Distribuciones de Probabilidad Para Variable Aleatoria Discretas. Cdor 3

(1)

UNIDAD

3

(2)

OBJETIVOS DE LA

UNIDAD

QUE EL ALUMNO SEA CAPAZ DE:

(3)

1.- DEFINIR EL TERMINO VARIABLE 1.- DEFINIR EL TERMINO VARIABLE

ALEATORIA.-2.- DEFINIR EL TERMINO DISTRIBUCION DE 2.- DEFINIR EL TERMINO DISTRIBUCION DE

PROBABILIDAD.-3.- DISTINGUIR ENTRE DISTRIBUCION DE 3.- DISTINGUIR ENTRE DISTRIBUCION DE

PROBABILIDAD DISCRETA Y PROBABILIDAD DISCRETA Y

CONTINUA.-4.- DESCRIBIR LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD 4.- DESCRIBIR LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD BINOMIAL Y SU APLICACIÓN AL CALCULO DE BINOMIAL Y SU APLICACIÓN AL CALCULO DE

PROBABILIDADES.-5.- DESCRIBIR LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE 5.- DESCRIBIR LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE POISSON Y SU APLICACIÓN AL CALCULO DE POISSON Y SU APLICACIÓN AL CALCULO DE

PROBABILIDADES.- PROBABILIDADES.-

6.- EL CALCULO DE PROBABILIDADES BINOMIALES Y 6.- EL CALCULO DE PROBABILIDADES BINOMIALES Y

POISSON CON INFOSTAD Y POISSON CON INFOSTAD Y

(4)

MINITAB.-DISTRIBUCIONES DE

DISTRIBUCIONES DE

PROBABILIDAD

SON DISTRIBUCIONES

TEORICAS

Y SE USAN PARA

REPRESENTAR POBLACIONES

SON DISTRIBUCIONES

TEORICAS

Y SE USAN PARA

REPRESENTAR POBLACIONES

(5)

En la Unidad anterior, vimos como definir una probabilidad En la Unidad anterior, vimos como definir una probabilidad y comenzamos nuestro análisis de la probabilidad para y comenzamos nuestro análisis de la probabilidad para representar situaciones en las que los resultados son representar situaciones en las que los resultados son inciertos.- En esta Unidad nos basamos en esas ideas para inciertos.- En esta Unidad nos basamos en esas ideas para presentar modelos de probabilidad que ponen énfasis en las presentar modelos de probabilidad que ponen énfasis en las variables aleatorias.- Los modelos de probabilidad tienen variables aleatorias.- Los modelos de probabilidad tienen muchas aplicaciones en algunos problemas empresariales, muchas aplicaciones en algunos problemas empresariales, y aquí analizamos algunas de ellas.- Supongamos que y aquí analizamos algunas de ellas.- Supongamos que tenemos un negocio que alquila toda una variedad de tenemos un negocio que alquila toda una variedad de equipos.- Sabemos por experiencia – frecuencia relativa- equipos.- Sabemos por experiencia – frecuencia relativa- que el 30 por ciento de las personas que entran en nuestro que el 30 por ciento de las personas que entran en nuestro negocio quiere alquilar un equipo de camping.- Hoy negocio quiere alquilar un equipo de camping.- Hoy tenemos tres equipos de camping.- Cinco personas que no tenemos tres equipos de camping.- Cinco personas que no guardan ninguna relacion entre si entran en el negocio (la guardan ninguna relacion entre si entran en el negocio (la probabilidad de que una de ellas alquile un equipo de probabilidad de que una de ellas alquile un equipo de camping es independiente de la de las

(6)

demás).-¿Cuál es la probabilidad de que estas cinco personas ¿Cuál es la probabilidad de que estas cinco personas quieran alquilar un total de cuatro o cinco equipos de quieran alquilar un total de cuatro o cinco equipos de camping?.- Si ocurre eso, perderemos oportunidad de camping?.- Si ocurre eso, perderemos oportunidad de alquilar equipos de camping y los clientes se Irán alquilar equipos de camping y los clientes se Irán decepcionados.- La probabilidad de los eventos (números decepcionados.- La probabilidad de los eventos (números de equipos de camping deseados), como veremos más de equipos de camping deseados), como veremos más adelante puede calcularse esta probabilidad utilizando el adelante puede calcularse esta probabilidad utilizando el

modelo de probabilidad binomial.. modelo de probabilidad binomial..

QUE VEREMOS EN ESTA UNIDAD PRIMERO QUE ES UNA “VARIABLE ALEATORIA” ADEMAS

(7)

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

DISTRIBUCIONES DISCRETAS

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DISTRIBUCIONES CONTINUASDISTRIBUCIONES CONTINUAS

BINOMIAL BINOMIAL BINOMIAL BINOMIAL ACUMULADA ACUMULADA HIPERGEOMETRICA HIPERGEOMETRICA UNIFORME UNIFORME EXPONENCIAL EXPONENCIAL NORMAL NORMAL APROXIMACION A APROXIMACION A BINOMIAL Y BINOMIAL Y POISSON POISSON DETERMINACION DETERMINACION DEL VALOR X DEL VALOR X NORMAL NORMAL ESTANDARIZADA ESTANDARIZADA DE POISSON DE POISSON

(8)

VARIABLE

ALEATORIA

Es la variable que asume un

valor numérico único para cada

uno de los resultados de un

experimento

aleatorio.-Es importante distinguir entre una variable aleatoria y los valores posibles que puede tomar

La simbolizamos con letra mayúscula y los valores que La simbolizamos con letra mayúscula y los valores que

toma, con minúscula.-

toma, con minúscula.- Por ejemplo X, (x1, x2…….xn))

VARIABLE

ALEATORIA

(9)

Cuando la variable aleatoria no es un número, debemos fijar un

criterio o regla para darle un valor

numérico.-Por ejemplo, si el experimento consiste en observar el nivel de

Por ejemplo, si el experimento consiste en observar el nivel de

instrucción de la población, podemos dar los valores siguientes:

1.- Nivel primario 2.- Nivel secundario1.- Nivel primario 2.- Nivel secundario

3.- Nivel terciario 4.- Nivel Universitario3.- Nivel terciario 4.- Nivel Universitario

5.- Otros estudios 0.- Sin estudios.-5.- Otros estudios 0.- Sin

estudios.-Esos números son los valores posible que toma la variable aleatoria

Esos números son los valores posible que toma la variable aleatoria

en estudio. en estudio. LAS VARIABLES ALEATORIAS, PUEDEN SER

DISCRETAS

CONTINUAS

(10)

Una

Una variable aleatoria discretavariable aleatoria discreta es aquella que puede asumir una es aquella que puede asumir una

cantidad numerables de cantidad numerables de

valores.-1.- Infracciones diarias cometidas por los

1.- Infracciones diarias cometidas por los

vehículos.-2.- Nº de inasistencia de los obreros de la

2.- Nº de inasistencia de los obreros de la

empresa.-3.- Cantidad de hijos de familias de un

3.- Cantidad de hijos de familias de un

barrio.-4.- Cantidad de alumnos de una

4.- Cantidad de alumnos de una

escuela.-5.- El número de errores detectados en las cuentas de un

5.- El número de errores detectados en las cuentas de un

comercio.-6.- Número de clientes que llegan a la caja de un

6.- Número de clientes que llegan a la caja de un

banco.-7.- Número de reclamaciones en una póliza de seguro

7.- Número de reclamaciones en una póliza de seguro

médico.-8.- Número de artículos defectuosos en un gran

8.- Número de artículos defectuosos en un gran

envío.-9.- Números de autos vendidos por una agencia en el

9.- Números de autos vendidos por una agencia en el

mes.-10.-

10.-

Etc.-EJEMPLOS :

(11)

Una

Una variable variable aleatoria aleatoria

continua

continua es aquella que puede es aquella que puede asumir una cantidad innumerable de asumir una cantidad innumerable de

valores dentro de ciertos valores dentro de ciertos

límites.-1.- Peso de las

1.- Peso de las

personas.-2.- Velocidad de un

2.- Velocidad de un

auto.-3.- Horas de demora en cumplir una

3.- Horas de demora en cumplir una

tarea.-4.- Puntajes de un

4.- Puntajes de un

test.-5.- Sueldo de los empleados.-

5.- Sueldo de los empleados.-

6.- Variación de precio de las acciones ordinarias de IBM en un

mes.-7.- Cantidad de petróleo importado en un mes.-

7.- Cantidad de petróleo importado en un mes.-

8.-

(12)

EJERCICIOS PARA HACER EN CLASE

1.- Musimundo vende entre 0 y 6 computadoras al día.- ¿Es la venta diaria de computadoras una variable aleatoria discreta o continua?.-

2.- Un proceso de producción fabril produce un pequeño número de piezas defectuosas diariamente.- ¿es el número de piezas defectuosas una variable aleatoria discreta o

continua?.-3.- Indique en cada uno de los siguientes casos, cual es la 3.- Indique en cada uno de los siguientes casos, cual es la mejor definición: una variable aleatoria discreta o mejor definición: una variable aleatoria discreta o

continua.-a) El número de automóviles que llegan diariamente a un a) El número de automóviles que llegan diariamente a un

taller de reparaciones en el que trabajan dos taller de reparaciones en el que trabajan dos

(13)

personas.-b) El número de automóviles producidos por la General Motor

anualmente.-c) Las ventas diarias totales de un comercio de ropa con tarjetas en

pesos.-d) El número de pasajeros que se quedan sin plaza en una compañía aérea específica tres días antes de las Fiestas Navideña.-

4.- Un actor hace 100 representaciones al año.- ¿es su programa de trabajo una variable aleatoria

discreta?.-5.- Ponga cinco ejemplos de variables aleatorias discretas que podría observarse en una nueva

(14)

consultora.-6.- Defina tres variables aleatorias continuas que debería examinar periódicamente un vicepresidente de marketing.-7.- Una encuesta electoral entrevista a 2000 personas seleccionadas aleatoriamente.- ¿Debe analizarse el número de personas que apoyan al candidato A utilizando modelo de probabilidad discreta o

continua?.-8.- Un vendedor entra diariamente en contacto con 20 personas y les pide que compren.- ¿Debe analizarse el número de compras diarias utilizando un modelo de probabilidad discreta o continua?.-

9.- Usted debe analizar el número de cuentas vencidas en un determinado momento de un gran comercio de artículos de deporte.- ¿Usara un modelo de probabilidad continuo o

(15)

discreto?.-10.- El experimento consiste en tirar una moneda dos veces:

a) Haga una lista de los resultados

experimentales.-b) Defina una variable aleatoria que represente la cantidad de caras que pueden representarse en los dos

lanzamientos.-c) Indique que valores tomaría la variable en cada uno de los resultados

experimentales.-d) Esta variable aleatoria ¿es discreta o

continua?.-11.- Un experimento consiste en el ensamble de un producto por un trabajador y se registra el tiempo que tarda en hacer

(16)

esto.-a) Defina una variable aleatoria que represente el tiempo en minutos requeridos para ensamblar el

producto.-b) ¿Qué valores puede asumir la variable aleatoria?.-c) ¿Esa variable aleatoria es discreta o

continua?.-12.- Tres alumnos tienen entrevistas programadas para empleo durante las vacaciones en un Instituto de Investigaciones.- En cada caso, el resultado de la entrevista será que le ofrezcan o no le ofrezcan un empleo.- Los resultados experimentales se definen en función de los resultados de las tres

entrevistas.-a) Haga una lista de los resultados

experimentales.-b) Defina una variable aleatoria que represente la cantidad de ofertas hechas.- ¿es una variable aleatoria continua o

