M a t e m á t i c a s I I 1

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(1)Matemáticas II. 1.

(2) Matemáticas II. 2.

(3) EXTREMADURA. CONVOCATORIA JUNIO 2009. SOLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCESO AUTOR:. José Luis Pérez Sanz. Opción A. |2A| 23 |A| 8 2 16. b) El determinante del producto de matrices es igual al producto de los determinantes de las matrices: I A A–1 ⇒ |I| 1 |A A–1| |A| |A–1| ⇒ 1 1 ⇒ |A–1| 2 冷 A冷 c) El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta, por lo tanto:.  a) Un punto (x0, f(x0)) es de inflexión si la derivada segunda de f(x) se anula en x0, es decir, f’’(x0) 0, y la derivada tercera no se anula en x0, o sea, f’’’(x0) 0. b) Como la gráfica pasa por (1, 1): p(1) 1 ⇔ a 13 3 12 b 1 1 1 ⇔ a b 3 Como (1, 1) es un punto de inflexión, p’’(1) 0. p’(x) 3ax2 6x b p’’(x) 6ax 6 p’’(1) 6a 6 0 ⇒ a 1 Sustituimos en la anterior ecuación y tenemos: 1b3 ⇒ b2. |A At| |A| |At| 2 2 4. e) Cuando a una fila se le suma o resta otra multiplicada por un número, el determinante no varía; luego el determinante solicitado es 2.  a) Estos son los vectores directores de r y s: " " " i j k 1 1 (2, 0, 2) v"r 1 1 1 1 " " " i j k v"s 1 1 1 (b, a b, a) a 0 b. 冨冨. 冨. 冨. Las rectas son paralelas si los vectores lo son, es decir, si son proporcionales. Para ello se tiene que cumplir: 2 0 2 a b ab De la primera igualdad obtenemos: 2 0 ⇔ 2a 2b 0 ⇔ 2a 2b ⇔ a b b ab 2 2 De la igualdad obtenemos b a. a b Por consiguiente, para que las rectas sean paralelas se debe cumplir que a y b sean iguales.. c) Calculamos la derivada en x 1: p’(1) 3a 12 6 1 b 3 1 6 2 1 Como la derivada primera devuelve un valor positivo, en el punto (1, 1) la función p(x) es decreciente.  a) Para expresar f(x) como una función definida a trozos, descomponemos el valor absoluto: |x| f(x) . x. 冦x. Por lo tanto: f(x) x |x| x2. 冦x. . xx. 冦 x (x). Por tanto, cuando a y b son opuestos entre sí, las rectas son perpendiculares.. © Oxford University Press España, S. A.. . b) En el intervalo [1, 1] la función f(x) cambia de expresión en x 0, por consiguiente:. 冕. 1. 1. x. 冤3冥. 1. 冕. 1. x2 dx . 1. 3 0. . 冕. 0. x |x| dx . x. 冤3冥. x2 dx . 0. 3 1. 0 0. 1 1 0 = 0 3 3. La integral se anula porque la función f(x) tiene simetría impar y las áreas negativa y positiva son iguales: Y f(x) x2, si x 0. 1. O. s. ⇔ 2b 2a 0 ⇔ b a 0 ⇔ b a. x0 x0. si si. x0 x0. si si. 2. b) Las rectas serán perpendiculares si sus vectores directores lo son, es decir, si su producto escalar se anula: v" v" 2b 0 (a b) (2) (a) 0 ⇔ r. x0 x0. si si. x 1. d) Cuando se realiza una permutación de filas o columnas el determinante cambia de signo; por lo tanto, el determinante pedido vale 2.. 1. X. f(x) x2, si x 0 x1.  a) La matriz 2A tiene tres filas de las que para calcular el determinante sacamos factor común tres veces, por tanto:. Matemáticas II. 3.

