donde c corresponde al resultado de que caiga cara la moneda en un lanzamiento y s, si es sello.

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Comunidad Académica: Matemáticas Asignatura: Estadística Periodo: IV Unidad de aprendizaje: PROBABILIDAD Contenido temático: TEORIA BASICA DE PROBABILIDAD Maestro: Gabith Faruth Pretel Baena

Estudiante: _____________________________________________________________________________________ Grado: 9°____

TEORIA BASICA DE PROBABILIDAD

Antes de comenzar a desarrollar el concepto de probabilidad, es necesario convenir en algunas definiciones básicas que se encuentran ligadas al lenguaje estadístico. En este capítulo se introducen los fundamentos necesarios para el estudio de la teoría de la probabilidad, entre otros: experimento aleatorio, espacios muestrales y eventos.

ESPACIOS MUESTRALES

En la teoría de la probabilidad el concepto de experimento tiene un sentido más general del conocido en ciencias como la biología y la química. Un experimento es una operación que se lleva a cabo sobre alguna unidad de observación y que proporciona diferentes resultados. El hecho de que los resultados que arroja un experimento, aún cuando se repita siempre de la misma manera y en cualquier ocasión, proporcione diferentes resultados, le da a éste un componente aleatorio, es decir, variable. A éste último suele denominársele experimento aleatorio. En general, la mayoría de los experimentos son aleatorios, pues sus resultados dependen de factores externos o del azar mismo.

Un experimento aleatorio cumple con las siguientes características:

• El experimento puede realizarse bajo idénticas condiciones cuantas veces sea necesario. • Los posibles resultados son todos conocidos.

• El resultado del experimento es incierto, depende del azar.

• Se observa cierto patrón de regularidad a medida que aumentan las repeticiones.

Tal es el típico ejemplo de lanzar una moneda al aire. Se trata de un experimento aleatorio en el que todos los posibles resultados son conocidos: cara y sello. Cada vez que se repite el experimento, los posibles resultados tienen la misma posibilidad de ocurrir y por más de que se conozcan los posibles resultados, nunca se puede predecir qué puede caer en el próximo lanzamiento de la moneda. Sin embargo, a medida que aumentan las repeticiones, se puede observar que aproximadamente la mitad de las veces sale cara y la otra mitad sello.

Al conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio se le denomina espacio muestral del experimento. El espacio muestral se simboliza con la letra S. En el ejemplo del lanzamiento de una moneda, el espacio muestral está definido como:

}

,

{ s

c

S =

donde c corresponde al resultado de que caiga cara la moneda en un lanzamiento y s, si es sello.

Suponga ahora que se define el experimento de lanzar una moneda dos veces. El experimento consiste de dos lanzamientos, de manera que los posibles resultados se incrementan pues se deben considerar los resultados

de ambas lanzamientos al mismo tiempo. El espacio muestral para este experimento es:

}

,

,

,

{

cc

cs

sc

ss

S =

Cuando los experimentos aleatorios implican seleccionar artículos de un lote, se hace necesario indicar si el artículo seleccionado será de nuevo reintegrado al lote o no. Por ejemplo, si se tiene un lote de tres artículos {a,b,c} y el experimento consiste en seleccionar dos de ellos sin reemplazo, entonces el espacio muestral es:

}

,

,

,

,

,

{

ab

ac

ba

bc

ca

cb

S =

.

Pero si los artículos seleccionados se devuelven al lote antes de seleccionar el siguiente, el muestreo se denomina con reemplazo y sus posibles resultados son:

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EVENTOS

Después de conocido el espacio muestral de un experimento aleatorio, es común que el interés recaiga sobre un subconjunto o una colección de resultados relacionados entre sí. A este subconjunto del espacio muestral se le denomina evento.

EJEMPLO:

Sea el experimento aleatorio de lanzar un dado. El espacio muestral de dicho experimento es:

}

6

,

5

,

4

,

3

,

2

,

1

{

=

S

Sea A el evento de salir un número par. Este subconjunto del espacio muestral estaría compuesto por:

}

6

,

4

,

2

{

=

A

Ya que los eventos son subconjuntos, entonces es posible usar las operaciones básicas de conjuntos1, tales como uniones, intersecciones y complementos, para formar otros eventos de interés, denominados eventos

compuestos.

La unión de dos eventos A y B, es el evento formado por todos los posibles resultados de ambos eventos. Se denota por A B.

La intersección de dos eventos A y B, es el evento formado por los resultados contenidos en ambos eventos. Se denota por A B.

El complemento de un evento A es el evento formado por los resultados del espacio muestral que no están en el evento. Se denota por A´.