(17)

discreta?.-c) Indique el valor de la variable aleatoria para cada uno de los resultados

experimentales?.-13.- Suponga que conoce las tasas hipotecarias para 12 instituciones crediticias de Córdoba y que la variable aleatoria de interés es el número de instituciones crediticias de este grupo que ofrecen una tasa fija a 30 años de 8,5 % o menos.- ¿Qué valores puede asumir esta variable

aleatoria?.-14.- Para efectuar cierto tipo de análisis de sangre, los técnicos de laboratorio deben seguir dos procedimientos.- El primero requiere 1 o 2 pasos separados y el segundo puede requerir 1, 2, o 3 pasos.-a) Haga una lista de los resultados experimentales

(18)

análisis.-b) Si la variable aleatoria de interés es el número

total de pasos requeridos para terminar el

análisis (ambos procedimientos), indique que

valor asumirá la variable aleatoria en cada uno

de los resultados

experimentales.-15.- La tabla siguiente es una lista de

experimentos y variables aleatorias asociadas.-

En cada caso, identifique los valores que

puede asumir la variable aleatoria y diga si esa

variable es discreta o

(19)

continua?.-Experimentos Variable aleatoria x a) Hacer un examen con 20

preguntas Número de preguntas bien contestadas b) Observar los autos que

llegan a un peaje durante una hora

Número de autos que llegan al peaje

c) Auditar la devolución de 50

impuestos Número de devoluciones con errores d) Observar el trabajo de un

empleado Número de horas no productivas en una jornada de ocho horas

e) Pesar un embarque de

(20)

DISTRIBUCIONES DE

PROBABILIDAD PARA

VARIABLES

ALEATORIAS

DISCRETAS

(21)

Una distribución de probabilidad para una variable

aleatoria discreta

aleatoria discreta es es una una lista lista mutuamente mutuamente excluyente de todos los posibles resultados

excluyente de todos los posibles resultados

numéricos de un experimento aleatorio con las

probabilidades asociadas de cada

resultado.-Esta representación puede ser algebraica, gráfica o tabular.-

Esta representación puede ser algebraica, gráfica o tabular.-

Supongamos que X es una variable aleatoria discreta y que x es uno

de sus posibles valores.- La probabilidad de que la variable aleatoria

X tome el valor x se representa como

X tome el valor x se representa como P (X =x).-P (X

=x).-Para las variables aleatorias discretas, un procedimiento sencillo

Para las variables aleatorias discretas, un procedimiento sencillo

consiste en confeccionar una lista con la probabilidad de cada uno de

los posibles

resultados.-Definición:

Definición:

La

La función de probabilidadfunción de probabilidad P (X = x), de una variable P (X = x), de una variable aleatoria discreta X representa la probabilidad de que X tome el

aleatoria discreta X representa la probabilidad de que X tome el

valor x, como función de x:

p (xp (xii) = P (X = x) ) = P (X = x) donde la función se evalúa en donde la función se evalúa en

todos los posibles valores de

(22)

x.-Cuando la variable aleatoria es discreta esta función de

Cuando la variable aleatoria es discreta esta función de

probabilidad también se la conoce como

probabilidad también se la conoce como función de cuantía.-función de

cuantía.-Veamos un ejemplo: Veamos un ejemplo:

Supongamos que una empresa que se dedica a las ventas Supongamos que una empresa que se dedica a las ventas de autos, durante los últimos 300 días de ventas, las de autos, durante los últimos 300 días de ventas, las ventas muestran que en 54 días no se vendieron autos, en ventas muestran que en 54 días no se vendieron autos, en 117 se vendió 1 auto, en 72 días se vendieron 2 autos, en 117 se vendió 1 auto, en 72 días se vendieron 2 autos, en 42 se vendieron 3 autos, en 12 días se vendieron 4 autos y 42 se vendieron 3 autos, en 12 días se vendieron 4 autos y

en 3 días se vendieron 5 en 3 días se vendieron 5

automóviles.-Supongamos además, que el experimento consiste en Supongamos además, que el experimento consiste en seleccionar un día de operaciones de ventas y definimos seleccionar un día de operaciones de ventas y definimos la variable aleatoria de interés como X = número de la variable aleatoria de interés como X = número de

automóviles vendidos en un día.- automóviles vendidos en un día.-

Si presentamos la distribución de probabilidad de esta Si presentamos la distribución de probabilidad de esta

variable aleatoria será: variable aleatoria será:

(23)

X f X fii P (X = x) P (X = x) 0 54 0,18 0 54 0,18 1 117 0,39 1 117 0,39 2 72 0,24 2 72 0,24 3 42 0,14 3 42 0,14 4 12 0,04 4 12 0,04 5 5 3 0,013 0,01 300 1,000 300 1,000

Una ventaja importante de definir

una variable aleatoria y su

distribución de probabilidad es que

una vez conocida esa distribución

es fácil determinar la probabilidad

de varios eventos que pueden

interesar a quien toma

decisiones.-Por ejemplo, si consultamos la tabla

Por ejemplo, si consultamos la tabla

observamos que la cantidad más

probable de autos que se venden en

1 día es del 39

%.-También observamos que hay una probabilidad del 18 % de que se

También observamos que hay una probabilidad del 18 % de que se

vendan 3 o 4 automóviles en un días y así sucesivamente, esta

información es muy útil para quien toma decisiones sobre las

ventas de

(24)

automóviles.-Al asignar una función de probabilidad para cualquier variable

Al asignar una función de probabilidad para cualquier variable

discreta, se deben satisfacer las dos condiciones siguientes:

p (x

ii

)

≥ 0

∑

p (x

ii

) = 1

Si queremos mostrar

Si queremos mostrar gráficamente_{gráficamente} la distribución de la distribución de probabilidad de ventas de autos será:

probabilidad de ventas de autos será:

P (x) P (x) 0,200,20 0,100,10 Ventas deVentas de

(25)

día.-La

La Función de Probabilidad AcumuladaFunción de Probabilidad Acumulada, que , que simbolizamos con

simbolizamos con

F

(x), de una variable aleatoria X representa la (x), de una variable aleatoria X representa la probabilidad de que

probabilidad de que

X

tome un valor inferior a x, es decir: tome un valor inferior a x, es decir:

∑

=

≤

=

≤x X

p

(x

)

x)

(X

P

F(x)

i

Donde la notación indica que la suma es sobre todos los valores

posibles de

X

que son menores o iguales a x.- que son menores o iguales a x.-

En nuestro ejemplo, de la empresa que vende automóviles, ¿Cuál es

la probabilidad de vender menos de 2

P (X < 2) = P (X P (X < 2) = P (X ≤ 1) = P (x=0) + P (x=1) =≤ 1) = P (x=0) + P (x=1) =

(26)

EJERCICIOS DE APLICACION

1.- La distribución de probabilidad de la variable aleatoria 1.- La distribución de probabilidad de la variable aleatoria

X aparece en la siguiente tabla: X aparece en la siguiente tabla:

X 20 25 30 35

P (X=x) 0.20 0.15 0.25 0.30

a)

a) ¿Es correcta esta distribución de probabilidad?.- ¿Es correcta esta distribución de probabilidad?.-

Compruebe.-b)

b) ¿Cuál es la probabilidad de que x= 30?.-¿Cuál es la probabilidad de que x= 30?.-c)

c) ¿Cuál es la probabilidad de que x sea menor o igual a ¿Cuál es la probabilidad de que x sea menor o igual a

25?.-d)

(27)

30?.-2.- Se recabaron los siguientes datos a partir del conteo de 2.- Se recabaron los siguientes datos a partir del conteo de la cantidad de salas de operaciones en uso en el la cantidad de salas de operaciones en uso en el Hospital Fernandez de Capital Federal durante 20 días, 3 Hospital Fernandez de Capital Federal durante 20 días, 3 días se uso una sala de operaciones, en 5 días se días se uso una sala de operaciones, en 5 días se usaron dos salas, en 8 días se usaron 3 y en 4 días se usaron dos salas, en 8 días se usaron 3 y en 4 días se usaron las cuatro salas de operaciones del

usaron las cuatro salas de operaciones del hospital.-a)

a) Emplee el enfoque frecuencial para formar la Emplee el enfoque frecuencial para formar la distribución de probabilidad para la cantidad de salas distribución de probabilidad para la cantidad de salas de operaciones que se usaron en un día de operaciones que se usaron en un día determinado.-b)

b) Trace una gráfica de la distribución de probabilidad.-Trace una gráfica de la distribución de probabilidad.-c)

c) Demuestre que su distribución de probabilidad Demuestre que su distribución de probabilidad satisface las condiciones requeridas.-

(28)

3.- Los datos siguientes describen la cantidad de 3.- Los datos siguientes describen la cantidad de empleados en cada uno de los cinco niveles ejecutivos de empleados en cada uno de los cinco niveles ejecutivos de

un gobierno municipal: un gobierno municipal:

Nivel Ejecutivo Cantidad de empleados

1 15 2 32 3 84 4 300 5 31 Total 462

Suponga que se desea seleccionar una muestra de Suponga que se desea seleccionar una muestra de empleados para una encuesta acerca de las condiciones empleados para una encuesta acerca de las condiciones de trabajo.- Sea X una variable aleatoria que indica el nivel de trabajo.- Sea X una variable aleatoria que indica el nivel

ejecutivo de un empleado elegido al ejecutivo de un empleado elegido al

(29)

azar.-a)

a) Con los datos anteriores forme la distribución de Con los datos anteriores forme la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X.- Especifique los probabilidad de la variable aleatoria X.- Especifique los valores de la variable aleatoria y los valores valores de la variable aleatoria y los valores correspondientes a la función de

correspondientes a la función de probabilidad.-b)

b) Trace la gráfica de la distribución de probabilidad.-Trace la gráfica de la distribución de probabilidad.-c)

c) Demuestre que la distribución de probabilidad cumple Demuestre que la distribución de probabilidad cumple las condiciones

las condiciones

básicas.-4.- En la tabla siguiente se muestra las distribuciones 4.- En la tabla siguiente se muestra las distribuciones porcentuales de frecuencias para calificaciones de porcentuales de frecuencias para calificaciones de satisfacción en el empleo, en una muestra de altos satisfacción en el empleo, en una muestra de altos ejecutivos y mandos medios de sistemas de información.- ejecutivos y mandos medios de sistemas de información.- Las calificaciones van de 1, muy insatisfechos a 5 muy Las calificaciones van de 1, muy insatisfechos a 5 muy

(30)

satisfechos.-Calificación de satisfacción en el trabajo Alto ejecutivo % Mandos Medios % 1 5 4 2 9 10 3 3 12 4 42 46 5 41 28 Total 100 100

a) Defina una distribución de probabilidad para la a) Defina una distribución de probabilidad para la calificación de satisfacción en el empleo para un alto calificación de satisfacción en el empleo para un alto

ejecutivo.-b) Defina una distribución de probabilidad para esa b) Defina una distribución de probabilidad para esa

calificación en el caso de mando calificación en el caso de mando

(31)

medio.-c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alto ejecutivo c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alto ejecutivo exprese satisfacción en el trabajo con una calificación exprese satisfacción en el trabajo con una calificación de 4 o

de 4 o

5?.-d) ¿Cuál es la probabilidad de que un mando medio este d) ¿Cuál es la probabilidad de que un mando medio este

muy muy

satisfecho?.-e) Compare las satisfacciones generales en el trabajo de e) Compare las satisfacciones generales en el trabajo de

los altos ejecutivos y de los mandos los altos ejecutivos y de los mandos

medios.-5.- Un técnico da servicio a máquinas de correspondencia 5.- Un técnico da servicio a máquinas de correspondencia en cierta ciudad.- Dependiendo de la avería, el servidor en cierta ciudad.- Dependiendo de la avería, el servidor puede durar 1, 2, 3,o 4 horas.- Las distintas averías se puede durar 1, 2, 3,o 4 horas.- Las distintas averías se presentan más o menos con la misma frecuencia:

