Razones y Proporciones

Instituto Nacional de Chile Departamento de Matem´ atica

Prof. Luis Arancibia A˜ no 2008

Razones y Proporciones

Definici´ on Raz´ on: Cociente entre dos cantidades; a : b como raz´on debe leerse a es a b, y la raz´ on es el cociente;

generalmente se anota como fracci´ on.

No importa la naturaleza de las cantidades representadas por los n´ umeros.

Ejemplo : en un canasto, las peras son a las manzanas como 3 es a 5 . Definici´ on Proporci´ on Es la igualdad entre dos razones.

Su notaci´ on rigurosa es a : b :: c : d y se lee a es a b como c es a d; aqu´ı a y d son extremos, b y c medios.

Y la proporci´ on se verifica, si y s´ olo si, el producto de los extremos es igual al producto de los medios, es decir, (a : b :: c : d) ⇐⇒ (a · d = c · d)

Una notaci´on abusiva, aunque m´ as c´ omoda es a b = c

d ⇐⇒ a · d = b · c , el inconveniente es que se confunde con la igualdad de fracciones.

Con esto podemos formular una cantidad de teoremas, que esperamos no pregunten por su nombre sino que su aplicaci´on.

S´olo por su masividad, usaremos la notaci´ on abusiva, es decir a

b = c

d ⇐⇒ ad = bc

Teoremas

Hip´otesis General: a b = c

d 1) a

c = b

d permuta los medios

2) d b = c

a permuta los extremos 3) c

d = a

b simetr´ıa

4) b a = d

c rec´ıproca

5) a + b

b = c + d

d componer antecedentes 6) a

a + b = c

c + d componer consecuentes

7) a

b = a + c b + d = c

d suma de antecedentes y consecuentes

Etc.

Las combinaciones son muchas, s´ olo que deben ser demostradas

podr´ıamos considerar la siguiente situaci´ on a b = c

d = e

f como hip´otesis , entonces ser´ıa la tesis. a

b = αa + βc + γe αb + βd + γf

Como ejemplo demostraremos el caso 5) Hip´ otesis: a b = c Sumemos 1 a ambos miembros d

a b = c

d   

+1

a

b + 1 = c d + 1 a + b

b = c + d

d , lo cual es la tesis

la 6) puede ser primero 5) y despu´es 4) sobre ella

Hay otras especificaciones, como en la proporci´ on

a b = b

d , donde se denomina proporci´ on continua y b recibe el nombre de media proporcional. a o d reciben el nombre de tercera proporcional

En la proporci´on a b = c

d

cualquiera de los t´erminos se llama cuarta proporcional.

Por lo general, los problemas que involucran proporcionalidad se dan entre conjuntos, a´ un cuando ´esta teor´ıa es muy anterior a la de conjuntos.

Sean A = {a

, a

, a

, ...a

} y B = {b

, b

, b

, ..., b

} dos conjuntos, sus elementos se relacionan seg´ un sus ´ındices, es decir,

(a

, b

); (a

, b

); (a

, b

);...;(a

, b

).

Se dice que A y B son directamente proporcionales, si y s´ olo si:

a

b

= a

b

= a

b

= ... = a

b

= k;

donde k es la constante de proporcionalidad.

De aqu´ı a

= k · b

, a

= k · b

, a

= k · b

, ...,a

= k · a

. Su gr´ afica es una recta de la forma y = 1

k x

Se dice que A y B son inversamente proporcionales, si y s´ olo si :

a

1 b

= a

1 b

= a

1 b

= ... = a

1 b

= K, por propiedades aritm´eticas y/o

algebraicas , tambi´en se anota a

· b

= a

· b

= a

· b

= .... = a

· b

= K

De aqu´ı se tiene que : a

= K

b

, a

= K

b

, a

= K

b

, ... , a

= K b

, y su gr´ afica es una curva (un brazo de una

hip´erbola)

Gr´aficas de: una proporci´ on directa una proporci´ on inversa

La proporcionalidad es la m´ as prol´ıfica de las ideas Matem´ aticas, estudia la variaci´on y el cambio. Sus aplicaciones son muchas. Es altamente constructivo el razonamiento aritm´etico involucrado, sin embargo, deberemos sacrificar todo esto para poder responder a la evaluaci´ on que se har´a al final del proceso, la que contempla muy poco de cada tema.

