobre la horizontal, como se muestra en la figura, y tiene una rapidez inicial v0, demostrar que el alcance R, medido a lo largo de la rampa viene dado por:
2 2 0
2 v cos
(tg
tg )
R
g cos
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
(MCU)
1.- Realiza las conversiones que a continuación se indican: (a) 15 revoluciones a grados sexagesimales y a radianes. R: = 5400°, 30 πƟ rad = 94.25 rad (b) 23.50° a revoluciones y radianes. R: 0.065 rev y 0.41 rad (c) 126 radianes a grados sexagesimales y revoluciones.
R: = 7219.8°, 20.05 rev.Ɵ
2.- ¿Qué radio tiene una circunferencia en la que se recorre un arco de 7 metros con un desplazamiento angular de 4.3 radianes?
R: r = 1.63 m.
3.- Si un cuerpo se desplaza en sentido contrario a las manecillas de un reloj 18.23 rad en 8 s, con un plano de giro paralelo al plano xy, calcular la velocidad angular establecida.
R: r 2.28 rad/ s k.ˆ
4.- Calcular el desplazamiento angular de un cuerpo que gira con una rapidez angular cuya magnitud es de 23 rad/s durante 20 segundos. R: Δθ = 460 rad.
5.- Calcular el desplazamiento angular de un cuerpo que gira con una velocidad de 8 rad/s durante 3 segundos. R: Δθ = 24 rad.
6.- Calcular la rapidez angular de un objeto si su frecuencia de giro es de 23 Hz. R: ω = 144.51 rad/s.
7.- Encontrar cuanta cinta se enreda en una rueda de 8 m de diámetro adaptada a un motor si gira 1.2 rad. R: s = 4.8 m.
8.- Calcular el tiempo en que un objeto gira 2.5 revoluciones si tiene una magnitud de velocidad angular de 8 rad/s. R: t = 1.96 s.
9.- ¿Cuál es la frecuencia de giro de un cuerpo si su periodo es de 12 segundos? R: f = 0.083 Hz. 10.- Calcular el periodo de un objeto cuya frecuencia de giro es de 50 Hz. R: T = 0.02 s. 11.- Calcular la rapidez angular si su periodo de giro es de 25 segundos. R: ω = 0.25 rad/s
12.- La rapidez angular con que se mueve un disco colocado en un fonógrafo es de 3.5 rad/s. Si gira en sentido contrario a las manecillas de un reloj, con su plano de giro paralelo al plano xy ¿qué velocidad tangencial llevará una partícula de polvo a 5 cm del centro en el instante que pase por la coordenada (0,-5,0) cm? R: v 175 mm/ s i.r ˆ 13.- Una rueda de la fortuna gira con M.C.U. en el mismo sentido de las manecillas del reloj con su plano paralelo al plano yz. Si su periodo es de 15 segundos. Determine: a) Su velocidad angular.
b) La velocidad tangencial que una persona tendrá sobre la rueda, si está sentada a una distancia de 6 metros del centro de giro en la parte más alta. R: (a) r 0.42 rad / s i.ˆ y (b) v 2.51 m/ s jr ˆ. 14.- Un astronauta se pone a girar en una máquina centrífuga a un radio de 5 metros. Determine: a) La rapidez tangencial del astronauta si la aceleración centrípeta es de 68.6 m/s2.. b) Las revoluciones por minuto que se necesitan para producir esta aceleración. c) El periodo del movimiento. R: a) v = 18.52 m/s, b) ω = 35.37 rpm y c) T = 1.7 s
15.- Un muchacho hace girar una piedra en un círculo horizontal de 1.5 m de radio y a una altura de 2 m sobre el nivel del suelo. Cuando la cuerda se rompe, la piedra sale volando horizontalmente y choca contra el suelo después de recorrer una distancia horizontal de 10 m. ¿Cuál es la magnitud de la aceleración centrípeta de la piedra mientras su movimiento era circular? R: ac = 163.33 m/s2. 16.- Un carrusel gira con una rapidez angular constante de 8.5 rad/s. Determine:
R
α
Ө
v
0a) Su desplazamiento angular en 8 segundos. b) Las revoluciones dadas en ese tiempo. R: a) ΔӨ = 68 rad y b) 10.82 rev
17.- El veloz tren francés conocido como TGV (Tren a Gran Velocidad) tiene una rapidez promedio programada de 216 km/h. Determine: a) Si el tren pasa por una curva a esa rapidez y la magnitud de la aceleración experimentada por los pasajeros debe limitarse a 0.050 de g, ¿cuál es el mínimo radio de curvatura de la vía que pueda tolerarse?
b) ¿A qué rapidez debe pasar el tren por la curva con un radio de un kilómetro para estar en el límite de la aceleración?
