Transformada de Fourier en el eje real
Problemas para examen
En esta unidad del curso estudiamos propiedades b´asicas de la transformada de Fourier sobre el grupo R.
Caracteres del grupo R (tema optativo)
1. Para cada ξ en R definimos κξ: R Ñ T mediante la regla
κξpxq :“ e´2π i xξ px P Rq.
Demuestre que κξ es un caracter del grupo R.
2. Lema. Sea w P C tal que para cada x en R exppxwq “ 1. Demuestre que w “ 0.
3. Teorema (sobre la forma general de los caracteres del grupo R). Sea γ un caracter del grupo R. Demuestre que existe un ξ P R tal que γ “ κξ.
4. Isomorfismo entre el grupo R y su dual. Definimos K : R Ñ pR mediante la regla Kpξq :“ κξ.
Demuestre que K es un isomorfismo de grupos. En realidad, K tambi´en es un homeomor-fismo, pero en este curso no estudiamos la definici´on de la topolog´ıa en el grupo dual.
La transformada de Fourier de funciones integrables
5. La transformada de Fourier de cualquier funci´on integrable es acotada y uniformemente continua. Sea f P L1
pRq. Definimos pf : R Ñ C mediante la regla p
f pξq :“ ż
R
f pxq e´2π i xξ dx.
Demuestre que la funci´on pf es acotada y uniformemente continua.
6. La transformada de Fourier y desplazamientos en el tiempo. Sean f P L1
pRq, a P R. Pongamos
gpxq :“ f px ´ aq px P Rq. Exprese pg en t´erminos de pf .
7. La transformada de Fourier y dilataciones positivas en el tiempo. Sean f P L1 pRq, a ą 0. Pongamos gpxq :“ f ´x a ¯ . Exprese pg en t´erminos de pf .
8. La transformada de Fourier y la reflexi´on en el tiempo. Sea f P L1
pRq. Ponga-mos
gpxq :“ f p´xq. Exprese pg en t´erminos de pf .
9. La transformada de Fourier de una funci´on par. Sea f P L1
pRq. Supongamos que f es par, esto es, f p´xq “ f pxq para casi todo x en R. Demuestre que pf tambi´en es par.
10. La transformada de Fourier y la modulaci´on en el tiempo. Sean f P L1
pRq, a P R. Pongamos
gpxq :“ e2π i axf pxq. Exprese pg en t´erminos de pf .
11. Ejemplo: la transformada de Fourier de la funci´on caracter´ıstica de un intervalo. Sean α, β P R tales que α ă β. Calcule pf , donde f “ 1rα,βs.
12. Ejemplo: la transformada de Fourier de la funci´on exponencial en un se-mieje del eje real. Sea α ą 0. Calcule pf , donde
f pxq “ 1r0,`8qpxq e´αx “
#
e´αx, x ě 0;
0, x ă 0.
13. Ejemplo: la transformada de Fourier de la funci´on exponencial del valor absoluto. Sea α ą 0. Calcule pf , donde
f pxq “ e´α|x|.
14. Ejemplo: la transformada de Fourier de una funci´on continua lineal a tro-zos. Calcule pf , donde
f pxq “ $ ’ & ’ % 1 ´ x, x P r0, 1s; x ´ 1, x P r´1, 0q; 0, x P Rzr´1, 1s.
15. Ejemplo: la transformada de Fourier de la funci´on gaussiana. Calcule pf , donde f pxq “ e´πx2. Se recomienda usar herramientas de an´alisis complejo.
16. Ejemplo: el n´ucleo de calor como la transformada de Fourier de una fun-ci´on. Pongamos
Htpxq :“ 1 ? 4πte ´x24t . Demuestre que Htpxq “ ż R e2π i xξe´4π2tξ2 dξ. (1)
17. Ejemplo: la transformada de Fourier de un caso particular del n´ucleo de Poisson. Calcule pf , donde
f pxq “ 1
πp1 ` x2q.
Se recomienda usar residuos.
18. Ejemplo: la transformada de Fourier del n´ucleo de Poisson. Para cada y ą 0 pongamos
Pypxq :“
y πpx2` y2q.
Demuestre que xPypξq “ e´2πy|t|.
19. Lema de Riemann–Lebesgue para la transformada de Fourier sobre los n´umeros reales. Sea f P L1
pRq. Demuestre que lim
|ξ|Ñ8
p
f pξq “ 0.
20. Aproximaci´on de la transformada de Fourier por la transformada finita de Fourier. Sea f una funci´on integrable y continuamente derivable, tal que f1 es acotada,
y sea M un n´umero entero positivo par. Pongamos n “ M2, xk “ ´ M 2 ` k M p0 ď k ă nq, ξj “ ´ M 2 ` j M p0 ď j ă nq, pgMqj :“ 1 M n´1 ÿ k“0 f pxkq e´2π i xkξj. Demuestre que |pgMqj ´ pf pξjq| ď ż Rzr´M {2,M {2s |f pxq| dx ` 1 M}f 1 }8. Demuestre que gM “ snd Fnpsnd vMq,
donde Fn es la transformada finita de Fourier de orden n, d es la operaci´on de
multipli-caci´on de vectores por componentes, sn “
“
p´1qj‰n´1j“0, vM ““fpxkq
‰n´1
21. Programaci´on: aproximaci´on de la transformada de Fourier por la trans-formada finita de Fourier. En alg´un lenguaje de programaci´on escriba una funci´on que realice las f´ormulas del problema anterior.
Entrada: funci´on f , n´umero entero positivo par M . Salida: el vector gM “
“ pgMq
‰M2´1
j“0 cuyas componentes aproximan los valores de la
funci´on pf en los puntos ξj. Se supone que ya est´a dada una funci´on fft que realiza la
transformada r´apida de Fourier (de vectores finitos).
22. Programaci´on: prueba de la aproximaci´on de la transformada de Fourier de la funci´on gaussiana. En alg´un lenguaje de programaci´on escriba una funci´on que pruebe el algoritmo del Problema 21con el ejemplo del Problema 15.
Entrada: n´umero entero positivo M . Salida: max
1ďjďn|pgMqj´ pf pξjq|.
23. Programaci´on: prueba de la aproximaci´on de la transformada de Fourier de un caso particular del n´ucleo de Poisson. En alg´un lenguaje de programaci´on escriba una funci´on que pruebe el algoritmo del Problema 21con la funci´on del Problema 17. Entrada: n´umero entero positivo M .
Salida: max
1ďjďn|pgMqj´ pf pξjq|.
La transformada de Fourier y la derivada
24. La transformada de Fourier de la derivada. Enuncie y demuestre la f´ormula para la tranformada de Fourier de la funci´on f1, suponiendo que f P L1
pRq y f1 P L1pRq.
25. La derivada de la transformada de Fourier. Sea f P L1
pRq. Enuncie una condi-ci´on suficiente para que la funci´on pf sea derivable, exprese su derivada en t´erminos de la funci´on pf , y demuestre este resultado.
Convoluci´
on en L
1pRq
26. Definici´on de la convoluci´on de dos funciones integrables. Sean f, g P L1pRq. Demuestre que para casi todo x en R
ż
R
|f px ´ yq| |gpyq| dy ă `8 y que la funci´on f ˚ g definida mediante la regla
pf ˚ gqpxq :“ ż R f px ´ yq gpyq dy, es de clase L1 pRq.
27. Propiedades aritm´eticas de la convoluci´on de funciones integrables. Sean f, g, h P L1
pRq, α P C. Demuestre que
f ˚ g “ g ˚ f, pf ˚ gq ˚ h “ f ˚ pg ˚ hq,
pf ` gq ˚ h “ f ˚ h ` g ˚ h, pαf q ˚ g “ αpf ˚ gq.
Como consecuencia, L1pRq con las operaciones vectoriales comunes y con la operaci´on ˚, es una ´algebra compleja asociativa y conmutativa.
28. Teorema de convoluci´on. Sean f, g P L1
pRq. Demuestre que zf ˚ g “ pf pg. 29. F´ormula de reciprocidad para la convoluci´on. Sean f, g P L1
pRq y sea Gpxq “
ż
R
gpξq e2π i ξx dξ. Demuestre que para cada x en R
ż R f px ´ yqGpyq dy “ ż R p f pξqgpξq e2π i ξx dξ.
30. F´ormula para la convoluci´on con el n´ucleo de calor. Sea f P L1
pRq. Demuestre que pHt˚ f qpxq “ ż R e´4π2ξ2t p f pξq e2π i ξx dξ.
N´
ucleos aproximativos en el eje real
31. Definici´on de n´ucleos aproximativos. Sea pKtqtą0 una familia de funciones de
clase L1
pRq. ¿Cu´ando se dice que pKtqtą0 es un n´ucleo aproximativo? ¿Cu´ando se dice
que pKtqtą0 es una familia de Dirac?
32. Una receta para construir familias de Dirac. Sea f P L1
pRq tal que f ě 0 y }f }1 “ 1. Pongamos Ktpxq :“ 1 tf ´x t ¯ . Demuestre que pKtqtą0 es una familia de Dirac.
33. El n´ucleo de calor es una familia de Dirac. Demuestre que la familia pHtqtą0
del Problema16 es una familia de Dirac.
34. Aproximaci´on uniforme de funciones acotadas uniformemente continuas por medio de n´ucleos aproximativos. Sea f P CbupRq y sea pKtqtą0 un n´ucleo
apro-ximativo. Demuestre que lim
tÑ0supxPR|pKt˚ f qpxq ´ f pxq| “ 0.
35. Aproximaci´on de funciones integrables por medio de n´ucleos aproximati-vos. Sea f P L1pRq. Demuestre que
lim
La transformada de Fourier en la clase de Schwartz
36. Definiciones equivalentes de la clase de Schwartz. Escriba varias definiciones equivalentes de la clase de Schwartz SpRq y demuestre su equivalencia.
37. La funci´on gaussiana pertenece a la clase de Schwartz. Muestre que la funci´on f del Problema 15pertenece a SpRq.
38. Las funciones de la clase de Schwartz son integrables. Sea f P SpRq. Demuestre que f P L1
pRq.
39. Transformada de Fourier de una funci´on de la clase de Schwartz. Sea f P SpRq. Demuestre que pf P SpRq.
40. F´ormula de inversi´on de Fourier para funciones de la clase de Schwartz. Sea f P SpRq. Demuestre que
f pxq “ ż
R
p
f pξq e2π i xξ dξ.
Soluci´
on de la ecuaci´
on de calor en la recta real
41. Deducci´on de la soluci´on de la ecuaci´on de calor. Sea f P SpRq. Supongamos que u P C8
pR ˆ r0, `8qq y que u es una soluci´on de la ecuaci´on de calor pD2uqpx, tq “ pD21uqpx, tq px P R, t ą 0q.
Muestre (sin justificaciones formales) que
upx, tq “ pHt˚ f qpxq.
42. Aproximaci´on de la soluci´on de la ecuaci´on de calor. Sean f P SpRq, M ą 0, n P N, t ą 0. Pongamos xj :“ ´ M 2 ` M j n pj P t0, . . . , n ´ 1uq, yk :“ ´ M 2 ` M k n pk P t0, . . . , n ´ 1uq. Muestre que pHt˚ f qj « vj, donde
vj :“ M n n´1 ÿ k“0 Htpxj ´ ykqf pykq. (2)
43. Programaci´on: aproximaci´on de la soluci´on de la ecuaci´on de calor. En alg´un lenguaje de programaci´on escriba una funci´on que realice la f´ormula del Problema 42. Entrada: funci´on f , n´umeros enteros positivos M y n, n´umero positivo t.
