MAGNITUDES VECTORIALES:
Índice 1
Magnitudes escalares y vectoriales 2
Suma de vectores libres 2
Producto de un escalar por un vector 3
Sistema de coordenadas vectoriales. Vectores unitarios 3
Módulo de un vector 4
Producto escalar de dos vectores 4
a
r
b
r
R
r
MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES.
Las magnitudes escalares quedan perfectamente definidas por un número y las unidades correspondientes (ej. temperatura)
Las magnitudes vectoriales precisan además de un valor numérico (módulo), una dirección, un sentido y un punto de aplicación.
La representación matemática de cualquier magnitud vectorial recibe el nombre de vector y se puede definir como un segmento orientado en el que hay que distinguir:
- Módulo: longitud del segmento AB. - Dirección: recta que lo contiene (e).
- Sentido: dado por el orden A B, (punta de flecha). - Punto de aplicación A.
Se representa por AB o AB. El módulo poniendo el vector entre barras |AB|.
Tipos de vectores:
• Libres producen el mismo efecto cuando (siendo su módulo y sentido iguales) se desplazan paralelamente a si mismos.
• Deslizantes solo pueden variar su punto de aplicación a lo largo de su dirección. • Ligados o fijos.
SUMA DE VECTORES LIBRES.
Gráficamente Se aplica la regla del paralelogramo. Se hacen coincidir los
puntos de aplicación de ambos vectores y se construyen trazando paralelas por los extremos de cada vector, un paralelogramo. El segmento, que une en
este orden, los puntos de aplicación con el vértice opuesto del paralelogramo es el vector resultante de la suma.
También se puede obtener la suma haciendo coincidir el punto de aplicación del segundo vector con el extremo del primero y uniendo el
x
v
r
xv
r
v
r
X
Y
punto de aplicación del primero con el extremo del vector paralelo al segundo .
La resta o diferencia entre dos vectores se puede ver fácilmente que se obtiene uniendo el extremo del sustraendo con el extremo del minuendo pues:
Es importante ver la aplicación que tiene esto a la descomposición de un vector en sus componentes en direcciones adecuadas para resolver un problema. Por ejemplo el peso que actúa sobre la lenteja del péndulo se puede descomponer en una componente tangencial y otra componente normal a la trayectoria.
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.
Es otro vector cuya dirección coincide con la del primer vector, módulo viene multiplicado por el escalar (
n
·
v
r
=
n
·
v
r
) y su sentido es el del vector si n > 0 y el contrario si n < 0.SISTEMA DE COORDENADAS VECTORIALES. VECTORES UNITARIOS.
En muchas ocasiones debemos referirnos siempre a unas coordenadas. En una palabra, estamos adoptando un sistema de referencia. En este caso elegimos los ejes XY
que se cortan perpendicularmente en el origen de coordenadas. Cualquier punto del plano se define ahora por un vector de posición que, con punto de aplicación en el origen, llega hasta el punto considerado. Sea ahora el vector de la figura. Como se ve se puede descomponer en tres vectores cuya suma sea igual a él:
v
r
=
v
r
x+
v
r
yDefiniremos a continuación el vector unitario u en la dirección de como un vector que teniendo su misma dirección y sentido tiene por módulo la unidad. Recordando lo que se decía del producto de un escalar por un vector, se cumple:
v
r
=
v
·
u
r
o lo que es lo mismo:v
v
u
r
=
1
r
⋅Se definen los vectores
i
r
,
r
j
como los vectores unitarios en la dirección de los ejes X e Yx
v
r
xv
r
v
r
X
Y
respectivamente y con sentido dirigido desde el origen hacia la parte positiva de estos ejes. Por tanto el vector
v
=
v
x+
v
y=
v
xi
+
v
yj
La suma de dos vectores en función de sus componentes será:
j
a
i
a
a
=
x+
yj
b
i
b
b
=
x+
yj
b
a
i
b
a
b
a
+
=
(
x+
y)
+
(
y+
y)
Siendo p un escalar:p
·
v
r
=
p
·
v
r
x+
p
·
v
r
y MODULO DE UN VECTOREn la figura se ve que el módulo del vector v será:
v
+
v
=
v
y 2 x 2r
(aplicando el teorema de Pitágoras).
Si los ángulos que forma el vector con el eje X y el eje Y son α y β, vx = v⋅cos α , vy = v⋅cos β
susti-tuyendo en la ecuación anterior queda:
(
+
)
v
=
v
2 2α
2β
cos
cos
de donde se deduce:1
=
+
2 2
α
β
cos
cos
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES.
El producto escalar de dos vectores es un escalar. Se define como:
a
·
b
=
a
·
b
·cos
α
y se lee “vector amultiplicado escalarmente por b”.
El producto escalar de dos vectores posee las siguientes propiedades: • Conmutativa:
a
b
b
a
r
r
r
r
·
·
=
• Distributiva:a
b
c
a
b
a
r
c
r
r
r
r
r
r
·
·
)
·(
+
=
+
•(
n
·
a
)·
b
n
·(
a
·
b
)
r
r
r
r
=
Por otro lado la propia definición de producto escalar se deduce:
i
·
i
=
j
·
j
=
1
r
r
r
r
y quei
·
j
=
j
·
i
=
0
r
r
r
r
CONSECUENCIAS DEL PRODUCTO ESCALAR.
1. Dos vectores cuyo producto escalar es 0 son perpendiculares (cos 90 = 0) 2. Se puede calcular el ángulo que forman dos vectores de la forma siguiente:
ab
b
a
r
r
·
cos
α
=
3. Para calcular la proyección de un vector sobre una dirección determinada solo hay que calcular el producto escalar del vector por el vector unitario en la dirección mencionada antes.