R: (a) r = 7 346.94 m, (b) v = 22.14 m/s
18.- Un trineo recorre una pista circular de 12 m de radio en la nieve, a 0.15 rev/s. De repente se detiene en el punto A como se muestra en la figura, un paquete que estaba sobre él continúa moviéndose a la velocidad que tenía al parar. Describa la posición del paquete respecto al centro del círculo, después de 4 s.
19.- Una partícula se mueve alrededor de un círculo de radio r = 0.30 m en el plano xy. Si su rapidez angular es de 4.5 rad/s. Cuando t = 0 pasa per el eje x. (El origen está en el centro del circulo). Determine la posición, velocidad y aceleración, cuando t = 0.40 s y t = 1.3 s.
20.- Una partícula se mueve en un círculo con velocidad m rad ˆ rad ˆ v (10 ) sen (4.5 )t i cos (4.5 )t j s s s r
.
Deduzca las funciones de posición y aceleración.
MOVIMIENTO
CIRCULAR
UNIFORMEMENTE VARIADO
(MCUV)
1.- El tornamesa de un tocadiscos gira en sentido horario a 45 rev/min y baja su velocidad a 33 rpm en 5 s. Si su plano es paralelo al plano xy ¿Cuál es la aceleración angular? R: r 0.25 rad / s k2 ˆ 2.- Un juego mecánico gira en sentido anti horario con su plano paralelo al plano yz, su velocidad angular disminuye a razón de 0.2 rad/s2 durante 12 s quedando con rapidez angular de 15 rpm ¿cuál era su rapidez angular inicial?
R: ω0 = 3.97 rad/s.
3.- Un objeto gira en sentido anti horario en el plano xy. Su aceleración angular tiene una magnitud de 8 rad/s2, si realiza 26 revoluciones en 5 segundos ¿Qué velocidad angular inicial tenía? R: 0 12.67rad s k/ ˆ.
r
4.- ¿Con qué velocidad angular gira originalmente una rueda de molinos si realiza 10 revoluciones en sentido anti horario, la rueda gira de manera paralela al plano yz con una rapidez angular final de 30 rad/s y una aceleración de 3 rad/s2? R: r 22.87 rad / s i.ˆ
5.- Un motor cuyo eje gira inicialmente a 400 rpm se acelera hasta 600 rpm con una aceleración de 20 rad/s2, calcule el desplazamiento angular en grados. R: θ = 3141.6°.
6.- Una rueda de 40 centímetros de radio gira sobre un eje estacionario, si la aceleración tangencial en un punto sobre su borde es de 3.5 m/s2 ¿cuál es su aceleración angular?
R: α = 8.75 rad/s2, justifica con un sistema de referencia su dirección.
7.- La centrifuga de secado de una máquina lavadora está dando vueltas en sentido anti horario en el plano xy a 900 rpm y disminuye uniformemente hasta 300 rpm mientras efectúa 50 revoluciones Determine la aceleración angular. R: r 12.57 rad/ s k.2 ˆ
8.- ¿A qué velocidad angular gira la rueda de una bicicleta si originalmente giraba en sentido horario en el plano yz a 50 rad/s con una aceleración de 12 rad/s2 dando 25 revoluciones?
R: r 79.18rad s i/ ˆ.
9.- ¿En cuánto tiempo alcanzará la llanta de un automóvil sobre un banco de prueba una velocidad angular de 230 rad/s si se acelera a 5 rad/s2, desde 15 rad/s? R: t = 43 s.
10.- ¿En qué tiempo, un cuerpo con rapidez angular inicial de 15 rad/s y aceleración angular constante de 36 rad/s2 realiza 30 revoluciones? R: t = 2.85 s
11.- ¿Cuántas revoluciones da un eje cuya velocidad angular inicial es de 12 rad/s con aceleración angular de 5 rad/s2 durante 5 segundos? R: θ = 19.5 rev.
12.- ¿Qué aceleración angular tiene el aspa del motor de un barco si tienen una rapidez angular inicial de 30 rad/s y gira 90 revoluciones en sentido horario en 2 segundos si su plano de giro es paralelo a yz? R: r 252.74 rad / s i.2ˆ
13.- Encontrar la aceleración tangencial en las ruedas de un automóvil, si tienen un radio de 30 centímetros y una magnitud de aceleración angular de 20 rev/s2. R: a
t = 37.7 m/s2, justifica con un sistema de referencia su dirección.