(4) EXTREMADURA. CONVOCATORIA JUNIO 2009. c) Para calcular el área entre f(x), el eje X y las rectas x 1 y x 1 convertimos en positivo el valor que proporciona la integral de f(x) entre 1 y 0, es decir:. 冨冕. 0. A. 冨. x dx 2. 1. 冕. Según los cálculos del apartado anterior, obtenemos el siguiente área: A. 1. x dx 2. 1. 冨 3 冨3333 u 1. 1. 1. 2. 2. 0. Opción B  Calculamos la primera derivada de f(x): 1 f’(x) sen x 2 Igualamos la derivada a cero y despejamos: 1 1 sen x 0 ⇒ sen x 2 2 Esta ecuación tiene infinitas soluciones, pero en el intervalo 0 x 2 tiene como soluciones:. 5 x 30° , x 150° 6 6 Para saber dónde hay máximos y dónde mínimos utilizamos el criterio de la segunda derivada, f’’(x) cos x:. 兹3. f’’ cos 6 6 2. 冢冣. Como es negativo, sabemos que en x hay un máximo 6 relativo, cuyo valor es f. 兹3 艑 1,128 6 12 2. 冢冣. 5 5 兹3 f’’ cos 6 6 2. 冢冣. 5 5 兹3 cuyo valor es f 艑 0,443 6 12 2. 冢冣.  a) Dadas las funciones derivables u y v, se cumple: u dv u v . 冕. b) En esta integral vamos a llamar u al monomio x2; de esta manera, al derivarlo obtendremos otro de menor grado y la integral será más sencilla:. 冦. 冕. du 2x dx v sen x. 冧. 冕. x2 cos x dx x2 sen x 2 x sen x dx. Volvemos a aplicar la integración por partes en la integral. 冕. x sen x dx:. © Oxford University Press España, S. A.. Así pues, tenemos:. 冕. x2 cos x dx x2 sen x 2. 冢. 冧. 冕冕. x sen x dx . 冣. x2 sen x 2 x ⴢ cos x cos x dx x2 sen x 2x cos x 2. 冕. cos x dx . x2 sen x 2x cos x 2sen x C  Como la matriz es de orden 3, calculamos directamente su determinante: |A| . 冨. b 0 2. 0 1 b. b 1 0. 冨. b2 2b. |A| 0 ⇔ b2 – 2b 0 ⇔ b(b – 2) 0 ⇒ b 0, b 2 Por tanto: El determinante de orden 3 no se anula, luego el rango de la matriz es 3. 앫 Si b 0 A. 冢. 0 1 0. 0 0 2. 0 1 0. 冣. ⇒ rango (A) 2. 2 0 2. 2 1 0. 冣. ⇒ rango (A) 2. 앫 Si b 2. v du. Donde du es la derivada de la función u y v es una primitiva de la función dv.. u x2 dv cos x dx. du dx v cos x. 앫 Si b 0 y b 2. 5 Como es positivo en x hay un mínimo relativo, 6. 冕. ux. 冦 dv sen x dx. A. 冢. 0 1 2.  a) Como la recta viene expresada en paramétricas, sustituimos las coordenadas en la ecuación del plano:. 20 ⇒ 2 Sustituimos 2 en las paramétricas:. 冦. x2 y 2 z123. Por tanto, el punto de corte de la recta r y el plano es P(2, –2, 3). Matemáticas II. 4.

(5) EXTREMADURA. CONVOCATORIA JUNIO 2009. b) La recta que buscamos tiene que estar contenida en el plano , luego su vector director será perpendicular al vector normal del plano. El vector director de s también debe ser perpendicular al de r; por tanto, para que sea perpendicular a ambos vectores a la vez, calculamos su producto vectorial: " " " i j k v"s 1 1 0 (1, 1, 1) 1 0 1. 冨. 冨. El único punto en común que tienen la recta r y el plano es el punto P(2, 2, 3), calculado en el apartado anterior. Como s corta a r y está incluida en el plano, el punto de corte entre ambas es P(2, 2, 3). Por consiguiente, la ecuación de la recta es: (x, y, z) (2, 2, 3) (1, 1, 1) Observa un esquema de las rectas y el plano: r. π. © Oxford University Press España, S. A.. nπ. P. s. Matemáticas II. 5.

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