Cu´ ando nos enfrentamos a un problema, ¿c´ omo saber que se trata de proporciones?

1

Si no dice expl´ıcitamente que se trata de proporciones ¿C´omo reconocerla?

Lamentablemente la respuesta es ”sentido com´ un

en algunos casos ser´a f´acil, por ejemplo si hay velocidad, tiempo y distancia, si hay precios y art´ıculos, si hay lados y ´ areas, aristas y vol´ umenes, etc. que van variando.

2do ¿ C´omo saber si es directa o inversa?

Ser´a directa si ambas cantidades a comparar aumentan o ambas disminuyen.

Ser´a inversa si al aumentar una disminuye la otra, y viceversa.

3ero Si son m´as de dos conjuntos ¿qu´e hacer?

Reconocer el conjunto en el cual est´ a la pregunta y compararlo con cada una de las otras.

4to ¿C´omo llegar a tener ”sentido com´ un¿ Razonando cada situaci´on que se plantea e intentar su resoluci´ on con alg´ un m´etodo aritm´etico.

Asociado al concepto de proporci´ on est´ a el de porcentaje o tanto por ciento; tambi´en se usa el tanto por mil, aunque mucho menos.

Si la raz´on es a es a b , y b es 100, entonces se trata de un porcentaje (a es el antecedente y b el consecuente).

Las situaciones con porcentajes se reducen a los siguientes casos fundamentales:

I) Calcular el a % de una cantidad C

II) ¿Qu´e porcentaje es una cantidad b de una cantidad C?

III) ¿De qu´e cantidad es b el a %?

Caso I) Calcular el a % de una cantidad dada C

El problema se resuelve calculando el antecedente de una raz´ on de consecuente C de modo que su valor sea igual a la raz´ on porcentual.

Es decir, calcular x en la raz´ on x

C de modo que x C = a

100 , en este caso el valor de x es el a % de C, de la proporci´ on se deduce que x = C · a

100

Caso II) ¿Qu´e porcentaje es una cantidad b de una cantidad C

En este caso se nos pide el antecedente de la raz´ on porcentual de modo que su valor sea igual al de la raz´ on b : C

Es decir, calcular x en la raz´ on x : 100 de modo que x 100 = b

C , en este caso b es el x % de C, de la proporci´ on se deduce que x = 100 · b

C

Caso III) ¿De qu´e cantidad es b el a %?

El problema radica en conocer el consecuente de una raz´ on cuyo antecedente es la cantidad b de modo que sea igual a la raz´ on porcentual.

Es decir, calcular x en la raz´ on b : x de modo que b x = a

100 , en este caso b es el a % de x, de la proporci´ on se deduce que x = b · 100

a

Los problemas de porcentaje son muy usados en las operaciones comerciales y se prestan muy bien para construir preguntas.

Por ejemplo:

Si el precio de venta arroja una utilidad del 10 % sobre el costo ¿Cu´al es el costo si la venta es por $ 121.000?

El valor del costo est´a considerado 11 veces en el precio de venta, por lo tanto el costo es de $110.000

¿Qu´e porcentaje es a de b?

Un Problema

Do˜ na Florinda mand´o a Kiko a comprar posta con un 12 % de grasa, y como Kiko es pajar´on, el carnicero le dio con un 18 % de grasa.

Do˜ na Florinda reclam´ o al carnicero y ´este le dio un trozo de posta de

Kg pr´acticamente sin grasa, y junt´ andola con la otra se satisfizo el 12 % ¿Cu´ anta carne mand´ o a comprar do˜ na Florinda?