14.- ¿Qué radio tiene un cuerpo circular que tiene una aceleración tangencial de 8 m/s2 y una aceleración angular de 2 rad/s2? R: r = 4 m.
A
12 m
15.- Un auto en reposo, acelera sus ruedas en un banco de prueba a 15 rad/s2 en 30 s. Encontrar la rapidez angular final. R: ω = 450 rad/s.
16.- Encontrar la aceleración centrípeta de una partícula en la punta del aspa de un ventilador de 0.3 metros de diámetro que gira a 1200 r.p.m. R: ac = 2368.71 m/s2, justifica con un sistema de referencia su dirección.
17.- El radio de la órbita terrestre (supuestamente circular) es de 1.5 x 1011 m, si recorre esta órbita en 365 días, ¿cuál es la rapidez tangencial en la órbita en m/s y cuál es la magnitud de la aceleración hacia el sol?
R: vt = 29 885.77 m/s y ac = 5.96 X 10-3 m/s2. 18.- Un punto situado sobre una tornamesa giratoria, a 20.0 cm del centro, acelera desde la posición de reposo, hasta una rapidez final de 0.700 m/s en 1.75 s. En t = 1.25 s, calcular (a) la aceleración radial o centrípeta, (b) la rapidez de la partícula y (c) la aceleración total del punto. R: a)
a = 1.25 m/s , 269 50'
r
2
, b) v = 0.5 rad/s yc)
a = 1.32 m/s , 251 50'.
r
2
19.- En la figura se representa la aceleración total de una partícula que se mueve en el mismo sentido de las agujas del reloj a lo largo de un círculo de radio 2.50 m en cierto instante. En dicho instante, hallar (a) la aceleración radial o centrípeta, (b) la rapidez de la partícula y (c) su aceleración tangencial. R: a) ac = 13 m/s2, b) v = 5.7 m/s y c) at = 7.5 m/s2.
MOVIMIENTO RELATIVO
1.- El piloto de un avión observa que la brújula indica que el avión se dirige hacia el Oeste. La rapidez del avión respecto al aire es de 150 km/h. Si hay un viento de 30 km/h hacia el Norte, calcular la velocidad del aeroplano respecto de la tierra. R: vaT = 152.97 km/h a 11°18’ al Norte del Oeste. 2.- El piloto de una aeronave desea volar hacia el oeste en un viento de 50 km/h que sopla hacia el sur. Si la rapidez del avión respecto al aire es de 200 km/h, (a) ¿en qué dirección debe avanzar la aeronave y (b) ¿cuál será su rapidez respecto al suelo?
R: vaT = 193.65 km/h a 75° 57’ al Oeste del Norte. 3.- Una lancha de motor cruza un río ancho moviéndose con una rapidez de 15 km/h en relación con el agua. El agua en el río tiene una rapidez uniforme de 10 km/h hacia el Este en relación con la tierra. (a) Si la lancha se dirige hacia el norte, determine la velocidad de la lancha en relación con un observador que está de pie en cualquier orilla. (b) Si la lancha viaja con la misma rapidez 15 km/h en relación con el rio y debe viajar al norte ¿hacia qué dirección se debe dirigir el timón? R: a) vLT = 18.03 km/h a 56° 19’ al Norte del Este y (b) vLT = 11.18 km/h y el bote debe dirigirse a 41° 48’ al Oeste del Norte.
4.- Un furgón plano de ferrocarril viaja a la derecha con rapidez de 13 m/s relativa a un observador que está parado en tierra. Alguien se mueve en una motoneta relativa al furgón. ¿Qué velocidad tiene la motoneta relativa al observador, si su velocidad relativa al furgón es: (a) 18 m/s a la derecha? (b) ¿3 m/s a la izquierda? y (c) ¿cero?
R: a) v = 31 m/s, b) v = 10 m/s y c) v =13 m/s. Justifica la dirección de la velocidad en cada inciso.
5.- Una persona sube por una escalera automática inmóvil en 90 s. Cuando la persona permanece inmóvil sobre la misma y la escalera se mueve, llega hasta arriba en 60 s. ¿Cuánto tiempo tardaría en subir si la escalera está en movimiento? R: t = 36 s.
6.- Un bote se desplaza en el agua de un río a 10 m/s respecto al agua, cualquiera que sea la dirección del bote. Si el agua del río fluye a 1.5 m/s, ¿Cuánto tiempo le toma al bote llevar a cabo un viaje redondo consistente en un desplazamiento de 300 m a favor de la corriente seguido de un desplazamiento de 300 m contra la corriente. R: t = 61.37s.