(32)

a)

a) Defina una distribución de probabilidad de duración del Defina una distribución de probabilidad de duración del

servicio.-b)

b) Trace una gráfica de la distribución de probabilidad.-Trace una gráfica de la distribución de probabilidad.-c)

c) Demuestre que su distribución de probabilidad cumple Demuestre que su distribución de probabilidad cumple con las condiciones que requiere toda función de con las condiciones que requiere toda función de probabilidad

probabilidad discreta.-d)

d) ¿Cuál es la probabilidad de que una avería dure 3 ¿Cuál es la probabilidad de que una avería dure 3

horas?.-e)

e) Se acaba de recibir una solicitud de servicio, pero no Se acaba de recibir una solicitud de servicio, pero no se conoce el tipo de avería.- Son las 15 horas.- Por lo se conoce el tipo de avería.- Son las 15 horas.- Por lo general, los técnicos de servicios salen a las 17 horas.- general, los técnicos de servicios salen a las 17 horas.- ¿Cuál es la probabilidad de que el técnico de servicio ¿Cuál es la probabilidad de que el técnico de servicio deba trabajar horas extras para arreglar la máquina deba trabajar horas extras para arreglar la máquina

(33)

hoy?.-6.- El director de admisiones de una escuela evaluó 6.- El director de admisiones de una escuela evaluó subjetivamente una distribución de probabilidad de X, la subjetivamente una distribución de probabilidad de X, la cantidad de alumnos de nuevo ingreso, que se cantidad de alumnos de nuevo ingreso, que se muestran en la siguiente tabla:

muestran en la siguiente tabla:

a)

a) ¿es valida esta distribución de probabilidad?.-¿es valida esta distribución de probabilidad?.-b)

b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya 1200 alumnos de ¿Cuál es la probabilidad de que haya 1200 alumnos de nuevo ingreso o

nuevo ingreso o

menos?.-X P (X = x) 1000 0.15 1100 0.20 1200 0.30 1300 0.25 Total 0.10

(34)

ESPERANZA Y VARIANCIA DE VARIABLES

ALEATORIAS

DISCRETAS.-El

El valor esperado o mediavalor esperado o media de una variable aleatoria es una medida de una variable aleatoria es una medida de la tendencia central de esa variable.- La ecuación matemática

de la tendencia central de esa variable.- La ecuación matemática

del valor esperado de una variable aleatoria discreta x es:

E (x) =

µ = ∑ x

ii

* p (x

ii

)

Es un promedio ponderado de

todos los resultados posibles,

donde las ponderaciones, son las

probabilidades asociadas con

cada uno de los resultados

cada uno de los resultados.- .-X f X fii P (X = x) x * p (x P (X = x) x * p (xii)) 0 54 0,18 0 0 54 0,18 0 1 1 117 0,39 0,39117 0,39 0,39 2 72 0,24 0,48 2 72 0,24 0,48 3 42 0,14 0,42 3 42 0,14 0,42 4 12 0,04 0,16 4 12 0,04 0,16 5 5 3 0,01 0,053 0,01 0,05 300 1,000 1,50 300 1,000 1,50 E (X) = E (X) = µ = 1,5 automóvilesµ = 1,5 automóviles

La empresa puede esperar, a la

larga, la venta de un promedio

de 1,5 automóviles por

(35)

día.-Si suponemos que la operación durante un mes equivale a 30 días,

Si suponemos que la operación durante un mes equivale a 30 días,

podemos usar el valor esperado de 1,50 para anticipar que las

ventas mensuales promedio son 30 * 1,5 = 45

automóviles.-La

La variancia_variancia, nos dará una idea de variación de los valores de , nos dará una idea de variación de los valores de la variable aleatoria respecto a su valor esperado o media.- La

la variable aleatoria respecto a su valor esperado o media.- La

ecuación matemática de la variancia será:

σ

² = ∑ (x

ii

**- µ)² * p (x**

ii

)

Recordemos que la variancia nos da un valor en unidades de

medida de la variable al cuadrado y por ello es muy difícil explicar,

por lo tanto calculamos una nueva medida que llamamos como

sabemos

sabemos Desviación EstándarDesviación Estándar.- Esta será:.- Esta será:

σ

= Variancia

La desviación estándar se mide en las mismas unidades de

medidas que la variable aleatoria en estudio

(36)

Como calcular la variancia por la fórmula de definición suele ser un

poco engorroso, hay una formula abreviada muy útil, que será la

que usaremos:

σ

² = ∑ x² p (x

ii

) - µ²

En nuestro ejemplo, de la empresa de ventas de automóviles el

calculo de la variancia y desvío estándar será:

X f X fii P (X = x) x P (X = x) x² p (x² p (xii)) 0 54 0,18 0 0 54 0,18 0 1 1 117 0,39 0,39117 0,39 0,39 2 72 0,24 0,96 2 72 0,24 0,96 3 42 0,14 1,26 3 42 0,14 1,26 4 12 0,04 0,64 4 12 0,04 0,64 5 5 3 0,01 0,253 0,01 0,25 300 1,000 3,50 300 1,000 3,50 σ σ² = 3,50 - 1,5² =² = 3,50 - 1,5² = = 3,50 - 2,25 == 3,50 - 2,25 = = 1,25 auto²= 1,25 auto² σ σ = 1,25 = 1.118 autos = 1,25 = 1.118 autos

(37)

EJEMPLO para que analicen los

EJEMPLO para que analicen los alumnos.-Una empresa considera dos inversiones posibles.- Como

Una empresa considera dos inversiones posibles.- Como

aproximación inicial asigna probabilidades subjetivas a cada uno de

los siguientes eventos: perder un 20% por cada dólar invertido,

perder un 10% , ni ganar ni perder, ganar un 10% y ganar un

20%.-Sea X el rendimiento por cada dólar invertido en el primer proyecto e

Sea X el rendimiento por cada dólar invertido en el primer proyecto e

Y el rendimiento por cada dólar invertido en el segundo

proyecto.-Las probabilidades asignadas son:

Las probabilidades asignadas son:

X -0,20 -0,10 0,0 +0,10 +0,20X -0,20 -0,10 0,0 +0,10 +0,20 p (x) 0,10 0,20 0,40 0,20 0,10 p (x) 0,10 0,20 0,40 0,20 0,10 Y -0,20 -0,10 0,0 +0,10 +0,20Y -0,20 -0,10 0,0 +0,10 +0,20 p (y) 0,01 0,04 0,10 0,50 0,35 p (y) 0,01 0,04 0,10 0,50 0,35

Calcule los rendimientos esperados por cada dólar invertido en cada

proyecto.- Cuales son los valores de dispersión.- ¿Cuál proyecto le

parece a usted que representa la mejor

(38)

inversión?.-El proyecto X, de acuerdo con cualquier estándar razonable,

El proyecto X, de acuerdo con cualquier estándar razonable,

parece menos atractivo.- Resulta igualmente posible perder un

20% que ganarlo, o ganar un 10% que perderlo.- El proyecto Y

ofrece mayores posibilidades de ganar un 10 o un 20% y

relativamente pocas de perder.- Los cálculos serán:

X p (x) x * P (x) x X p (x) x * P (x) x² * p (x)² * p (x) -0,20 0,10 - 0,02 0,004 -0,20 0,10 - 0,02 0,004 -0,10 0,20 - 0,02 0,002 -0,10 0,20 - 0,02 0,002 0,00 0,40 0,00 0,000 0,00 0,40 0,00 0,000 +0,10 0,20 0.02 0,002 +0,10 0,20 0.02 0,002 +0,20 0,10 0,02 0,004 +0,20 0,10 0,02 0,004 0,00 0,0120,00 0,012 E (X) = 0,0 E (X) = 0,0 σσ² =0,012 ² =0,012 σσ = 0,11 = 0,11

(39)

Y p (y) y * P (y) yY p (y) y * P (y) y² * p (y)² * p (y)

- 0,20 0,01 - 0,002 0,0004 - 0,20 0,01 - 0,002 0,0004 - 0,10 0,04 - 0,004 0.0004 - 0,10 0,04 - 0,004 0.0004 0,00 0,10 0,0 0,00,00 0,10 0,0 0,0 + 0,10 0,50 0,050 0,005 + 0,10 0,50 0,050 0,005 + 0,20 0,35 0,070 0,014 + 0,20 0,35 0,070 0,014 0,114 0,01980,114 0,0198 Para el proyecto Y, será:

Para el proyecto Y, será:

E (X) = 0,114

(40)

CONCLUSIONES del problema:

El rendimiento esperado de X es como hemos anticipado El rendimiento esperado de X es como hemos anticipado

menor que el rendimiento esperado de menor que el rendimiento esperado de

Y.-Observando las desviaciones estándar, la distribución de Observando las desviaciones estándar, la distribución de X tiene una mayor variabilidad.- El grueso de la X tiene una mayor variabilidad.- El grueso de la distribución de Y se concentra en los valores 0,10 y 0,20, distribución de Y se concentra en los valores 0,10 y 0,20, mientras que las probabilidades de X están de alguna mientras que las probabilidades de X están de alguna

manera dispersas entre todos los valores manera dispersas entre todos los valores

posibles.-Con frecuencia se toma a la variancia del rendimiento Con frecuencia se toma a la variancia del rendimiento como una medida del riesgo, siendo este mayor cuanto como una medida del riesgo, siendo este mayor cuanto

mayor es la mayor es la

variancia.-En este ejemplo, la inversión Y tiene un rendimiento más En este ejemplo, la inversión Y tiene un rendimiento más

alto y un riego alto y un riego

(41)

menor.-EJERCICIO PARA HACER EN CLASE

1.- Un concesionario de automóviles calcula la 1.- Un concesionario de automóviles calcula la proporción de automóviles nuevos vendidos que se han proporción de automóviles nuevos vendidos que se han devuelto varias veces para que se corrijan los defectos devuelto varias veces para que se corrijan los defectos durante el periodo de garantía.- La tabla adjunta muestra durante el periodo de garantía.- La tabla adjunta muestra

los resultados: los resultados: Numero de devoluciones 0 1 2 3 4 Proporción 0,28 0,36 0,23 0,09 0,04

a) Trace la función de

probabilidad.-b) Halle la media del numero de devoluciones de un automóvil para

b) Halle la media del numero de devoluciones de un automóvil para

que se corrijan los defectos durante el periodo de

garantía.-c) Halle la variancia y desvío del numero de devoluciones de un

c) Halle la variancia y desvío del numero de devoluciones de un

automóvil para que se corrijan los defectos durante el periodo de

garantía,.

(42)

2.- Una empresa produce paquetes de clips.- El numero 2.- Una empresa produce paquetes de clips.- El numero de clips por paquetes varia, como indica la tabla adjunta: de clips por paquetes varia, como indica la tabla adjunta:

Números de

clips 47 48 49 50 51 52 53

Proporción de

paquetes 0,04 0,13 0,21 0,29 0,20 0,10 0,03

a)

a) Trace la función de probabilidad.-Trace la función de probabilidad.-b)

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete seleccionado ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete seleccionado aleatoriamente contenga entre 49 y 51 clips,

aleatoriamente contenga entre 49 y 51 clips,

inclusive.-c)

c) Se selecciona aleatoriamente dos paquetes, ¿Cuál es la Se selecciona aleatoriamente dos paquetes, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos contenga como mínimo

probabilidad de que al menos uno de ellos contenga como mínimo

50 clips?.-

d)

d) Hallar la media, la variancia y la desviación estándar del numero Hallar la media, la variancia y la desviación estándar del numero de clips por

