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(1)[. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. INTEGRAL INDEFINIDA FUNCIÓN PRIMITIVA: Una función F ( x) se dice que es primitiva de otra función f ( x) cuando F ′ ( x) = f ( x) , Ejemplo F ( x) = x 2 es primitiva de. f ( x) = 2 x , Otra primitiva. f ( x) = 2 x + 5 o en. general, f ( x) = 2 x + k , donde K es una constante. Por lo tanto una función f ( x) tiene infinitas primitivas.. Al conjunto de todas las. funciones primitivas se le llama integral indefinida y se representa por. ∫ f ( x) dx = F ( x) + K ⇔ F ′( x) = f ( x) DEMOSTRACIÓN: El símbolo. ∫. ∫ f ( x)dx. d d d [ F ( x) + K ] = [ F ( x) ] + [ K ] = f ( x) + 0 = f ( x) dx dx dx. se llama signo de integral, y se lee, “la integral indefinida de f ( x) es igual a. F ( x) + k . El adjetivo “indefinida” se usa porque el segundo miembro de la ecuación no es una función definida, sino más bien todo un conjunto de funciones posibles; la constante K se denomina constante de integración. TEOREMA Si F ( x) es cualquier antiderivada de f ( x) , entonces para cualquier valor de K, F ( x) + k también es una antiderivada de f ( x) ; además, en cualquier intervalo todas las antiderivadas de f ( x) pueden expresarse en la forma F ( x) más constante. PROPIEDADES BÁSICAS DE LAS ANTIDERIVADAS. a) Un factor constante puede sacarse del signo de integral; ∫ c f (x ) dx = c ∫ f (x ) dx b) La antiderivada de una suma o resta es la suma o restas de las antiderivadas; c) ∫ [ f ( x) ± g ( x )] dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx INTEGRALES INMEDIATAS: Se llaman integrales inmediatas las que se deducen directamente de las fórmulas de derivación. (Se utilizan las tablas directamente, para la solución de las mismas) TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS.. xn + 1 + K (n ≠ −1) n +1. 1) ∫ dx = x + K. 2) ∫ x n dx =. 3) ∫ Cos x dx = Sen x + K. 4) ∫ Sen x dx = − Cos x + K 1. http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(2) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. 5) ∫sec2 x dx = tan x + K. 6)∫csc2 x dx =− cot gx+K. 7)∫secx tan x dx = secx + K. 8)∫cscx cot x dx = −cscx + K. 1 9)∫ dx = Lnx+K x. 10) ∫. 11)∫ex dx =ex +K. 12) ∫ef (x) f '(x)dx =ef (x) +K. 13)∫ax Lnadx = ax +K. 14)∫af (x) f '(x)Lnadx = af (x) +K. f (x)n+1 15)∫[ f (x)] f '(x)dx = +K n+1 1 dx =arcsen x+K 17)∫ 1−x2 n. 19)∫. −1 1−x2. 1 21)∫ 2 dx =arctgx+K 1+ x 1 23)∫ = arcsecx+K x x2 −1 25)∫. −1 x x2 −1. f '(x) loga e dx =loga f (x) +K f (x) f '(x) 18)∫ dx =arcsen f (x) +K 1− f (x)2. 16)∫. 20)∫. dx =arccos x+K. f '(x) dx = Lnf (x) +K f (x). −f '(x) 1− f (x)2. dx =arccos f (x) +K. f '(x) 22)∫ dx =arctg f (x) +K 1+ f (x)2 f '(x) 24) ∫ = arcsec f (x) +K f (x) f (x)2 −1 26)∫. =arccscx+K. −f '(x) f (x) f (x)2 −1. =arccscf (x) +K. Nota: Estas son algunas de ellas, puede visitar enlaces importantes de mi página para verificar otras integrales inmediatas EJEMPLOS:. 1) ∫ x 2 dx =. x3 +K 3 1 +1. ( ). 3 x2 2 3 2 x +K 2) ∫ x dx = ∫ x dx = + K = x 2 + K ⇒ ∫ x dx = 1 3 3 +1 2 Cos x 1 Cos x dx = ∫ dx = ∫ csc x cot x dx = − csc x + K 3) ∫ 2 Sen x Sen x Sen x 1 2. 4) ∫ (cos x − 5senx + 4)dx = ∫ cos xdx − 5∫ senx + 4 ∫ dx ⇒ senx + 5cos x + 4 + K 5) ∫ ctg 2 x(1 + tg 2 x) dx = ∫ (ctg 2 x + ctg 2 x tg 2 x)dx ⇒ ∫ (ctg 2 x + 1)dx ⇒ ∫ csc 2 xdx = −ctgx + k. 2 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(3) UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. 6)∫. [. 1 1 1 sec x senx cos x cos x x dx = ∫ senxcos xcos x dx ⇒ ∫ sen2cos dx dx dx ⇒ ∫ senxdx = −cos x + k ⇒ ⇒ 2 ∫ ∫ 1 x+cos x tgx + ctgx cos x + cos x cos xsenx senx cos xsenx. senx senx 1 dx = ∫ dx ⇒ ∫ tgxsec xdx = sec x + k 2 cos x cos x cos x ex 2 ex ex 1 8)∫ ( + x x)dx = ∫ dx + ∫ x xdx ⇒ ∫ exdx + ∫ x3 dx = + x5 + k 2 5 2 2 2 7)∫. 9)∫ (3 x +. 2 1 dy 2 + )dy = 3 x ∫ dy + 2∫ y−2dy + ∫ = 3y x − + Ln( y) + k 2 y y y y. (x2 + 2x +1) x2 2x 1 dx 1 −2 dx ( ) dx dx 2 x dx x 2 Lnx = + + = + + = + − +k 2 2 2 2 ∫x x x ∫ ∫x ∫ x x 2 2 11)∫ t (t2 −1)dt = ∫ t5 dt − ∫ tdt = t7 − t3 + k 7 3 10)∫. 12)∫. −1 ( x −1)2 x − 2 x +1 2 dx = ∫ dx = ∫ xdx − 2∫ dx + ∫ x 2 dx = x3 − 2x + 2 x + k 3 x x. 1 13)∫ x(2 + x2 )2dx = ∫ x(4 + 4x2 + x4 )dx = 4∫ xdx + 4∫ x3dx + ∫ x5dx = 2x2 + x4 + x6 + k 6 MÉTODOS DE INTEGRACIÓN INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN Consiste en igualar una parte del integrando a una nueva variable, (a esto se le denomina cambio de variable), por ejemplo u, llamada variable auxiliar. Luego de esto, se debe calcular la derivada de la variable auxiliar y realizar las operaciones necesarias, para que ni en el integrando ni en el diferencial, aparezca alguna expresión en términos de la variable original. Este método puede usarse para transformar complicados problemas de integración en otros más sencillos. En la práctica este proceso de sustitución se lleva a cabo de la siguiente manera: sea la integral ∫ f ( x) g ( x)dx a) Elegir un cambio de variable: u dígase u = g ( x) . du b) Calcular = g ′( x) = f ( x) ⇒ du = f ( x)dx dx. 3 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(4) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. c) Realizar los cambios respectivos de u y du. ∫ udu. (toda la integral en función de. la nueva variable) d) Evaluar la integral resultante, aplicando algunos artificios matemáticos y las tablas de integrales inmediatas. e) Reemplazar u por g ( x) , devolviendo el cambio de variable, para que la respuesta final esté en función de x. EJERCICIOS RESUELTOS.. 1). xdx. ∫. x +1 2. ⇒ c.v.: u = x 2 + 1⇒. 1 du = sust. ∫ 2 u 2. ∫. xdx x +1 2. =. ∫. du 1 = u 2. du du = 2 x ⇒ du = 2 x dx ⇒ = xdx 2 dx. −1 1 1 ∫ u 12 = 2 ∫ u 2 du ⇒ I = 2. du. ⎛ u− 2 + 1 ⎞ 1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ + K ⇒ I = u 2 + K ⎝ − 2 + 1⎠ 1. x2 +1 + k. 2) ∫ x3 ( x 2 + 1) dx ⇒ ∫ x 2 ( x 2 + 1) xdx ⇒ c.v. : u = x 2 +1⇒ du = 2 xdx ⇒ 3. 3. ∫ (u. 1 1 ( u −1) u3du ⇒ ∫ 2 2 5 4 u ⎤ 1⎡ 4 1 ⎡u u du − ∫ u 3du ⎤⎦ ⇒ I = ⎢ − ⎥+ k ∫ ⎣ 2 2⎣5 4⎦ 5 4 2 ⎡ 2 ⎤ 3 1 ⎢ ( x + 1) ( x +1) ⎥ 3 2 ∫ x ( x +1) dx = 2 ⎢ 5 − 4 ⎥ + k ⎣ ⎦ Despejamos : x 2 ⇒ x2 = u −1 ⇒ sust.. 3). ∫. (. sust.. u +3 u. ). 4. du = xdx 2. − u 3 ) du. 4. dx du 1 = ⇒ 2dx = ⇒ du 2 u u. du ⇒Cambio de Variable : x = u + 3 ⇒. 2 x5 +k ⇒ ∫ 2∫ x 4 dx = 5. (. u +3 u. ). 4. du =. 2 5. (. ). 5. u +3 + k. du 5−u = xdx; x2 = 6 3 8 9 1 1 ⎡5u u ⎤ ⎛ 5 − u ⎞ 7 ⎛ du ⎞ 7 I = ∫ x3 (5 − 3x 2 )7 xdx = − ∫ ⎜ − ⎥+k ⎟ u ⎜ ⎟ = − ⎡⎣ ∫ ( 5 − u ) u du ⎤⎦ = − ⎢ 18 18 ⎣ 8 9⎦ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 6 ⎠. 4) ∫ x3 (5 − 3x 2 )7 dx ⇒ Cambio de Variable : u = 5 − 3x 2 ⇒ du = − 6 x dx ⇒ −. 4 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(5) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. −5( 5 − 3x2 ). (5 − 3x ) +. 8. I= 5) ∫. x. 162. ). x +1. +k. ⇒ Cambio de Variable : u = x +1 ⇒. 3. du 1 dx = ⇒2du = dx 2 x x. u−2 dx 2du 1 −3 / ⇒ ⇒ = + k ⇒ I =− u−2 + k ⇒ I =− 2 + k ⇒ ∫ = u du I 2 2 3 ∫ u3 ∫ −2/ u x x +1. Sust.. 6) ∫. (. 144 dx. 2 9. (. ( ). Sust. − ∫. ). x +1. 2. +k. 1 dz −1 ⎛1⎞ du ⇒Cambio de Variable : Z =1+ ⇒ = 2 ⇒−dz = ⎜ 2 ⎟ du u du u ⎝u ⎠. 1 u2. (1 + u1 ). ) (. −1. 3. dx. ( z). ⇒− ∫ z−3dz ⇒ I = 3. z−2 1 1 −z−2 + k ⇒ I = +k ⇒ I = 2 + k ⇒ I = +k 2 2 2z −2 2(1 + u1 ). 7) ∫ t 2 t3 −1 dt ⇒Cambio de Variable : u =t3 −1⇒. du du 2 =3 t 2 ⇒ = t dt dt 3. 1 +1. 1 1 1 1 u2 2 3 2 Sust. ∫ u du ⇒ ∫ u2 du ⇒ 1 + k ⇒ I = u2 + k ⇒ I = (t 2 −1)3 + k 3 3 3 2 +1 9 9. ( x + x) 2. 8) ∫. ( 4−3x. ). 3 4. −2 x. 2. dx ⇒Cambio de Variable : u = 4−3 x2 − 2 x3 ⇒du = − 6(x + x2 ) dx. − du 6 1 1 u−3 du = (x + x2 ) dx ⇒Sust. ∫ 4 ⇒ I =− ∫ u−4du ⇒ I = − ( ) + k ⇒ −6 6 6 −3 u 1 +k I= 18 (4−3 x2 − 2 x3 ) 9) ∫ t 3 ( t − 1) dt ⇒Cambio de Variable : u =t −1⇒t =u +1⇒. ∫ ( u +1)( u). Sust. 7. I=. u3. 10) ∫. 7 3. 1 3. u3 4 3. (1 + 1x ). 2. 4. 7. + k⇒I = dx. 2. x. 1. 4. 1. 4. 3u 3 3u 3 3 3 7 + + k ⇒ I = 3 ( t −1) + 7 4 7 4. ⇒Cambio de Variable : u =1+ 1x ⇒. ⎡u3 sust. − ∫ u du ⇒I = − ⎢ ⎣3 2. ). du ⇒∫ u 3 + u 3 du ⇒ ∫ u 3 du + ∫ u 3 du. 4. +. (. du = 1⇒du = dt dt. 3. ( t −1). 7. +k. du −1 dx = 2 ⇒− du = 2 dx x x. ⎤ (1 + 1x ) dx ⇒ I = − 1 1 + 1 3 + k k + ⇒ ( x) ⎥ ∫ x2 3 ⎦ 2. 11) ∫ x5 ( x3 −1) dx ⇒ ∫ ( x3 (x3 −1)3/2 ) x2dx 3. du du = 3 x2 ⇒ du = 3 x2dx⇒ = x2dx dx 3 1 1 1 3/2 sust. ∫ ( u +1)( u) du ⇒I = ∫ ( u5/2 +u3/2 ) du ⇒ ⎡⎣∫ u5/2du + ∫ u3/2du⎤⎦ 3 3 3. Cambio de Variable : u = x3 −1⇒ x3 =u +1⇒. http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS. 5.

(6) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. 1 ⎡ u7/ 2 u5/ 2 I= ⎢ 7 + 5 3⎣ 2 2 12). ⎡ 2 ( x3 +1)7/ 2 2 ( x3 +1)5/ 2 ⎤ ⎢ ⎥+k + ⎢ ⎥ 7 5 ⎣ ⎦. dx. ∫ x +1 ⇒ Cambio de Variable : u = x + 1 ⇒ du = dx du. ∫ u = Ln. sust. 13). ⎤ 1 ⎡ 2 u7/ 2 2 u5/ 2 ⎤ 1 k I + ⇒ = + +k ⇒I = ⎥ ⎢ ⎥ 3⎣ 7 5 ⎦ 3 ⎦. u + k ⇒ I = Ln x +1 + k. ex dx du x x x ∫ ex + 1 ⇒ Cambio de Variable. u = e +1⇒ dx = e ⇒ du = e dx du ∫ u = Ln u + k ⇒. sust.. ex dx x ∫ ex + 1 = Ln e + 1 + k. 14) ∫ x x −1 dx ⇒Cambio de Variable : z = x −1 ⇒ x = z +1; dz = dx Sust.. ∫ ( z +1) z dx = ∫ ( z 1/ 2. 3/ 2. +z. 1/ 2. ) dz ⇒ ∫ z. 3. 3/ 2. +1. 1. +1. x2 z2 + 1 +k dz + ∫ z dz ⇒ I = 3 2 +1 2 +1 1/ 2. 2 2 5/ 2 3/ 2 ( x + 1) + ( x − 1) + k 5 3 e− x dx dx dx 15)∫ x ⇒∫ x ⇒ e +1 e (1+ e− x ) ∫ (1 + e− x ). ∫x. x −1 dx =. du = Ln u + k ⇒ I = Ln 1+ e− x + k u 2 du 16)∫ xex dx ⇒ Cambio de Variable : u = x2 ⇒ du = 2 xdx ⇒ = xdx 2 2 1 1 1 2 sust. ∫ eu du = eu + k ⇒ ∫ xex dx = ex + k 2 2 2 Cambio de Variable : u = 1+ e− x ⇒ du =− e− x dx ⇒ sust. ∫. 17). ∫. e. x. x. dx ⇒Cambio de Variable : u = x ⇒. sust. 2 ∫ eu du = 2 eu + k ⇒ ∫ 18). ∫. e. x. x. du dx dx = du = ⇒ 2 du = dx 2 x x. dx = 2 e x + k. Ln x du 1 dx dx ⇒Cambio de Variable : u = Lnx ⇒ = ⇒ du = x dx x x. ( Ln x) + k u2 Ln x +k ⇒∫ sust. ∫ udu = dx = 2 2 x x −x e −e du x − x 19) ∫ x − x dx ⇒ Cambio de Variable : u = ex + e− x ⇒ = e − e ⇒ du = ( ex − e− x ) dx e +e dx 2. du ex − e− x Sust. ∫ = Ln u + k ⇒ ∫ x − x dx = Ln ex + e− x + k u e +e 6 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(7) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. dx dx e−2 x dx ⇒ ⇒ e2 x − 1 ∫ e2 x ⎡⎣1 − e−2 x ⎤⎦ ∫ 1 − e−2 x. 20)∫. Cambio de Variable : u =1− e−2 x ⇒ du = 2e−2 x dx ⇒. du −2 x = e dx 2. 1 du 1 1 = Ln u + k ⇒ I = Ln 1− e−2 x + k ∫ 2 u 2 2 x e du dx ⇒ Cambio de Variable : u = ex +1 ⇒ = ex ⇒ du = ex dx 21) ∫ 2 x dx ( e +1) sust.. sust. ∫. du u−2 + 1 −1 ex −1 −2 u du ⇒ = + k I = + k ⇒ dx = x +k 2 x 2 ∫ ∫ −2 + 1 u (e + 1) e +1 (u). 22)∫. 1 du dx ⇒CambiodeVariable : u = x +1 ⇒ du = dx ⇒ sust. ∫ 1/ 2 = ∫ u −1/ 2 du x +1 u. I=. 1/ 2. u. 1 2. + k ⇒ I = 2 x +1 + k. x2 + 2 x + 3 23) ∫ 3 dx ⇒ CambiodeVariable : u = x3 + 3x2 + 9x +1⇒ du = ( 3x2 + 6x + 9) dx 2 x + 3x + 9x +1 du 1 du 1 = ( x2 + 2x + 3) dx ⇒ sust. I = ∫ = Ln ( x3 + 3x2 + 9x +1) + k 3 3 u 3 3 ( Ln x)2 dx (Ln x)3 u dx ⇒ CambiodeVariable : u = Ln x ⇒ du = ⇒ sust. I = ∫ u 2 du = + C = +k x x 3 3 dx dx 1 25)∫ ⇒ CambiodeVariable :u =1 + 3 x ⇒ du = x−2/3 dx ⇒ 3 du = 3 2 3 3 3 x (1 + x ) x2. 24) ∫. du 3du = 3 ∫ ⇒ I = 3 Ln 1+ 3 x + k u u 1 2 dx du dx dx ⇒ Cambio de Variable :u = Ln( x2 ) ⇒ du = ⇒ = 26) ∫ 2 x 2 x x Ln ( x ) sust.. ∫. sust. I = 27)∫. 1 du 1 ⇒ I = Ln Ln( x2 ) + k ∫ 2 u 2. x x −3 x dx ⇒ ∫ dx Cambio de Variable : u = 1− x3 ⇒ du = dx 2 1− x x 1− x3. sust. ∫. x 1− x3. dx ⇒ I = −. 2 3. du. ∫u. 2 ⇒ I =− Ln 1− x x + k 3. 7 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(8) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. 2x. 28) ∫. ( x −1). sust. 2 ∫. 2. dx ⇒ Cambio de Variable : u = x −1⇒ x = u +1; du = dx. x. ( x −1). 2. I = 2 Ln x −1 − x ( x − 2). 29)∫. ( x −1). 3. dx ⇒ 2 ∫. ( u +1) du ⇒ I = 2 u. 2. du du ⎡ −1⎤ 2 2 ( ) 2 I Ln u + ⇒ = + ∫ u ∫ u2 ⎢⎣ u ⎥⎦ + k. 2 +k x −1. dx ⇒ Cambio de Variable : u = x −1 ⇒ x = u +1; du = dx. 2 ( u +1) − 2( u +1) du = u2 + 2u +1− 2u − 2 du = u2 −1 du x − 2x sust. ∫ dx = 3 ∫ ∫ ∫ u3 3 3 u u ( x −1) 2. du. ∫u. −. du. ∫u. 3. ⇒ I = Ln x −1 +. 2. ( x −1). 2. +C. 30)∫ x2 ex dx ⇒Cambio de Variable : u = x3 ⇒ du = 3x2 dx ⇒ 3. du 2 = x dx 3. u 1 x3 e du 1 u = ⇒ = du I e e +k ∫ 3 3∫ 3. sust.. du 31)∫ x eax dx ⇒ Cambio de Variable : u = ax2 ⇒ du = 2 axdx ⇒ = xdx 2a 2 1 u 1 u 1 sust. ∫ e du = e + k ⇒ I = eax + k 2a 2a 2a 2. 32) ∫. 3/ x du dx −3dx 3 1 u 1 3/ x e Cambio de Variable u du sust du I ⇒ = ⇒ = ⇒ − = ⇒ − ⇒ =− : . e e +k ∫ 2 2 x 3 x2 3 3 x x. (. ). 33) ∫ ex −e−x dx ⇒ ∫ ( e2x − 2ex e−x + e−2x ) dx = ∫ ( e2x − 2e0 + e−2x ) dx. ∫e. 2x. 2. dx − 2∫ dx + ∫ e−2x dx ⇒ para : ∫ e2x dx ⇒Cambio de Variable : u = 2x ⇒ du = 2dx ⇒. dx = du 2. 1 −dx = du sust. I1 = e2x + k; para : ∫ e−2x dx ⇒Cambio de Variable : u = −2x ⇒ du = −2dx ⇒ 2 2 1 1 1 sust. I3 = − e−2x + k ⇒ I = I1 + I2 + I3 ⇒ I = e2x − 2x − e−2x + k 2 2 2 8 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(9) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. 34)∫ e x 1− e x dx ⇒ Cambio de Variable : u =1− e x ⇒ du = −e x dx ⇒ −du = e x dx 2 2 sust. − ∫ u1/ 2 du ⇒I =− u3/ 2 + k =− 3 3 35)∫. (1− e ). x 3. +k. ⎛ x +1+1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 x+2 dx ⇒ ∫ ⎜ dx ⎟ dx ⇒ ∫ ⎜1+ ⎟ dx ⇒ ∫ dx + ∫ x +1 x +1 ⎝ x +1 ⎠ ⎝ x +1 ⎠. Para : ∫. 1 du dx ⇒ Cambio de Variable : u = x + 1 ⇒ du = dx ⇒ ∫ = Ln(u) + k x +1 u. I = x + Ln ( x +1) + C 36) ∫. 3 3/ x2 dx x x ⇒ ⇒ dx dx ∫ x/ (1+ x) ∫ (1+ x) ⇒ Cambio de Variable :u =1+ x ⇒ x = u −1; du = dx ( x + x2 ). sust. ∫ I=. ( u −1) u. 2. du. ⇒∫. (u. 2. − 2u +1) du u. ⇒ ∫ udu − 2 ∫ du + ∫. du u2 ⇒ I = − 2u + Ln(u) + k u 2. (1 + x) − 2(1 + x) + Ln(1+ x) + k 2. 37)∫. 2. dx dx 1 ⇒∫ ⇒ Cambio de Variable : u =1− x ⇒ du = dx x −x 2 x x 1− x. (. ). 1 du 1 ⇒ I = Ln 1− x + k ∫ 2 u 2 x +2 dx 38)∫ dx ⇒ Cambio de Variable : u = x −1⇒ x = u +1; du = 2 x x −1 sust.. ⇒ 2 x du = dx → 2 ( u +1) du = dx. u2 + 4u + 3) du ⎡⎣( u +1) + 2⎤⎦ 2 ( u +1) du ( u + 3) 2 ( u +1) du ( sust. ∫ ⇒∫ ⇒ 2∫ u u u 3 ( x −1)2 u2 2∫ (u + 4 + )du ⇒ I = 2( + 4u + 3Ln(u)) + k ⇒ I = 2( + 4( x −1) + 3Ln( x −1) + k 2 2 u. ⎛ x ⎞ 39)∫ ⎜ ⎟ dx ⇒Cambio de Variable :u = a − x ⇒ x = a − u; du = −dx ⎝ a−x ⎠ ⎛ x ⎞ ⎛ a −u ⎞ ⎛a ⎞ ⎛1⎞ sust. ∫ ⎜ ⎟ dx = − ∫ ⎜ ⎟ du = − ∫ ⎜ −1⎟ du = − a ∫ ⎜ ⎟ du + ∫ du ⎝ u ⎠ ⎝u ⎠ ⎝u⎠ ⎝ a−x ⎠ I = a Ln u + u + k ⇒ I = a Ln a − x + ( a − x ) + k. 9 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(10) UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. [. ⎛ 2x + 3 ⎞ ⎛ 2x +1+ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 40)∫ ⎜ ⎟ dx ⇒∫ ⎜ ⎟ dx = ∫ ⎜1+ ⎟ dx ⎝ 2x +1 ⎠ ⎝ 2x +1 ⎠ ⎝ 2x +1⎠ 1 ⎛ 2⎞ ⎛ 2 ⎞ du Cambio deVariable :u = 2x +1 ⇒ du = 2 dx ⇒ sust. ∫ ⎜1+ ⎟ ⇒ I = ∫ ⎜1+ ⎟ du 2 ⎝ u⎠ ⎝ u⎠ 2 I=. 1 ⎡ 1 ⎛1⎞ ⎤ 1 du + 2 ∫ ⎜ ⎟ du⎥ = ⎡⎣u + 2 Ln u + C⎤⎦ ⇒ I = ⎡⎣( 2x +1) + 2 Ln 2x +1 ⎤+ ⎢ ⎦ k⇒ ∫ ∫ 2 ⎣ 2 ⎝u⎠ ⎦ 2. 1 I = x + + Ln 2x +1 + k 2 ⎛ 1−3x ⎞ u−3 41)∫ ⎜ ⎟ dx ⇒ Cambio deVariable : u = 3+ 2x ⇒ x = 2 ; du = 2 dx ⎝ 3+ 2x ⎠ 1 ⎛ −3u +11⎞ ⎛ 1−3( u2−3 ) ⎞ du ⎛ 1− ( 3u2−9 ) ⎞ du sust. I = ∫ ⎜ ⇒ I = ∫⎜ ⇒ I = ∫⎜ ⎟ du ⎟ ⎟ 2 ⎝ 2u ⎠ ⎝ u ⎠2 ⎝ u ⎠2 1⎡ 3 11 du ⎤ 1 ⎡ 3 11 3 11 ⎤ I = ⎢− ∫ du + ∫ ⎥ ⇒ I = ⎢− u + Ln u ⎥ + k ⇒ I =− u + Ln u + k 2⎣ 2 2 u⎦ 2⎣ 2 2 4 4 ⎦ 3 11 I = − ( 3+ 2x) + Ln 3+ 2x + k = 4 4 ⎛ x2 +1⎞ ⎛ x +1⎞ ⎛ x +1⎞ x2 +1 x +1 42)∫ ⎜ = x+ ⇒ I =∫⎜ x+ ⎟ dx ⇒ ⎟ dx ⇒ I = ∫ xdx + ∫ ⎜ ⎟ dx x −1 x −1 ⎝ x −1 ⎠ ⎝ x −1⎠ ⎝ x −1 ⎠ ⎛ x +1⎞ x2 I1 = + k; I2 = ∫ ⎜ ⎟ dx ⇒ Cambiode Variable :u = x +1⇒ du = dx 2 ⎝ x −1 ⎠ x2 ⎛ u +2 ⎞ ⎛ 2⎞ + x −1+ 2 Ln x −1 + k = + = + + ⇒ = I2 = ∫ ⎜ dx 1 du u 2 Ln u k I ⎟ ∫ ⎜⎝ u ⎟⎠ 2 ⎝ u ⎠ ⎛ ( x + 3)( x + 2) +1⎞ ⎛ x2 + 5x + 7 ⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎞ 43)∫ ⎜ ⎟ dx = ∫ ⎜ x + 2 + ⎟ dx = ∫ ⎜ ⎟ dx = ∫ xdx + 2∫ dx+∫ ⎜ ⎟ dx x +3 x +3 ⎠ ⎝ x +3 ⎠ ⎝ ⎝ x +3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎞ x2 I = + 2x + k + ∫ ⎜ ⎟ dx ⇒ Cambiode Variable :u = x + 3 ⇒ du = dx 2 ⎝ x +3 ⎠ x2 ⎛1⎞ sust. I1 = ∫ ⎜ ⎟ dx = Ln u + k ⇒ I = + 2x + Ln x + 3 + k 2 ⎝u⎠. 10 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(11) UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. [. ⎛ ( x3 + x2 + 2x + 2 ) ( x −1) + 3 ⎞ ⎛ x4 + x2 +1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎟ dx = ∫ ⎜ x3 + x2 + 2x + 2 + 44)∫ ⎜ ⎟ dx ⇒∫ ⎜⎜ ⎟ dx ⎟ x −1 x −1 ⎠ ⎝ x −1 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎞ x4 x3 2 I = ∫ x3 dx + ∫ x2dx + 2∫ xdx + 2∫ dx + 3∫ ⎜ dx I ⇒ = + + x + 2x + 3 Ln x −1 + k ⎟ 4 3 ⎝ x −1 ⎠ 2 ⎛ 2 2ab ⎛ dx ⎞ 2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ b ⎞ b2 ⎞ 2 45)∫ ⎜ a + dx ⇒ a + + dx = a dx + 2 ab ⎜ ⎟ ⎟ ∫ ⎜ x − a ( x − a)2 ⎟ ∫ ∫ ⎜⎝ x − a ⎟⎠ + b ∫ ⎜⎜ ( x − a)2 ⎟⎟ dx ⎝ x+a ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠. ⎛ 1 ⎞ I = a2 x + 2abLn x − a + b2 ∫ ⎜ ⎟ dx ⇒ ⎜ ( x − a) 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎞ I1 = ∫ ⎜ ⎟ dx ⇒ Cambio de Variable : u = x − a ⇒ du = dx ⎜ ( x − a)2 ⎟ ⎝ ⎠ −2 b2 b2 2 ⎛ 1 ⎞ 2 2 + k ⇒ I = a x + 2abLn x − a − +k sust. I1 = b ∫ ⎜ 2 ⎟ du ⇒ I1 = b ∫ u du = − x −a x−a ⎝u ⎠ ⎛ x + Ln ( x) ⎞ ⎛ x Ln ( x) ⎞ ⎛ −1/ 2 Ln ( x) ⎞ dx x + = 46)∫ ⎜ ⎟ dx ⇒ ∫ ⎜⎜ + ⎟ ⎜ ⎟ dx ∫ ⎟ ⎜ ⎟ x x x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ Ln ( x) ⎞ ⎛ Ln ( x) ⎞ I = ∫ ( x−1/ 2 ) dx + ∫ ⎜ ⎟ dx ⇒ I = 2 x + ∫ ⎜ ⎟ dx ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎛ Ln ( x) ⎞ dx u2 I1 = ∫ ⎜ dx Cambio deVariable u Ln x du sust u du ⇒ = ⇒ = = +k : ( ) . ( ) ⎟ ∫ x x 2 ⎝ ⎠ Ln2 ( x) I = 2 x+ +k 2 ⎛ ⎛ a2 x ⎞ ⎛ x3 ⎞ ⎛ x3 ⎞ a2 x ⎞ 47)∫ ⎜ 2 2 ⎟ dx ⇒− ∫ ⎜ 2 2 ⎟ dx = − ∫ ⎜ x + 2 2 ⎟ dx = − ∫ ( x) dx − ∫ ⎜ 2 2 ⎟ dx ⎝ x −a ⎠ ⎝ x −a ⎠ ⎝a −x ⎠ ⎝ x −a ⎠ x2 2 ⎛ x ⎞ du I = − − a ∫ ⎜ 2 2 ⎟ dx ⇒ CambiodeVariable : u = x2 − a2 ⇒ du = 2xdx ⇒ = xdx 2 2 ⎝ x −a ⎠ x2 2 ⎛ 1 ⎞ du x2 a2 x2 a2 I= − − a ∫ ⎜ ⎟ ⇒ I = − − Ln u + k ⇒ I = − − Ln x2 − a2 + k 2 2 2 2 2 ⎝u⎠ 2. 11 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(12) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. du = dx 4 1 1 1 Sust. I = ∫ Cos (u ) du ⇒ I = Sen (u ) + k ⇒ ∫ Cos ( 4 x ) dx = Sen ( 4 x ) + k 4 4 4. 48) ∫ Cos ( 4 x ) dx ⇒Cambio de Variable : u = 4 x ⇒ du = 4 dx ⇒. 49) ∫ Sec 2 (5 x ) dx ⇒ Cambio de Variable : u = 5 x ⇒ sust. ∫ Sec 2 (u ) du =. 50). du = dx 5. 1 1 tg (u ) + k (ver Tabla ) ⇒ ∫ Sec 2 (5 x )dx = tg (5 x ) + k 5 5. ∫ x ctg ( x) Csc ( x) dx ⇒ Cambio de Variable : u = x 2. 3. sust. I =. 3. 3. ⇒ du = 3 x 2 dx ⇒. du = x 2 dx 3. 1 1 1 ctg (u )Csc (u ) du = − Csc (u ) + k (ver tabla ) ⇒ I = − Csc ( x 3 ) + k ∫ 3 3 3. du = dx 6 1 1 Cos u 1 sust. I = ∫ ctg (u ) Sen (u ) du ⇒ ∫ Sen (u ) du ⇒ ∫ Cos (u ) du 6 6 Sen (u ) 6 1 1 I = Sen u + k ⇒ I = sen (6 x ) + k 6 6. 51) ∫ ctg (6 x) Sen (6 x) dx ⇒Cambio de Variable : u = 6 x ⇒. du = dx 2 1 Sen 2 (u ) du = ∫ du 2 Cos (u ). 52) ∫ Sen (2 x ) tg (2 x ) dx ⇒ Cambio de Variable : u = 2 x ⇒ sust. I =. 1 2. 1 ⎛. Sen (u ) ⎞. ∫ Sen (u ) tg (u )du = 2 ∫ ⎜⎝ Sen (u ) Cos (u ) ⎟⎠. 1 1 − Cos 2 (u ) 1 ⎡ 1 Cos 2 u ⎤ 1 I= ∫ − du ⇒ I = ⎢ ∫ du ⇒ I = ⎡ ∫ Sec (u ) du − ∫ Cos (u ) du ⎤ ⎥ ⎦ 2 Cos u 2 ⎣ Cos u Cos u ⎦ 2 ⎣ I1 = ∫ Sec u du = Ln Sec (u ) + tg (u ) + k ; I 2 = ∫ Cos (u ) du = Sen (u ) + k I =. 1 1 ⎡⎣ Ln Sec (u ) + tg (u ) − Sen (u ) ⎤⎦ + k ⇒ I = ⎡⎣ Ln Sec (2 x) + tg (2 x ) − Sen(2 x ) ⎤⎦ + k 2 2. 53). eCos x Cos x ∫ Csc x dx ⇒ I = ∫ e Sen x dx ⇒ Cambio de Variable : u = Cos( x) ⇒ − du = Sen ( x)dx. sust. I = − ∫ eu du = eu + k ⇒ I = − eCos x + k. 12 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(13) UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. 54). [. Sen x ⇒ Cambio de Variable : u = Cos ( x) ⇒ − du = Sen xdx 2 x. ∫ Cos. − u −1 1 du Sen x −2 = − ⇒ = +k ⇒I = +k ⇒ ∫ u du I dx = Sec x + k 2 ∫ −1 u u Cos 2 x Sen x dx Senx dx Senx 1 =∫ =∫ Otra forma : ∫ dx ⇒ ∫ tgxSec x dx = Secx + k 2 Cos x Cosx Cosx Cosx Cosx sust. I = − ∫. 55). ∫. tg x Sec 2 x dx ⇒ Cambio de Variable : u = tg ( x ) ⇒ du = Sec 2 x dx. sust. ∫ u du = ∫ u1/ 2 du ⇒ I =. u 3/ 2 3 2. + k ⇒ ∫ tg x Sec 2 x dx =. 2 3. (tg )3 + k. tg ( Lnx) 1 dx ⇒ Cambio de Variable : u = Ln x ⇒ du = dx x x tg ( Ln x) sust. I = ∫ tg udu = Ln Sec u + k ⇒ ∫ dx = Ln Sec ( Ln x) + k x. 56). ∫. 57). ∫. Secxtgx dx du ⇒Cambio de Variable : u = 1 + 3 Secx ⇒ du = 3Secx tgxdx ⇒ = Secx tgx dx 1 + 3 Secx 3. sust. I =. 1 3. ∫. du 1 Secx tg x dx 1 = Ln u + k ⇒ ∫ = Ln 1 + 3Secx + k u 3 1 + 3sec x 3. 58) ∫ Ln ( Cos x ) tgx dx ⇒ Cambio de Variable : u = Ln ( Cosx ) ⇒ du = sust. I = − ∫ udu = −. ( − Sen x ) dx ⇒ −du = tg x dx Cos. − Ln (Cosx) u +k + k ⇒I = 2 2 2. 2. ectg x dx ⇒ Cambio de Variable : u = ctg x ⇒ du = − Csc 2 x dx ⇒ − du = 2 Sen x Sen 2 x ectgx Sust. I = − ∫ eu du = −eu + k ⇒ ∫ dx = − ectgx + k Sen 2 x. 59) ∫. 60) ∫. dθ 1 − θ Arcsen θ. sust. I = ∫. 2. ⇒Cambio de Variable : u = ArcSen θ ⇒ du =. dθ 1 − θ2. du dθ = Ln u + k ⇒ ∫ = Ln Arc Senθ + k u 1 − θ 2 Arc Sen θ. 13 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(14) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. Arctgx dx dx ⇒ Cambio de Variable : u = Arctgx ⇒ du = 2 1+ x 1 + x2. 61)∫. u2 Arctgx dx ( Arc tgx ) sust. I = ∫ udu = + k ⇒ ∫ = +k 2 1 + x2 2 2. 62)∫ ( x12 )Cos( 1x ) dx ⇒ Cambio de Variables :u = x−1 ⇒ du = − x2dx ⇒− du = sust. I = −∫ Cosu du = − Senu + k ⇒ ∫. Cos( 1x ) dx = −sen( 1x ) + k. x − Arctg (2x)dx Arctg (2x) ⎡ x Arctg (2x) ⎤ x dx dx ⇒ ∫ dx ⇒∫ ⎢ − −∫ ⎥ 2 2 2 2 (1+ 4 x ) 1+ 4 x ⎦ 1+ 4 x 1 + 4 x2 ⎣1+ 4 x. 63)∫. I1 = ∫. x dx du ⇒ Cambiode Variable :u =1+ 4x2 ⇒ = x dx 2 1+ 4 x 8. sust. I1 = I2 = ∫. xdx 1 du 1 1 = Ln u + k ⇒ I1 = ∫ = Ln 1+ 4x2 + k 2 ∫ 8 u 8 1 + 4x 8. Arctg (2x) du dx = dx ⇒ Cambiode Variable :u = Arctg (2x) ⇒ 2 1 + 4x 2 1+ 4 x2. sust. I2 =. ∫. 1 x2. dx x2. 1 2. ∫. Arctg (2x) 1 ⎡ u3/ 2 ⎤ 1 u du = ⎢ 3 ⎥ + k ⇒ I2 = ∫ dx = Arctg (2x)3 + k 2 2/ ⎣ 2 ⎦ 1 + 4x 3. x − Arctg (2x)dx 1 1 = Ln 1+ 4x2 − Arctg (2x)3 + k 2 1+ 4 x 8 3. 64)∫. dx dx ⎡1− Sen ⇒∫ 1 + Sen x 1+ Sen x ⎢⎣1− Sen. (1− Sen x) dx x ⎤ (1 − Sen x ) =∫ dx ⇒ ∫ ⎥ 2 x ⎦ (1 − Sen x ) Cos2 x. 1 Sen x dx − ∫ 2 Cos x Cos2 1 I1 = ∫ dx = ∫ Sec2 x dx = tgx + k 2 Cos x Sen x Senxdx Senx 1 =∫ I2 = ∫ dx ⇒ ∫ dx ⇒ ∫ tgxSecxdx =Sec x + k ⇒ I = tgx + Sec x + k 2 Cos x CosxCos x Cosx Cosx I =∫. (. ). 65)∫ asen( x) cos ( x ) dx ⇒ cambiode Variable : u = sen( x) ⇒ du = cos( x)dx au asen( x) Sust. I = ∫ ( a ) du = + k con a > 0 ⇒ I = +C Ln ( a ) Ln ( a ) u. con. a>0. 14 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(15) UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. [. 1 Sec(2x) Sec(2x) dx Cos(2x) dx ⇒ ∫ dx = ∫ dx = ∫ 66) ∫ Sen x 1 (2 ) Sec(2x) − tag (2x) Sec(2x) − Tag (2x) 1 − Sen(2x) − Cos(2x) Cos(2x) du Cambio de Variable : u = 2x ⇒ = dx 2 1 ⎡ ⎛ du ⎞⎤ ⎛ du ⎞⎛ 1 + Senu ⎞ 1 ⎡ (1 + Sen u ) ⎤ sust. I = ⎢ ∫ ⎜ du ⎥ ⎟⎥ ⇒ ∫ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎢∫ 2 2 ⎣ ⎝ 1 − Senu ⎠⎦ ⎝ 1 − Senu ⎠⎝ 1 + Senu ⎠ 2 ⎣ 1 − Sen u ⎦ I=. 1 ⎡ ⎡1 + Sen u ⎤ ⎤ 1 ⎡ du Sen u ⎤ du = ⎢ ∫ du +∫ ⎢ ⎥ 2 2 ∫ ⎢ ⎥ 2 ⎣ ⎣ Cos u ⎦ ⎦ 2 ⎣ Cos u Cos2u ⎥⎦. du = Sec2udu = tg u + k = tg ( 2x ) + k Cos2u ∫ Sen u I2 = ∫ du ⇒ Cambio de Variable : w = Cosu ⇒ −dw = Senudu Cos2u dw w−1 1 sust. I 2 = −∫ 2 = I 2 = − + k ⇒ I2 = + k ⇒ I 2 = Secu + k ⇒ I 2 = Sec ( 2x ) + k w Cosu −1 1 IT = [tg (2x)] + Sec(2x) + k 2 Senx eSec x Senx eSecx Secx ⇒ 67) ∫ dx ∫ Cosx Cosxdx = ∫ tan xSecx e dx Cos2 x I1 = ∫. Cambio de Variable : u = sec x ⇒ du = Secx tan xdx ⇒ sust. ∫ eu du = eu + k ⇒I = eSecx + k 68)∫ I=∫. dx dx ⇒∫ ; Donde : Sen2 x + Cos 2 x = 1 ; Cos 2x = Cos 2 x − Sen2 x 2 2 2 2 1 + Cos2x Sen x + Cos x + Cos x − Sen x dx dx dx 1 1 1 =∫ = = Secx dx ⇒ I = Ln Secx + Tgx + k ∫ ∫ 2 Cosx 2 Cosx 2 2 2Cos2 x. Sen2 x + Cos2 x ) dx ( dx Sen2 x dx Cos2 x dx ⇒ = + 69)∫ ∫ Sen4 x Cos2 x ∫ Sen4 x Cos2 x Sen4 x Cos2 x ∫ Sen4 x Cos2 x (I1 ) (I2 ) I1 = ∫. Sen2 x dx dx Sen2 x + Cos2 x Sen2 x dx Cos2 x dx + = = dx = ∫ Sen2 x Cos2 x ∫ Sen2 x Cos2 x Sen4 x Cos2 x ∫ Sen2 x Cos2 x ∫ Sen2 x Cos2 x (I3 ) (I4 ). Sen2 x dx dx =∫ = ∫ Sec2 x dx = tan x + k 2 2 2 Sen xCos x Cos x 2 Cos x dx dx I4 = ∫ =∫ = ∫ Csc2 x dx = − Ctgx + k 2 2 2 Sen xCos x Sen x 2 Cos xdx dx I2 = ∫ =∫ = ∫ Csc4 x dx = ∫ Csc2 xCsc2 x dx = ∫ ( Ctg 2 x + 1)Csc2 x dx 4 2 4 Sen xCos x Sen x I3 = ∫. 15 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(16) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. I 2 = ∫ Ctg 2 x Csc 2 x dx + ∫ Csc 2 x dx (I 5 ). (I6 ). I 5 = ∫ Ctg 2 x Csc 2 x dx ⇒ Cambio de Variable : u = ctgx ⇒ − du = Csc 2 xdx sust. I 5 = ∫ u 2 du = −. u3 Ctg 3 x + k ⇒ I5 = − +k 3 3. I 6 = ∫ Csc 2 x dx = −Ctgx + k Ctg 3 x dx − − +k Tgx Ctgx 2 = ∫ Sen4 x Cos 2 x 3 70) ∫. ( Sen2 x + Cos 2 x ) dx = Sen2 x dx + Cos 2 x dx dx ⇒ ∫ Sen2 xCos 4 x ∫ Sen2 xCos 4 x ∫ Sen2 xCos 4 x Sen 2 xCos 4 x ( I1 ) (I2 ). I1 = ∫. Sen 2 x dx dx ⇒ ∫ = ∫ Sec 4 x dx = ∫ Sec 2 xSec 2 x dx = ∫ Sec 2 x (1 + tan 2 x ) dx 2 4 4 Sen xCos x Cos x. I1 = ∫ Sec 2 x dx + ∫ Sec 2 x Tan 2 x dx ( I3 ). (I4 ). ( I 3 ) = ∫ Sec x dx = tanx + k 2. ( I 4 ) = ∫ Sec 2 xtan 2 xdx ⇒ Cambio deVariable : u = tanx ⇒ du = Sec 2 x dx u3 tan3 x + k ⇒ (I4 ) = +k 3 3 Sen 2 x + Cos 2 x ) ( Cos 2 x Sen 2 x dx Cos 2 x dx (I2 ) = ∫ dx = dx = + ∫ Sen2 x Cos 2 x ∫ Sen2 x Cos 2 x ∫ Sen2 x Cos 2 x Sen 2 xCos 4 x dx dx + = Sec 2 x dx + ∫ Csc 2 x dx = tanx − Ctgx + k (I2 ) = ∫ Cos 2 x ∫ Sen 2 x ∫ tan3 x tan3 x IT = tanx + + tanx − Ctgx + k = 2tanx + − Ctgx + k 3 3 Sust. ( I 4 ) = ∫ u 2 du =. 71) ∫. dx. (1 + x ) Ln ( x + 2. 1 + x2. ). ⇒∫. (. dx. (1 + x ). Cambio de Variable : u = Ln x + 1 + x 2 du =. dx 1+ x. 2. ⇒ sust. I = ∫. 2. ). (. Ln x + 1 + x 2. ). ⎡ 2x ⎤ 1 + x2 + x dx ⎢1 + ⎥ 2 1 + x2 ⎦ 1 + x 2 dx ⇒ du = ⎣ ⇒ du = x + 1 + x2 x + 1 + x2. (. ). du = 2 u + k ⇒ I = 2 Ln x + 1 + x 2 + k u. 16 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(17) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. 72) ∫ ( tan x + cot x ) dx ⇒ ∫ ( tan 2 x + 2 tan x .cot x + cot 2 x ) dx = 2. ∫ ( tan. 2. x + 2 + cot 2 x ) dx. ∫ ( tan x + 1 + 1 + cot x ) dx = ∫ ( tan x + 1) dx + ∫ (1 + cot x ) dx I = ∫ sec x dx + ∫ csc x dx = tan x − cot x + k I=. 2. 2. 2. 73) ∫. 2. 2. 2. sen ( x ) dx ⇒Cambio de Variable : t = x. x ⇒ dt =. 1 2 x. dx. sust . I = 2 ∫ sen t dt = − 2 cos t + k ⇒ I = − 2 cos x + k 74). 1 + tgx dx ⇒ 2 x. ∫ Sen. ( I1 ) =. ∫ Csc. 2. dx. ∫ Sen. 2. +∫. x ( I1 ). tgx dx Sen 2 x (I2 ). x dx = − Ctgx + k. ⎛ Senx ⎞ ⎜ ⎟ dx tgx dx Senx dx dx Sen 2 x + Cos 2 x dx Cosx ⎠ ⎝ (I2 ) = ∫ = ∫ =∫ = ⇒∫ Sen 2 x Sen 2 x Sen 2 x Cosx ∫ Senx C osx Senx Cosx 2 2 Sen x dx Cos x dx Senx dx Cosx dx ∫ Senx Cosx + ∫ Senx Cosx = ∫ Cosx + ∫ Senx = ∫ Tgx dx + ∫ Ctgx dx ( I 2 ) = Ln Secx + Ln Senx + k ⇒ I = − Ctgx + Ln Secx + Ln Senx + k 75) ∫. dx dx ⇒ Cambio de Variable : u = Ln ( x − 2) ⇒ du = x−2 ( x − 2 ) Ln ( x − 2 ). sust .. ∫. du = Ln u + k ⇒ I = Ln Ln ( x − 2) + k u. ⎡ a2 − 1⎤ ⎡ a2x ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡ a2x ⎤ ⎡1 76) ∫ ⎢ ⎥dx ⇒ I = ∫ ⎢ x ⎥dx − ∫ ⎢ ⎥dx ⇒ I = ∫ ⎢ 2x ⎥dx − ∫ ⎢ 2x x x ⎣a ⎣a ⎦ ⎣ a ⎦ ⎣ a ⎦ ⎣ a ⎦ x. ⎤ ⎥dx ⎦. x. 3x x 3 −1 2 ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ 2 x− x I = ∫ ⎡ a 2 ⎤dx − ∫ ⎢ 1 ⎥ dx ⇒ I = ∫ ⎡⎢ a ⎤⎥dx − ∫ ⎢ 1 ⎥ dx ⇒ I = ∫ ⎡ a 2 ⎤ dx − ∫ ( a 2 ) x dx ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣a2 ⎦ ⎣a2 ⎦ 3x 2. 3x. −x. −x. a2 a2 2 ax ax − + ⇒ = − + ⇒= + k I k I= −1 3 3 3 ln ( a ) − 12 ln ( a ) ln( a 2 ) ln( a 2 ) 2 ln ( a ) a. (. a2. ). 2 a x ln ( a ). +k. 77) ∫ x 7 x dx ⇒Cambio de Variable : u = x 2 ⇒ du = 2 xdx sust . I =. 2. u. 7 du ∫ ( 7 ) 2 ⇒ I = 2 Ln ( 7 ) + k u. ∫ ( cos ( ax ) + sen ( ax ) + 2 cos ( ax ) sen ( ax ) )dx I = ∫ (1 + 2 cos ( ax ) sen ( ax ) ) d x = ∫ dx + 2 ∫ ( cos ( ax ) sen ( ax ) ) dx. 78) ∫ ( cos ( ax ) + sen ( ax ) ) dx ⇒ I = 2. 2. 2. 17 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(18) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. I1 = 2 ∫ ( cos ( ax ) sen ( ax ) ) dx ⇒ Cambio deVariable : u = sen ( ax ) ⇒ du = a cos ( ax ) dx. sen 2 ( ax ) u2 2 +k ⇒ I = x+ +k I1 = ∫ ( u )du = a a 2 ⎛ 1 − cos ( 2 x ) ⎞ x sen ( 2 x ) 1 1 +k 79) ∫ ( sen 2 ( x ) )dx ⇒ I = ∫ ⎜ ⎟ dx = ∫ dx − ∫ cos ( 2 x ) dx ⇒ I = − 2 2 2 2 4 ⎝ ⎠. (. 80) ∫ ctg. 2. ⎛ cos 2 ( ax ) ⎞ ⎛ 1 − sen 2 ( ax ) ⎞ ⎛ ⎞ 1 dx = 1 dx = − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 2 ∫ ∫ ⎜ sen ( ax ) ⎟ ⎜ sen ( ax ) ⎟ dx ⎟ sen ax ( ) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠. ( ax ) )dx ⇒ I = ∫ ⎜⎜. ⎛ ⎞ Ctg ( ax ) 1 2 I = ∫ ⎜⎜ −x+k ⎟⎟dx − ∫ dx = ∫ Csc ( ax ) dx − ∫ dx ⇒ I = − 2 sen ax a ( ) ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 1 du 81) ∫ ⎜ = dx dx ⇒ Cambio deVariable : u = 5 x − 14 ⇒ du = 5dx ⇒ ⎜ 3cos ( 5 x − 1 ) ⎟⎟ 5 4 ⎠ ⎝ ⎛ 1 ⎞ sust. I = 151 ∫ ⎜⎜ ⎟⎟du ⇒ I = 151 ∫ Sec (u ) du = 151 ln Sec (u ) + tg (u ) + k ⎝ cos ( u ) ⎠. (. ). I = 151 Ln Sec ( 5 x − 14 ) + tg ( 5 x − 14 ) + k x dx ⇒ Cambio deVariable : u = x 2 ⇒ du = 2 xdx 2 cos ( x ) du sust . I = 12 ∫ = 12 ∫ Sec 2 (u )du ⇒ I = 12 tg ( x 2 ) + k 2 cos (u ) dx 83) ∫ ( ctg ( a −x b ) )dx ⇒ Cambio deVariable : u = ( a −x b ) ⇒ du = ⇒ ( a − b) du = dx a −b. 82) ∫. 2. sust . I = ( a − b ) ∫ ( ctg ( u ) )du = ( a − b ) Ln sen ( u ) + k ⇒ I = ( a − b ) Ln sen ( a −x b ) + k. dx ⇒ Cambio de Variable : u = 2 x ⇒ du = 2 dx sen ( 2 x ) 1 du 1 1 sust. I = = Ln tg ( u2 ) + k ⇒ I = Ln tg ( 22 x ) + k ∫ 2 sen (u ) 2 2. 84) ∫. INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. a) Para integrales del tipo: ∫ senn ( x)dx;. ∫ cos (x)dx n. Si n es un número entero positivo impar, se comienza escribiendo:. 18 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(19) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. ∫ sen (x)dx = ∫ sen. n−1. n. ∫ cos (x)dx = ∫ cos n. ( x)sen( x)dx;. n−1. ( x)cos( x)dx , Como el entero n ‐ 1 es. par, se puede aplicar la identidad trigonométrica sen2 x + cos2 x = 1 para obtener una integral más fácil. b) Para integrales del tipo: ∫ senm ( x)cosn ( x)dx b1) Si m y n son enteros pares, reducir los exponentes de sen 2 ( x) y cos 2 ( x) usando las fórmulas de un ángulo medio: cos 2 (α ) =. 1 + cos ( 2α ) 1 − cos ( 2α ) ; sen 2 (α ) = 2 2. b2) Si n es impar, escribir la integral como. ∫ sen. m. ( x ) cos n ( x ) dx =. ∫ sen. m. ( x ) cos n −1 ( x ) cos xdx , y expresar cosn−1 ( x) en términos. de sen( x) aprovechando la identidad trigonométrica sen2 x + cos2 x = 1 . Usar la sustitución. u = sen( x) para evaluar la integral resultante. b3) Si m es un entero impar, escribir la integral como. ∫ sen. m. ( x ) cos n ( x ) dx =. ∫ sen. m −1. ( x ) cos n ( x ) sen ( x ) dx , y expresar senm−1 ( x) en términos. de cos( x) aprovechando la identidad trigonométrica sen2 x + cos2 x = 1 . Aplicar la sustitución. u = cos( x) para evaluar la integral resultante. c) Para integrales del tipo: ∫ tag m ( x)secn ( x)dx c1 Si n es un número par, escribir la integral como. ∫ tg. m. ( x ) Sec n ( x ) dx = ∫ tg m ( x ) Sec n − 2 ( x ) Sec 2 ( x ) dx y expresar Secn−2 ( x) en términos ,. de tg( x) aprovechando la identidad trigonométrica Sec2 x − tg 2 x = 1 . Usar la sustitución. u = tg( x) para evaluar la integral resultante. c2) Si m es un entero impar, escribir la integral como. ∫ tg. m. ( x) Sec n ( x) dx = ∫ tg m −1 ( x ) Sec n −1 ( x)( Secx)(tgx ) dx Como m‐1 es par, tg m−1 ( x). puede expresarse en términos de Sec( x) aprovechando la identidad trigonométrica Sec2 x − tg 2 x = 1 Usar la sustitución u = Sec( x) para evaluar la integral resultante. c3) Si m es par y n es impar, emplear otro método como, por ejemplo, integración por partes.. 19 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(20) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. 85) ∫ sen3 ( x)dx ⇒ ∫ sen 2 x( senx)dx ⇒ ∫ (1 − cos 2 x) senxdx = ∫ senxdx − ∫ cos 2 x( senx)dx I1 = ∫ senxdx = − cos x + k I 2 = ∫ cos 2 x( senx)dx ⇒ Cambio deVariable : u = cos x ⇒ du = − senxdx sust. I 2 = − ∫ u 2 du = − u3 + k ⇒ I = − cos x − (cos3x ) + k 3. 3. 1 2. 1. x. 1. sen(2 x). ∫ (1 + cos (2 x) ) dx = 2 ∫ dx + 2 ∫ cos (2 x)dx ⇒ I = 2 + 4 x dx ⇒ I = ∫ cos x sen x cos x dx = ∫ (1 − sen x ) sen x cos x dx. 86) ∫ cos 2 x dx ⇒ I = 87) ∫ cos 3 x sen 4. 2. 4. 2. +k. 4. Cambio de Variable : u = sen x ⇒ du = cos x dx sust. I =. ∫ (1 − u ) u 2. 4. du =. ∫ (u. 4. − u 6 ) du = 15 u − 17 u 7 + k ⇒ I = 5. 1 5. sen x − 5. 1 7. sen x + k 7. 88) ∫ tg 2 x sec4 xdx ⇒ I = ∫ tg ( x) sec2 ( x)sec2 ( x) dx = ∫ tg ( x)(tg ( x) + 1) sec2 xdx 2. 2. 2. Cambio de Variable : u = tan x ⇒ du = sec2 xdx sust. I = ∫ u 2(u 2 + 1) du = ∫ (u 4 + u 2) du ⇒ I =. 1 5. 3 5 u + 13 u + k ⇒ I =. tg 5 x 5. 3. + tg3 x + k. 89) ∫ sen3 x cos 2 x dx ⇒ I = ∫ sen 2 x cos 2 x sen x dx = ∫ (1 − cos 2 x ) cos 2 x sen x dx. ∫ ( cos. 2. x − cos 4 x ) sen x dx ⇒ Cambio de Variable : u = cos x ⇒ − du = sen x dx. sust. I = − ∫ ( t 2 − t 4 ) dt = −. 89)∫. sen3 (2x) (cos(2x))3. t3 t5 − cos3 x cos5 x + ⇒I= + +k 3 5 3 5. dx ⇒I = ∫ sen3 (2x) ( cos(2x) ). I = ∫ (1− cos2 (2 x) ) ( cos( 2 x) ). −3/ 2. −3/ 2. dx = ∫ sen2 (2x) ( cos 2x ). −3/ 2. sen (2x) dx. sen (2 x)dx = ∫ (( cos 2 x ) 2 − ( cos 2 x ) 2 )sen(2x) dx −3. 1. Cambio de Variable : u = cos(2x) ⇒ du = − 2 sen( 2x) dx ⇒ −2du = sen( 2x) dx sust. I =. −1 2. −1 2. 3 2. (cos(2 x))3 2u 1 u +k ∫ (u − u )du = (− 2 − 3 ) + k ⇒ I = cos(2x) + 3 −3 2. 11 2. −1 2. 1 ⎛ 1− cos(2x) ⎞ 2 90)∫ sen xdx ⇒ I = ∫ ( sen x) dx = ∫ ⎜ ⎟ dx = ∫ (1− 2cos(2x) + cos (2x)) dx 2 4 ⎝ ⎠ 1 ⎛ 1+ cos4x ⎞ 1 I = ∫ ⎜1− 2cos2x + ⎟ dx = ∫ ( 2 − 4cos(2x) +1+ cos(4x)) dx 4 ⎝ 2 8 ⎠ 4. I=. 2. 2. 2. 1 1 4 sen 2x sen 4x ⎞ 3x sen 2x sen 4x + + +k ( 3− 4cos(2x) + cos(4x)) dx = ⎛⎜ 3x − ⎟+k = − ∫ 8 8⎝ 2 4 ⎠ 8 4 32. 20 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

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