EJEMPLO:

Continuando con el experimento del ejemplo. Sea el evento B de salir un número impar en el lanzamiento de un dado y sea el evento C de salir un número primo. Estos eventos se describen a continuación:

}

5

,

3

,

1

{

=

B

C

=

{

2

,

3

,

5

}

De manera que: •

A

 C

=

{

2

,

3

,

4

,

5

,

6

}

es el evento de que el número que cae al lanzar un dado sea par o primo. •

B

 C

=

{

3

,

5

}

es el evento de que el número que cae al lanzar un dado sea impar y primo. •

C

=

{

1

,

4

,

6

}

es el evento de que el número que cae al lanzar un dado no sea primo.

Del ejemplo. se desprende un concepto importante en la teoría de la probabilidad. Observe que A B=Ø. Pues no puede ocurrir simultáneamente que el dado saque un número par e impar. A eventos que no tienen resultados en común se les denomina eventos mutuamente excluyentes.

EJEMPLO:

Sofía y Camila Intervienen en un torneo de tenis. La primera persona que gane dos juegos seguidos o que complete tres, gana el torneo. Use un diagrama de árbol para determinar los posibles resultados del torneo. Observe que hay 10 resultados posibles del torneo, ellos son:

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PROPIEDADES BÁSICAS DE LA PROBABILIDAD

El concepto de probabilidad es utilizado para expresar el grado de certidumbre o de creencia de que un evento determinado ocurra. Frecuentemente es necesario describir este grado de certidumbre: “la posibilidad de que sea un día soleado es del 40%” es un típico ejemplo que muestra la creencia sobre la posibilidad de que haya buen o mal tiempo. Y así como se escuchan pronósticos del tiempo, también es común hablar de los resultados en la lotería local, en el campeonato de fútbol, en las carreras de caballos e incluso en los estudiantes cuando se refieren a la posibilidad de perder o ganar un curso. Todos ellos son pronósticos que comúnmente se hacen con la esperanza de que sucedan.

El menor o mayor grado de certidumbre se le conoce como probabilidad de la ocurrencia de un evento. La probabilidad se cuantifica asignándole un valor entre el 0 y el 1, o también en valor porcentual entre 0 y 100. Se puede ver que entre mayor sea el valor, mayor es la probabilidad de ocurrencia de un evento. Para un evento que nunca se presentará se asigna el valor de 0, mientras que para un evento seguro se asigna el valor de 1 (o de 100%).

INTERPRETACIONES DE LA PROBABILIDAD

Existen tres diferentes formas de definir la probabilidad de un evento. Cada una de estas formas de interpretación tiene su lugar en el estudio de la Probabilidad y ninguna de ellas por separado cubre completamente todos los casos.

Antes de iniciar con estas definiciones, se hace importante acordar una notación que se seguirá a lo largo del texto, y que usted encontrará comúnmente en otros textos académicos relacionados con la probabilidad. Los eventos serán enunciados en letras mayúsculas así: A, B, C,…; la letra mayúscula P denotará una probabilidad y P(A) indicará, entonces, la probabilidad de que ocurra el evento A.

EJEMPLO:

En una urna se tienen 9 bolitas de diferentes colores: 4 blancas, 3 grises y 2 negras. Si se selecciona de la urna una bolita, sean:

B: Evento para el cual la bolita seleccionada es blanca. G: Evento para el cual la bolita seleccionada es gris. N: Evento para el cual la bolita seleccionada es negra.

Determinar la probabilidad de ocurrencia de cada evento. Tamaño de la muestra: n=9 Frecuencia relativa de B: fB =4 Frecuencia relativa de G: fG =3 Frecuencia relativa de N: fN =2 9 0.22 22.2% 2 ) ( % 3 . 33 33 . 0 9 3 ) ( % 4 . 44 44 . 0 9 4 ) ( = = = = = = = = = = = = n f N P n f G P n f B P N G B

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Con lo anterior, puede concluirse que, al calcular probabilidades con el método de frecuencias relativas, se obtiene un estimado y no un valor exacto. Conforme el número de observaciones se incrementa, los estimados correspondientes tienden a acercarse a la probabilidad real. Esta propiedad es conocida comúnmente como la ley

de los grandes números.

Axiomas de probabilidad

Conocida ahora la probabilidad de un evento, se pueden reunir ciertas características conocidas como axiomas de probabilidad que satisfacen la probabilidad de cualquier experimento aleatorio. Estos axiomas no determinan las probabilidades, lo que hacen es facilitar el cálculo de las probabilidades de algunos eventos a partir del conocimiento de las probabilidades de otros.

