Algunas sumas trigonom´ etricas especiales, camino complejo
Objetivos. Deducir f´ormulas para algunas sumas trigonom´etricas especiales.
Requisitos. Divisibilidad de n´umeros reales, suma de la progresi´on geom´etricas, f´ormulas trigonom´etricas principales.
1. Hacia la f´ormula para la suma de la progresi´on geom´etrica (repaso).
Recordar la f´ormula:
(1 − q)(1 + q + q2+ · · · + qn−1) =
| {z }
?
2. Suma de la progresi´on geom´etrica (repaso).
n−1
X
k=0
qk =
, q 6= 1;
, q = 1.
3. N´umero ei α (repaso). Dibujar la circunferencia unitaria en el plano complejo y explicar el sentido geom´etrico del n´umero ei α.
4. F´ormula de Euler (repaso).
ei α= cos(α) + i sen(α). (1)
Recuerde cu´al de las funciones cos y sen es par y cu´al es impar, y exprese e− i α a trav´es de cos y sen:
e− i α = (2)
5. Parte real e imaginaria de un n´umero complejo (repaso).
Recordamos que
Re(7 + 5 i) = 7, Im(7 + 5 i) = 5.
En general, si z = x + i y, donde x, y ∈ R, entonces Re(z) =
| {z }
?
, Im(z) =
| {z }
?
.
6. Parte real e imaginaria del n´umero ei α (repaso).
Sea α ∈ R. Usando la f´ormula (1) escriba la parte real y la parte imaginaria de ei α: Re ei α =
| {z }
?
, Im ei α =
| {z }
?
.
Poniendo α = 3β o α = mγ (donde β, γ, m ∈ R) obtenemos que Re e3 i β =
| {z }
?
, Im em i γ =
| {z }
?
.
7. F´ormulas de Euler para cos y sen (repaso).
Simplificar las siguientes expresiones aplicando (1) y (2):
ei α+ e− i α = ei α− e− i α =
Expresar cos y sen a trav´es de ei α y e− i α:
cos(α) =
2 ; sen(α) = .
8. Divisibilidad de n´umeros reales (repaso).
Sean α, β ∈ R. Recuerde la definici´on:
α | β ⇐⇒
9. Criterio de la igualdad ei α = 1 (repaso). Sea α ∈ R. Recuerde qu´e condici´on debe cumplir α para que se cumpla la igualdad ei α= 1:
ei α = 1 ⇐⇒
| {z }
?
10. Una suma de las exponenciales (repaso).
n−1
X
k=0
ek i α =
1 − 1 −
, 2π - α;
, 2π | α.
11. Un truco para trabajar con las diferencias de la forma ei α−1.
Si q 6= 1, entonces
q2 − 1 = q
− 1
. Aplicamos este truco a la diferencia e2 i β−1:
e2 i β−1 = ei β − = 2 i ei β
| {z }
?
.
Ahora lo mismo con la diferencia ei α−1:
ei α−1 = ei α2
−
= 2 i ei α2
| {z }
?
.
12. Simplificar el cociente. Usando el truco del ejercicio anterior simplificar el cociente obtenido en el ejercicio (10), en el caso α - 2π:
1 −
1 − = =e? sen?
sen? = Resumen: si 2π - α, entonces
n−1
Xek i α = . (3)
13. Parte real e imaginaria del n´umero 1.
Re(1) =
| {z }
?
, Im(1) =
| {z }
?
.
14. Parte real e imaginaria del lado izquierdo de la f´ormula (3).
Re 1 + ei α+ e2 i α+ · · · + e(n−1) i α = 1 + cos(α) +
| {z }
?
+ · · · +
| {z }
?
;
Im 1 + ei α+ e2 i α+ · · · + e(n−1) i α =
15. Parte real e imaginaria del producto de un n´umero real por un n´umero complejo. Sea z = x + i y, donde x, y ∈ R, y sea u ∈ R. Entonces
Re(uz) =
| {z }
?
, Im(uz) =
| {z }
?
.
16. Parte real e imaginaria del lado derecho de la f´ormula (3).
Re
= cos sen
sen
,
Im
=
17. Igualdad de n´umeros complejos (repaso).
Sean z = x + i y, w = u + i v, donde x, y, u, v ∈ R.
Entonces la igualdad z = w significa que x =
| {z }
?
∧ y =
| {z }
?
.
18. F´ormulas para sumas especiales trigonom´etricas, (2π) - α.
Escriba otra vez la f´ormula (3) y deduzca dos f´ormulas para sumas trigonom´etricas.
Si 2π - α, entonces
n−1
X
k=0
ek i α =
n−1
X
k=0
cos(kα) =
n−1
X
k=0
sen(kα) =
Como sen(0α) =
| {z }
?
, la ´ultima f´ormula se puede escribir tambi´en de la siguiente manera:
n−1
X
k=1
sen(kα) =
19. Caso 2π | α. Sea α ∈ R tal que 2π | α. Entonces
n−1
X
k=0
ek i α =
n−1
X
k=0
cos(kα) =
n−1
X
k=0
sen(kα) =
n−1
X
k=1
sen(kα) =