(43)

paquete.-3.- Una empresa esta especializada en la instalación y el

3.- Una empresa esta especializada en la instalación y el

mantenimiento de calefacciones centrales.- Antes de que empiece el

invierno, las llamadas al servicio de mantenimiento pueden dar como

resultado el pedido de una caldera.- La tabla adjunta muestra las

probabilidades estimadas del numero de pedidos de calderas nuevas

generados de esta forma en las dos ultimas semanas de septiembre:

Números de pedidos 0 1 2 3 4 5

Probabilidad 0,10 0,14 0,26 0,28 0,15 0,07

a)

a) Trace la función de probabilidad.-Trace la función de probabilidad.-b)

b) Halle la probabilidad de que se hagan al menos tres pedidos en Halle la probabilidad de que se hagan al menos tres pedidos en este

este

periodo.-c)

c) Halle la media del numero de pedidos de una nueva caldera en este Halle la media del numero de pedidos de una nueva caldera en este periodo de dos

periodo de dos

semanas.-d)

d) Halle la desviación estándar del numero de pedidos de una nueva Halle la desviación estándar del numero de pedidos de una nueva caldera en este periodo de dos

(44)

semanas.-4.- La tabla siguiente muestra la distribución de la 4.- La tabla siguiente muestra la distribución de la cantidad de créditos aprobados por semana en la oficina cantidad de créditos aprobados por semana en la oficina

de una sucursal bancaria local.- de una sucursal bancaria local.-

Hipotecas aprobadas por semana 0 1 2 3 4 5 6 Probabilidad 0,10 0,10 0,20 0,30 0,15 0,10 0,05 a)

a) Diga y explique si la tabla es colectivamente Diga y explique si la tabla es colectivamente

exhaustiva.-b)

b) Trace la función de probabilidad.-Trace la función de probabilidad.-c)

c) Calcule y explique la esperanza matemática y Calcule y explique la esperanza matemática y

explique.-d)

(45)

estándar.-5.- La distribución de probabilidad por daños pagadas por San

5.- La distribución de probabilidad por daños pagadas por San

Cristóbal SA en seguros contra choques se muestra a

continuación:

Pagos (dólares) Probabilidad

0 0.90 400 0.04 1000 0.03 2000 0.01 4000 0.01 6000 0.01 a)

a) Emplee el pago esperado por choque para determinar la prima de Emplee el pago esperado por choque para determinar la prima de seguro contra dueños que permitiría a la empresa salir sin

seguro contra dueños que permitiría a la empresa salir sin

pérdidas.-b)

b) La aseguradora cobra una tarifa anual de 200 dólares por cubrir La aseguradora cobra una tarifa anual de 200 dólares por cubrir choque.- ¿Cuál es el valor esperado del seguro contra choques

choque.- ¿Cuál es el valor esperado del seguro contra choques

para un asegurado?.- (sugerencia: es igual a los pagos esperados

de la compañía, menos los costos).- ¿Por qué el asegurado

compra una póliza contra choques con este valor

(46)

esperado?.-6.- La demanda de un producto por parte de Industrias Serrano

6.- La demanda de un producto por parte de Industrias Serrano

SRL, varía mucho de mes a mes.- La distribución de probabilidad

de la tabla siguiente, basada en los datos de los dos últimos años

indica la demanda mensual del producto:

Demanda de unidades Probabilidad

300 0.20

400 0.30

500 0.35

600 0.15

a)

a) Si la empresa basa sus pedidos mensuales en el valor esperado Si la empresa basa sus pedidos mensuales en el valor esperado de la demanda mensual, ¿Cuál debe ser la cantidad de pedidos

de la demanda mensual, ¿Cuál debe ser la cantidad de pedidos

de Serrano para este

producto?.-b)

b) Suponga que cada unidad demandada genere ingresos de 70 Suponga que cada unidad demandada genere ingresos de 70 dólares y que cada unidad pedida cuesta 50 dólares.-¿Cuánto

dólares y que cada unidad pedida cuesta 50 dólares.-¿Cuánto

debe ganar o perder la empresa en un mes si coloca un pedido

basado en su respuesta al inciso a) y la demanda real del

artículo es de 300

(47)

unidades?.-7.- Según una encuesta del diario Ámbito Financiero, 95% de los

7.- Según una encuesta del diario Ámbito Financiero, 95% de los

suscriptores tienen una computadora en casa.- Para esos hogares,

se dan las distribuciones de probabilidad para computadora portátil

y de

escritorio.-Número de

computadoras _Portátil Probabilidad _Escritorio

0 0.47 0.06

1 0.45 0.56

2 0.06 0.28

3 0.02 0.10

a)

a) ¿Cuál es el valor esperado de la cantidad de computadora por ¿Cuál es el valor esperado de la cantidad de computadora por familia para cada

familia para cada

tipo?.-b)

b) ¿Cuál es la variancia de la cantidad de computadora por familia ¿Cuál es la variancia de la cantidad de computadora por familia para cada

para cada

tipo?.-c)

c) Realice algunas comparaciones entre el número de computadoras Realice algunas comparaciones entre el número de computadoras portátiles y el número de computadoras de escritorio que posee

portátiles y el número de computadoras de escritorio que posee

los suscriptores del

(48)

periódico.-ALGUNAS

ALGUNAS

DISTRIBUCIONES

DE

PROBABILIDAD

DISCRETA

(49)

DISTRIBUCION DE

PROBABILIDAD

BIPUNTUAL 0

ENSAYOS DE

BERNOULLI

(50)