Entendiendo la probabilidad de cualquier evento como un número entre 0 y 1, ella satisface las siguientes propiedades:

Si S es el espacio muestral y A es cualquier evento del experimento aleatorio, entonces: 1. P(S)=1

2. 0P(A)1

3. Para los eventos A1 y A2 con A1A2 =Ø, es decir eventos mutuamente excluyentes,

) ( ) ( ) (A1 A2 P A1 P A2 P  = +

Estos axiomas implican los siguientes resultados. • La probabilidad de un evento imposible es 0 ó P(Ø)=0. • La probabilidad de que un evento ocurra con certeza es 1. • Para cualquier evento A, P(A)=1−P(A).

• Si el evento A1 está contenido en el evento A2, entonces: P(A1)P(A2)

• Para dos eventos A y B, P(AB')=P(A)−P(AB)

• REGLAS DE ADICIÓN

la probabilidad de dos eventos está dada por:

) ( ) ( ) ( ) (A B P A P B P A B P  = + − 

Esta regla se simplifica cuando A y B son mutuamente excluyentes, ya que P(A B)=0. De modo que la

probabilidad de dos eventos mutuamente excluyentes estará dada por:

) ( ) ( ) (A B P A P B P  = +

EJEMPLO:

Continuando con los datos del ejemplo 2.4., las siguientes son las características de las orquídeas de un vivero:

Tamaño de pétalo

Grande Pequeño

Color Lila 40 4

Blanca 2 3 Sea el evento A: la orquídea es de pétalo grande. Entonces:

49 42 ) (A = P Y sea el evento B: la orquídea es de color lila. Entonces:

49 44 ) (B = P

De otro lado, P(AB) es la probabilidad de que la orquídea sea de pétalo grande y al mismo tiempo de color lila. Entonces: 49 40 ) (A B = P

El evento A B es aquel donde la orquídea es de tamaño de pétalo grande o de color lila o ambos. La tabla indica rápidamente, al igual que su diagrama de Venn, el valor de P(A B)=46 49.

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49 6 4 ) ( 49 40 49 44 49 42 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( =  − + =   − + =  B A P B A P B A P B P A P B A P

Sea el evento E donde la orquídea no es de pétalo grande y tampoco es de color lila. La tabla también indica el valor de P(E)=3 49

Otra alternativa para el cálculo de P(E), es hacer uso adecuado de operaciones entre conjuntos. Se tiene que:

) (   = A B E Por tanto, 49 3 49 6 4 1 ) ( 1 ) (E = −P AB = − = P

PROBABILIDAD CONDICIONAL

En muchos casos es común encontrarse con un evento que se ve afectado por el conocimiento previo de otro evento. Por ejemplo, decidir salir a montar en bicicleta depende de si llueve o no; es así como el evento de montar en bicicleta está condicionado a un segundo evento: la lluvia. De manera que la probabilidad del primer evento se ve afectada por el segundo.

Se dice entonces que una probabilidad condicional de un evento ocurre cuando ella se ve afectada por el conocimiento de otras circunstancias o de información adicional. La probabilidad condicional de que el evento B ocurra, dado que el evento A ya ocurrió, se define como:

) ( ) ( ) ( B P B A P B A P = 

EJEMPLO:

Retome el ejemplo de las características de las orquídeas de un vivero y calcule la probabilidad de que la orquídea que se seleccione sea de color lila dado que se ha tomado una orquídea de tamaño de pétalo grande.

Tamaño de pétalo

Grande Pequeño

Color Lila 40 4

Blanca 2 3 Sean los eventos:

A: la orquídea es de pétalo grande. B: la orquídea es de color lila.

Se pide entonces: ) ( ) ( ) ( A P A B P A B P =  49 / 42 ) ( 49 / 40 ) ( = =  A P A B P Así: 0,952 95,2% 49 / 42 49 / 40 ) (B A = = = P

Calcule ahora la probabilidad de que la orquídea seleccionada sea de pétalo grande dado que es de color lila. Observe que esta probabilidad es diferente a la calculada arriba, se pide:

% 9 , 90 909 , 0 49 / 44 49 / 40 ) ( ) ( ) ( ) ( =   P A B = = = B P B A P B A P

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(la orquídea es de color lila) calculadas bajo dos estados diferentes de conocimiento: sin condicionar su tamaño de pétalo para la primera y la segunda condicionada a que su tamaño de pétalo sea grande.

El siguiente diagrama de árbol permite identificar gráficamente el cálculo de estas probabilidades. Cualquier método que se use es válido para el cálculo de la probabilidad condicional, pero se recomienda que practique en ambos.

De manera que el cálculo de la probabilidad de que la orquídea seleccionada sea de color lila dado que el tamaño de su pétalo es grande, estará dado por:

% 2 , 95 952 , 0 42 40 49 / 42 44 / 40 49 / 44 ) ( ) ( ) ( =  =  = = = A P A B P A B P

Tenga en cuenta que el diagrama de árbol de la figura 3.4. describe primero el evento del color de la orquídea. Si se desea calcular gráficamente P(A B) el diagrama debe describir inicialmente el evento del tamaño de los pétalos. Calcule esta probabilidad.

REGLAS DE MULTIPLICACIÓN Probabilidad de la intersección de dos eventos

En el tema 3.2. se presentó la regla de la adición para calcular P(AB). En esta sección se desarrollará una regla para determinar P(AB), esto es, la probabilidad de que el evento A ocurra en un primer experimento y el evento B ocurra en un segundo experimento.

De la definición de probabilidad condicional, surge una expresión general para la probabilidad de la intersección de dos eventos.

) ( ) ( ) ( ) ( ) (A B P A B P B P B A P A P  =  = 

EJEMPLO:

Un lote de 12 artículos tiene 4 defectuosos. Se toman al azar 3 artículos del lote uno tras otro. Hallar la probabilidad de que todos los 3 estén buenos.

Hay dos maneras de analizar este problema: de un modo intuitivo y a través de la definición. El modo intuitivo obliga a recordar las técnicas de conteo que ya se han estudiado. Observe que el experimento es sin reemplazo, pues se toma cada artículo uno tras otro. Así, la probabilidad de que el primer artículo no sea defectuoso es 128

puesto que de los 12 artículos 8 no son defectuosos. Si el primero no es defectuoso, entonces la probabilidad de que el segundo tampoco lo sea es 117 pues de los 11 artículos restantes 7 estarán en buen estado. Si los dos primeros

artículos no son defectuosos, entonces la probabilidad de que el tercero no sea defectuoso es 106 . Así, por la regla

de multiplicación se tiene: % 5 , 25 255 , 0 55 14 10 6 11 7 12 8 )

(todosesténbuenos =   = = = P

La otra manera de evaluar esta probabilidad es usando la definición para el cálculo de la intersección de dos o más eventos. Sea entonces:

A: evento para el cual el primer artículo no es defectuoso. B: evento para el cual el segundo artículo no es defectuoso.

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EJERCICIOS PROPUESTOS.

1. En un examen de verdadero/falso, ¿cuál es la probabilidad de responder una pregunta correctamente si usted elige al azar?

2. En un examen de opción múltiple, con cinco posibles respuestas para cada pregunta, ¿cuál es la probabilidad de responder una pregunta correctamente si usted elige al azar?

3. En un grupo, hay 250 bebés recién nacidos y 105 de ellos son niños. Si un bebé del grupo es seleccionado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el bebé no sea niño?

4. Si P(A)=0,3, P(B)=0,2 y P(A B)=0,1, determine las siguientes probabilidades: a. P( A') c. P(A'B) e. P

(AB)'

b. P(AB) d. P(AB') f P(A'B)

5. En un partido de fútbol interuniversitario, asisten a la final 2223 personas entre hombres, mujeres, niños y niñas. La siguiente tabla resume la asistencia al partido teniendo en cuenta su afición por el equipo X ó el equipo Y:

Hombres Mujeres Niños Niñas Equipo X 332 318 29 27

Equipo Y 1360 104 35 18 Si se selecciona al azar uno de los aficionados, calcule:

a. La probabilidad de que sea una mujer o una niña.

b. La probabilidad de que sea un hombre o un aficionado al equipo X. c. La probabilidad de que sea un niño o un aficionado al equipo X. d. La probabilidad de que sea una mujer o un aficionado al equipo Y.

6. La tabla siguiente presenta un resumen de las características solicitadas en 100 órdenes de compra de computadores. Memoria adicional No Si Procesador opcional de alta velocidad No 75 7 Si 10 8

Sea A el evento donde la orden de compra es solicitada sin memoria adicional y sin procesador opcional de alta velocidad y sea B el evento donde la orden de compra es solicitada sin memoria adicional. Determine:

a. P(AB) b. P(AB)'

7. En la Facultad de Ciencias Administrativas, 25% de los estudiantes perdieron contabilidad, 15% perdieron finanzas y 10% perdieron las dos. Se selecciona un estudiante al azar.

a. Si perdió finanzas, ¿cuál es la probabilidad de que haya perdido contabilidad? b. Si perdió contabilidad, ¿cuál es la probabilidad de que haya perdido finanzas? c. ¿Cuál es la probabilidad de que haya perdido contabilidad o finanzas?

8. La probabilidad de que un hombre viva 10 años más es ¼, y la probabilidad de que su esposa viva 10 años más es 1/3. Determine:

a. La probabilidad de que ambos estén vivos dentro de 10 años. b. La probabilidad de que al menos uno estará vivo en 10 años. c. La probabilidad de que ninguno estará vivo en 10 años.

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