ACTIVIDADES. 1. Realizar las siguientes divisiones de polinomios, indicando los polinomios cociente y resto:

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS.

MATEMÁTICAS ACADÉMICAS DE 4ºESO.

UNIDAD 2. POLINOMIOS. FRACCIONES ALGEBRAICAS.

ACTIVIDADES

1. División de polinomios.

1. Realizar las siguientes divisiones de polinomios, indicando los polinomios cociente y resto:

a) 6x³ −x²−1 : x²+2x b) 4x³−x²−1 : x²+3x c) x⁵−2x⁴+5x²−5x : x³−x+2

d) x⁴ −4x³+4x² +2 : x²−x e) x⁵−4x³ +4x²+4x−3 : x²−2 f) x⁴+2x²−5 : x²+3

2. Al dividir el polinomio x⁵ −3x²−1 entre el polinomio x²−1 se obtiene de cociente x³+x−3 y de resto x−4. Comprobar que se cumple la expresión D(x) = d(x)· c(x) + r(x).

3. En una división de polinomios, el divisor es 2x² −3, el cociente es x+3 y el resto es x−1. Averiguar el polinomio dividendo.

4. Averiguar el valor de las letras a y b para que que al dividir el polinomio 6x²+ax+b entre el polinomio 3x−2, se obtenga de cociente 2x−1 y de resto 0.

5. En cada apartado, hallar el polinomio P(x) que cumpla lo siguiente:

a) P(x) : (x + 3) = x³ –3x² + 9x – 27 b) P(x) : (x –3) = x³ + 3x² + 9x + 27

6. En cada uno de los siguientes apartados, averiguar si el polinomio P(x) es divisible por Q(x):

a)P(x)=2x²−x−1, Q(x)=x−2 b)P(x)=6x³−x²−1, Q(x)=2x²−x c)P(x)=x²−1, Q(x)=x−1

7. Al dividir P(x)=x⁵−2x⁴+x³−x²+1 entre x+1 se obtiene como cociente 5

x 5 x 4 x 3

x⁴− ³+ ²− + . ¿Es divisible el polinomio P(x) por el polinomio x+1? ¿Por qué?

8. Realizar estas divisiones por la regla de Ruffini, indicando los polinomios cociente y resto:

a) x⁴ −2x³−1 : x+2 b) 3x³−6x+1 : x−1 c) x⁵−2x³−x²+3 : x−3 9. Aplicar la regla de Ruffini para hallar el resto de las siguientes divisiones:

a) 2x⁴−3x²−x+1 : x−3 b) x⁴−3x³+2x : x−2 c) 3x⁴−2x³ +3 : x+1

2. Identidades notables.

10. Desarrollar las siguientes expresiones utilizando alguna de las igualdades notables:

a)

2

4 y 5 2

x

3 



 



 − b) 







 −

⋅







 +

2 x x 2 x x

2 2

c)

2

3 5xy

2 



 



 −

d)

2 3 2y xy 3x

2 



 



 + e)

2 2y 2y 2 x

5











 − f)

2

x 2 2

xy 



 



 +

g)

2 2 2y 12xy 3 x

3











 − h)

2

4 xz 3 3 xy











 + i) 









 −

⋅











 +

3 yz 3 2 xz 2 3

yz 3 2 xz

2 ^{2 2}

11. Desarrollar las siguientes expresiones utilizando alguna de las igualdades notables:

a) ( 2+3 3)² b) ( 3+2)⋅( 3−2) c) ( 5−2)² d) ( 3− 7)² e) ( 3−3 2)² f) (3 2+1)⋅(3 2−1) g) (5+ 2)² h) ( 2+1)²

12. Expresar los siguientes polinomios como alguna de las identidades notables:

a) x²−4x+4 b) x²−12x+36 c) x²−16 d) x²+6x+9

e) 9

x 1 3

x²+2 + f) 9 x 1

4 ²− g) 16

x²−25 h)

4 x 1

x⁴− ²+ i) 2x²−9y² j) 4x²−4x+1 k) 4x²+12x+9 l) x²−5

13. Factorizar los siguientes polinomios:

a) 3x²+30x+75 b) 20x⁶+60x⁴+45x² c) x³−x d) 2x³−8x e) x³+6x²+9x f) x³−16x g) x⁴−81x² h) x⁴−4x² i) 4xy³−xy j) 2x³z−2xy²z k) 12x⁴y²−3x²y² l) x³y+2x²y+xy