Antes de introducirnos en la distribución binomial es importante

ver que nos dice esta distribución de

probabilidad.-Entre las distribuciones de probabilidad discretas, este es el

Entre las distribuciones de probabilidad discretas, este es el

modelo más simple, se lo llama también

modelo más simple, se lo llama también “ prueba o ensayos _{“ prueba o ensayos} de Bernoulli”

de Bernoulli” y se refiere a un experimento aleatorio con dos y se refiere a un experimento aleatorio con dos resultados

resultados

posible.-Se trata de una población dicotomizada, es decir de una población

Se trata de una población dicotomizada, es decir de una población

cuyos individuos se pueden subdividir en dos clases según tengan

o no una cierta característica.- Los individuos que tienen la

característica A forman la clase A y los que no la tienen forman la

clase no A, por ejemplo: pieza defectuosa y no defectuosa, compra

o no compra, saca crédito o no lo saca, paciente enfermo o sano,

encendido o apagado, varón o mujer, aprobar no aprobar,

etc.-Se realiza un experimento aleatorio consistente en elegir al azar, un

Se realiza un experimento aleatorio consistente en elegir al azar, un

individuo de esa población y observar si pertenece o no a la clase

A.- Cada individuo de la población constituye un evento simple del

espacio muestral

(51)

S.-La variable aleatoria es del tipo discreto y se define de la siguiente

La variable aleatoria es del tipo discreto y se define de la siguiente

manera:

1 si el individuo observado es A1 si el individuo observado es A

X = X (S) = X = X (S) =

0 si el individuo observado es no A0 si el individuo observado es no A

Si “p” es la probabilidad de que el individuo observado tenga la

característica A, obtenemos la distribución de probabilidad que

mostramos en la siguiente tabla y que se llama

mostramos en la siguiente tabla y que se llama distribución distribución

bipuntual.-Evento Variable Aleatoria P (X = x) = p (x)

Evento Variable Aleatoria P (X = x) = p (x)

A 1 pA 1 p No A 0 1 - p

(52)

Cabe señalar que el valor de

Cabe señalar que el valor de pp se determina según los enfoques que se determina según los enfoques que hemos visto.- Si se trata de la tirada de una moneda nos basamos en

hemos visto.- Si se trata de la tirada de una moneda nos basamos en

el enfoque clásico y decimos que p =

½.-Por lo general, la probabilidad

Por lo general, la probabilidad p p estará dada por la proporción de estará dada por la proporción de individuos que tienen la característica A en la población o por las

individuos que tienen la característica A en la población o por las

frecuencias relativas de un número suficientemente grande de

experimento.-El modelo matemático o función de probabilidad para la distribución

El modelo matemático o función de probabilidad para la distribución

bipuntual es: bipuntual es: p (xp (xii) = ) = P (X =x) = p (1 - p)P (X =x) = p (1 - p) donde x = 0; 1donde x = 0; 1

Con esta función de probabilidad se obtienen los valores de la tabla

anterior.-x

(53)

Debemos como toda distribución de probabilidad saber cual es la

media y variancia

media y variancia de ella.- de

ella.-µ = E (X) = ∑ x p

µ = E (X) = ∑ x p

xx

( 1 - p)

_{( 1 - p)}

1 - x1 - x

= p

_{= p}

σ

²

= =

∑ x² p (x) - µ² = p - p² = p ( 1 – p)

Generalmente a (1 – p) = qGeneralmente a (1 – p) = q

σ

² = p q

σ

= p q

(54)

DISTRIBUCIÓN

DE

PROBABILIDAD

(55)

BINOMIAL.-La distribución binomial es una función de distribución de La distribución binomial es una función de distribución de probabilidad discreta con muchas aplicaciones en la vida probabilidad discreta con muchas aplicaciones en la vida diaria.- La distribución binomial tiene cuatro propiedades diaria.- La distribución binomial tiene cuatro propiedades esenciales:

esenciales:

1.- Las observaciones posibles se pueden obtener mediante dos 1.- Las observaciones posibles se pueden obtener mediante dos métodos de muestreo.- Se puede considerar que cada observación métodos de muestreo.- Se puede considerar que cada observación se seleccionó ya sea a partir de una población infinita sin reemplazo se seleccionó ya sea a partir de una población infinita sin reemplazo

o a partir de una población finita con reemplazo.-

o a partir de una población finita con reemplazo.- Se selecciona _{Se selecciona} n

n observaciones.-

observaciones.-2.- Cada observación se puede clasificar en una de dos categoría 2.- Cada observación se puede clasificar en una de dos categoría mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivas que por lo mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivas que por lo

común llamamos

común llamamos Éxitos y FracasosÉxitos y Fracasos.-

.-3.- La probabilidad de que una observación se clasifique como éxito, 3.- La probabilidad de que una observación se clasifique como éxito,

p

p, es constante entre una observación y otra.- Entonces la , es constante entre una observación y otra.- Entonces la probabilidad de que una observación sea clasificada como fracaso probabilidad de que una observación sea clasificada como fracaso

es

es (1-p),(1-p), es constante en todas las observaciones.- es constante en todas las

observaciones.-4.- El resultado (éxito o fracaso) de cualquier observación es 4.- El resultado (éxito o fracaso) de cualquier observación es

independiente

(56)

observación.-Si se cumplen las propiedades 2, 3 y 4, se dice que los intentos se

Si se cumplen las propiedades 2, 3 y 4, se dice que los intentos se

generan mediante un proceso de Bernoulli y si además se hacen n

intentos o ensayos entonces es un

intentos o ensayos entonces es un experimento binomial.-experimento

binomial.-En un experimento binomial nos interesa el número de En un experimento binomial nos interesa el número de

éxitos que suceden en los n éxitos que suceden en los n

intentos.-Si hacemos que x represente el número de éxitos en los n intentos,

Si hacemos que x represente el número de éxitos en los n intentos,

vemos que x puede asumir los valores 0,1,2,3………n.- Como la

cantidad de valores es finita, x es una variable aleatoria

discreta.-Veamos un ejemplo:

Veamos un ejemplo:

Supongamos que un vendedor de seguro visita a 10 familias

seleccionadas al azar.- El resultado asociado con cada visita se

clasifica como un éxito si la familia compra una póliza de seguro, y

como un fracaso si la familia no lo hace.- De acuerdo con su

experiencia, el vendedor sabe que la probabilidad de que una familia

seleccionada al azar compre una póliza de seguro es de 0,10.- Al

comprobar si se satisfacen las propiedades de un experimento

binomial vemos que: