VECTORES 1

1 TEMA 1

VECTORES

1. INTRODUCCION.- Para la presente lección, el alumno debe contar con ciertos

conocimientos de otras materias que en realidad son afines a la nuestra, como son: trigonometría, álgebra, geometría, aritmética en cuanto se refiere a las operaciones básicas, y algo de conocimientos de escalas para realizar distintos gráficos ya sea en ampliación o reducción.

2. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES.- Conceptualicemos primero lo que

entendemos por magnitud, por ello podemos decir que una magnitud es todo aquello ( hecho, evento, fenómeno) que ocurre en la naturaleza por si sola o por intervención del hombre que es susceptible de medición, es decir, todo lo que observamos, si es posible medirlo, entonces es una magnitud. Hemos utilizado una palabra muy importante para las ciencias, “ medir”, si medimos algo que nos interesa, entonces tendremos un conocimiento mas certero sobre eso que nos interesa, dijo un gran hombre de ciencia. Medir es comparar una magnitud desconocida con otra que es conocida, llamada comúnmente patrón, así por ejemplo, quiero medir la altura del poste donde izamos nuestra bandera, entonces, tendré que conseguirme una medida adecuada de comparación, en este caso un metro el cual es adecuado para medir longitudes, luego realizare las comparaciones y luego llegare a determinar esa altura, cinco metros (5 m), ello significa que la altura del poste es cinco veces del metro que hemos utilizado.

Existen una diversidad bastante amplia de magnitudes y cada una de ellas tiene sus unidades patrón, así tenemos: la altura, la estatura, el grosor , el diámetro, el ancho, el largo, la profundidad, etc. y a veces, tantos nombre para un solo tipo de magnitud, que es en este caso la longitud, sin embargo hay otras: masa, peso, fuerza, densidad, velocidad, rapidez, aceleración, peso especifico, gravedad, trabajo, corriente eléctrica, voltaje, luminiscencia, etc., todas esta son magnitudes, porque son susceptibles de medirlas.

Debido a esa amplitud, se los clasifico de distintas formas, nosotros vamos a tomar en cuenta la clasificación de las magnitudes desde dos puntos de vista,

Magnitudes Fundamentales

a) Por su origen Magnitudes Derivadas

MAGNITUD Magnitudes vectoriales (vector)

b) Por su naturaleza Magnitudes escalares (escalar)

2 La que nos interesa es la clasificación por su naturaleza, por lo tanto una magnitud puede pertenecer o ser un escalar o un vector.

A) MAGNITUDES ESCALARES (ESCALAR).-

Existen ciertas magnitudes que quedan completamente descritas, comprendidas, entendidas y especificadas cuando se da su valor, es decir, su tamaño o número de unidades de acuerdo a alguna escala, como ser un número y su respectiva unidad de medición , como en el anterior ejemplo, dijimos que la altura del poste es de 5 m, (número y unidad) con ello nos damos cuenta y comprendemos la medición, no necesito adicionar ningún dato más, ( 5 m en mi colegio y en otros colegios variara el tamaño porque otros medirán y con otro metro patrón ¡ABSURDO¡) , a estas magnitudes que solo requieren de un número y unidad se las denomina escalares, y como estas hay otros, así por ejemplo:

Masa 20 kg

Tiempo 30 h

Volumen 5 L

Temperatura 16°C

Densidad 1 g/cc

Como se puede ver en cada uno de estos ejemplos, suficiente es conocer el número y unidad (magnitud, tamaño o valor) para entenderlas y comprenderlas por ello se las llama magnitudes escalares.

Para realizar operaciones con los escalares, recurrimos a la aritmética que conocemos, pero debemos tener en cuenta que en la adición de estas magnitudes, solo se la realiza si son de la misma especie, congruentes y que magnitudes distintas no pueden operacionarse aditivamente.

29 kg + 35 kg = 50 h – 34 h =

20 ft + 40 in + 60 cm = 50 kg de esponja + 60 L de agua ≠ ???

B) MAGNITUDES VECTORIALES (VECTOR).- Para comprender lo que es un vector, supongamos una situación física: nos encontramos en el patio del establecimiento y a uno de los alumnos que se encuentra en una posición fija , con el uso del altavoz del director le decimos que el alumno camine 6 m. El alumno seguramente nos responderá ¿hacia dónde?, el tiene la posibilidad de moverse hacia la izquierda, a la derecha, arriba, abajo, tiene toda una gama de posibilidades a donde caminar, pero mientras no se lo indique donde debe caminar, el alumno, no podrá realizar la caminata, entonces, en este caso no solamente es necesario indicar de una magnitud, su valor, es decir, un número y su respectiva unidad, no es suficiente para comprenderlo y entenderlo, ahora es necesario darle como dato adicional una determinada dirección u sentido, como el caso anterior, solo así el alumno podrá caminar los 6 m pedido por el profesor.

3 Por lo tanto, una magnitud vectorial o un vector para entenderlo y comprenderlo, quedan descritas mediante magnitud o su tamaño o valor (número y unidad) y de una dirección o sentido, por ello un vector tiene dos características que lo identifican, es su magnitud propiamente dicha o su tamaño y su dirección u sentido.

Así tenemos como magnitudes vectoriales o vectores:

El desplazamiento 5 km al colegio

La velocidad 100 km/h de La Paz a Oruro.

La Aceleración 9,81 m/s hacia el centro de la tierra.

La fuerza 500 kips N 30° E

3. GRÁFICA Y ELEMENTOS DE UN VECTOR.- Un vector se define como un segmento de

recta orientado, es decir, gráficamente un vector es representado por un segmento de recta orientado por una saeta o flecha, a su vez se la puede representar en forma escrita por cualquier letra del alfabeto

(mayúscula o minúscula) en negrita o con una flecha encima de ella, así A, se lee “vector A”.

Un vector tiene tres elementos fundamentales: modulo, dirección y sentido. Se define como módulo de un vector a la distancia medida entre su punto de origen y su extremo, la dirección de un vector está dada por el ángulo que forma el vector con una recta horizontal de referencia. El sentido es la orientación del vector, geométricamente está dada por una flecha y analíticamente con un signo que puede ser positivo o negativo.

Sentido Modulo extremo

V Dirección origen

Se suele representar la magnitud de un vector por el mismo vector entre dos barras (valor absoluto), así, [V] que se lee “magnitud del vector V”

[F1 ] que se lee “magnitud del vector fuerza uno “

A veces por comodidad, solamente la magnitud de un vector se la representa por “V” sin su flecha.

Como ya hemos indicado que un vector queda especificado por su magnitud y su dirección con respecto a un eje (generalmente el x positivo), por ello cuando tratemos vectores en un sistema de referencia planar se la expresara considerando esas dos características, es decir, haremos uso del sistema de coordenada polares, así,

4 V = ( [V] ; θ ) ; por ej. V = (120 m ; 120° )

La dirección de un vector puede darse con referencia a las direcciones convencionales de Norte, Sur Este y Oeste (sistema cardinal), pero en la mayoría de los casos las direcciones de los vectores están dadas, haciendo uso de los ejes cartesianos, utilizando los grados sexagesimales en los cuatro cuadrantes y simbolizando estos ángulos con las letras del alfabeto griego (α, β, θ, etc.).

Así por ejemplo, graficar a escala apropiada los siguientes vectores:

a = (100 km; 30°), b = (200 km; 210°) , c = (350 km; N ), d= 450 km ; ( N 36° O )

4 CLASIFICACION DE LOS VECTORES.- Existen diversas formas de clasificar a los tipos de

vectores, de acuerdo a la especialidad que se estudia, o de acuerdo a diversos autores, aquí clasificaremos los vectores en distintos tipos solo con fines didácticos de comprensión de los alumnos:

a) Vectores perpendiculares.- Dos vectores A y B son perpendiculares si entre los dos vectores la dirección es de 90° (ángulo recto).

b) Vectores coplanares.- Si se encuentran en el mismo plano.

c) Vectores colineales.- Dos vectores A y B son colineales si se encuentran ubicadas sobre la misma recta de acción o directriz, puede ser de mismo sentido o diferente.

5 d) Vectores concurrentes.- Los vectores A, B, C , D, E, son concurrentes, si sus líneas de acción directrices convergen en un solo punto común o si sus sentidos van apuntando o no ( convergentes o divergentes).

e) Vector cero.- Un vector A es igual al vector cero, si su modulo es cero: A = O → | A | = 0

De lo dicho, podemos deducir también que los vectores pueden ser: Vectores fijos: aquellos cuyo punto de aplicación es único.

Vectores deslizantes: Son aquellos que pueden trasladarse de un lugar a otro en el espacio a lo largo de su recta de apoyo (sentido).

Vectores móviles.- Son aquellos que no tienen un punto de aplicación determinado en el espacio.

Vectores direccionales.- Se denomina a un vector direccional, cuando teniendo como módulo la unidad es paralela a un vector mayor o menor que el (vector unitario).

Vectores equipolentes.- Son los vectores paralelos, del mismo sentido y de módulos iguales, si son de distintos módulos solamente son vectores paralelos.

Vectores opuestos.- Son los vectores iguales pero de sentido opuesto. Vectores no concurrentes.- No tienen un solo punto de aplicación.

5 OPERACIONES CON VECTORES.- Con los vectores, también se pueden realizar las diversas

operaciones fundamentales, solo que éstos tienen un tratamiento matemático especial, de acuerdo a ciertas reglas que lo estudiaremos a continuación llamada álgebra vectorial.

A) ADICION DE VECTORES.- La adición de vectores implica tanto la suma y la resta o diferencia de vectores.

6 Comúnmente existen dos procedimientos para resolver vectores, las cuales siempre van juntas, aunque se diferencian por la precisión y exactitud y más que todo por la resolución: el procedimiento grafico o geométrico y el procedimiento analítico.

El gráfico caracterizado por el uso de un estuche geométrico, escala apropiado, el manejo de escuadras y la habilidad del alumno, mientras que el analítico, es una resolución mediante la aplicación de formulas trigonométricas. Por didáctica, vamos a estudiar ambos simultáneamente, para poder al mismo tiempo realizar la verificación.

a) Suma de dos vectores.- Gráficamente, la suma de dos vectores obedece a la ley del paralelogramo; se debe construir un paralelogramo determinado por los segmentos que los representan (los dos vectores), la diagonal que parta de los orígenes hacia las flechas, representa entonces el vector resultante. Sean los vectores A y B respectivamente, entonces A + B = C, es otro vector, que es la resultante vectorial.

Que consiste en dibujar a los vectores A y B, sin hacer variar sus direcciones ni su magnitud, con un mismo origen O, posteriormente se completa el paralelogramo, cuyos lados adyacentes son los mismos vectores (trasladados), a continuación se traza un vector que parta de los orígenes hacia las flechas (una diagonal ), la que constituye el vector suma resultante.

B A+B C B A+B C B A+B C

β β β

α α α A A A Donde: α es el ángulo entre A y B, y β es el ángulo de C.

De la gráfica podemos ver claramente que: A+B= B+A=C (Prop. Conmutativa).

Gráficamente hemos visto que para sumar dos vectores, hemos utilizado la construcción del paralelogramo, cuya diagonal viene a ser la resultante, analíticamente se la resuelve aplicando el teorema de los cosenos y la ley de senos, indistintamente. Para ello solamente se trabaja sobre uno de los triángulos formados en el paralelogramo.

α α

B A+B C A+B C

B σ β γ σ β γ σ

7 Para la magnitud de la resultante aplicamos el teorema de los cosenos:





Para la direccion del vector resultante se aplica la ley de senos:

   sen C sen B sen A   ó C sen B sen A sen    

nota: tanto para la magnitud o la dirección, se usa indistintamente cualquiera de las dos formulas dadas, el alumno deberá escoger la que le permitirá una resolución más rápida y sencilla.

b) Diferencia de dos vectores.- La diferencia de dos vectores se lo realiza de la misma forma ya descrita anteriormente, con algunas pequeñas modificaciones:

Si A es

- A será

En un mismo gráfico, es posible expresar La suma y la diferencia: B A A – B= D A+B= C - B B A – B = D A A

La magnitud de la diferencia se calculara por el mismo teorema y la misma ley, pero debemos tener cuidado en el paralelogramo construido, los tipos de triángulos formados y con cual debemos trabajar.



i) Si los dos vectores A y B forman un ángulo de 90° (ángulo recto) entonces la formula de resolución se simplifica, porque nos encontramos con un paralelogramo constituido por triángulos rectángulos, y como sabemos que éstos obedecen su resolución al teorema de Pitágoras y a las funciones trigonométricas elementales.

8 B A + B A+B Si α = 90° ; cos 90° = 0 C C B β β A A



C Para la dirección, operacionamos la función

tangente de β:   Adyacente cat Opuesto cat tg . . 

“Si se tienen, dos vectores perpendiculares ( forman un ángulo recto), entonces la magnitud del vector resultante, se ha halla aplicando el teorema de Pitágoras y su dirección por la función tangente de dicho ángulo”.

ii) Si los dos vectores son paralelos del mismo sentido:

A A + B = C Si α = 0 ; cos 0° = 1 B



9 Si los dos vectores son paralelos de sentidos contrarios, entonces:

A A+B=C B Si, α = 180° ; cos 180° = - 1



Si se tienen 2 o más vectores opuestos, entonces la suma se la encuentra restando los vectores en forma elemental.

Ejemplo: Dos vectores: A = ( 20m; 40°), B = (60m; 120°), hallar el vector suma C = A + B y el vector diferencia D = A – B, gráfica y analíticamente.

10 Ejemplo: Si C = ( 80kg; 30°); D = (120kg; 100°). Halle C + D = E y C – D = F; gráfica y analíticamente.

11 Ejemplo: La resultante de dos vectores tiene un valor de 30 unidades y hace ángulos de 45° y 30° con ellos. Calcular gráficamente y analíticamente el valor de los dos vectores.

Ejemplo: Dos vectores cuyas magnitudes son 6 m y 8 m, forman ángulos de: a) 0° ; b) 60° ; c) 90° ; d)140° ; e) 180°. Hallar el vector suma resultante, gráfica y analíticamente.

12 a) Suma de varios vectores.- Para sumar más de dos vectores, es más conveniente utilizar gráficamente el método del polígono ( polígono funicular), que consiste en graficar los vectores uno detrás del otro, haciendo coincidir flecha con origen, hasta el último vector, luego el vector resultante será aquel que parta del origen del primero a la flecha del ultimo , con la dirección hacia el último vector. No es necesario que sea en orden, de lo que se trata es de conformar un polígono y el resultado siempre será el mismo.

13 Sean los vectores A , B , C y D halle R = A + B + C + D

D R

B B D

A A C A

C D R B C

Es posible que los vectores dados, sean coplanares y se pide hallar su vector resultante: En el siguiente ejemplo se da vectores que tienen distintos orígenes (coplanares) y se pide hallar su resultante, gráficamente, pero con la condición de graficarlo dentro de la cuadricula.

A B C D E F

Ejemplo: El mapa de un tesoro da las siguientes direcciones: “Comience en el árbol grande. Camine 80 pasos hacia el este, después 50 pasos a 70° noroeste, luego 60 pasos a 30° al este desde el norte, enseguida 20 pasos hacia el sur y ahí encontrara el tesoro “¿ A qué distancia del árbol y en que dirección está el tesoro?.

14 Ejemplo: Un hombre sigue la siguiente ruta: desde su casa camina cuatro manzanas hacia el este, tres manzanas norte, tres manzanas este, seis manzanas sur, tres manzanas oeste, tres manzanas sur, dos manzanas este, dos manzanas sur, ocho manzanas oeste, seis manzanas norte y dos manzanas este. ¿ a qué distancia y en que dirección estará de su casa?.

Ejemplo: Se tiene tres vectores V1 = 6 u ; V2 = 5 u , y V3 = 4 u. El ángulo entre las direcciones de V1 y V2 es de 50°, y entre las de V2 y V3 es de 75°. Hallar el vector resultante.

15 Ejemplo: Se tienen cuatro vectores V1 = 4 u ; V2 = 6 u ; V3 = 5 u , y V4 = 3 u, los ángulos que las direcciones de V2 ,V3 y V4 forman con la de V1 son 70° , 150° y 200°. Hallar el vector resultante.

Nota: es posible resolverlos analíticamente la suma de más de dos vectores, utilizando el paralelogramo, pero se tendrá que trabajar de dos en dos vectores, hasta completar todos los vectores. ( se aplica la propiedad asociativa de vectores) averigüé si tiene curiosidad!!!!!

6. DESCOMPOSICION DE VECTORES (COMPONENTES DE UN VECTOR).-

Para hallar la suma de dos o más vectores analíticamente se utiliza el principio de la descomposición de vectores, para posteriormente realizar composición de los mismos y de esta manera obtener el resultado apropiado.

Un vector puede descomponerse en dos o más componentes en direcciones dadas cualesquiera de un sistema de referencia, así, si utilizamos un sistema rectangular, se descompondrá en sus componentes rectangulares, en dos o en tres dimensiones, según el vector se encuentre en un plano o en el espacio.

a) Componentes de un vector.- Cuando se requiere precisión en la adición de vectores, el gráfico no es recomendable, debido a las limitaciones que tenemos en lo referente a la medición, visualización, manipulación de datos, etc, por ello, utilizaremos el método que hace uso de las proyecciones de un vector a lo largo de los ejes de un sistema cartesiano. Estas proyecciones reciben el nombre de componentes de un vector.

Sea un vector V, éste se puede descomponer en dos direcciones ( X , Y ) o en tres (X,Y,Z). Para descomponerlos, el vector original debe coincidir su origen con el origen del sistema de coordenadas, luego se trazan rectas paralelas a ambos ejes en la saeta del vector, hasta que se intersecten con dichos ejes. Se trazan vectores en lo ejes hasta las intersecciones (

16 sobre X e Y ), estos dos vectores corresponden a las componentes del V sobre X y sobre Y,

que lo denotaremos como VX y Vy, donde:

VX = es la componente del V sobre el eje X,

Vy = es la componente del V sobre el eje Y.

Gráficamente es como sigue: Y

Aplicando las definiciones trigonométricas

de sen θ y cos θ , despejando Vx y Vy V Vy V

obtendremos las magnitudes de θ θ

estas componentes: VX X   cos cos  V V V V x x _V _V_cos x   V V sen V V sen y y _{  }

 Componentes de un vector V_y Vsen

Ahora es posible componerlo al vector, para ello se utiliza el TEOREMA DE PITAGORAS por que tenemos un triángulo rectángulo y hemos utilizado un sistema rectangular, para su dirección se aplica la función tangente . Su magnitud:

V



(

V

)



(

V

)

Ejemplo: sea A= (100 km; 30° ), halle sus componentes rectangulares, en un plano, además verifique la solución (componga el vector).

Ejemplo: Halle las componentes rectangulares de los vectores: C= ( 80 m; 60° ); D=( 40 m; 0° );

17 Para sumar más de dos vectores utilizando la descomposición de vectores se procede de la misma manera descrita anteriormente para cada vector y luego las componemos, considerando que si son paralelos de sentidos iguales o sentidos opuestos, que se reducen a simples sumas o restas, debido a que al descomponer los vectores, sus componentes estarán en X o en Y.

Para ello utilizaremos el siguiente procedimiento.

1. Dibújense los vectores en un sistema cartesiano, de manera que coincidan sus orígenes

con el del sistema.

2. Descomponga cada vector en sus componentes ( se puede utilizar una tabla para ello).

3. Se debe encontrar la suma de todas las componentes sobre el eje X y lo mismo sobre el

eje Y, es decir: ...      _{X X X X} X A B C D R ...      _{Y Y Y Y} Y A B C D R

4. A partir de estas componentes de la resultante sobre X e Y, se halla la magnitud de R

por: 2 2 ) ( ) (Rx Ry R  y x y R R tg 

18 Y Y A AY B BY θ α BX AX ρ X CX X C CY PASO 1 PASO 2 RY = AY+BY+CY RY R RX=AX Ω RX PASO 3 PASO 4

Ejemplo: Hallar el vector resultante de los vectores de la gráfica

15 u 35 u Es posible resolver el ejercicio, para mayor facilidad, utilizando una tabla de valores, en la cual se calculara las B A componentes de cada vector y al final realizamos la suma 60° 45° para cada componente.

15 u C

V | V | Ω |VX| =V.cos Ω |Vy| =V.sen Ω

RX = RY =

Ahora, hallamos la magnitud Para la dirección, aplicamos

Del vector resultante función tangente:

2 2 ) ( ) (Rx Ry R  x y R R tg 

19 Ejemplo: Sean los vectores: A = ( 150 lb ; 0° ) ; B = ( 250 lb ; 60° ) ; C = ( 300 lb ; 150° ) y

D = (200 lb; 270°), hallar el vector resultante por descomposición de vectores.

Ejemplo; Sean dos vectores de 10 y 15 unidades respectivamente, ambos vectores hacen un ángulo de 70°. Cuál es la magnitud resultante de su suma vectorial y su dirección. Halle los resultados por los dos métodos analíticos (paralelogramo y descomposición).

20 PRACTICA

1. El gráfico que se muestra es una pirámide recta cuya base es un cuadrado de lado “ a “. Si su

altura es igual a 5 m = h , hallar el módulo de la resultante de los vectores que se indican.

2. Si | A | = 10 u ; | B | = 8 2 u ; | C | = 4 3u ; hallar | A+B+C| y su dirección.

3. La Resultante de dos vectores varía entre un valor de 2 y 8 unidades. ¿ Cuál será la resultante

cuando los vectores forman un ángulo de 60°?.