Veamos un razonamiento:

sea x la cantidad que do˜ na Florinda mand´ o a comprar, de ´esta un 18 % es grasa, es decir de x posta

x es grasa, y se agrega

Kg de posta sin grasa por lo tanto

x es ahora el 12 % de x +

por lo que (x +

) ·

=

x

12x + 3 = 18x =⇒ 6x = 3 =⇒ x =

Do˜ na Florinda mand´ o comprar

kg de posta con 12 % de grasa y se la dieron con 18 %.

Comprobemos: 12 % de

Kg =

·

= 0, 09 , es decir 90 gramos y 18 % de

Kg =

·

= 0, 09 , tambi´en 90 gramos, con lo que corroboramos la respuesta.

Una corroboraci´ on general se llama demostraci´ on.

El carnicero por enga˜ nar a un ni˜ no perdi´ o

kg de posta, con la que tuvo que compensar su enga˜ no.

Que bien nos sentir´ıamos los chilenos si en una prueba Nacional se preguntase algo como esto y adem´ as fuese bi-

en respondido; la esperanza nunca se pierde.

Actividades comunes son las referentes a los empr´estitos, los cuales se pagan en cuotas. Cuando este lo realiza una entidad bancaria o financiera cobra inter´es compuesto, el cual proyecta de acuerdo con un ´ındice dado por el Banco Central, y este lo amortiza en cuotas fijas.

Su c´alculo es un algoritmo con porcentajes o una simple f´ ormula exponencial que puede resolverse con logaritmos.

En una prueba se podr´ıa preguntar este tema con per´ıodos cortos de dos o tres cuotas (meses).

Por ejemplo: Don Ram´ on pidi´ o al Sr. Barriga (prestamista y rentista) un pr´estamo de $100.000 para pag´ arselo en tres cuotas iguales con un 5 % de inter´es mensual.

Si nos fijamos bien s´ olo un mes tiene los $120.000 por lo que ha acumulado un inter´es de $6.000. Si en la primera cuota pagase

del pr´estamo m´ as los intereses, entonces deber´ıa pagar $46.000 ; el segundo mes deber´ıa pagar el 5 % de $80.000 , es decir $4.000 de inter´es, en total $44.000 y por ´ ultimo el tercer mes pagar´ıa el 5 % de 40.000 m´ as los

$40.000 , es decir $42.000. Total: $(46.000 + 44.000 + 42.0000 ) = 132.000, en resumidas cuentas $12.000 de inter´es.

Si los $120.000 se prestan por tres meses al 5 % mensual, los intereses ascienden a

= 18,000 Es clara la

diferencia. La cuota de Don Ram´ on ser´ıa $

= $44,000

Ejercicios

1) ¿Cu´anto cuestan 27 duraznos, si vale $ 240 la docena?

A) $480 B) $540 C) $600 D) $450

E) ninguna anterior

2) Si M : N = 1 : 10 y N : P = 1 : 10 , cuando P = 10 , entonces ¿cu´anto vale M ? A) 0,1

B) 2 C) 0,6 D) 5 E) 0,2 3) x

8 = y

3 y x − y = 5, determinar x e y.

A) 2; 5 B) 8; 0,3 C) 8; 3 D) 2; 1 E) 3; 8 4) El 12 % de 5

6 es:

A) 0,4 B) 0,2 C) 6 D) 0,1

E) ninguna anterior

5) Un grifo que entrega 0,6 litros de agua por segundo, llena una pileta en 21 horas. ¿Cu´anto tardar´ a en llenarla otro grifo que da 0,9 litros por segundo?

A) 14 horas B) 15 horas C) 10 horas D) 12 horas E) otro valor 6) Si m = a

b y n = b

c , entonces m n =?

A) a b B) c

b

C) ac b

D) a E) c

7) Compramos p sacos de papas en n pesos. ¿Cu´ antos sacos de papas podemos comprar con s pesos?

A) sp B) snp n C) sn

p D) np

E) ninguna de las anteriores s

8) Una persona gast´ o $14.400 lo que equivale al 25 % de su sueldo, entonces su sueldo es de:

A) $55.500 B) $60.200 C) $57.000 D) $57.600 E) $56.900

9) Si 64 se divide en tres partes proporcionales a 3, 5, 8 , la parte m´ as peque˜ na es:?

A) 15

B) 12

C) 10

D) 13

E) 16

10) Un autom´ovil subi´o una pendiente a 10 km/hr y baj´ o por la misma pendiente a 20 km/hr. La velocidad promedio en el viaje de ida y vuelta es de:

A) 15 km/hr

B) poco menos de 15 km/hr C) poco mas de 15 km/hr D) depende de la distancia

E) no se puede saber con estos datos

11) Si el radio de una esfera aumenta en un 10 %. ¿ En qu´e porcentaje aumenta su volumen?

A) (1, 1

) % B) (1, 1

− 1) % C) (1, 1

) % D) ((10 %)

) % E) 30 % 12) Si 1

x + y = 2 y x + 1

y = 3, ¿ cu´ al es la raz´ on x : y?

A) 3:2 B) 2:3 C) 1:2 D) 2:1 E) otra raz´ on

13) El complemento de un ´ angulo es al suplemento de este mismo ´angulo como 1 : 3. El ´angulo mide:

A) 90

B) 30

C) 50

D) 45

E) N.A.

14) Sea a = 4cm. y b el lado de un cuadrado. Si a : b = 1 : 2; entonces la mitad del ´area del cuadrado es:

A) 64 cm

B) 32 cm

C) 4 cm

D) 16 cm

E) 8 cm

15) Para construir una casa se usaron 180m

de concreto. Para la tercera parte se ocup´o una mezcla de 1 : 3 (una parte de cemento por tres partes de arena) y para el resto se ocup´o una mezcla de 1 : 4. ¿Cu´antos metros c´ ubicos de cemento se utilizaron en total?

A) 50 B) 20 C) 39 D) 24 E) 15

16) Un jugador de tenis gan´ o 8 partidos y perdi´ o 24. La raz´ on entre los partidos perdidos y los jugados es:

A)

B)

C)

D)

E)

17) En una clase hay 18 ni˜ nos y 12 ni˜ nas. La raz´ on entre el n´ umero de ni˜ nas y el total de la clase es:

A)

B)

C)

D)

E)

18) En la proporci´ on

=

el valor de x es:

A) 2 B) 3 C) 4 D) 4

E) 5

19) Si con m obtengo .

”naranjas, con (m − 2) obtengo:

A) a(m − 2) naranjas B) a − 2 naranjas C) a(m − 2)

m naranjas

D) am

m − 2 naranjas

E) N. A.

20) 4 l´apices cuestan n y 6 cuadernos cuestan m. ¿Cu´ anto cuestan 2 l´apices y 3 cuadernos?

A) m + n 2 B) m + n

5 C) m + n

6 D) m + n

10 E)

21) Si

=

es una proporci´ on, entonces x =?

A) 2 B) 7

C) 12 D) 18 E) 24

22) Si un auto recorre a Km. en una hora, entonces en una hora y 25 minutos recorrer´a:

A) a +

B) a +

C) a +

D) a +

E) a +

23) Si x : y = 3 : 2 ∧ 5x + y = 34, entonces el valor de y es:

A) 4 B) 5 C) 6 D) 6,5 E) 10

24) Si (x

− y

) : (x + y) = 48 : 16, entonces (x − y)

=?

A) 9 B) 964 C) 16 D) 1296 E) 36

25) Si x : y = 2 : 3, el valor de ( x + y ) cuando y = 6 es:

A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10

26) Un metro es equivalente a 0,1 dec´ ametro. ¿Cu´ antos dec´ ametros son 0,5 metros?

A) 0,05 B) 0,02 C) 0,5 D) 5,0 E) N. A.

27) En una fiesta los de los invitados son casados, ¿cu´ al es la raz´ on entre casados y solteros?

A) 2 : 3 B) 2 : 1 C) 3 : 1 D) 3 : 2 E) 1 : 3

28) Dos ´ angulos suplementarios est´ an en la raz´ on 4 : 5. ¿Cu´ anto mide el menor de ellos?

A) 40

B) 50

C) 100

D) 80

E) Otro valor.

29) Por cada $ 7 que recibe Juan, Pedro recibe $ 5. Si Juan recibe $ 70 m´ as que Pedro, ¿cu´ anto recibe Juan?

A) $ 245

B) $ 175

C) $ 120

D) $ 98

E) $ 50

30) Las ´areas de un cuadrado de lado m, de un rect´ angulo de lados m y 2m y de un tri´angulo de base m y altura m est´an, respectivamente, en la raz´ on de

A) 2 : 4 : 1 B) 2 : 3 : 1 C) 1 : 2 : 4 D) 2 : 4 : 2 E) 4 : 2 : 1

31) Dos n´ umeros enteros est´ an en la raz´ on 5 : 3 y la suma de ellos es - 24 .La diferencia entre el menor y el mayor es:

A) 6 B) −9 C) −15 D) −6 E) 9

32) Un trazo p mide 2r cm. y un trazo q mide (3p + r) cm. La raz´on entre el trazo p y el trazo q es:

A) 2 : 4 B) 2 : 3,5 C) 1 : 7 D) 1 : 3,5

E) No se puede determinar.

33) Con 25 gr de leche en polvo se pueden preparar 200 cc de leche l´ıquida. ¿Cu´antos litros de leche se pueden preparar con 1 kilogramo de leche en polvo?

A) 4 B) 8 C) 20 D) 40 E) 80

34) Si a : b = 2 : 3 y a + b = 15, entonces a − 2b =?

A) 9 B) −12 C) −3 D) 6 E) 24

35) Los ´angulos interiores de un tri´ angulo est´ an en la raz´ on 3 : 5 : 10. ¿Cu´anto mide el suplemento del ´ angulo menor?

A) 100

B) 80

C) 90

D) 150

E) ninguna anterior

36) Un cordel mide 2,4 m., se deben hacer dos nudos de modo que los tres segmentos en que queda dividido sean entre s´ı como 3 : 4 : 5. ¿Cu´ al es la medida que debe tener el segmento mayor?

A) 60 cm B) 80 cm C) 100 cm D) 120 cm E) 140 cm

37) Si H hombres hacen un trabajo en D d´ıas, entonces H + r hombres pueden hacer el mismo trabajo en:

A) D + r d´ıas B) D − r d´ıas C)

d´ıas D)

d´ıas E)

d´ıas

38) Si l es la longitud del lado de un cuadrado y p es el per´ımetro del mismo. ¿Cu´ al(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) l : p = 1 : 4

II) l es directamente proporcional a p III) l = 4p

A) S´ olo I

B) S´ olo II

C) S´ olo III

D) S´ olo I y II

E) S´ olo II y III

39) Con cierta cantidad de dinero se pueden comprar 18 balones a $ n cada uno. Si se aumenta el precio de cada bal´on en $a. El n´ umero de balones que se pueden comprar con el mismo dinero es:

A) 18(n + a) B)

C)

D) 18n + a E)

40) ¿Cu´al es el valor de

?

(1) x : y = 2 (2) y = 3

A) (1) por s´ı sola B) (2) por s´ı sola

C) Ambas juntas (1) y (2)

D) Cada una por s´ı sola, (1) ´ o (2) E) Se requiere informaci´ on adicional 41) El largo de un rect´ angulo es de 24 cm. Su ´ area es :

(1) El largo y el ancho est´ an en la raz´ on de 5 : 3 (2) El per´ımetro y el ´ area est´ an en la raz´ on 2 : 5 A) (1) por s´ı sola

B) (2) por s´ı sola

C) Ambas juntas (1) y (2)

D) Cada una por s´ı sola, (1) ´ o (2) E) Se requiere informaci´ on adicional 42) ¿Cu´al es el valor de 2x + y − 2z?