3. Raíces de un polinomio.

14. Contestar razonadamente si las siguientes frases son verdaderas o falsas:

a) 3/2 es una raíz del polinomio P(x) = 2x – 3 b) 2/3 es una raíz del polinomio P(x) = 3x – 2 c) 0 es una raíz del polinomio P(x)=x²−4 d) –2 es una raíz del polinomio P(x)=x²−4 e) 5 es una raíz del polinomio P(x) = 2x – 3 f) 8 es una raíz del polinomio P(x) = 2x – 3 g) 0 es una raíz del polinomio P(x)=x²−1 h) –1 es una raíz del polinomio P(x)=x²−1 15. En cada uno de los siguientes apartados, averiguar el valor de la letra k para que:

a) –2 sea raíz de P(x)=x⁴−3x³+kx−1 b) –1 sea raíz de P(x)=x⁸−kx⁴+1

16. En cada uno de los siguientes apartados, averiguar los valores de m y n para que:

a) 6 y –1 sean raíces deP(x)=x²−(m+2)x+n

b) P(x)=x⁴+x³+x²+mx+n tenga raíces en x = –1 y en x = 1 c) –2 y 1 sean raíces deP(x)=mx³−3x²+nx−8

d) P(x)=mx⁵+3x³−nx²+1 tenga raíces en x = –1 y en x = 1/2

17. ¿Es el número 2 una raíz de P(x) = (x–2)(x+3)? ¿Por qué? ¿Qué otro número es raíz de P(x)?

4. Teorema del resto.

18. Averiguar si P(x)=−x³⁰ +x+2 es divisible por x+1, justificando la respuesta.

19. Averiguar si P(x)=2x³⁹+4x⁴+x−1 es divisible por x+1, justificando la respuesta.

20. Averiguar si P(x)=2x¹⁷ +4x⁴+x−1 es divisible por x−1, justificando la respuesta.

21. En cada uno de los siguientes apartados, averiguar el valor de la letra m para que:

a)mx³−4 : x+1 tenga resto 1 b) x³−5x²+4x+m : x−2 tenga resto 3 c) x²−3x−2m : x+2 tenga resto 7 d) 2x³+mx²+x−4 : x−2 tenga resto 6 e) 2x²+mx−3 : x−5 tenga resto 42 f) 3x³−mx²−2 : x+2 tenga resto 30

g) 3x³−5x²+mx−3 : x−2 tenga resto 3 h) 2x⁹−mx⁷+5x⁶+2mx⁴−6 : x+1 tenga resto 2

22. En cada uno de los siguientes apartados, averiguar el valor de la letra m para que las siguientes divisiones sean exactas:

a) 2x⁴−6x³ +mx²−11 : x+1 b) x⁵−3x³+mx²−4 : x−2 c) 2x³+mx²+5x+2 : x+1 d) 2x⁴−mx+2 : x+1 e) x³−mx+125 : x+5

23. Dado un polinomio P(x), indicar cuáles de las siguientes frases son verdaderas o falsas.

Justificar la respuesta.

a) Si P(x) es divisible por x+2, esto asegura que el número –2 es raíz de P(x).

b) El número 2 es raíz del polinomio P(x) = (x+1)· (x–4)· (3x–2)

c) Los números –1 y 4 son raíces del polinomio P(x) = (x+1)· (x–4)· (3x–2) d) Si la división de P(x) entre x–5 es exacta, esto asegura que P(5) = 0.

e) Si P(2) = 0, esto asegura que (x+2) es factor de P(x).

f) Si –3 es una raíz de P(x), esto asegura que la división P(x) : (x+3) es exacta.

24. Averiguar el valor de la letra m para que x³−mx²+x−3: x+3 tenga resto 2m.

25. Hallar los valores de las letras a y b, para que P(x)=ax³ +2x²−x+b sea divisible por 1

x+ y para que al dividirlo por x−2, el resto que se obtenga sea 12.

5. Factorización de un polinomio.

26. Hallar la descomposición en factores y las raíces enteras de los siguientes polinomios, indicando claramente cuál es la factorización y cuáles son las raíces:

a) 3x³+4x²−13x+6 b) x³+2x²−x−2 c) x³+2x² −8x d) 5x³+5x²−10x e) x²−5x+6 f) x³−2x²−5x+6 g) x³−3x²+2x h) x⁴ −x³−x²+x i) 3x³+3x²−18x

j) x⁴−3x³+3x²−3x+2 k) x⁵−5x⁴+7x³−3x² l) 3x⁴+6x³+6x²+6x+3

m) x⁴+3x³+4x²+6x+4 n) 4x⁴−6x³+2x² ñ) x⁴+3x³−3x²−11x−6 o) x⁴−x³−x²+x p) x³+x²−2x q) x³−x²−2x

27. Hallar un polinomio, escribiendo todos sus términos, que tenga como raíces los números:

a) 2 y –1 b) 1 (doble) y –2 c) 1, 2 y –1 d) –2 y 0

e) 3

−1 y 1 f) –1, 2 y 0 g) –1 (doble) y 0 h) 2

−3 y 4 1

28. a) Hallar un polinomio de tercer grado, escribiendo todos sus términos, que sólo tenga como raíz al número 1.

b) Hallar un polinomio de cuarto grado, escribiendo todos sus términos, que sólo tenga como raíz al número –1.

6. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos o más polinomios.

29. Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios:

a) x²+2x+1 , 3x+3 b) x³−2x², x³−4x c) x²−x, x²−1, x²+2x+1 d) x−1, x−2, x²−3x+2 e) x²−1, x−1, x+1 f) 4x, 2x, x

g) 8x², 4x²−8x, x²−2x h) 15x³, 10x², 25 i) x 3x⁴, 9x², 18x²−18x

7. Fracciones algebraicas.

30. Indicar cuáles de las siguientes simplificaciones son correctas y cuáles son incorrectas:

a) 3

1 6 x 3

2

x =

+

+ b)

x 1 x x

x x

2

2+ = + c)

2 x

3 x x

x 3

2 = −

− d)

3 x 3

1 9 x 9

3 x 3

2 = −

−

−

e) x 2

4 2 x

4 ² ₂

+

+ = f) 1

1 1 1 x

1

x =−

−

= +

−

+ g) x 1

1 x

1 x²

− + =

− h) x 1

1 x

1 x²

− + =

+

i) 4(x 1) 3 1

= −

−

⋅ +

−

+ j) 5x 4 1

− =

k) 5x 4x 1

− =

l) 5x² 2x 3x + =

31. Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

a) x +3 9 + x

3 b)

x 4 x 4

2 x 2

2 +

+ c)

x 2 x

x 2 x

2 2 3

−

− d)

x x

1 x 2 x

2 2

− +

−

e) x 16 x 4 x

2 2

−

− f)

6 x x

4 x 4 x

2 2

−

− +

+ g)

x 36 x 4

x 18 x 12 x 2

2 4

2 3

−

− +

− h)

x 2 x

x 2 x x

2 2 3

+

−

+

i) x xy

y xy 2 x

2

2 2

− +

− j)

2 2

2

y xy 2 x

xy x

+ +

+ k)

y x 9

y x 3

2 2−

− l)

y 9 x 3

y 9

x^{2 2}

+

−

m) x y ) y x (

2 2

2

−

− n)

81 x

y 27 y x 3

4 2

−

− ñ)

x 18 x 12 x 2

54 x 6

2 3

2

+ +

− o)

12 x 4 x 3 x

x 6 x x

2 3

2 3

−

− +

−

+

32. Operar las siguientes fracciones algebraicas, simplificando el resultado:

a) x

1 x 2

3 x 3

1 + − b)

2

2 2x

3 x

1 x 3

2 − + c)

1 x

x x 3

− −

d) x 1

1 1 x

1

− +

− e)

2 x

2 2 x

2 + +

− f)

3 x 3

4 1 + x

x

+ +

g) 3x

5 x

3 x 2

2 −

+ h)

2 x

2 x 2

− + i)

x 16 x 2

3 x 4

2

x− − −

j) x 1

1 x 1 x

1 x x

x

2

2 −

+ − + −

− k)

1 x

1 1 + x

1 1 x

x x +

2 2

− −

− + l)

1 x x 1 + x

x 1 x

x

2 + − −

−

m) x 1

x 2 x 3 x

x 2

x x

2 − −

+

− −

− n)

1 x x + 1 x

2 1 x

3

2− −

+ − ñ)

1 x

1 x 3 1 + x

2 + x 1 x

x 3

2−

− −

− −

33. Operar las siguientes fracciones algebraicas, simplificando el resultado:

a) 



 



 +

÷



 



 −

2 1 x x 1 x

4 b) 



 





÷ +

⋅ x 2

1 x 2 2 x²

c) 



 





+

− −

−

⋅ +

−

x 1

x 1 x 1

x 1 x 4

) x 1 (

3

d) x 81

9 x 9 x

9 x 6 x

4 2 2

2

−

÷ +

− +

+ e)

1 x

2 x 1 x

4 x

2 2

+

÷ −

−

− f) 



 



 −

⋅



 





− +

− +

x x 1 1 x

x 1 x

1 x

g) 1

3 x

x x

1 1 x

2 −









⋅ +



 



 − − h) 



 



÷



 





− + ₂

x 3 3 x

1 x

1 i) 



 



 −

− ⋅

− ₂

x 1 x 2 1 x 2

4 1

34. Operar las siguientes fracciones algebraicas, simplificando el resultado:

a) 



 



 +

⋅ −



 



 − 1

y x 1 y x

y b) 







 −

÷







 −

x y xy xy

y

x ²

2 2 2

c) 







 −

÷



 



 −

2 2

y x yx xy

y x

d) 







 − − −

⋅



 





− +

⋅



 



 + −

x x x 1

x 1 1 1 x x 1 1 x

2

2 e) 







 +

⋅ −



 



 +

−

÷ +



 



 −

− +

18 y 9

36 y 1 9 y x

y 1 x

y x

y

x ²

SOLUCIONES

1. a) c(x) = 6x–13, r(x) = 26x–1; b) c(x) = 4x–13, r(x) = 39x–1; c) c(x) = x² –2x+1, r(x) = x² –2;

d) c(x) = x²–3x+1, r(x) = x+2; e) c(x) = x³–2x+4, r(x) = 5; f) c(x) = x²–1, r(x) = –2

2.

3. El dividendo es 2x³+6x²– 2x–10

4. a = –7, b = 2

5. P(x) = x⁴–81

6. a) No, ya que el resto es 5; b) No, ya que el resto es x – 1; c) Sí, ya que el resto es 0.

7. No, ya que el resto de la división es –4.

8. a) c(x) = x³–4x²+8x–16, r = 31; b) c(x) = 3x²+3x–3, r = –2; c) c(x) = x⁴+3x³+7x²+20x+60, r = 183

9. a) 133; b) –4; c) 8

10. a)

4 xy 15 16

y 25 4 x

9 ^{2 2}

−

+ ; b)

4 x x

2− 4 ; c)

5 xy 9 12 25

y x 4 ^{2 2}

−

+ ; d)

3 y x y 4 9 x

y x

4 ^{2 2} _{2 6} ^{3 4}

+

+ ;

e) ^{2 2 2}

2 4

y x 10 y

4 2 y x

5 + − ; f) 2x 2x y

4 y

x^{2 2} _{2 2}

+

+ ; g) ^{2 4 3 3}

2 4

y x 4 y x 3 12

y

x + − ;

h) 2

yz x 16

z x 3 3

y

x^{2 2 2 2 2}

+

+ ; i)

3 z z y x 2

4 2 2

2 −

11. a) 29+6 6; b) –1; c) 9−4 5; d) 10−2 21; e) 21−6 6; f) 17; g) 27+10 2; h)3+2 2 12. a) (x−2)²; b) (x−6)²; c) (x+4)(x–4); d) (x+3)²; e)

2

3 x 1



 



 + ; f) 



 



 −

⋅



 



 +

3 x 1 3 2 x 1

2 ;

g) 



 



 −



 



 +

4 x 5 4

x 5 ; h)

2 2

2 x 1



 



 − ; i)( 2x+3y)( 2x−3y); j)(2x−1)²; k)(2x+3)²; l) (x+ 5)(x− 5)

13. a) 3(x+5)²; b) 5x²(2x²+3)²; c) x(x−1)(x+1); d) 2x(x−2)(x+2); e) x(x+3)²;

f) x(x−4)(x+4); g) x²(x−9)(x+9); h) x²(x−2)(x+2); i) xy(2y−1)(2y+1); j)2xz(x+y)(x−y); k) 3x²y²(2x+1)(2x−1); l) xy(x+1)²

14. a) V; b) V; c) F; d) V; e) F; f) F; g) F; h) V

15. a) k = 39/2; b) k = 2; c) k = 1

16. a) m = 3, n = –6; b) m = –1, n = –2; c) m = –7, n = 18; d) m = –20/3, n = 14/3

17. Sí, ya que P(2) = 0. La otra raíz es –3.

18. Sí, ya que el resto es P(–1) = 0

19. Sí, ya que el resto es P(–1) = 0

20. No, ya que el resto es P(1) = 6

21. a) m = – 5; b) m = 7; c) m = 3/2; d) m = –2; e) m = –1 ; f) m = – 14; g) m = 1; h) m = 5/3

23. a) V; b) F; c) V; d) V; e) F; f) V

24. m = –3

25. a = 1, b = –2

26. a) (x–1)(x+3)(3x–2); b) (x–1)(x+1)(x+2); c) x(x–2)(x+4); d) 5x(x–1)(x+2); e) (x–2)(x–3);

f) (x–1)(x+2)(x–3); g) x(x–1)(x–2); h) x (x–1)² (x+1); i) 3x (x–2) (x+3); j) (x–1)(x–2)(x²+1);

k) x² (x–1)² (x–3); l) 3(x+1)² (x²+1); m) (x+1)(x+2)(x²+2); n) 2x² (x–1)(2x–1); ñ) (x+1)²(x–2)(x+3);

o) x(x–1)² (x+1); p) x(x–1)(x+2); q) 9 (x+1)²(x–1/3)(x+2/3)

27. a) x²–x–2; b) x³–3x+2; c) x³–2x²–x+2; d) x²+2x; e) x²–2x/3–1/3; f) x³–x²–2x; g) x³+2x²+x;

h) x²+5x/4–3/8

28. a) x³–3x²+3x–1; b) x⁴+4x³+6x²+4x+1

29. a) m.c.m. = 3(x+1)²; m.c.d. = x+1; b) m.c.m. = x^2.(x–2)(x+2); m.c.d. = (x–2) x;

c) m.c.m. = x (x+1)² (x–1); m.c.d. = 1; d) m.c.m. = (x–1)(x–2); m.c.d. = 1;

e) m.c.m. = (x–1)(x+1); m.c.d. = 1; f) m.c.m. = 4x; m.c.d. = x; g) m.c.m. = 8x²(x–2); m.c.d. = x;

h) m.c.m. = 150x³; m.c.d. = 5x; i) m.c.m. = 18x⁴(x–1); m.c.d. = 3x

30. a) Correcta; b) Correcta; c) Incorrecta; d) Incorrecta; e) Incorrecta; f) Incorrecta;

g) Correcta; h) Incorrecta; i) Incorrecta; j) Incorrecta; k) Correcta; l) Incorrecta.

31. a) 3; b) 1/(2x); c) x; d) (x–1)/x; e) x/(x+4); f) (x+2)/(x–3); g) (3–x)/(2x²+6x); h) x–1; i) (x–y)/x;

j) x/(x+y); k) 1/(3x+y); l) (x–3y)/3; m) (x–y)/(x+y); n) 3y/(x²+9); ñ) (3x–9)/(x²+3x); o) x/(x+2)

32. a) x 6

5 ; b) x2

6 3 + x

4 ; c)

) 1 x ( x

3 x 3 + x²

−

−

− ; d)

1 x

2

2 − ; e) 4 x

x 4

2− ; f) 3 x 3

4 + x 3

+ ; g) x2

3 9 + x ; h)

x 2 x

4

2+ ; i) x 4

72 x−

;

j)x 1 1 + x 3

2− ; k) 1 x

2 x

+ + ; l)

1 x

x

2−

− ; m) 0; n) 1 + x

5 + x ; ñ)

1 x

3 x x 2

2 2

− +

−

33. a) 4 –2x; b) x²+2x; c) 3/(1+x); d) (x+3)²; e) (x+2)/(x–1); f) (3x+1)/x; g) –3/(x+3); h) x/(x+3);

i) (4x²–1)/x²

34. a) –1; b) (x+y)/y³; c) –y/x²; d) (x–1)/x; e) (y²–2y)/x