H a b 37° 45° a c 30° a Problema 1 Problema 2

4. Cuatro fuerzas A, B, C y D actúan sobre una masa en O como se muestra en la figura. Si el

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5. En el cubo de lado “ a “ que se muestra, hallar el módulo del vector R = A+B – C – D.

6. Hallar el valor de la resultante de la figura, si el hexágono es regular.

A

A b A

Problema 4 Problema 5 Problema 6

7. Hallar la Magnitud de la resultante del conjunto de vectores mostrados en el gráfico, si

| AD | = 3/3 unidades y ABCDEF es un hexágono regular.

8. Hallar la resultante total del siguiente sistema, ABCDEF es un hexágono regular.

9. Halla el módulo de la resultante total del siguiente sistema de vectores.

10. ¿Qué representa el vector x con relación a los vectores a y b?

B C B C

b c

A D A D α d

a e F E F E

Problema 7 Problema 8 Problema 9

11. Utilizando el método de las componentes rectangulares determinar el módulo de la resultante y

el ángulo que forma con el eje horizontal; de los siguientes sistemas de vectores coplanares y concurrentes: a F2= 4 kp V2=30 u b F1= 5 kp V3= 10 u x Problema 10 45° 30° 30° 60° 60° V1= 20 u F3= 3 kp V4= 20 u ( a ) Problema 11 ( b )

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12. Cuatro fuerzas actúan sobre un perno A como se muestra en la figura. Determínese la

resultante de las fuerzas sobre el perno.

13. Determínense las componentes x y y de cada uno de las fuerzas mostradas y la resultante total.

F2= 80 N F1 = 150 N 20° 30° 600 N 800 N 15° 30° F3 = 100 N 40° 45° 50 N 45° 350 N 80 N 60° 25° F4 = 110 N 60’N

Problema 12 (a) Problema 13 (b)

14. Una lancha atraviesa en forma recta una corriente con una velocidad de 20 km/h. La corriente

perpendicular a la orilla es de 15 km/h. ¿ Cuál es la dirección y resultante y la velocidad de la lancha?.

15. Un Aeroplano trata de seguir su ruta oeste hacia un aeropuerto. La velocidad del aeroplano es

de 600 km/h. Si el viento tiene una velocidad de 40 km/h y sopla en dirección suroeste de 30°, ¿ En que dirección debería orientarse la aeronave y cuál será su velocidad relativa con respecto al suelo?.

16. Los módulos de dos vectores suma S1 y S2 son 9 y 12 respectivamente, donde S1= a+b y S2

= 2a + b , además se sabe que a y b son vectores perpendiculares. Calcular los módulos de los vectores a y b.

17. Un barco navega 2 km hacia el este, luego 4 km al sudeste y finalmente otra distancia en dirección desconocida. Al final se encuentra 7 km al este del punto de partida. Hallar la magnitud y la dirección del tercer recorrido del trayecto.

18. La suma de dos vectores A y B tiene de modulo 25, si A y B son perpendiculares y de igual

módulo; ¿Cuáles serán los módulos de A y B? ¿Cuáles los ángulos que hacen el vector suma con A y B?.

19. La suma y la diferencia de dos vectores hacen un ángulo de 60° con módulos de 12 y 6

unidades respectivamente. ¿Cuál el módulo de estos vectores? ¿Cuál el ángulo entre ellos?.

20. Si el módulo de la suma de dos vectores de igual módulo es el triple del módulo de su

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21. Hallar el coseno del ángulo que deben formar dos vectores de la misma magnitud, para que la

resultante sea la mitad del valor de ellas.

22. Al explorar una cueva, una espeleóloga parte de la entrada y recorre las siguientes distancias:

ella va 75 m hacia el norte, 250 m hacia el este y 125 m a un ángulo de 30° hacia el norte del este, y finalmente 150 m hacia el sur. Encuentre el desplazamiento resultante desde la entrada de la cueva.

23. La resultante máxima de dos vectores es 8 y la mínima es 2 ¿ Cuál es el módulo de cada vector?.

24. Dos vectores tienen una resultante mínima que vale 4 y una resultante máxima igual a 16.

¿Cuál es la resultante de estos vectores cuando formen 60°?.

25. Dos vectores de igual módulo tienen un vector suma cuyo valor es el doble que el de su vector