(1) x : y : z = 2 : 3 : 1 (2) x + y − 2z = 56 A) (1) por s´ı sola B) (2) por s´ı sola

C) Ambas juntas (1) y (2)

D) Cada una por s´ı sola, (1) ´ o (2) E) Se requiere informaci´ on adicional 43) ¿ Cu´anto es el 0,1 % de 0,1?

A) 0,1 B) 0,01 C) 0,001 D) 0,0001

E) Ninguna de las anteriores 44) ¿ Cu´anto es el 0, 35 % de

?

A) 0, 5 B) 0, 5 C) 0, 05 D) 0, 005 E) 0, 005

45) ¿ Qu´e porcentaje es 0, 12 de 0, 15?

A) 80 % B) 60 % C) 40 % D) 20 % E) 125 %

46) Si

=

¿ qu´e porcentaje es 189 de x?

A) 5 % B) 70 % C) 27 % D) x %

E) Ninguna de las anteriores

47) Si 210 es el 70 % de un n´ umero. ¿ Cu´ al es el n´ umero?

A) 30

B) 70

C) 300

D) 480

E) 500

48) ¿2

es el 0, 7 % de los

de qu´e n´ umero?

A) 480 B) 160 C) 360 D) 14

E) Ninguna de las anteriores 49) El 25 % del 40 % de 250 es:

A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30

50) El 30 % de a es b y el 10 % de b es 6. ¿ Cu´ anto vale a?

A) 50 B) 100 C) 150 D) 200 E) 250

51) El 60 % de 80 es igual al (40 %de70) + z. ¿ Cu´ al es el valor de z?

A) 40 B) 20 C) 60 D) 76 E) 70

52) ¿ Cu´anto vale el 14 % del reciproco de

? A)

B)

D)

C)

E) Ninguna de las anteriores 53) ¿ Cu´anto vale el reciproco del 20 % de

?

A) 30 B) 7 C)

D)

E)

54) ¿ Cu´anto vale el 40 % de la mitad del reciproco de

? A)

B)

C)

D)

E)

55) ¿ Cu´al es la 5

parte del 11 % de $a?

A) 5 :

B)

: 5 C)

· a : 5 D) (a −

) : 5 E) Otro valor

56) Una mercader´ıa que vale $p se vende con $q al contado y el saldo con un recargo del 10 % en 6 cuotas iguales. ¿ Cu´ al es el valor de cada cuota?

A) p −

: 6 B) ((p − q) +

: 6 C) (p − q) −

: 6 D)

: 6 E) p −

: 6

57) En un liceo con 700 alumnos han aprobado 679. ¿ Cu´ al es el porcentaje de reprobados?

A) 5 % B) 10 % C) 11 % D) 15 %

E) Ninguna de las anteriores

58) Un empleado gasta la mitad de su sueldo en comer, la mitad de lo que le queda en una habitaci´ on ; la mitad de lo que queda en movilizaci´ on y el resto en gastos varios. Entonces en movilizaci´on gasta de su sueldo.

A) 6 % B) 8 % C)

% D) 12,5 % E) 6, 25 %

59) En que porcentaje debe aumentar el numerador de la fracci´on

para que valga 0,75?

A) 10 % B) 0,125 % C) 20 % D) 40 % E) 75 %

60) Si a una deuda de $a se le hace un descuento de b % y se le permite pagar en 4 mensualidades iguales. ¿ Cu´ al es el valor de cada mensualidad?

A) (

) : 4 B) (a −

) : 4 C) a −

: 4 D) (a −

) : 4 : 4 E) a −

-

61) Un liceo tiene n alumnos. El p % de ellos est´ a en 4

o medio y el q % del resto est´a en 3

medio. ¿ Cu´ antos alumnos hay en 3

medio?

A) (n − p) ·

B) (n −

) ·

C) (n −

) ·

D) n −

E) (n −

) ·

62) Si el se˜ nor A recibe una comisi´ on del 5 % por sus ventas. ¿ A cu´anto ascendieron sus ventas, si recibi´ o $ 20.000 como comisi´on?

A) $50.000

B) $40.000

C) $500.000

D) $400.000

E) $100.000