7.- Un río fluye de manera uniforme hacia el norte a 3.5 m/s. Un hombre cruza el río nadando con una rapidez uniforme, relativa al agua de 5.0 m/s al oeste. El río tiene 600 m de ancho. (a) ¿Qué velocidad tiene el hombre relativa a la Tierra? (b) ¿Cuánto tiempo tarda en cruzar el río? (c) ¿A qué distancia al norte de su punto de partida llagará a la otra orilla? R: a) vhT = 6.1 m/s a 55° del Norte al Oeste y b) t = 120 s y c) d = 420 m.
8.- (a) ¿Qué dirección debe tomar el hombre en el ejercicio anterior para llegar a un punto de la orilla opuesta directamente al Oeste de su punto de partida? (la rapidez del hombre relativa a la corriente del río sigue siendo 5.0 m/s) (b) ¿Qué velocidad tendría el hombre relativa a la Tierra? c) ¿Cuánto tardaría en cruzar? R: a 45°34´ del Sur al Oeste, b) vhT = 3.57 m/s al Oeste y c) t = 168 s. 9.- Un elevador sube con una aceleración ascendente de 4 ft/s2. En un instante su rapidez ascendente es de 8 ft/s, y un perno desprendido del techo del elevador cae del techo del elevador a 9.0 ft del piso. Calcule: a) Su tiempo de vuelo del techo al piso. b) la distancia que cae en relación a la cabina del elevador. R: a) t = 0.71 s, b) d = 2.3 ft. a = 15 m/s2 2.50 m 30° v 13.0 m/s
LEYES DE NEWTON: PRIMERA, SEGUNDA
Y TERCERA
.1.- Considere el peso suspendido por medio de los cables como se muestra en las figuras. Determine las tensiones que experimentan los cables A y B en cada inciso. a) b) c) d) R: a) TA = 1405.4 N, TB = 1147.5 N. b) TA = 170 N, TB = 294 N. c) TA = 840.18 N, TB = 990.72. d) TA = 492.75 N, TB = 604.45 N.
2.- En la figura el peso es de 60 N. a) Calcule la tensión en el hilo diagonal. b) Calcule la magnitud
de las fuerzas horizontales F1 r
y F2 r
que deben aplicarse para mantener el sistema en la posición indicada. R: a) T = 84.85 N. b) F1 y F2 =60 N.
3.- Determinar las reacciones que ejercen cada una de las paredes sobre el cuerpo. R: N = 1188.18 N superficie vertical y N = 1372 N superficie inclinada.
4.- Una esfera de acero de 20 N se apoya sin rozamiento, en un sistema formado por un plano inclinado a 30° con la horizontal a la izquierda y otro plano inclinado a 60° a la derecha, como se muestra en la figura. Determinar la fuerza ejercida por cada plano sobre la esfera. R: N = 17.32 N plano de 30° y N = 10 N plano de 60°.
5.- Un bloque se mueve con rapidez constante de 8 m/s en línea recta sobre una superficie horizontal sin rozamiento, como se demuestra en la figura Determine:
a) La magnitud de la fuerza horizontal a la izquierda para que se mueva en la forma indicada.
b) La distancia que recorre en 20 s. R: a) F = 344.72 N y b) d = 160 m.
6.- Un cuerpo con masa de 250 g se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal, recibe la acción de una fuerza neta constante de 1500 dinas, paralela a la superficie en 30 s. Calcular la distancia que recorre en ese tiempo. R: d = 2700 cm.
7.- Un automóvil que pesa una tonelada métrica se desplaza en una calle recta y horizontal con una velocidad de 13 m/s. El conductor aplica los frenos y después de recorrer 20 m el automóvil queda en reposo: (a) ¿Qué aceleración adquiere el automóvil al aplicar los frenos y explica brevemente el resultado obtenido? (b) ¿La fuerza retardatriz que actúa sobre él? R: a) a = - 4.225 m/s ir 2 ˆ, b) F = - 4225 N ir ˆ. 8.- Tres astronautas impulsados por mochilas a chorro, empujan y guían un asteroide de 150 kg hacia un muelle de procesamiento, ejerciendo las fuerzas que se muestran en la figura. Determina la aceleración del asteroide: (a) en notación polar (b) en notación cartesiana. R: a) a = 0.66 m/s 13°r 2 , b) ar= 0.65 m/s i + 0.15 m/s j.2 ˆ 2ˆ 45º 60º 420 N A B 30° 60° 340 N A B 525 N 32° B A 220 N 160° 40° B A 30° 60° 450 N 30 kg F 40° 60 N 40 N 30 N 30° 50° 40° y x
90°
90°
45°
F
1F
290°
W
70 kg 60°9.- Un cuerpo de 5 kg se lanza hacia arriba sobre un plano inclinado que forma un ángulo de 30° con la horizontal, si en la parte más baja tiene una rapidez inicial de 2 m/s determinar: (a) La aceleración que experimenta la masa (b) La distancia que recorre a lo largo del plano, hasta detenerse. R: a) a = -4.9 m/s ir 2 ˆ, b) d = 0.41 m. 10.- Como se muestra en la figura, un bloque de 10 kg, se encuentra deslizándose sobre un plano inclinado sin rozamiento. Cuántos metros habrá recorrido sobre el plano, desde el reposo si transcurren 6 s. R: d = 74.55 m.
11.- Un cuerpo que se encuentra en una superficie horizontal se aplica una fuerza horizontal única, cuya magnitud es de 15 N a partir del reposo el cuerpo recorre 100 m en 10 s. (a) ¿Cuál es la masa del cuerpo? (b) ¿Si la fuerza deja de actuar al final de los primeros 10 s. ¿Cuánto avanzara en los siguientes 10 s? R: a) m = 7.5 kg, b) x = 200 m. 12.- Un hombre que pesa 70 kg se encuentra dentro de un elevador ¿Qué magnitud de fuerza ejercerá el piso del elevador sobre sus pies? Si el elevador se está moviendo: a) Con una aceleración uniforme hacia abajo de 1.5 m/s2, b) con una aceleración uniforme hacia arriba de 1.5 m/s2, c) en caída libre a = g y d) Con una velocidad constante de 6 m/s. R: a) N = 581 N, b) N = 791 N, c) N = 0 y d) N = 686 N.
13.- Un bloque de masa de 4 kg se libera de desde el reposo en la parte superior de un plano inclinado cuyo ángulo es de 35º respecto a la horizontal y una altura de 45 cm por encima de la superficie de una mesa como se muestra en la figura, si no se considera rozamiento alguno. Determine: (a) La magnitud de la aceleración del bloque cuando se desliza por el plano inclinado. (b) ¿Cuál es la rapidez del bloque cuando abandona el plano inclinado? (c) ¿A qué distancia de la mesa impactará el bloque contra el suelo? (d) ¿Qué tiempo transcurrirá entre el momento en que se
deja caer el bloque desde lo alto de plano al momento de choque con el suelo?
R: (a) a = 5.62 m/s2, (b) v = 2.96 m/s, (c) d = 0.7 m y (d) t = 0.82 s.
14.- La posición de una aeronave de 2.5 X 105 N que se está probando está dada por:
2 2 ˆ ˆ 3 3 ˆ r = (0.08 m/s )t i + (6.3 m/s)t j - (0.03 m/s )t k. r
Determine la fuerza neta sobre la aeronave en t = 5 s. R: F = 4.1 X 10 N i - 23 X 10 N k.r 3 ˆ 3 15.- Un objeto con masa m se mueve sobre el eje x. Su posición en función del tiempo está dada por x(t) = At - Bt3, donde A y B son constantes. Calcule la fuerza neta como función del tiempo.
R: Fx(t) = - 6 mBt.
16.- Un objeto con masa m = 0.8 kg está inicialmente en reposo, si se le aplica una fuerza:
3 3 2 2
ˆ ˆ ˆ
F = 5.0 N i - (4.0 N/s )t jr (6.0 N / s )t k.Calcule la velocidad v(t)r del objeto como función del tiempo.
R:
2 ˆ 5 4ˆ 4 3ˆ v(t) = (6.25 m/s )t i - (1.25 m/s )t j (2.5 m / s )t k.r
17.- Para un bloque cuya masa es de 20 kg y que se encuentra sobre una superficie horizontal, el coeficiente de rozamiento estático es de 0.45 y el cinético 0.25. Determine: a) La fuerza normal que actúa sobre el bloque. b) La fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque, si ejerce sobre éste una fuerza horizontal de 50 N. c) La fuerza máxima horizontal que pondrá al bloque en movimiento. d) La fuerza mínima horizontal que
mantendrá al bloque en movimiento una vez que ha empezado a moverse y e) La fuerza de rozamiento si la fuerza horizontal aplicada es de 100 N. R: a) N = 196 N, b) fs = 50 N, c) F = 88.2 N,
d) F = 49 N y e) F = 49 N.
18.- Un bloque de 1000 kg de masa se encuentra sobre una superficie horizontal. Se requiere una fuerza mínima de 350 N para ponerlo en movimiento y una de 240 N para que se mantenga en movimiento con velocidad constante, una vez que ha empezado a moverse, encuentre:
a) El coeficiente de rozamiento estático. b) El coeficiente de rozamiento cinético. R: a) µs = 0.036 y b) µk = 0.024.
19.- Un trineo cuyo peso es de 50 kgf se desliza sobre un terreno horizontal nevado, mediante la acción de una fuerza constante de 10 kgf que forma un ángulo de 30° con la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento entre el trineo y la nieve es de 0.05 determinar la aceleración del trineo. R: a = 1.26 m/s ir 2 ˆ.
20.- un método experimental sencillo para determinar los coeficientes de rozamiento consiste en emplear un plano cuya inclinación pueda ajustarse y sobre el cual se hace deslizar un cuerpo. Para un caso particular, el cuerpo empieza a deslizarse hacia abajo del plano inclinado cuando el ángulo de inclinación es de 20.5°; una vez iniciando el movimiento, se encuentra que el bloque se desliza con una velocidad constante cuando el ángulo de inclinación es de 13° Calcular los coeficientes de rozamiento: a) estático y b) cinético.
R: a) µs = 0.37 y b) µk = 0.23.
21.- Un bloque de 25 kg se desliza hacia arriba sobre un plano inclinado de 15° con la horizontal, por medio de una fuerza constante de 800 N paralela al plano inclinado, si el rozamiento tiene un coeficiente cinético entre el bloque y el plano inclinado de 0.15 ¿Qué magnitud tiene la fuerza de rozamiento y cuál es la magnitud de su aceleración? R: fk = 35.5 N y a = 30.58 m/s2.
35º
45 cm
90 cm
22.- La tabla entre otras dos tablas en la figura pesa 95.5 N. Si el coeficiente de fricción entre los tableros es de 0.663, ¿cuál debe ser la magnitud de las fuerzas de compresión (supuestas horizontales) que actúan sobre ambos lados del tablero central para evitar que se deslice?
R: N = 72 N.
23.- Suponga que los tres bloques que se indican en la figura se desplazan sobre la superficie sin fricción y que una fuerza de 45 N actúa como se muestra sobre el bloque de 8 kg. Determine (a) La aceleración que se imprime al sistema (b) la magnitud de la tensión de la cuerda que conecta a los bloques de 4 kg y 8 kg, y (c) la fuerza que el bloque de 4 kg ejerce sobre el bloque de 6 kg. R: a) a = 2.5 m/s i,r 2 ˆ b) T = 25 N y c) F = 15 N ir ˆ .
45 N
24.- Dos bloques de masas m1 y m2, con m1 > m2, se colocan tocándose entre sí sobre una superficie horizontal y sin rozamiento como se indica en la figura. Se aplica una fuerza horizontal constante F a m1, como se indica. Determine: (a) La aceleración del sistema formado por los dos bloques. (b) La magnitud de la fuerza de contacto entre los dos bloques. R: a)a = [F / (m + m )] i1 2 ˆ r y b) F2 = m2 F / (m1 + m2.).
25.- Dos objetos de masas m1 y m2, situados sobre una superficie horizontal sin rozamiento están unidos mediante una cuerda ligera. Se ejerce una fuerza F hacia la derecha sobre uno de los objetos, como se muestra en la figura. Determinar la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda. R: a = [F / (m + m )] i1 2 ˆ
r
y T = (m1 F) / (m1 + m2)
26.- Un bloque se coloca contra el frente vertical de un carro como se muestra en la figura. ¿Qué aceleración debe tener el carro para que el bloque A no caiga? El coeficiente de fricción estática entre el bloque y el carro es µS. ¿Cómo describiría un observador en el carro el comportamiento del bloque? R: a = g/r S i.ˆ
27.- Dos bloques de 10 kg están atados al techo de un ascensor, como se muestra en la figura. El ascensor acelera hacia arriba a 3 m/s2. Calcule la magnitud de la tensión en cada cuerda.
R: T1 = 256 N y T2 = 128 N.
28.- En la figura el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la mesa es de 0.2, la masa del cuerpo A es de 25 kg y el del cuerpo B es de 15 kg. ¿Qué distancia recorrerá el bloque B en los primeros 3 s después de que el sistema se suelta? R: d = 11.025 m.
29.- En el sistema de la figura la masa del bloque A es de 250 kg y la del bloque B es de 200 kg. El coeficiente estático de rozamiento entre A y la superficie en que se encuentra es de 0.05, mientras que el cinético es de 0.02; la masa de la cuerda y el rozamiento de polea se desprecian. Determinar:
a) La masa mínima del cuerpo C que debe colocarse sobre A para evitar que resbale.
b) La aceleración de A si el cuerpo C se retira repentinamente.
30.- El bloque A en la figura tiene un peso de 2.4 N, y B, 4.4 N. El coeficiente de fricción cinética entre todas las superficies es 0.2. Determine la magnitud de la fuerza Frnecesaria para arrastrar a B a la izquierda con rapidez constante si A y B están conectados por un cordel flexible que pasa por una polea fija sin fricción. R: F = 2.32 N.
m
1m
2 F4 kg
6kg
8 kg
45 N
m2 m1 Fa
A
A
B
B
B
CA
B
F
r
B
A
31.- Para el sistema mostrado en la figura determine la magnitud aceleración del sistema y la tensión de la cuerda, si el coeficiente de rozamiento μk = 0.4:
R: a = 1.7 m/s2 y T = 121.48 N.
32.- Dos bloques se encuentran unidos por medio de una cuerda inelástica, como se muestra en la figura (no considere el rozamiento en la polea y desprecie el peso de la cuerda. Determine la magnitud de la aceleración del sistema:
R: a = 0.34 m/s2.
33.- El aparato que se muestra en la figura se denomina máquina de Atwood y se utiliza para medir la aceleración debida a la gravedad g a partir de la aceleración de los dos bloques. Suponiendo que la cuerda y la polea tienen masa despreciable y la polea carece de fricción, demostrar que la magnitud de la aceleración en cualquiera de los dos bloques y la magnitud de la tensión de la cuerda están dados por
1 2 1 2 1 2 1 2 m -m a = g y m +m 2m m g T = . m +m
35.- Dos bloques de masas 4.00 kg y 8.00 kg están conectados por un cordel y bajan resbalando por un plano inclinado de 30° como muestra la figura. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque de 4.00 kg y el plano es de 0.25, y entre el bloque de 8.00 kg y el plano, 0.35. a) Calcule la magnitud de la aceleración en cada bloque. b) Calcule la tensión en el cordel. c) ¿Qué sucede si se invierten las posiciones de los bloques? R: a) a = 2.21 m/s2, b) T = 2.27 N.
34.- Si una de las masas de la máquina de Atwood de la figura anterior es de 1.2 kg, Cuál sería la otra masa para que el desplazamiento de cualquiera de ellas durante el primer segundo después de comenzar el movimiento fuese de 0.4 m?
36.- En un evento olímpico de patinaje artístico, un patinador de 65 kg empuja a su compañera de 50 kg, imprimiéndole una aceleración de 3 m/s2. ¿Qué magnitud de aceleración sufrirá el patinador? ¿Qué dirección tendrá su aceleración?
R: a = -2.31 m/s i.r 2 ˆ
37.- Juan y Juana cuyas masas son de 45 y 55 kg, respectivamente, están separados en una superficie sin fricción a 10 m de distancia. Juan tira de una cuerda que lo una a Juana, e imprime a Juana una aceleración de 1.02 m/s2 hacia él. (a) ¿Qué aceleración experimenta Juan? (b) Si la fuerza se aplica de forma constante, ¿Dónde se juntaran Juan y Juana? R: a) a = -1.25 m/s ir 2 ˆ, b) d = 4.49 m a la derecha de Juana.
38.- Un pingüino de 5 kg está sentado sobre un trineo de 10 kg como en la figura. Se aplica al trineo una fuerza horizontal de 45 N, pero el pingüino intenta impedir el movimiento sujetándose de una cuerda atada a un árbol. El coeficiente de fricción cinética entre el trineo y la nieve, así como el que hay entre el trineo y el pingüino, es de 0.20.
a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre del pingüino y uno más del trineo, e identifique la fuerza de reacción a cada fuerza que incluya.
b) Determine la tensión en la cuerda. R: T = 9.8 N. c) La aceleración del trineo. R: a = 0.58 m/s i.r 2 ˆ
39.- Se tira horizontalmente en la nieve de un trineo que pesa 60 N; el coeficiente de fricción cinética entre el trineo y la nieve es de 0.1. Un pingüino que pesa 70 N va montado en el trineo. Si el coeficiente de fricción estática entre el pingüino y el trineo es de 0.7, calcule la fuerza horizontal máxima que se puede ejercer sobre el trineo sin que el pingüino comience a deslizarse. R: Fmax = 153 N.
40.- En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, la rapidez del electrón es aproximadamente igual a 2.2 106 m/s. Calcular: (a) La magnitud de la fuerza que actúa sobre el electrón cuando gira en una órbita circular de radio 0.53 10-10 m (b) La magnitud de la aceleración centrípeta del electrón sabiendo que su masa es de 9.1 10-31 kg. R: a) Fc = 8.31 x 10-8 N, b) ac = 9.13 x 1022 m/s2.
45 N
10 kg 15 kg 60°30°
4.00 kg
8.00 kg
μK=0.020 20° 40° 20 kg 30 kgm
1m
2m
1F
41.- Considere las sillas voladoras de un parque de diversiones, como se muestra en la figura. Si la longitud L es de 8 m y la distancia a = 2.5 m ¿Qué magnitud de velocidad tangencial hará que la cadena de la silla forme un ángulo de de 35º con la vertical? R: v = 6.98 m/s.
42.- Un objeto de masa m se suspende de una cuerda de longitud L. El objeto gira siguiendo un círculo horizontal de radio r con una rapidez constante, como se muestra en la figura (como la cuerda genera un cono al girar, el sistema es conocido como péndulo cónico). Hallar: a) la magnitud de la velocidad del objeto; b) el periodo de revolución.
R: a) v = g R tan , b) T = (2π R) / g R tan .
43.- Un juego mecánico en un parque de diversiones consiste de un carro que se mueve en círculo vertical colocado en el extremo de una viga rígida de masa despreciable. El peso del carro con sus pasajeros es de 6 kN y el radio del círculo es de 8 m. ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fuerza de la viga en la parte superior del círculo, si la rapidez del carro ahí es: a) 4 m/s y b) 13 m/s? a) Fv = 4775.5 N, b) Fv = 6933.57 N.
44.- Un piloto se encuentra en un avión acrobático y ejecuta una maniobra de bucle, como en la figura. El avión se mueve en un círculo vertical de radio 2.7 km con rapidez constante de 225 m/s. Determinar la fuerza ejercida por el asiento sobre el piloto en (a) el punto más bajo del bucle y (b) el punto más alto del bucle. Expresar las respuestas en términos de del peso mg del piloto.
R: a) N = [ m (18.75 m/s2) + m (9.8 m/s2) ] y b) N = [ m (18.75 m/s2) - m (9.8 m/s2) ].
45.- Un disco de masa m se desliza sobre una mesa sin fricción, cuando esta unido a un cilindro colgante de masa M mediante una cuerda que pasa por un agujero en la mesa, como se muestra en la figura. ¿Qué rapidez mantiene al cilindro en reposo? No considere rozamiento entre la cuerda y el filo del agujero sobre la mesa. R: v = g R M/m .
46.- El bloque de 4.00 kg de la figura está unido a una varilla vertical con dos hilos. Cuando el sistema gira sobre el eje de la varilla, los hilos se extienden como se muestra y la tensión en el hilo superior es de 80 N. a) ¿Qué tensión hay en el otro hilo? b) ¿Cuántas revoluciones por minuto (rpm) da el sistema? c) Calcule las rpm con las que el hilo inferior pierde toda tensión. d) Explique qué sucede si el número de rpm es menor que en c).
R: a) T = 31 N, b) ω = 45 rpm
47.- ¿Cuál es el radio mínimo de un camino plano (sin peralte) alrededor del cual una ciclista puede viajar con rapidez de 30 km/h y el coeficiente de fricción entre las llantas y el camino es de 0.32? R: R = 22.14 m.
48.- Una pequeña esfera de masa m está unida al extremo de una cuerda de longitud R, gira bajo la influencia de la fuerza de gravedad describiendo un círculo vertical alrededor de un punto fijo como se muestra en la figura 2. Determine la tensión de la cuerda cuando ésta forma un ángulo con la vertical. La rapidez de la bola no es constante. R: T = m [(v2/R) + g cos θ]
49.- Un coche de 1800 kg se mueve sobre una carretera horizontal y plana y sigue una curva cuyo radio es de 40 m. Si el coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y el pavimento seco es de 0.5, calcular la magnitud de la velocidad máxima que el coche puede alcanzar para dar la vuelta sin problemas. R: vmax = 14 m/s.
a L R Ө r M m R Ө
